2024年人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：等腰三角形（解析版）

第03講等腰三角形

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握等腰三角形的性質(zhì)并能夠?qū)ζ涫炀殤?yīng)用。

①等腰三角形的性質(zhì)

2.掌握等腰三角形的判定方法，能夠運(yùn)用已知條件熟

②等腰三角形的判定

練判定等腰三角形。

思維導(dǎo)圖

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01等腰三角形的性質(zhì)

I.等腰三角形的概念:

有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。相等的兩邊叫做等腰三角形的腰，所對(duì)的角叫做

等腰三角形的底角，另一邊是三角形的底，所對(duì)的角是等腰三角形的頂角。

2.等腰三角形的性質(zhì)：如圖

①等腰三角形的兩腰相等。即/3=/C。

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等。即乙8=NC。【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互」【簡(jiǎn)

稱底邊上三線合一】即=NCAD,BD=CD,ADLBC。

題型考點(diǎn)：①熟練性質(zhì)。②利用性質(zhì)計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

1.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合

B.三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等

C.等腰三角形的兩個(gè)底角相等

D.等腰三角形頂角的外角是底角的二倍

【解答】解：/、等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的角平分線互相重合，故N錯(cuò)誤；

8、三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故8正確；

C、等腰三角形的兩個(gè)底角相等，故C正確；

。、等腰三角形頂角的外角是底角的二倍，故。正確，

故選：A.

【即學(xué)即練2】

2.己知等腰三角形的一個(gè)頂角為120°,則這個(gè)等腰三角形的底角為（）

A.30°B.60°C.80°D.120°

【解答】解：：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，

二底角為（180°-120°）4-2=30°,

故選：A.

【即學(xué)即練31

3.如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm和5c加，那么它的周長(zhǎng)是（）

A.9cmB.12cm

C.9cm或12cmD.以上答案都不對(duì)

【解答】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為2cm時(shí)，則三邊分別為2c%,2cm,5cm,因?yàn)?+2<5,所以不能構(gòu)成直角三角

形；

當(dāng)腰長(zhǎng)為5cm時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為5c%,5cm,1cm,符合三角形三邊關(guān)系，此時(shí)其周長(zhǎng)為：5+5+2=

12cm.

故選：B.

【即學(xué)即練4】

4.如圖，在△NBC中，AB=AC,BD平分/ABC,BD=BE,//=100°,則NDEC=（）

【解答】解：?.?在△N8C中，AB=AC,ZA=100°,

/.ZABC=ZC=40°,

平分N4BC,

ZDBE=-^-ZABC=20°,

2

：.NBDE=NBED=80°,

：.ZDEC=IOO°.

故選：B.

【即學(xué)即練5】

5.在等腰△NBC中，AB=AC,其周長(zhǎng)為16cm,則邊的取值范圍是（）

A.lcm<AB<4cmB.3cm<AB<6cm

C.4cm<AB<8cmD.5cm<AB<10cm

【解答】解：?.,在等腰中，AB=AC,其周長(zhǎng)為16c加，

AB=AC=xcm,貝!JBC=（16-2x）cm,

.，2x>16-2x

"\16-2x>0'

解得4cm<x<8cm.

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)02等腰三角形的判定

1.利用等角對(duì)等邊判定：

一個(gè)三角形中如有兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊也相等。（等角對(duì)等邊）則這個(gè)三

角形是等邊三角形。

2.利用三線合一性質(zhì)判定：

若三角形有一邊上的中線、高線以及它對(duì)角的角平分線重合，則這個(gè)三角形是等腰三角形。

題型考點(diǎn)：①利用內(nèi)角和公式求內(nèi)角和或求多邊形的邊數(shù)。

②利用多邊形的內(nèi)外角關(guān)系計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

6.在△N8C中，與//相鄰的外角是130°,要使△4BC為等腰三角形，則N2的度數(shù)是（）

A.50°B.65°

C.50°或65°D.50°或65°或80°

【解答】解：//=180°-130°=50°.

