2023-2024學年9上數學期末考點（北師大版）期末壓軸專題分類01（必刷60題15種題型專項訓練）解析版

期末壓軸專題分類01（必刷60題15種題型專項訓練）一．解一元二次方程-因式分解法（共1小題）1．對于實數a，b，定義運算“*”：a*b＝．例如4*2，因為4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個根，則x1*x2＝3或﹣3．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個根，∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，解得：x＝3或2，①當x1＝3，x2＝2時，x1*x2＝32﹣3×2＝3；②當x1＝2，x2＝3時，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3．故答案為：3或﹣3．二．根與系數的關系（共1小題）2．設α，β是方程x2+9x+1＝0的兩根，則（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（）A．0 B．1 C．2000 D．4000000【答案】D【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+1＝0的兩個實數根，∴α+β＝﹣9，α?β＝1．（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）＝（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）又∵α，β是方程x2+9x+1＝0的兩個實數根，∴α2+9α+1＝0，β2+9β+1＝0．∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）＝2000α?2000β＝2000×2000αβ，而α?β＝1，∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）＝4000000．故選：D．三．一元二次方程的應用（共3小題）3．如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB＝16cm，AD＝6cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止，點Q以2cm/s的速度向D移動．（1）P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2；（2）P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P和點Q的距離是10cm．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設P、Q兩點從出發(fā)開始到x秒時四邊形PBCQ的面積為33cm2，則PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，根據梯形的面積公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，解之得x＝5，（2）設P，Q兩點從出發(fā)經過t秒時，點P，Q間的距離是10cm，作QE⊥AB，垂足為E，則QE＝AD＝6，PQ＝10，∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，解得t1＝4.8，t2＝1.6．答：（1）P、Q兩點從出發(fā)開始到5秒時四邊形PBCQ的面積為33cm2；（2）從出發(fā)到1.6秒或4.8秒時，點P和點Q的距離是10cm．4．閱讀下列材料：求函數的最大值．解：將原函數轉化成x的一元二次方程，得．∵x為實數，∴△＝＝﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值為4．根據材料給你的啟示，求函數的最小值．【答案】見試題解答內容【解答】解：將原函數轉化成x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2＝0，∵x為實數，∴△＝（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）＝16y﹣23≥0，∴y≥，因此y的最小值為．5．某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發(fā)現，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元？【答案】見試題解答內容【解答】解：設每張賀年卡應降價x元，現在的利潤是（0.3﹣x）元，則商城多售出100x÷0.1＝1000x張．（0.3﹣x）（500+1000x）＝120，解得x1＝﹣0.3（降價不能為負數，不合題意，舍去），x2＝0.1．答：每張賀年卡應降價0.1元．四．反比例函數系數k的幾何意義（共1小題）6．如圖，兩個反比例函數y＝和y＝在第一象限的圖象如圖所示，當P在y＝的圖象上，PC⊥x軸于點C，交y＝的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交y＝的圖象于點B，則四邊形PAOB的面積為1．【答案】見試題解答內容【解答】解：由于P點在y＝上，則S□PCOD＝2，A、B兩點在y＝上，則S△DBO＝S△ACO＝×1＝．∴S四邊形PAOB＝S□PCOD﹣S△DBO﹣S△ACO＝2﹣﹣＝1．∴四邊形PAOB的面積為1．故答案為：1．五．反比例函數圖象上點的坐標特征（共3小題）7．如圖，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函數y＝在第一象限內的圖象與△ABC有交點，則k的取值范圍是（）A．2≤k≤ B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤【答案】A【解答】解：反比例函數和三角形有交點的第一個臨界點是交點為A，∵過點A（1，2）的反比例函數解析式為y＝，∴k≥2．隨著k值的增大，反比例函數的圖象必須和線段BC有交點才能滿足題意，經過B（2，5），C（6，1）的直線解析式為y＝﹣x+7，，得x2﹣7x+k＝0根據△≥0，得k≤綜上可知2≤k≤．故選：A．8．如圖，點A1，A2依次在y＝（x＞0）的圖象上，點B1，B2依次在x軸的正半軸上．若△A1OB1，△A2B1B2均為等邊三角形，則點B2的坐標為（6，0）．【答案】見試題解答內容【解答】解：作A1C⊥OB1，垂足為C，∵△A1OB1為等邊三角形，∴∠A1OB1＝60°，∴tan60°＝＝，∴A1C＝OC，設A1的坐標為（m，m），∵點A1在y＝（x＞0）的圖象上，∴m＝9，解得m＝3，∴OC＝3，∴OB1＝6，作A2D⊥B1B2，垂足為D．設B1D＝a，則OD＝6+a，A2D＝a，∴A2（6+a，a）．∵A2（6+a，a）在反比例函數的圖象上，∴代入y＝，得（6+a）?a＝9，化簡得a2+6a﹣9＝0解得：a＝﹣3±3．∵a＞0，∴a＝﹣3+3．∴B1B2＝﹣6+6，∴OB2＝OB1+B1B2＝6，所以點B2的坐標為（6，0）．故答案為：（6，0）．9．如圖，若雙曲線y＝（k＞0）與邊長為3的等邊△AOB（O為坐標原點）的邊OA、AB分別交于C、D兩點，且OC＝2BD，則k的值為．【答案】見試題解答內容【解答】解：過點C作CE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，設OC＝2x，則BD＝x，在Rt△OCE中，∠COE＝60°，則OE＝x，CE＝x，則點C坐標為（x，x），在Rt△BDF中，BD＝x，∠DBF＝60°，則BF＝x，DF＝x，則點D的坐標為（3﹣x，x），將點C的坐標代入反比例函數解析式可得：k＝x2，將點D的坐標代入反比例函數解析式可得：k＝x﹣x2，則x2＝x﹣x2，解得：x1＝，x2＝0（舍去），故k＝x2＝．故答案為：．六．反比例函數與一次函數的交點問題（共3小題）10．如圖，動點P在函數的圖象上運動，PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，線段PM、PN分別與直線AB：y＝﹣x+1交于點E、F，則AF?BE的值是（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【解答】解：作FG⊥x軸，∵P的坐標為（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐標為（0，），M點的坐標為（a，0），∴BN＝1﹣，在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°，∴三角形OAB是等腰直角三角形，∴OB＝OA＝1，∴NF＝BN＝1﹣，∴F點的坐標為（1﹣，），同理可得出E點的坐標為（a，1﹣a），∴AF2＝（1﹣1+）2+（）2＝，BE2＝（a）2+（﹣a）2＝2a2，∴AF2?BE2＝?2a2＝1，即AF?BE＝1．