初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：角

4.2角

一、課標(biāo)導(dǎo)航

課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次

會(huì)認(rèn)識(shí)角并會(huì)表示；認(rèn)識(shí)度、分、秒，并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單換

★

算；會(huì)度量角的大小及進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算

會(huì)比較角的大小，能估計(jì)一個(gè)角的大小；了解角平分線的

★

角概念

會(huì)尺規(guī)作圖：做一個(gè)角等于已知角★★

會(huì)用角平分線的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，結(jié)合圖形認(rèn)識(shí)角與角

★★

之間的數(shù)量關(guān)系

二、核心綱要

1.角的定義

定義1：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角

的兩條邊.角的大小只與開(kāi)口的大小有關(guān)，而與角的邊畫出部分的長(zhǎng)短無(wú)關(guān).這是因?yàn)榻堑倪吺巧渚€而

不是線段.

定義2：角是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形，處于初始位置的那條射

線叫做角的始邊，終止位置的那條射線叫做角的終邊.

⑴如果角的終邊是由角的始邊旋轉(zhuǎn)半周而得到，這樣的角叫平角.

(2)如果角的終邊是由角的始邊旋轉(zhuǎn)一周而得到，這樣的角叫周角.

注：由角的定義可知：

(1)角的組成部分為：兩條邊和一個(gè)頂點(diǎn).

(2)頂點(diǎn)是這兩條邊的交點(diǎn).

(3)角的兩條邊是射線，是無(wú)限延伸的.

⑷射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分稱為角的內(nèi)部，平面的其余部分稱為角的外部.

⑸若沒(méi)有特殊說(shuō)明，本章指的角是(0。?180。之間.

2.角的表示方法

(1)利用三個(gè)大寫字母來(lái)表示，如圖所示：ZAOB

注：頂點(diǎn)一定要寫在中間.也可記為.NBO4但不能寫成NBA?；蛞?BO等.

(2)利用一個(gè)大寫字母來(lái)表示，如圖所示：ZA

注：用一個(gè)大寫字母來(lái)表示角的時(shí)候，這個(gè)大寫字母一定要表示角的頂點(diǎn)，而且以它為頂點(diǎn)的

角有目只有一個(gè).

⑶用數(shù)字來(lái)表示角，如圖所示：Z1

3.角的分類、度量及換算

⑴角的分類

角按大小可分為三類：

①銳角——小于直角的角（（0。<a<90°）

②直角——等于90。的角（（a=90°）

③鈍角——大于直角而小于平角的角（90°<a<180°）

⑵角的度量單位及其換算

角的度量單位是度、分、秒.把平角分成180等份，每一份就是一度的角，記做H把一度的角60

等份，每一份叫做1分的角，記做「.把一分的角60等份，每一份叫做1秒的角，記做1".

1度=60分（（1。=60，）1分=60秒（（1，=60"）

（3）角的度量

度量角的工具常用量角器

用量角器注意：對(duì)中（頂點(diǎn)對(duì)中心）、重合（角的一邊與量角器上的零刻度重合）、讀數(shù)（讀出角的另

一邊所在線的度數(shù)）

4.角平分線

定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把它分成兩個(gè)相等角的射線叫做這個(gè)角的平分線.

用尺規(guī)做已知角的平分線方法

作法：⑴以。點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交角的兩邊于A、B兩點(diǎn)；

⑵分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，以大|2AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交于C點(diǎn)乂

⑶過(guò)C點(diǎn)作射線OC.'

射線OC就是所求作的.

5.余角和補(bǔ)角

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角.簡(jiǎn)稱“互補(bǔ)”.

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角叫做互為余角，簡(jiǎn)稱“互余”.

補(bǔ)角、余角的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)（余）角相等.