當(dāng)時(shí)，Z5=ZC=A（180°-50°）=65°；

2

當(dāng)/時(shí)，N/=NC=50°,則/2=180°-50°-50°=80°；

當(dāng)C4=C2時(shí)，ZA=ZB=50°.

N3的度數(shù)為50°或65°或80°,

故選：D.

【即學(xué)即練2】

7.下列能確定△/2C為等腰三角形的是（)

A.ZA=50°、ZS=80°B.NN=42°、Z5=48°

C.乙4=2/8=70°D.48=4、BC=5,周長(zhǎng)為15

【解答】解：4、VZA=50°、Z5=80°,

；.ZC=180°--Z5=50°,

ZA=ZC,

△NBC為等腰三角形；

故本選項(xiàng)能確定△Z3C為等腰三角形;

B、：//=42°、NB=48°,

.1.ZC=180°-N4-ZB=90°,

二/AW/BW/C,

.?.△/8C不是等腰三角形；

故本選項(xiàng)能確定A/BC不是等腰三角形;

C、VZA=2ZB=70°,

:"B=35°,

；.NC=180°-/A-/B=75°,

：.ZA^ZB^ZC,

...△/8C不是等腰三角形；

故本選項(xiàng)能確定△48C不是等腰三角形;

D、:45=4、BC=5,周長(zhǎng)為15,

.'.AC=15-4-5=6,

；?AB乎BC乎AC,

...△/8C不是等腰三角形；

故本選項(xiàng)能確定△NBC不是等腰三角形.

故選：A.

【即學(xué)即練3】

8.如圖，在△N8C中，AB^AC,/BAC=36°,BD平分N4BC交4c于點(diǎn)D,過點(diǎn)/作4&〃5C,交BD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求N4D2的度數(shù)；

（2）求證：是等腰三角形.

E

：.ZABC=ZC=^-(180°-ABAC}=72°,

2

,:BD平分/ABC,

:.NDBC=L/ABC=36。,

2

:./ADB=NC+NDBC=12°+36°=108°；

(2)證明：'CAE//BC,

：.NEAC=/C=72°,

VZC=72°,ZDBC=36°,

：.N4DE=NCDB=180°-72°-36°=72°,

NEAD=ZADE,

：.AE=DE,

...△NOE是等腰三角形.

【即學(xué)即練41

9.如圖，在△Z8C中，點(diǎn)。為N4BC的平分線AD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作EF〃BC交4B于點(diǎn)E,交zC于

點(diǎn)、F,連接CD,若BE+CF=EF.求證：△CFZ）是等腰三角形.

【解答】證明：：瓦）為N/8C的平分線,

???/ABD=/CBD,

?:EF〃BC,

；?/EDB=NCBD,/FDC=NDCB,

：./ABD=NEDB.

:.BE=DE.

■:BE+CF=EF,

：.DE+CF=DE+DF,

:?CF=DF,

???△/）四。是等腰三角形.

題型精講

題型01等腰三角形與周長(zhǎng)

【典例1】

若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,則它的周長(zhǎng)為(

C.12D.9或12

【解答】解：(1)若2為腰長(zhǎng)，5為底邊長(zhǎng)，

由于2+2<5,則三角形不存在；

(2)若5為腰長(zhǎng)，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊.

所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為5+5+2=12.

故選：C.

【典例2】

一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為8和10,則它的周長(zhǎng)加的取值為()

A.26或28B.26C.28D.26c機(jī)<28

【解答】解：若8是底邊，則三角形的三邊分別為8、10、10,

能組成三角形，

周長(zhǎng)=8+10+10=28,

8是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊分別為8、8、10,

能組成三角形，

周長(zhǎng)=8+8+10=26.

綜上所述，它的周長(zhǎng)根的取值為26或28.

故選：A.