故選：C．11．如圖，反比例函數y＝﹣的圖象與直線y＝x+b（b＞0）交于A，B兩點（點A在點B右側），過點A作x軸的垂線，垂足為點C，連接AO，BO，圖中陰影部分的面積為12，則b的值為3．【答案】見試題解答內容【解答】解：過B作BD⊥OE于D，過A作AH⊥y軸于H，設AC交OB于G，如圖：設M為AB的中點，A（x1，y1），B（x2，y2），由得x2+2bx+24＝0，∴x1+x2＝﹣2b，y1+y2＝（x1+b）+（x2+b）＝（x1+x2）+2b＝b，∴M（﹣b，），而直線y＝x+b（b＞0）交于坐標軸于E、F，∴E（﹣2b，0），F（0，b），∴EF的中點為（﹣b，），即EF的中點也為M，∴EM＝FM，BM＝AM，∴EB＝FA，又∠FAH＝∠BED，∠AHF＝∠EDB，∴△EDB≌△AHF（AAS），∴AH＝ED＝OC，∵（S△AGO+S△GCO）+（S△GCO+S四邊形GCDB）＝|k|+|k|＝12，且圖中陰影部分的面積為12，∴S△BDE＝2S△GCO∴ED?BD＝2×OC?GC，∴BD＝2GC，∴OD＝2OC，即x2＝2x1設x1＝m，則x2＝2m，∴A（m，﹣），B（2m，﹣），將A（m，﹣），B（2m，﹣）代入y＝x+b得：，解得m＝2（舍去）或m＝﹣2，∴b＝﹣﹣×（﹣2）＝3．故答案為：3．12．如圖，A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函數y1＝ax+b與反比例函數y2＝圖象的兩個交點，AC⊥x軸于點C，BD⊥y軸于點D．（1）根據圖象直接回答：在第二象限內，當x取何值時，y1﹣y2＞0？（2）求一次函數解析式及m的值；（3）P是線段AB上一點，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點P的坐標．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）當y1﹣y2＞0，即：y1＞y2，∴一次函數y1＝ax+b的圖象在反比例函數y2＝圖象的上面，∵A（﹣4，），B（﹣1，2）∴當﹣4＜x＜﹣1時，y1﹣y2＞0；（2）∵y2＝圖象過B（﹣1，2），∴m＝﹣1×2＝﹣2，∵y1＝ax+b過A（﹣4，），B（﹣1，2），∴，解得，∴一次函數解析式為；y＝x+，（3）設P（m，m+），過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，∴PM＝m+，PN＝﹣m，∵△PCA和△PDB面積相等，∴BD?DN，即；，解得m＝﹣，∴P（﹣，）．七．反比例函數綜合題（共8小題）13．如圖，點A是反比例函數在第二象限內圖象上一點，點B是反比例函數在第一象限內圖象上一點，直線AB與y軸交于點C，且AC＝BC，連接OA、OB，則△AOB的面積是（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【解答】解：分別過A、B兩點作AD⊥x軸，BE⊥x軸，垂足為D、E，∵AC＝CB，∴OD＝OE，設A（﹣a，），則B（a，），故S△AOB＝S梯形ADEB﹣S△AOD﹣S△BOE＝（+）×2a﹣a×﹣a×＝3．解法二：過A，B兩點作y軸的垂線，由AC＝BC求兩個三角形全等，再求面積，故選：C．14．如圖，梯形AOBC中，對角線交于點E，雙曲線（k＞0）經過A、E兩點，若AC：OB＝1：3，梯形AOBC面積為24，則k＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：過點E作EF⊥OB于點F，過點A作AM⊥OB于點M，∵四邊形AOBC是梯形，AC∥OB，AC：OB＝1：3，∴CE：EO＝1：3，AE：EB＝1：3，設△ACE的面積為S，則可得出△BOE的面積為9S，△AOE的面積為3S，△CEB的面積為3S，又∵梯形AOBC面積為24，∴S+9S+3S+3S＝24，解得：S＝，設△OAM的面積為a，則△OEF的面積也為a，故可得△AMB的面積＝18﹣a，△EFB的面積＝﹣a，從而可得＝（）2，即＝，解得：a＝，即S△AOM＝S△OEF＝，故可得k＝2×＝．故選：A．15．如圖，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC相交于點D、E．若四邊形ODBE的面積為6，則k的值為2．【答案】見試題解答內容【解答】解：設M點坐標為（a，b），則k＝ab，即y＝，∵點M為矩形OABC對角線的交點，∴A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），∴D點的橫坐標為2a，E點的縱坐標為2b，又∵點D、點E在反比例函數y＝的圖象上，∴D點的縱坐標為b，E點的橫坐標為a，∵S矩形OABC＝S△OAD+S△OCE+S四邊形ODBE，∴2a?2b＝?2a?b+?2b?a+6，∴ab＝2，∴k＝2．故答案為2．16．如圖，已知反比例函數的圖象與直線y＝k2x+b將于交于A（﹣1，6）、B（﹣6，m）兩點，直線AB交x軸于點M，點C是x軸正半軸上的一點，（1）求反比例函數及直線AB的解析式；（2）若S△ABC＝25，求點C的坐標；（3）若點C的坐標為（1，0），點D為x軸上的一點，點E為直線AC上的一點，是否存在點D和點E，使得以點D、E、A、B為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出E點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣，y＝x+7；（2）C（3，0）；（3）存在．點E的坐標為或或．【解答】解：（1）將A（﹣1，6）代入y＝，得6＝，解得：k1＝﹣6，∴反比例函數的解析式為：y＝﹣；將B（﹣6，m）代入y＝﹣，得m＝1，∴B（﹣6，1），∵直線y＝k2x+b經過A（﹣1，6）、B（﹣6，1）兩點，∴，解得：，∴直線AB的解析式為：y＝x+7；（2）在y＝x+7中，令y＝0，得x＝﹣7，∴M（﹣7，0），∵點C是x軸正半軸上的一點，∴設C（x，0）（x＞0），∴MC＝x﹣（﹣7）＝x+7，∵S△ABC＝S△AMC﹣S△BMC＝25，∴MC?（6﹣1）＝25，即（x+7）＝25，解得：x＝3；∴點C的坐標為（3，0）；（3）若點C的坐標為（1，0），點D為x軸上的一點，點E為直線AC上的一點，是否存在點D和點E，使得以點D、E、A、B為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出E點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）存在．點E的坐標為或或．設直線AC的解析式為y＝ax+c，則，解得：，∴直線AC的解析式為：y＝﹣3x+3；設D（t，0）、E（n，﹣3n+3），又A（﹣1，6）、B（﹣6，1），當AB、DE為平行四邊形的對角線時，AB、DE的中點重合，∴，解得：，∴；當AD、BE為平行四邊形的對角線時，AD、BE的中點重合，∴解得∴；當AE、BD為平行四邊形的對角線時，AE、BD的中點重合，∴解得∴．綜上所述，點E的坐標為或或．17．已知：一次函數y＝﹣2x+10的圖象與反比例函數y＝（k＞0）的圖象相交于A，B兩點（A在B的右側）．（1）當A（4，2）時，求反比例函數的解析式及B點的坐標；（2）在（1）的條件下，反比例函數圖象的另一支上是否存在一點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）當A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）時，直線OA與此反比例函數圖象的另一支交于另一點C，連接BC交y軸于點D．若＝，求△ABC的面積．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）把A（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8．∴反比例函數的解析式為y＝．解方程組，得或，∴點B的坐標為（1，8）；（2）①若∠BAP＝90°，過點A作AH⊥OE于H，設AP與x軸的交點為M，如圖1，對于y＝﹣2x+10，當y＝0時，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴點E（5，0），OE＝5．∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，∴HE＝5﹣4＝1．∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．又∵∠BAP＝90°，∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，∴∠MAH＝∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴＝，∴＝，∴MH＝4，∴M（0，0），可設直線AP的解析式為y＝mx則有4m＝2，解得m＝，∴直線AP的解析式為y＝x，解方程組，得或，∴點P的坐標為（﹣4，﹣2）．