6.方位角

方位角一般以正北、正南為基準(zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)方向.即“北偏東XX度”、“北偏西XX度”、“南偏東

XX度”、“南偏西xx度”，方位角a的取值范圍0°<cz<90。:北偏東45度”為東北方向，“北偏西45度”

為西北方向，“南偏東45度”為東南方向，“南偏西45度”為西南方向.

7鐘表問(wèn)題

鐘表問(wèn)題是指研究時(shí)鐘的長(zhǎng)針（分針）與短針（時(shí)針）成直線、成直角與重合等問(wèn)題.

注：分針每分鐘走嚶=6度，時(shí)針每分鐘走案=0.5度，分針每分鐘比時(shí)針多走（6-0.5）度.

OU6U

本節(jié)重點(diǎn)講解：一個(gè)方法（角的表示方法）,一個(gè)性質(zhì)（余角、補(bǔ)角的性質(zhì)），四個(gè)概念（角、角平分

線、余角和補(bǔ)角）.

三、全能突破

基礎(chǔ)演練

1.在下列說(shuō)法中，正確的是（）

①兩條射線組成的圖形叫做角；②角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)；③角的兩邊可以一樣長(zhǎng)，也可以一

長(zhǎng)一短；④角的兩邊是兩條射線.

A.①②B.②④C.②③D.③④

2.如圖4-3-1中角的表示方法正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)

Q_________ABAOB

ZABCzCCAB直線是平角N/OB是平角

圖4-3-1

A.lB.2C.3D.4

3.下列四個(gè)圖形中，能用Nl,ZAOB,NO—種方法表示同個(gè)角的是()

X-

?CD

A.BLC.D.

4.如圖4-3-2所示，圖中共有()個(gè)角D

A.6B.7

C.8D.9

A

m,o-------------------

5.若=20°18；=20。15'30〃/。==20.25。,貝山)

圖4-3-2

A.ZA>ZB>ZCB.ZB>ZA>ZC

C.ZA>ZC>ZBD.ZC>ZA>ZB

6.計(jì)算(1)0.5°=/.

(2)3060〃=,.

⑶④

(4)32.81°=,.

(5)51°24'36〃=,.

（6）16°51,+38°27,X3-90°=.

（7）34°50,+4°36,x2=.

7.（1）已知Na=50。171,求/a的余角和補(bǔ)角.

（2）已知一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角的3倍多10。,求這個(gè)角的度數(shù).

8.時(shí)鐘表面3點(diǎn)45分時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)鶌A角的度數(shù)是多少?

能力提升

9.上午九點(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針與分針成直角，那么下一次時(shí)針與分針成直角的時(shí)間是（）

A.9時(shí)30分B.10時(shí)5分C.10時(shí)5V分D.9時(shí)32白分

10.張老師出門散步，出門時(shí)5點(diǎn)多一點(diǎn)，他看到手表上分針與時(shí)針的夾角恰好為110。.回來(lái)時(shí)接近6

點(diǎn)，他又看了一下手表，發(fā)現(xiàn)此時(shí)分針與時(shí)針再次成110。角.則張老師此次散步的時(shí)間是（）

A.40分鐘B.30分鐘C.50分鐘D.以上答案都不對(duì)

E

11.如圖4-3-3所示,0為直線AB上一點(diǎn),OC平分NAOE,NDOE=90。,則以下結(jié)D\/

論正確的是（）

①NAOD與NBOE互為余角；circ加2N4OD=^NCOE;AOB

2圖4-3-3

③NBOE=2NCOD;④若.2BOE=57。50',貝！］乙COE=61°5;

A.①④B.①③④C.③④D.①②③④

12.如圖434所示，要將角鋼（圖434（a））彎成145。（圖434（b））的鋼架，在角鋼上截去的缺口（圖4-3-4

（a沖的虛線）應(yīng)為度

(b)

圖4-3-4

13.如圖435所示，A、B、C、D是北京奧運(yùn)會(huì)場(chǎng)館分布圖，請(qǐng)結(jié)合圖形回答問(wèn)題.