【典例3】

已知等腰三角形的兩邊a,b滿足心耳+|b-8|=0,則等腰三角形的周長(zhǎng)為()

A.12B.16C.20D.16或20

【解答】解：,.,右區(qū)+也-8|=0,

.,.(7-4=0,b-8=0,

.*.<7=4,b=8?

當(dāng)a=4為底時(shí)，腰長(zhǎng)為8,8,4+8>8,能組成三角形，故周長(zhǎng)為4+8+8=20.

當(dāng)6=8為底時(shí)，腰長(zhǎng)為4,4,4+4=8,不能組成三角形.

所以等腰三角形的周長(zhǎng)為20.

故選：C.

【典例4】

已知實(shí)數(shù)x,y滿足|X-31+J?7=0,則以x,y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）

A.10B.11

C.10或11D.以上答案均不對(duì)

【解答】解：???卜-3|+正%=0,

.*.X-3=0,y-4=0,

??x=3,y=4,

分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為4,底邊長(zhǎng)為3時(shí)，

二等腰三角形的周長(zhǎng)=4+4+3=11；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為3,底邊長(zhǎng)為4時(shí)，

...等腰三角形的周長(zhǎng)=3+3+4=10；

綜上所述：等腰三角形的周長(zhǎng)是10或11,

故選：C.

題型02等腰三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度

【典例1】

如圖，ZUBC中，AB=AC,ZA=45°,NC的垂直平分線分別交/8、/C于。、E,若CD=1,則8。等

C.&D.V2-1

【解答】解：的垂直平分線分別交/夙ZC于。、E,

.,.AD=CD=1,

AZA=ZACD=45°,

/.ZADC=90°,

AC=VAD24CD2=V2'

，AB=AC=&，

.??BD=AB-AD=V2-1；

故選：D.

【典例2】

如圖，在△/8C中，AB=AC=6,點(diǎn)￡在NC上，即垂直平分/C,交4B于F,BF=1,則斯的長(zhǎng)為（）

A.4B.3C.&D.西

34

【解答】解：即垂直平分/C,

：.AE=CE=^AC=3,

2

?;BF=1,

：.AF=AB-BF=6-1=5,

:.AF=CF=5,

在Rt"EF中，

2222

EF=VAF-AE=VB-3=V16=4;

故選：A.

【典例3】

如圖，在△45。中，AB=AC,4)_L5C于點(diǎn)。，DE上AB于點(diǎn)、E,瓦U4C于點(diǎn)尸,DE=5cm,貝!J()

A

A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm

【解答】M：'JAB^AC,NOLBC于點(diǎn)。，

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得AADBmAADC,

,.SAADB=SAADC革SAACB，

?:S"DB=%B-DE,S“CB=%C-BF,

22

LAB?DEX2=LAC?BF,

22

:.BF=2DE,

?：DE=5cm,

:,BF=10cm.

故選：B.

【典例4】

如圖，在△N8C中，AC^lScm,BC=20cm,點(diǎn)M從點(diǎn)/出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C

出發(fā)以每秒1.6。%的速度向點(diǎn)臺(tái)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△CW

是以九W為底的等腰三角形時(shí)，則這時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)是（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為X秒，

在△N2C中，BC=20cm,4c=18cm,

點(diǎn)、M從點(diǎn)、A出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1.6cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)△0期是等腰三角形時(shí)，CM=CN,

CA/=18-2x,CN=L6x

BP18-2x=1.6x,

解得x=5.

：.CM=CN=S（cm）,

故選：D.

題型03等腰三角形的性質(zhì)求角度

【典例1】

等腰三角形的一個(gè)底角是/,它的頂角是（）

A.aB.90°-aC.180°-2a

【解答】解：???等腰三角形的一個(gè)底角是a°,

.?.它的頂角=180°-2a,

故選：C.