②若∠ABP＝90°，同理可得：點P的坐標為（﹣16，﹣）．綜上所述：符合條件的點P的坐標為（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）；（3）過點B作BS⊥y軸于S，過點C作CT⊥y軸于T，連接OB，如圖2，則有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴＝．∵＝，∴＝＝．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b，∴＝，即b＝a．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函數y＝的圖象上，∴a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）＝a（﹣2×a+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10＝（﹣2×a+10），解得：a＝3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．設直線BC的解析式為y＝px+q，則有，解得：，∴直線BC的解析式為y＝2x+2．當x＝0時，y＝2，則點D（0，2），OD＝2，∴S△COB＝S△ODC+S△ODB＝OD?CT+OD?BS＝×2×3+×2×2＝5．∵OA＝OC，∴S△AOB＝S△COB，∴S△ABC＝2S△COB＝10．18．如圖，直線y＝與雙曲線y＝（k≠0）交于A，B兩點，點A的坐標為（m，﹣3），點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接寫出點B的坐標；（2）點G是y軸上的動點，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是坐標軸上的點，Q是平面內一點，是否存在點P，Q，使得四邊形ABPQ是矩形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）將點A的坐標為（m，﹣3）代入直線y＝x中，得﹣3＝m，解得：m＝﹣2，∴A（﹣2，﹣3），∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，∴反比例函數解析式為y＝，由，得或，∴點B的坐標為（2，3）；（2）如圖1，作BE⊥x軸于點E，CF⊥x軸于點F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴＝，∵BC＝2CD，BE＝3，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（6，1），作點B關于y軸的對稱點B′，連接B′C交y軸于點G，則B′C即為BG+GC的最小值，∵B′（﹣2，3），C（6，1），∴B′C＝＝2，∴BG+GC＝B′C＝2；（3）存在．理由如下：①當點P在x軸上時，如圖2，設點P1的坐標為（a，0），過點B作BE⊥x軸于點E，∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，∴△OBE∽△OP1B，∴＝，∵B（2，3），∴OB＝＝，∴＝，∴a＝，∴點P1的坐標為（，0）；②當點P在y軸上時，過點B作BN⊥y軸于點N，如圖2，設點P2的坐標為（0，b），∵∠ONB＝∠P2BO＝90°，∠BON＝∠P2OB，∴△BON∽△P2OB，∴＝，即＝，∴b＝，∴點P2的坐標為（0，）；綜上所述，點P的坐標為（，0）或（0，）．19．如圖1，平面直角坐標系xOy中，A（4，3），反比例函數y＝（k＞0）的圖象分別交矩形ABOC的兩邊AC，AB于E、F兩點（E、F不與A重合），沿著EF將矩形ABOC折疊使A、D兩點重合．（1）AE＝4﹣（用含有k的代數式表示）；（2）如圖2，當點D恰好落在矩形ABOC的對角線BC上時，求CE的長度；（3）若折疊后，△ABD是等腰三角形，求此時點D的坐標．【答案】（1）AE＝4﹣；（2）CE＝2；（3）所求D點坐標為（，）或（，）．【解答】解：（1）∵四邊形ABOC是矩形，且A（4，3），∴AC＝4，OC＝3，∵點E在反比例函數y＝上，∴E（，3），∴CE＝，∴AE＝4﹣；故答案為：4﹣；（2）如圖2，∵A（4，3），∴AC＝4，AB＝3，∴，∴點F在y＝上，∴F（4，），∴＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF＝∠ACB，∴EF∥BC，∴∠FED＝∠CDE，連接AD交EF于M點，∴△AEF≌△DEF，∴∠AEM＝∠DEM，AE＝DE，∴∠FED＝∠CDE＝∠AEF＝∠ACB，∴CE＝DE＝AE＝AC＝2；（3）過D點作DN⊥AB，①當BD＝AD時，如圖3，有∠AND＝90°，AN＝BN＝AB＝，∴∠DAN+∠ADN＝90°，∵∠DAN+∠AFM＝90°，∴∠ADN＝∠AFM，∴tan∠ADN＝tan∠AFM＝，∴，∵AN＝，∴DN＝，∴D（4﹣，），即D（，）；②當AB＝AD＝3時，如圖4，在Rt△ADN中，tan∠ADN＝tan∠AFM＝，∴，∴AN＝AD＝＝，∴BN＝3﹣AN＝3﹣＝，∵DN＝AN＝＝，∴D（4﹣，），即D（，）；③當AB＝BD時，△AEF≌△DEF，∴DF＝AF，∴DF+BF＝AF+BF，即DF+BF＝AB，∴DF+BF＝BD，此時D、F、B三點共線且F點與B點重合，不符合題意舍去，∴AB≠BD，綜上所述，所求D點坐標為（，）或（，）．20．在如圖平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為（4，2），OA、OC分別落在x軸和y軸上，OB是矩形的對角線．將△OAB繞點O逆時針旋轉，使點B落在y軸上，得到△ODE，OD與CB相交于點F，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點F，交AB于點G．（1）求k的值和點G的坐標；（2）連接FG，則圖中是否存在與△BFG相似的三角形？若存在，請把它們一一找出來，并選其中一種進行證明；若不存在，請說明理由；（3）在線段OA上存在這樣的點P，使得△PFG是等腰三角形．請直接寫出點P的坐標．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點B的坐標為（4，2），∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，OC＝AB＝2，OA＝BC＝4，∵△ODE是△OAB旋轉得到的，即：△ODE≌△OAB，∴∠COF＝∠AOB，∴△COF∽△AOB，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴點F的坐標為（1，2），∵y＝（x＞0）的圖象經過點F，∴2＝，得k＝2，∵點G在AB上，∴點G的橫坐標為4，對于y＝，當x＝4，得y＝，∴點G的坐標為（4，）；（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．下面對△OAB∽△BFG進行證明：∵點G的坐標為（4，），∴AG＝，∵BC＝OA＝4，CF＝1，AB＝2，∴BF＝BC﹣CF＝3，BG＝AB﹣AG＝．∴，＝．∴，∵∠OAB＝∠FBG＝90°，∴△OAB∽△FBG．（3）設點P（m，0），而點F（1，2）、點G（4，），則FG2＝9+＝，PF2＝（m﹣1）2+4，PG2＝（m﹣4）2+，當GF＝PF時，即＝（m﹣1）2+4，解得：m＝（舍去負值）；當PF＝PG時，同理可得：m＝；當GF＝PG時，同理可得：m＝4﹣；綜上，點P的坐標為（4﹣，0）或（，0）或（，0）．八．菱形的性質（共3小題）21．如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A、B、E在同一直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，則＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，延長GP交DC于點H，∵P是線段DF的中點，∴FP＝DP，由題意可知DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC，（三線合一）又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠GCP＝60°，∴＝；故選：B．22．如圖，已知邊長為4的菱形ABCD中，AC＝BC，E，F分別為AB，AD邊上的動點，滿足BE＝AF，連接EF交AC于點G，CE、CF分別交BD與點M，N，給出下列結論：①∠AFC＝∠AGE；②△ECF面積的最小值為3；③若AF＝2，則BM＝MN＝DN；④若AF＝1，則EF＝3FG；其中所有正確結論的序號是①②③．【答案】①②③【解答】解：①∵四邊形ABCD為菱形．