為了方便指明每個(gè)場(chǎng)館的位置，以天安門為中心（即點(diǎn)O的位置）建立了位置指示圖，直線CO與

DE相交于點(diǎn)O,乙COD=90。,請(qǐng)按要求完成下列問(wèn)題：

①若在圖上測(cè)得。4=20mm,OB=54mm,Z.BOC=AAOE=36。.，則可知場(chǎng)館B的位置是北偏

西36。,,距中心54mm，可簡(jiǎn)記為（54mm,北偏西36。）“據(jù)此方法，場(chǎng)館A的位置可簡(jiǎn)記為（_________

②可求得ABOA=

③在現(xiàn)有的圖形中（不增加新的字母），NAOD與—是互補(bǔ)的角.

14.如圖4-3-6所示,在銳角.乙40B內(nèi)部，畫1條射線，可得3個(gè)銳角；畫2條不同射線，可得6個(gè)銳

角；畫3條不同射線，可得10個(gè)銳角；……，照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角多少個(gè)？

畫n條射線，可得銳角多少個(gè)？

15畫AMAN=60。,,在邊AM上取AC=3cm,以點(diǎn)C為頂點(diǎn),CA為一邊，在AN同側(cè)作乙ACP=90。,在邊

AN上截取AB=2cm,,以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，BA為一邊，在AM同側(cè)作^ABQ=90°,BQ與CP交于

點(diǎn)D,請(qǐng)測(cè)量CD、BD的長(zhǎng)及乙84。的度數(shù).

16.已知a的余角是P的補(bǔ)角的并且6=|a,試求a+0的度數(shù).

17.如圖4-3-7所示，若4AOB=乙COD=工44。0,已知乙COB=80。,求42。艮N力。。的度數(shù).

6

圖4-3-7

18.按如圖438所示方法折紙，然后回答問(wèn)題：

⑴N2是多少度？為什么？

⑵N1與/3有何關(guān)系？

⑶N1與/AEC/3與/BEF分別有何關(guān)系?

19.已知如圖439所示,OB、OC分別為定角.乙4。。內(nèi)的兩條動(dòng)射線

(1)當(dāng)OB、OC運(yùn)動(dòng)到如圖的位置時(shí)，Z.AOC+乙BOD=110。,乙4OB+乙COD=50°,求乙4OD的

度數(shù).

圖

(2)在(1)的條件下，射線OM、ON分另為N40B、NCOD的平分線，當(dāng)NCOB兼4-3-9

著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列結(jié)論：(①乙4OM-WON的值不變；(②NM0N的度數(shù)

不變.可以證明，①②只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你做出正確的選擇并求值.

20.現(xiàn)有一個(gè)17。的“模板”（如圖4-3-10所示），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種辦法，只用這個(gè)“模板”和鉛筆在紙上畫出

1。的角來(lái).

圖4-3-10

21.如圖4-3-11所示，已知O是直線AB上一點(diǎn),Nl=4（r,OD平分

NBOC,則N2的度數(shù)是（）

A.20°B.25°

C.30°D.70°

22.從3時(shí)到6時(shí)，鐘表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（）

A.30B.600

C.90°D.120°

巔峰突破

23.圖4-3-12所示是一個(gè)3x3的正方開(kāi)為貝UN1+N2+N3+…+N9=

圖4-3-12

24口、dy中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算卷（a+￡+y）的值時(shí)，有三位同學(xué)

分別算出了23。、24。、25。這三個(gè)不同的結(jié)果，其中只有一個(gè)是正確的答案，則a+0+尸—.

25.已知NAOB是鈍角.OC、OD、OE是三條射線，如果OC±OA,OD平分NAOBQE平分NBOC,那么

NDOE的度數(shù)是—.

基礎(chǔ)演練

1.B.

【提示】①有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故錯(cuò)誤；

②角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，故正確；

③角的兩邊是兩條射線，射線不能度量，所以不能說(shuō)長(zhǎng)或短，故錯(cuò)誤；

④角的兩邊是兩條射線，故正確.