【典例2】

如圖，直線°〃6,點(diǎn)/和點(diǎn)8分別在直線a和6上，點(diǎn)C在直線a、6之間，且3C=4C,ZACB=120°,

Zl=45°,則/2的度數(shù)是（)

B

A.60°B.65°C.70°D.75°

/.ZABC=ZBAC=^-X(180°-120°)=30。，

2

VZ1=45°，

：.ZABD=Z1+ZABC^75°，

9：a//b,

：?42=/ABD=Q5°，

故選：D.

【典例3】

如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的等腰三角形拼成的，則N5/C的度數(shù)為（）

A.28°B.36°C.45°D.72°

【解答】解：如圖所示，五個(gè)全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個(gè)正五邊形,

???/EAB=ZACD=^--X(5-2)

=108

5

/.ZACB=ZEAC=ISO°-108°=72°,

AZBAC=ZEAB-ZEAC^108°-72°=36°,

故選：B.

【典例4】

如圖，在等腰△E2C中，EB=EC,AB=BC,/E=40：N/CD的度數(shù)為()

A.10°B.15°C.25°D.30°

【解答】解：，；BE=EC,ZE=40°,

：.ZB=ZBCE=(180°-40°)4-2=70°,

:AB=BC,

：.ZACB=(180°-70°)4-2=55°,

AZACD=ABCE-ZACB=70°-55°=15°,

故選：B.

【典例5】

定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值先稱為這個(gè)等腰三角形的“特征值”.若在等腰△45。

中，N/=50°,則它的特征值上等于(

A.坨B,1

CD

138X

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°,

...等腰三角形的兩個(gè)底角都=工義(180°-50°)=65°,

2

這個(gè)等腰三角形的“特征值”左=或一10，

6513

當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)底角為50°時(shí)，那么另一個(gè)底角也是50°,

等腰三角形的頂角=180°-2X50°=80°,

二這個(gè)等腰三角形的“特征值"左=或_=&；

505

綜上所述：曲或反，

135

故選：D.

題型04等腰三角形的判定

【典例1】

如圖，在△48C中，4D平分NBAC,CE〃/。交民4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,求證：△，＜?￡1是等腰三角形.

【解答】證明：是△NBC中NA4c的平分線，

ZBAD=ZDAC,

5L'：CE//AD,

：.ZBAD=ZE,ZDAC=ZACE,

：.ZE=ZACE,

：.AE=AC,

...△4CE是等腰三角形.

【典例2】

如圖，NZCD是△4BC的一個(gè)外角，CE平分/ACD,且CE〃/5,求證：△4BC為等腰三角形.

【解答】證明：平分N/CD,

?■?ZACE=ZDCE^-ZACD-

,JCE//AB,

:.—ACE,ZB=ZDCE,

：.ZB=ZA,

：.BC=AC,

...△/8C為等腰三角形.

【典例3】

如圖，已知在△N8C中，D、￡是8c上兩點(diǎn)，S.ZADE=ZAED,ZBAD=ZEAC,求證：AB=AC.

A

JZBAD+ZB=ZEAC+ZC,

?.*/BAD=/EAC

：.ZB=ZC.

：.AB=AC.

【典例4】

如圖，在△4BC中，尸是5C邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作5C的垂線，交45于點(diǎn)0,交。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R若

【解答】證明：??ZQ=ZH,

???ZR=ZAQR.

又,:/BQP=/AQP,

：.ZR=ZBQP.

在Rt/XQPB和RtZiKPC中，ZB+ZBQP=90°,ZC+Z7?=90°,

???/B=/C,

：?AB=AC,

???△48。是等腰三角形.

【典例5】

如圖，在△45。中，AB=AC,過點(diǎn)/作8C的平行線交N4BC的角平分線于點(diǎn)。，連接CZ).求證：AACD

為等腰三角形.

AD

：./ADB=NDBC,

平分N4BC,

/./ABD=/DBC,

：./ABD=/ADB,

:?AB=AD,

U：AB=AC,

：.AD=AC,

???△/CO是等腰三角形.