∴AB＝BC＝CD＝AD．∵AC＝BC．∴AC＝BC＝AC．∴△ABC為等邊三角形．∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°．∠CAD＝∠ACD＝∠ADC＝60°．∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝30°．∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBA，AF＝BE．∴△ACF≌△BCE（SAS）∴FC＝EC，∠FCA＝∠ECB．∴∠FCE+∠ACE＝∠ECB+∠ACE．∴∠FCE＝∠ACB＝60°．∴△ECF為等邊三角形．∴∠CEF＝60°．∴∠BEC+∠AEG＝120°．∴∠AGE＝∠BEC．∵△ACF≌△BCE．∴∠AFC＝∠BEC．∴∠AFC＝∠AGE．故①正確．②由①知，△ECF是等邊三角形．∴當CE最小時，△ECF的面積最?。擟E⊥AB時，CE＝4×＝2．∴△CEF面積的最小值為3，故②正確．③∵AB＝AD＝4，當AF＝BE＝2時，CF⊥AD，CE⊥AB，DF＝2．∵∠ABD＝∠ADB＝30°，DF＝BE＝2．∴DN＝BM＝．∵AB＝AD＝4，∠BAD＝120°．∴BD＝4．∴MN＝BD﹣DN﹣BM＝．∴BM＝MN＝DN＝．故③正確．④∵∠BAC＝∠EFC＝60°．∠EGA＝∠CGF．∴△AEG∽△FCG．∴＝．同理：△ACF～FCG．∴．∴．∵AF＝1．∴BE＝1．∴AE＝3．∴＝．∴＝．∴GE＝3GF．EF＝GE+GF＝4GF．故④錯誤．故答案為①②③．23．二次函數y＝x2的圖象如圖，點O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點B、C在二次函數y＝x2的圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA＝120°，則菱形OBAC的面積為2．【答案】見試題解答內容【解答】解：連接BC交OA于D，如圖，∵四邊形OBAC為菱形，∴BC⊥OA，∵∠OBA＝120°，∴∠OBD＝60°，∴OD＝BD，設BD＝t，則OD＝t，∴B（t，t），把B（t，t）代入y＝x2得t2＝t，解得t1＝0（舍去），t2＝1，∴BD＝1，OD＝，∴BC＝2BD＝2，OA＝2OD＝2，∴菱形OBAC的面積＝×2×2＝2．故答案為2．九．矩形的性質（共3小題）24．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF等于（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：連接OP，過D作DM⊥AC于M，∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，AC＝BD，∠ADC＝90°∴OA＝OD，由勾股定理得：AC＝＝5，∵S△ADC＝×3×4＝×5×DM，∴DM＝，∵S△AOD＝S△APO+S△DPO，∴（AO×DM）＝（AO×PE）+（DO×PF），即PE+PF＝DM＝，故選：B．25．如圖，一張矩形紙片沿AB對折，以AB中點O為頂點將平角五等分，并沿五等分的折線折疊，再沿CD剪開，使展開后為正五角星（正五邊形對角線所構成的圖形），則∠OCD等于（）A．108° B．114° C．126° D．129°【答案】C【解答】解：展開如圖：五角星的每個角的度數是：＝36°，∵∠COD＝360°÷10＝36°，∠ODC＝36°÷2＝18°，∴∠OCD＝180°﹣36°﹣18°＝126°．故選：C．26．已知：如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A，C的坐標分別為A（7，0），C（0，4），點D的坐標為（5，0），點P在BC邊上運動．當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為（2，4）或（3，4）．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵A（7，0），C（0，4），∴AB＝OC＝4OA＝7，∵D的坐標為（5，0），∴OD＝5，∴AD＝2，∵四邊形OABC是矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝＜5＝OD，有三種情況：OD＝PD或OD＝OP或者OP＝PD，當OD＝PD時，p（2，4），當OD＝OP時：OP＝＝5，CP＝＝＝3，∴P點坐標是（3，4），當OP＝PD時：P應在OD的垂直平分線上，∴CP＝＝，∴P點坐標是（，4），（不合題意舍去）；當DP＝OD時，P（8，4），（不合題意舍去）．故答案為：（2，4）或（3，4）．一十．矩形的判定（共1小題）27．如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACD的外角平分線于點F．（1）求證：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的長；（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】（1）證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACD的外角平分線于點F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5；（3）解：當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．證明：當O為AC的中點時，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECF＝90°，∴平行四邊形AECF是矩形．一十一．矩形的判定與性質（共1小題）28．如圖，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P為AB上一動點，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF長度的最小值是．【答案】見試題解答內容【解答】解：連接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四邊形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴當PC最小時，EF也最小，即當CP⊥AB時，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC?BC＝AB?PC，∴PC＝．∴線段EF長的最小值為；故答案為：．一十二．正方形的性質（共11小題）29．如圖，正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列結論：①EB⊥ED；②點B到直線DE的距離為；③S△APD+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正確結論的序號是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】A【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，∵AE＝AP＝1，∴△ABE≌△ADP（SAS），∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，∵△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝135°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，∴①正確；∴BE＝＝＝1＝AE，∴②不正確；∵△ABE≌△ADP，∴S△ABE＝S△ADP，∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，∴EP＝，∠AEP＝45°，∵∠AEB＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+××1＝，∴③正確；如圖，過點B作BO⊥AE，交AE的延長線于點O，則∠O＝90°，∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，∴△BOE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝BE＝，∴AO＝AE+OE＝1+，在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，∴S正方形ABCD＝AB2＝2+；∴④正確；故選：A．30．將五個邊長都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點A、B、C、D分別是四個正方形的中心（對角線的交點），則圖中四塊陰影面積的和為（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【答案】B【解答】解：如圖，連接AP，AN，點A是正方形的對角線的交點．則AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，∵∠PAF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°，∴∠PAF＝∠NAE，∴△PAF≌△NAE，∴四邊形AENF的面積等于△NAP的面積，而△NAP的面積是正方形的面積的，而正方形的面積為4，∴四邊形AENF的面積為1cm2，四塊陰影面積的和為4cm2．故選：B．31．在平面直角坐標系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如圖所示的方式放置，其中點B1在y軸上，點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x軸上，已知正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…則正方形A2015B2015C2015D2015的邊長是（）A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014【答案】D【解答】方法一：解：如圖所示：∵正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，則B2C2＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形AnBn?nDn的邊長是：（）n﹣1．則正方形A2015B2015C2015D2015的邊長是：（）2014．故選：D．方法二：∵正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O＝60°，∴D1E1＝B2E2＝，∵B1C1∥B2C2∥B3C3…∴∠E2B2C2＝60°，∴B2C2＝，同理：B3C3＝×＝…∴a1＝1，q＝，∴正方形A2015B2015C2015D2015的邊長＝1×．故選：D．32．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解答】解：如圖，設正方形S2的邊長為x，根據等腰直角三角形的性質知，AC＝x，x＝CD，∴AC＝2CD，CD＝＝2，∴EC2＝22+22，＝8，∴S2的面積為EC2＝8；∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3＝9，∴S1+S2＝8+9＝17．故選：B．33．如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正確結論的序號是①③⑤．【答案】見試題解答內容【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此選項成立；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED；故此選項成立；②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE＝＝＝，∴BF＝EF＝，故此選項不正確；④如圖，連接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EP＝，又∵PB＝，∴BE＝，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝，∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+．故此選項不正確．⑤∵EF＝BF＝，AE＝1，∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝4+，∴S正方形ABCD＝AB2＝4+，故此選項正確．故答案為：①③⑤．34．在正方形ABCD中，點G在AB上，點H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分別與對角線AC交于點E、F，則線段AE、EF、FC之間的數量關系為EF2＝AE2+CF2．【答案】見試題解答內容【解答】解：如圖，將△DCH繞點D順時針旋轉90°，得△DAM，則△DAM≌△DCH則DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM在DM上截取DN＝DF，連接NE，AN在△DAN和△DCF中；∴△DAN≌△DCF（SAS）∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°又∵∠DAC＝45°∴∠NAE＝90°∴AN2+AE2＝NE2∵∠GDH＝45°，∴∠NDE＝45°在△DNE和△DFE中∴△DNE≌△DFE∴NE＝EF又∵AN＝CF∴CF2+AE2＝EF2故答案為：EF2＝AE2+CF2．35．如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，E、F分別是BC、CD邊上點，若CE＝CB，CF＝CD，則圖中陰影部分的面積是．【答案】見試題解答內容【解答】解：延長GE到M，使GE＝EM，連接CG、CM、BM，過C作CN⊥DE于N，∵E為BC中點，∴BE＝EC＝，在△BEG和△CEM中∴△BEG≌△CEM（SAS），∴S△BEG＝S△CEM，∵E、F分別為BC、CD中點，∴DG：EG＝2：1，∴GM＝DG＝2EG，∴S△MGC＝S△DGC，∴S△DMC＝2S△DGC＝2×S△DEC，∵S△DEC＝×1×＝，∴S△DMC＝，∴陰影部分的面積S＝S正方形ABCD﹣S△DMC＝1×1﹣＝，故答案為：．36．如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為垂直，數量關系為相等．②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD…（2分）故答案為：垂直、相等．②成立，理由如下：…（3分）∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF在△BAD與△CAF中，∵∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°∴CF⊥BD…（7分）（2）當∠ACB＝45°時可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G…（9分）則∵∠ACB＝45°∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°∵AG＝AC，AD＝AF，∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠GAD＝∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS）…（10分）∴∠ACF＝∠AGD＝45°∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°∴CF⊥BC…（12分）37．如圖（*），四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F．請你認真閱讀下面關于這個圖的探究片段，完成所提出的問題．（1）探究1：小強看到圖（*）后，很快發(fā)現AE＝EF，這需要證明AE和EF所在的兩個三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等（一個是直角三角形，一個是鈍角三角形），考慮到點E是邊BC的中點，因此可以選取AB的中點M，連接EM后嘗試著去證△AEM≌EFC就行了，隨即小強寫出了如下的證明過程：證明：如圖1，取AB的中點M，連接EM．∵∠AEF＝90°∴∠FEC+∠AEB＝90°又∵∠EAM+∠AEB＝90°∴∠EAM＝∠FEC∵點E，M分別為正方形的邊BC和AB的中點∴AM＝EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME＝135°又∵CF是正方形外角的平分線∴∠ECF＝135°∴△AEM≌△EFC（ASA）∴AE＝EF（2）探究2：小強繼續(xù)探索，如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，發(fā)現AE＝EF仍然成立，請你證明這一結論．（3）探究3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結論AE＝EF是否成立呢？