②④正確.

2.B;3.B;4.A;5.A

6.(l)30,1800;(2)0.85,51;(3)l,60;(4)32,48,36;(5)51.41;(6)42°12,;(7)44°2,

7.⑴Na的余角=90°-50°17,=39°43',Na的補(bǔ)角=180°-50°17,=129°43；

⑵設(shè)這個(gè)角為x°,則它的補(bǔ)角為180。-x。,它的余角為90。十。根據(jù)題意得180-x=3(90-x)+10,解

得x=50.這個(gè)角的度數(shù)為50°.

8.整3點(diǎn)時(shí)，時(shí)針指向3,分針指向12,這時(shí)候時(shí)針與分針之間的夾角為90。.在3點(diǎn)45分時(shí)，

分針指向數(shù)字9,此時(shí)分針共旋轉(zhuǎn)了卷x360。=270。，而時(shí)針的速度只有分針上2，故時(shí)針旋轉(zhuǎn)了

270°~=22.5。.故時(shí)針與分針的夾角是：22700-90°22.5°=157.5°.

能力提升

9.D

【提示】設(shè)再次轉(zhuǎn)成直角的時(shí)間間隔為x，則

(6-x=180

???%=32—.

11

所以下一次時(shí)針與分針成直角的時(shí)間為9時(shí)32總分.

10.A

【提示】設(shè)張老師這次散步時(shí)間為x分鐘，貝［|(6-0.5)x=220.???x=40.

11.B

12.35

13.①20mm，北偏東54。;②90。;③NAOE,NBOC.

1

14.66;-(n+1)(n+2)

【提示】先探索其一般規(guī)律：

畫1條射線，可得3個(gè)銳角，其中：3=1+2.

畫2條不同射線，可得6個(gè)銳角,其中：6=1+2+3.

畫3條不同射線，可得10個(gè)銳角，其中：10=1+2+3+4.

在銳角NAOB內(nèi)部，畫n條不同射線，可得銳角個(gè)數(shù)為：

=1+2+34------Fn+(n+l)=j(n+l)(n+2)

因此，在銳角NAOB內(nèi)部，畫10條不同射線，可得銳角個(gè)數(shù)為：|x(10+1)(10+2)=66

(個(gè)).

15.圖略

經(jīng)測(cè)量CD=0.58cm,BD=2.3cm,ZBAD=49°,答案是標(biāo)準(zhǔn)答案，測(cè)量后會(huì)有一定誤差.

16根據(jù)題意可得：90°-a=ix(180°—0),a—J=3O。，且0=|a,a=6O#=90

°,a+°=150。.

17.：^AOB^^OD=^AOD,

.,.設(shè)/AOB=x。,則

ZCOD=x°,ZAOD=6x°,

又「ZAOD=ZAOB+ZBOC+ZCOD,

???ZBOC=ZAOD-ZAOB-ZCOD=6x°-x°-%°=4x0.

又???/BOC=80。.

4x=80.x=20.

6x=120.

???ZAOB=20°,ZAOD=120°.

18.(l)Z2=90°.

由折紙可知

Z1=ZAEG,Z3=ZFEG.

.\Z1+Z3=ZAEG+ZFEG.

VZ1+Z3+ZAEG+ZFEG=180°,

AZl+Z3=ZAEG+ZFEG=180°^2=90°.

即/2=90°.

⑵由⑴可知,N1與/3互為余角，或/1+N3=90°;

(3)Z1與NAEC互補(bǔ),/3與/BEF互補(bǔ).

或/l+NAEC=180°,N3+NBEF=180°.

19.(1)VZAOC+ZBOD=ZAOB+ZCOD+2ZBOC,ZAOC+ZBOD=HO°,ZAOB+ZCOD=50°,

???2Z.BOC+50°=110°,

ZBOC=30°.AZAOD=