題型05等腰三角形的判定與性質(zhì)

【典例1】

如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,AC平分/BCD.

(1)求證：AD=CD；

(2)若4C=5C,ZD=120°,求的度數(shù).

【解答】(1)證明：??7。平分NBCZ),

/ACD=/ACB,

,:AD〃BC,

：.ZDAC=NACB,

：.ZDAC=ZACD,

：.AD=CD；

(2)解：VZD=120°,

AZDAC=ZACD=^-~^^-=30°,

2

AZACB=30°,

?：AC=BC,

:./B=NBAC=~~-/MB=75".

2

【典例2】

如圖，在△NBC中，AB^AC,48的垂直平分線”N交NC于點(diǎn)。，交48于點(diǎn)瓦(1)求證：△48。是等

腰三角形；

(2)若NE=6,△C5D的周長(zhǎng)為20,求△4BC的周長(zhǎng).

【解答】解：(1):4臺(tái)的垂直平分線交NC于點(diǎn)。，

：.DB=DA,

是等腰三角形；

(2)的垂直平分線交NC于點(diǎn)。，AE=6,

：.AB=2AE=}2,

「△CB。的周長(zhǎng)為20,

：.BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=20,

：./\ABC的周長(zhǎng)=48+/C+3C=12+20=32.

【典例3】

如圖，已知點(diǎn)。，￡分別是△N8C的邊胡和8C延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，作/ZMC的平分線NR若AF〃BC.

(1)求證：A/BC是等腰三角形；

(2)作/NCE的平分線交/尸于點(diǎn)G,若乙8=40°,求/NGC的度數(shù).

【解答】(1)證明：：/尸平分

ZDAF^ZCAF,

'：AF//BC,

：.ZDAF=ZB,ZCAF=ZACB,

ZB=ZACB,

...△NBC是等腰三角形；

(2)解：；AB=AC,ZB=40°,

/.ZACB=ZB=40°，

：.ZBAC=100°,

AZACE=ZBAC+ZB=140°,

TCG平分N4C￡,

???ZACG=yZ^C￡=70°，

,:AF〃BC,

：.ZAGC=180°-ZBCG=180°-40°-70°=70°.

已知在△45C中，AB=AC,點(diǎn)。是邊48上一點(diǎn)，NBCD=/A.

(1)如圖1,試說明CO=CB的理由；

(2)如圖2,過點(diǎn)8作垂足為點(diǎn)￡,8E與相交于點(diǎn)?

①試說明N5CD=2NCB￡的理由；

②如果△助尸是等腰三角形，求N4的度數(shù).

/ABC=/ACB,

'：ZBDC是"DC的一個(gè)外角,

ZBDC=/A+N4CD,

■:/ACB=/BCD+/ACD,/BCD=/A,

：.ZBDC=/ACB,

：.ZABC=ZBDC.

：.CD=CB；

(2)①???5￡_L/C,

:?/BEC=90°，

：.ZCBE+ZACB=90

設(shè)/CBE=CL,則N4C5=90°-a,

：?/ACB=NABC=NBDC=90°-a,

：.ZBCD=180°-ZBDC-ZABC=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a,

???ZBCD=2ZCBE；

②,//BFD是ACBF的一個(gè)外角，

/BFD=ZCBE+ZBCD=a+2a=3a.

分三種情況：

當(dāng)50=8/時(shí)，

JZBDC=/BFD=3a,

NACB=ZABC=ZBDC=90°-a,

.*.90°-a=3a,

.,.a=22.5°,

N4=NBCZ)=2a=45°；

當(dāng)。/時(shí)，

:./DBE=/BFD=3a,

ZDBE=/ABC-ZCBE=90°-a-a=90°-2a,

.*.90°-2a=3a,

.,.a=18°,

AZA=ZBCD=2a=36°；

當(dāng)尸5=即時(shí)，

???ZDBE=/BDF,

ZBDF=ZABO/DBF,

；?不存在用=即，

綜上所述：如果△瓦汗是等腰三角形，N4的度數(shù)為45°或36°.