若成立請你完成證明過程給小強看，若不成立請你說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】（2）探究2，證明：在AB上截取AM＝EC，連接ME，由（1）知∠EAM＝∠FEC，∵AM＝EC，AB＝BC，∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝∠ECF＝135°，∵∠AEF＝90°，∴∠FEC+∠AEB＝90°，又∵∠EAM+∠AEB＝90°，∴∠EAM＝∠FEC，在△AEM和△EFC中，，∴△AEM≌△EFC（ASA），∴AE＝EF；（3）探究3：成立，證明：延長BA到M，使AM＝CE，連接ME，∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝∠ECF＝45°，又∵∠B＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝∠BEA+∠FET＝90°，∴∠BAE＝∠FET，∴∠MAE＝∠CEF，在△MAE和△CEF中，，∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE＝EF．38．如圖，將一三角板放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于Q．探究：設A、P兩點間的距離為x．（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與PB之間有怎樣的數量關系？試證明你的猜想；（2）當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數關系，并寫出函數自變量x的取值范圍；（3）當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置．并求出相應的x值，如果不可能，試說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）PQ＝PB，（1分）過P點作MN∥BC分別交AB、DC于點M、N，在正方形ABCD中，AC為對角線，∴AM＝PM，又∵AB＝MN，∴MB＝PN，∵∠BPQ＝90°，∴∠BPM+∠NPQ＝90°；又∵∠MBP+∠BPM＝90°，∴∠MBP＝∠NPQ，在Rt△MBP與Rt△NPQ中，∵∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）∴PB＝PQ．（2）∵S四邊形PBCQ＝S△PBC+S△PCQ，∵AP＝x，∴AM＝x，∴CQ＝CD﹣2NQ＝1﹣x，又∵S△PBC＝BC?BM＝?1?（1﹣x）＝﹣x，S△PCQ＝CQ?PN＝（1﹣x）?（1﹣x），＝﹣+，∴S四邊形PBCQ＝﹣x+1．（0≤x≤）．（4分）（3）△PCQ可能成為等腰三角形．①當點P與點A重合時，點Q與點D重合，PQ＝QC，此時，x＝0．（5分）②當點Q在DC的延長線上，且CP＝CQ時，（6分）有：QN＝AM＝PM＝x，CP＝﹣x，CN＝CP＝1﹣x，CQ＝QN﹣CN＝x﹣（1﹣x）＝x﹣1，∴當﹣x＝x﹣1時，x＝1．（7分）．39．如圖，操作：把正方形CGEF的對角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），取線段AE的中點M．探究：線段MD、MF的關系，并加以證明．說明：（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經歷說明（1）的過程后，可以從下列①、②、③中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明．注意：選?、偻瓿勺C明得10分；選?、谕瓿勺C明得7分；選取③完成證明得5分．①DM的延長線交FE于點N，且AD＝NE；②將正方形CGEF繞點C逆時針旋轉45°（如圖），其他條件不變；③在②的條件下，且CF＝2AD．附加題：將正方形CGEF繞點C旋轉任意角度后（如圖），其他條件不變．探究：線段MD、MF的關系，并加以證明．【答案】見試題解答內容【解答】證明：關系是：MD＝MF，MD⊥MF如圖，延長DM交CE于點N，連接FD、FN∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD＝DC，∴∠1＝∠2又∵AM＝EM，∠3＝∠4∴△ADM≌△ENM∴AD＝EN，MD＝MN∵AD＝DC，∴DC＝NE又∵正方形CGEF，∴∠FCE＝∠NEF＝45°，FC＝FE，∠CFE＝90°又∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°．∴∠DCF＝∠NEF＝45°∴△FDC≌△FNE∴FD＝FN，∠5＝∠6∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°又∵DM＝MN＝DN，∴M為DN的中點，∴FM＝DN，∴MD＝MF，DM⊥MF思路一：∵四邊形ABCD、CGEF是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°CF＝EF＝EG＝CG，∠G＝∠GEF＝∠EFC＝∠FCG＝90°，∠FCE＝∠FEC＝45°∴∠DCF＝∠FEC思路二：延長DM交CE于N，∵四邊形ABCD、CGEF是正方形∴AD∥CE，∴∠DAM＝∠NEM又∵∠DMA＝∠NME，AM＝EM，∴△ADM≌△ENM思路三：∵正方形CGEF，∴∠FCE＝∠FEC＝45°又∵正方形ABCD，∴∠DCB＝90°．∴∠DCF＝180°﹣∠DCB﹣∠FCE＝45°，∠DCF＝∠FEC＝45°選取條件①證明：如圖∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD＝DC，∴∠1＝∠2∵AD＝NE，∠3＝∠4，∴△ADM≌△ENM∴MD＝MN又∵AD＝DC，∴DC＝NE又∵正方形CGEF，∴FC＝FE，∠FCE＝∠FEN＝45°．∴∠FCD＝∠FEN＝45°∴△FDC≌△FNE∴FD＝FN，∠5＝∠6，∴∠DFN＝∠CFE＝90°∴MD＝MF，MD⊥MF選取條件②證明：如圖，延長DM交FE于N∵正方形ABCD、CGEF∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，AD∥FE．∴∠1＝∠2又∵MA＝ME，∠3＝∠4，∴△AMD≌△EMN∴MD＝MN，AD＝EN．∵AD＝DC，∴DC＝NE又∵FC＝FE，∴FD＝FN又∵∠DFN＝90°，∴FM⊥MD，MF＝MD．選取條件③證明：如圖，延長DM交FE于N．∵正方形ABCD、CGEF∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，AD∥FE∴∠1＝∠2又∵MA＝ME，∠3＝∠4，∴△AMD≌△EMN∴AD＝EN，MD＝MN．∵CF＝2AD，EF＝2EN∴FD＝FN．又∵∠DFN＝90°，∴MD＝MF，MD⊥MF附加題：證明：如圖過點E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN則∠ADC＝∠H，∠3＝∠4．∵AM＝ME，∠1＝∠2，∴△ADM≌△ENM∴DM＝NM，AD＝EN．∵正方形ABCD、CGEF∴AD＝DC，FC＝FE，∠ADC＝∠FCG＝∠CFE＝90°，CG∥FE∴∠H＝90°，∠5＝∠NEF，DC＝NE∴∠DCF+∠7＝∠5+∠7＝90°∴∠DCF＝∠5＝∠NEF∵FC＝FE，∴△DCF≌△NEF∴FD＝FN，∠DFC＝∠NFE．∵∠CFE＝90°∴∠DFN＝90°．∴DM＝FM，DM⊥FM．一十三．相似三角形的判定與性質（共17小題）40．如圖，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分別交AE、AF于M、N，下列結論：①AF⊥BG；②；③S四邊形CGNF＝S△ABN；④．其中正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【解答】解：∵正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝90°，∴BE＝EF＝FC＝BC，BF＝BC，CG＝CD＝BC，∴BF＝CG，在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG（SAS），∴∠AFB＝∠BGC，∵∠BGC+∠CBG＝90°，∴∠AFB+∠CBG＝90°，∴∠BNF＝90°，∴AF⊥BG；故結論①正確．∵∠BNF＝∠C，∠FBN＝∠GBC，∴△BFN∽△BGC，∴＝＝＝，∴BN＝NF，故結論②錯誤；∵△ABF≌△BCG，∴S△ABF＝S△BCG，即：S△ABN+S△BNF＝S△BNF+S四邊形CGNF，∴S四邊形CGNF＝S△ABN，故結論③正確；延長AD、BG交于點H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，CG＝2GD，BE＝BC，∴△HDG∽△HAB，△BEM∽△HAM，∴＝＝＝，＝，∴HG＝BH，AH＝AD＝BC，∴＝＝＝，∴＝，∴BM＝BH，∴MG＝BH﹣BM﹣HG＝BH﹣BH﹣BH＝BH，∴＝＝．故結論④正確．故選：D．41．如圖，正方形ABCD中，E為BC的中點，CG⊥DE于G，延長BG交CD于點F，延長CG交BD于點H，交AB于N下列結論：①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG；其中正確結論的個數有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【解答】解：①∵在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，∴BC＝CD，∠BCN+∠GCD＝90°，∵CG⊥DE，∴∠CDG+∠GCD＝90°，∴∠BCN＝∠CDG，∴△NBC≌△ECD（ASA），∴DE＝CN，故①正確；②∵在正方形ABCD中，AB∥CD，∴△NBH∽△CDH，∴＝，∵△NBC≌△ECD（ASA），E為BC的中點，四邊形ABCD是正方形，∴NB＝BC＝CD，∴＝＝，故②正確；③如圖所示，過H點作IJ∥AD，∵△NBH∽△CDH，∴③IJ＝HJ，∴HI＝IJ＝DC，∴S△DEC＝EC?DC，S△BNH＝BN?HI＝EC×DC＝×（×EC×DC），∴S△DEC＝3S△BNH，故③正確；④過點B作BP⊥CN于點P，BQ⊥DG交DE的延長線上于點Q，∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，∴四邊形PBQG是矩形，∴∠PBQ＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠NBP＝∠QBE，由①得△NBC≌△ECD，∴EC＝BN，∵E是BC的中點，∴BE＝EC，∴BE＝BN，∵∠BPN＝∠BQE＝90°，∴△BPN≌△BQE（AAS），∴BP＝BQ，∴四邊形PBQG是正方形，∴∠BGE＝45°，故④正確；⑤如圖所示，連接N，E，設BN＝x，則BE＝EC＝x，BC＝2x，∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，∴CN＝＝＝，EN＝＝＝，由△ECN面積可得CN?GE＝EC?BN，∴GE＝，∴GN＝＝，∴GN+GE＝+＝，∴GC＝CN﹣GN＝﹣＝，∵AB∥CD，∴△NGB∽△CGF，∴，∴BG＝FG，∴BG＝BF，FC＝BN＝x，∴BG＝×＝，∴GN+GE＝BG，故⑤正確；綜上所述，故選：D．42．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．現在Rt△ABC內疊放邊長為1的小正方形紙片，第一層小紙片的一條邊都在AB上，首尾兩個正方形各有一個頂點D，E分別在AC，BC上，依次這樣疊放上去，則最多能疊放多少？（）A．16個 B．13個 C．14個 D．15個【答案】A【解答】解：作CF⊥AB于點F．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，則由勾股定理，得AB＝＝10．∵S△ABC＝AB?CF＝AC?BC∴CF＝4.8．則小正方形可以排4排．最下邊的一排小正方形的上邊的邊所在的直線與△ABC的邊交于D、E．∵DE∥AB，∴＝，則＝，解得：DE＝整數部分是7．則最下邊一排是7個正方形．第二排正方形的上邊的邊所在的直線與△ABC的邊交于G、H．則＝，解得GH＝，整數部分是5，則第二排是5個正方形；同理：第三排是：3個；第四排是：1個．則正方形的個數是：7+5+3+1＝16．故選：A．43．如圖，在正方形ABCD中有一個面積為的小正方形EFGH，其中點E、F、G分別在AB、BC、DF上，若BF＝1，則正方形ABCD的邊長為4．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵小正方形EFGH的面積為∴EFGH的邊長為∴EF＝∵BF＝1∴在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+1＝∴BE＝∵在正方形ABCD和小正方形EFGH中∠B＝∠C＝∠EFG＝90°∴∠BEF+∠BFE＝90°，∠CFD+∠BFE＝90°∴∠BEF＝∠CFD∴△BEF∽∠CFD∴＝∴＝∴CD＝4即正方形ABCD的邊長為4．故答案為：4．44．如圖，矩形EFGH內接于△ABC，且邊FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的長為．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴＝，設EH＝3x，則有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，∴＝，解得：x＝，則EH＝．故答案為：．45．如圖，矩形ABCD中，F是DC上一點，BF⊥AC，垂足為E，＝，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則的值等于．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵＝，∴設AD＝BC＝a，則AB＝CD＝2a，∴AC＝a，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE?CA，AB2＝AE?AC∴a2＝CE?a，2a2＝AE?a，∴CE＝，AE＝，∴＝，∵△CEF∽△AEB，∴＝（）2＝，故答案為：．46．△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C＝Rt∠，AC＝BC＝2．要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形（剪法如圖1所示），圖1中剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為S1；按照圖1中的剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為S2（如圖2），則S2＝；再在余下的四個三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形的面積和為S3（如圖3）；繼續(xù)操作下去…則第10次剪取后，S10＝．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵四邊形ECFD是正方形，∴DE＝EC＝CF＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴AE＝DE＝EC＝DF＝BF＝EC＝CF，∵AC＝BC＝2，∴DE＝DF＝1，∴S△AED+S△DBF＝S正方形ECFD＝S1＝1；同理：S2即是第二次剪取后剩余三角形面積和，Sn即是第n次剪取后剩余三角形面積和，∴第一次剪取后剩余三角形面積和為：2﹣S1＝1＝S1，第二次剪取后剩余三角形面積和為：S1﹣S2＝1﹣＝＝S2，第三次剪取后剩余三角形面積和為：S2﹣S3＝﹣＝＝S3，…第十次剪取后剩余三角形面積和為：S9﹣S10＝S10＝．故答案為：，．47．如圖，菱形ABCD中，AB＝AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE＝BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AC于點O．則下列結論①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD?DH中，正確的是①②③④．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等邊三角形，同理：△ADC是等邊三角形∴∠B＝∠EAC＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；故①正確；∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AEH＝∠B+∠BCE，∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；故②正確；在HD上截取HK＝AH，連接AK，∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，∴點A，H，C，D四點共圓，∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，∴△AHK是等邊三角形，∴AK＝AH，∠AKH＝60°，∴∠AKD＝∠AHC＝120°，在△AKD和△AHC中，，∴△AKD≌△AHC（AAS），∴CH＝DK，∴DH＝HK+DK＝AH+CH；故③正確；∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，∴△OAD∽△AHD，∴AD：DH＝OD：AD，∴AD2＝OD?DH．故④正確．故答案為：①②③④．48．如圖，在矩形ABCD中對角線AC、BD相交于點F，延長BC到點E，使得四邊形ACED是一個平行四邊形，平行四邊形對角線AE交BD、CD分別為點G和點H．