【典例5】

(1)如圖1,已知：在△N8C中，AB=AC=10,BD平分N4BC,CD平分/ACB,過點(diǎn)。作EF〃臺(tái)C,分

別交48、NC于E、尸兩點(diǎn)，則圖中共有二個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是BE+CF

=EF,△]￡尸的周長(zhǎng)是20

AA

CB

(2)如圖2,若將(1)中“△/2C中，/5=/C=10”改為“若△N8C為不等邊三角形，48=8,ZC=

10”其余條件不變，則圖中共有2個(gè)等腰三角形:EF與BE、C戶之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的

結(jié)論，并求出△/所的周長(zhǎng)

(3)已知：如圖3,。在△4BC外，AB>AC,且平分N4BC,CD平分△NBC的外角N/CG,過點(diǎn)

D&DE/1BC,分別交48、4c于E、尸兩點(diǎn)，則斯與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論

不證明.

【解答】解：(1)BE+CF=EF.

理由如下：

'：AB=AC,

：.NABC=ZACB,

,:BD平分/ABC,CD平分N4CB,

：./EBD=ZCBD,ZFCD=ZBCD,

：./DBC=NDCB,

：.DB=DC

,JEF//BC,

:.NAEF=/ABC,NAFE=NACB,ZEDB=ZCBD,ZFDC=ZBCD,

：.ZEBD=ZEDB,ZFDC=ZBCD,

:.BE=DE,CF=DF,AE=AF,

等腰三角形有△48C,△4￡凡ADEB,ADFC,△8OC共5個(gè)，

Z.BE+CF=DE+DF=EF,

即BE+CF=EF,

/\AEF的周長(zhǎng)=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20.

故答案為：5；BE+CF=EF；20；

(2)BE+CF=EF,

■:BD平分乙4BC,CD平分N4CB,

：.ZEBD=ZCBD,ZFCD=ZBCD,

".'EF//BC,

：.NEDB=ZCBD,ZFDC=ZBCD,

：.ZEBD=ZEDB,ZFDC=/BCD,

：.BE=DE,CF=DF,

二等腰三角形有△BOE,ACFD,

：.BE+CF=DE+DF=EF,即BE+CF=EF.

可得△/￡■廠的周長(zhǎng)為18.

(3)BE-CF=EF,

由（1）知BE=ED,

?:EF〃BC,

：.ZEDC=ZDCG=NACD,

：.CF=DF,

又?；ED-DF=EF,

：.BE-CF=EF.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等，頂角的度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°,則這個(gè)底角的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【解答】解：設(shè)底角的度數(shù)是X。，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°,

根據(jù)題意得：x+x+2x+2Q=180,

解得：x=40,

故選：B.

2.己知等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4,一邊長(zhǎng)等于9,它的周長(zhǎng)是（）

A.17或22B.22C.17D.13

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)腰為4時(shí)，4+4<9,所以不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰為9時(shí)，9+9>4,9-9<4,所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：9+9+4=22.

故選：B.

3.如圖，在等腰中，EB=EC,AB=BC,/B=70°,//CD的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.25°D.30°

【解答】解：,??￡5=EC,

:./BCE=NB=10°,

:AB=BC,/B=70°,

；.NACB=NBAC=LX(180°-70°)=55°,

2

ZACD=ZECB-ZACB=70°-55°=15°.

故選：B.

4.“廊橋凌水，樓閣傲天，狀元故里狀元橋，綬溪橋上看綬溪”.莆田綬溪公園開放“狀元橋”和“狀元閣”

游覽觀光，其中“狀元閣”的建筑風(fēng)格堪稱“咫尺之內(nèi)再造乾坤”.如圖，“狀元閣”的頂端可看作等腰

三角形4BC,AB=AC,。是邊2c上的一點(diǎn).下列條件不能說明4D是△/8C的角平分線的是（）

A.NADB=/ADC

C.BC=2ADD.SUBD=S“CD

【解答】解：:/ADB=NADC,ZADB+ZADC=ISO°,

AZADB=ZADC=90a,即/。是△48C的高線，

?.?△/8C是等腰三角形，AB=AC,

40是△NBC的角平分線，故/選項(xiàng)不符合題意；

?.?△/3C是等腰三角形，BD=CD,

是△NBC的角平分線，故2選項(xiàng)不符合題意；

若BC=24D,不能說明/。是△N8C的角平分線，故C選項(xiàng)符合題意;

■:S“BD=SMCD，

：.BD=CD,

是△NBC的角平分線，故。選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

5.如圖，△NBC中，AB=AC,AD_LBC于D點(diǎn),,DELAB于點(diǎn)E,AF_L/C于點(diǎn)RDE=6,則2尸=()

A.8B.9C.12D.18

【解答】解：:△48。中，AB=AC,ADLBC,

是△/8C的中線，

L=2"=2義我曲

?：SMBC=?C?BF,

：.—AC-BF=6AB,

2

；AC=4B,

:ABF=6,

2

:.BF=n,

故選：c.

6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/（3,-3）,在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)2,使為等腰三角形，則符合條

件的點(diǎn)3共有（）個(gè).

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：分三種情況討論：

當(dāng)時(shí)，2的坐標(biāo)為：（6,0）或（0,-6）；

當(dāng)時(shí)，2的坐標(biāo)為：（3圾，0）,（0,3圾），（-3&，0）,或（0,-3a）；

當(dāng)80=8/時(shí)，2的坐標(biāo)為：（3,0）或（0,-3）,

所以：符合條件的點(diǎn)8共有8個(gè)，

故選：D.

7.如圖，在△NBC中，已知NABC和N/C2的平分線相交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作。￡〃5C,交4B于D,交AC

于E,若4B+/C=8,則△/￡>￡■的周長(zhǎng)為（）

A.6B.8C.10D.12

【解答】解：：//8C和NNC8的平分線相交于點(diǎn)F,

：.ZABF=ZFBC,ZACF=ZFCB,

■:DE//BC,

：.ZBFD=ZFBC,ZCFE=ZFCB,

：.NABF=NBFD,NACF=ZCFE,

：.BD=FD,CE=FE,

,：AB+AC=8,

:.AADE的周長(zhǎng)為：AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=8.

故選：B.

8.如圖，△48C中，AB=AC,ZB=40°,。為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C重合），連接作/

4D￡=40°,DE交線段/C于E,以下四個(gè)結(jié)論：①NCDE=NBAD；②當(dāng)。為5c中點(diǎn)時(shí)，DEL

AC；③當(dāng)△/￡>￡為等腰三角形時(shí)，NB4D=20°；④當(dāng)/34D=30°時(shí)，BD=CE.其中正確的結(jié)論的

個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①

AZB=ZC=40°,

AZBAD=1SO°-40°-NADB,NCDE=180。-40°-/ADB,

：.ZBAD=ZCDE；故①正確；

②???。為8C中點(diǎn)，AB=AC,

：.AD±BC,

：.ZADC=90°,

：.ZCDE=50°,

VZC=40°,

:?/DEC=90°,

C.DELAC,故②正確；

③?.,NC=40°,

/.ZAED>40°,

:./ADENNAED,

???△//）￡為等腰三角形，

:?AE=DE,

：.ZDAE=ZADE=40°,

VZBAC=180°-40°-40°=100°,

/.ZBAD=60°,

或,??△ZQE為等腰三角形，

:?AD=DE,

：.ZDAE=ZAED=10°,

VZBAC=1SO°-40°-40°=100°,

；?/BAD=30°,

故③錯(cuò)誤，

（4）VZBAD=30°,

：.ZCDE=30°,

AZADC=70°,

：.ZCAD=\S0°-70°-40°=70°,

???ZDAC=ZADC,

：?CD=AC,

U

：AB=AC9

:?CD=AB,

.MABD迫ADCE(ASA)f

：?BD=CE；故④正確；

9.在△45。中，AB=AC,且過△Z5C某一頂點(diǎn)的直線可將△NBC分成兩個(gè)等腰三角形，則NA4C的度數(shù)

為.