（1）證明：DG2＝FG?BG；（2）若AB＝5，BC＝6，則線段GH的長度．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）證明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，∴△ADG∽△EBG．∴＝．又∵△AGF∽△EGD，∴＝．∴＝．∴DG2＝FG?BG．（2）∵ACED為平行四邊形，AE，CD相交點H，∴DH＝DC＝AB＝．∴在直角三角形ADH中，AH2＝AD2+DH2∴AH＝．又∵△ADG∽△EBG，∴＝＝．∴AG＝GE＝×AE＝×13＝．∴GH＝AH﹣AG＝﹣＝．49．在△ABC中，點D，E，F分別在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC＝180°，∠AFE＝∠BDE．（1）如圖1，當DE＝DF時，圖1中是否存在與AB相等的線段？若存在，請找出，并加以證明；若不存在，說明理由；（2）如圖2，當DE＝kDF（其中0＜k＜1）時，若∠A＝90°，AF＝m，求BD的長（用含k，m的式子表示）．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖1，連接AE．∵DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE，∵∠ADF+∠DEC＝180°，∴∠ADF＝∠DEB．∵∠AFE＝∠BDE，∴∠AFE+∠ADE＝180°，∴A、D、E、F四點共圓，∴∠DAE＝∠DFE＝∠DEF，∠ADF＝∠AEF．∵∠ADF＝∠DEB＝∠AEF，∴∠AEF+∠AED＝∠DEB+∠AED，∴∠AEB＝∠DEF＝∠DFE＝∠BAE，∴AB＝BE；（2）如圖2，連接AE．∵∠AFE＝∠BDE，∴∠AFE+∠ADE＝180°，∴A、D、E、F四點共圓，∴∠ADF＝∠AEF，∵∠DAF＝90°，∴∠DEF＝90°，∵∠ADF+∠DEC＝180°，∴∠ADF＝∠DEB．∵∠ADF＝∠AEF，∴∠DEB＝∠AEF．在△BDE與△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴＝．在直角△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝kDF，∴EF＝＝DF，∴＝＝，∴BD＝．50．等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F，連接AF，BE相交于點P．（1）若AE＝CF；①求證：AF＝BE，并求∠APB的度數；②若AE＝2，試求AP?AF的值；（2）若AF＝BE，當點E從點A運動到點C時，試求點P經過的路徑長．【答案】見試題解答內容【解答】（1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．②∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP?AF＝12（2）①如圖1所示：當AE＝CF時，點P的路徑是一段?。深}目不難看出當E為AC的中點的時候，點P經過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°，又∵AB＝6，∴OA＝2．∴點P的路徑是l＝＝＝．②如圖2所示，當AF＝BE時，過點C作CH⊥AB垂足為H．點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段HC的長度．∵等邊三角形ABC的邊長為6，CH⊥AB．∴BH＝3．∴點P的路徑CH＝＝＝3．③當F從C出發(fā)到達BC中點然后返回C，此時點P的運動路徑＝+2，④當F從B出發(fā)到達BC中點后再返回B，此時點P的運動路徑＝+綜上所述，點P經過的運動軌跡的長度為或3或+2或+．51．已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將一個直角RPS的直角頂點P在射線OM上移動，點P不與點O重合．（1）如圖，當直角RPS的兩邊分別與射線OA、OB交于點C、D時，請判斷PC與PD的數量關系，并證明你的結論；（2）如圖，在（1）的條件下，設CD與OP的交點為點G，且，求的值；（3）若直角RPS的一邊與射線OB交于點D，另一邊與直線OA、直線OB分別交于點C、E，且以P、D、E為頂點的三角形與△OCD相似，請畫出示意圖；當OD＝1時，直接寫出OP的長．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）PC與PD的數量關系是相等．證明：過點P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為點H、N．∵∠AOB＝90°，易得∠HPN＝90度．∴∠1+∠CPN＝90°，而∠2+∠CPN＝90°，∴∠1＝∠2．∵OM是∠AOB的平分線，∴PH＝PN，又∵∠PHC＝∠PND＝90°，∴△PCH≌△PDN；∴PC＝PD．（2）∵PC＝PD，∠CPD＝90°，∴∠3＝45°，∵∠POD＝45°，∴∠3＝∠POD．又∵∠GPD＝∠DPO，∴△POD∽△PDG．∴．∵，∴．（3）如圖1所示，若PR與射線OA相交，則OP＝1；如圖2所示，若PR與直線OA的交點C與點A在點O的兩側，則OP＝﹣1．52．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒（0＜t＜），連接MN．（1）若△BMN與△ABC相似，求t的值；（2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）由題意知，BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴BN＝（8﹣2t）cm，BA＝＝10（cm），當△BMN∽△BAC時，，∴，解得：t＝；當△BMN∽△BCA時，，∴，解得：t＝，∴△BMN與△ABC相似時，t的值為或；（2）過點M作MD⊥CB于點D，由題意得：DM＝BMsinB＝3t＝（cm），BD＝BMcosB＝3t＝t（cm），BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴CD＝（8﹣）cm，∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，∴∠CAN+∠ACM＝90°，∠MCD+∠ACM＝90°，∴∠CAN＝∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴＝，解得t＝或t＝0（舍棄）．∴t＝．53．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，AC與BD交于點E，∠ADB＝∠ACB．（1）求證：＝；（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中點，求證：四邊形ABFD是菱形．【答案】見試題解答內容【解答】證明：（1）∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，又∵AB＝AD，∴＝；（2）設AE＝x，∵AE：EC＝1：2，∴EC＝2x，由（1）得：AB2＝AE?AC，即AB2＝x?3x∴AB＝x，又∵BA⊥AC，∴BC＝2x，∴∠ACB＝30°，∵F是BC中點，∴BF＝x，∴BF＝AB＝AD，連接AF，則AF＝BF＝CF，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，又∵∠ABD＝∠ADB＝30°，∴∠CBD＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝∠ACB＝30°，∴AD∥BF，∴四邊形ABFD是平行四邊形，又∵AD＝AB，∴四邊形ABFD是菱形．54．如圖，AD是△ABC的角平分線，以點C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求證：點F是AD的中點；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD＝10，求半徑CD的長．【答案】見試題解答內容【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1＝∠2，∵∠ADE＝∠1+∠B，∠DAE＝∠2+∠3，且∠B＝∠3，∴∠ADE＝∠DAE，∴ED＝EA，∵ED為⊙C直徑，∴∠DFE＝90°，∴EF⊥AD，∴點F是AD的中點；（2）解：連接DM，設EF＝4k，DF＝3k，則ED＝＝5k，∵AD?EF＝AE?DM，∴DM＝＝＝k，∴ME＝＝k，∴cos∠AED＝＝；（3）解：∵∠B＝∠3，∠AEC為公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE：BE＝CE：AE，∴AE2＝CE?BE，∴（5k）2＝k