【解答】解：①如圖①，,.?48=4C,BD=CD,CD=AD,

：.ZB=ZC=NBAD=NCAD,

VZBAC+ZB+ZC=1SO°,

.\4Z5=180o,

???N5=45°,ZC=45°,ZBAC=90°.

②如圖②，9：AB=AC,AD=BD,AC=CD,

:,/B=/C=/BAD,/CAD=/CDA,

,?/CDA=/B+/BAD=2/B,

：.NBAC=3/B,

VZBAC+ZB+ZC=180°,

/.5Z5=180°,

:?/B=36°,NC=36°,ZBAC=WS°.

③如圖③，9：AB=AC,AD=BD=BC,

:?/B=/C,/A=/ABD,/BDC=/C,

/BDC=ZA+ZABD=2ZA,

：./ABC=/C=2/A,

VZA+ZABC+ZC=180°,

???5N4=180°,

???N/=36°,ZC=72°,NABC=72°.

④如圖④，\'AB=ACfAD=BD,CD=BC,

：,ZABC=ZC,ZA=ZABD,ZCDB=ZCBD,

'：ZBDC=NA+NABD=2NA,

：./ABC=/C=3/A,

VZA+ZABC+ZC=180°,

④

-=180°,

°,zc=(-^-)°,NABC=°.

777

故答案為：108°或90?；?6。或(」詈)°.

10.定義：如果一個(gè)三角形的一條邊是另一條邊長(zhǎng)度的兩倍，則稱這個(gè)三角形為倍長(zhǎng)三角形.若等腰A/BC

是倍長(zhǎng)三角形，且一邊長(zhǎng)為6,則△/3C的底邊長(zhǎng)為3或6.

【解答】解：???等腰A/BC是倍長(zhǎng)三角形，

.??腰長(zhǎng)=底邊長(zhǎng)的2倍或底邊長(zhǎng)=腰長(zhǎng)的2倍，

如果腰長(zhǎng)是6,底邊長(zhǎng)是3或12,

V6+6=12,

,此時(shí)不能構(gòu)成三角形，

，底邊長(zhǎng)是3,腰長(zhǎng)是6；

如果底邊長(zhǎng)是6,腰長(zhǎng)是12或3,

3+3=6,

此時(shí)不能構(gòu)成三角形，

.??底邊長(zhǎng)是6,腰長(zhǎng)是12,

LABC的底邊長(zhǎng)是3或6.

故答案為：3或6.

11.如圖，在△/2C中，D為邊AC上一點(diǎn),且3D平分N4BC,過/作NELAD于點(diǎn)E.若N4BC=

64°,NC=29°,AB=4,2C=10,則AE=3.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)4E交BC于點(diǎn)?

?:BD平分/4BC,

：.ZABE=NFBE.

在A4BE和△E3E中,

，ZAEB=ZFEB=90°

,BE=BE，

,ZABE=ZFBE

:.AABE冬AFBE(ASA),

：.AE=EF,AB=BF=4,

?'-ZBAF=ZBFA^-X(180°-64°)=58°-

VZC=29°,

：.ZCAF=ZAFB-ZC=29°,

：.ZCAF=ZC,

：.AF=CF.

?..2C=1O,

：.CF=BC-BF=6,

：.AF=6,

.'.AE=3.

故答案為：3.

12.如圖，/8OC=9°,點(diǎn)/在上