2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三角形中的常見模型綜合訓(xùn)練（解析版）

培優(yōu)專題01三角形中的常見模型綜合訓(xùn)練

考點(diǎn)大集合

1

卷考點(diǎn)大過(guò)關(guān)

考點(diǎn)一：三角形的全等模型

?k核總提煉;查漏補(bǔ)缺

全等三角形在中考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)不是簡(jiǎn)單的直接考察，而是作為幾何題的中間變量，利用全等三角形的

對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，來(lái)傳遞等量線段或者等價(jià)角。而當(dāng)題目不直接考察時(shí)，識(shí)別需要的全等模型，

并利用對(duì)應(yīng)結(jié)論做題就是最為重要的一個(gè)突破口，學(xué)習(xí)模型，運(yùn)用模型結(jié)論直接做題會(huì)給我們提供一個(gè)非

常重要的做題思路。

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

題型01三角形常見全等模型及其應(yīng)用

解題大招：全等常見模型:

①K型圖：

圖形條件與結(jié)論輔助線注意事項(xiàng)

A條件：AC=BC,AC1分別過(guò)點(diǎn)A、BK型圖可以和等腰直角三

BC作AD1/角板結(jié)合，也可以和正方

結(jié)論：BE1/形結(jié)合

L—DCEAADC^ACEB(AAS)

K型全等模型變形——三垂定理:

如圖，亦有△ADC"4CEB(AAS)

總結(jié)：當(dāng)一個(gè)直角放在一條直線上時(shí)，常通過(guò)構(gòu)造K型全等來(lái)證明邊相等，或者邊之間的數(shù)量關(guān)系

②手拉手:

模型名稱幾何模型圖形特點(diǎn)具有性質(zhì)

全''連結(jié)BD、CE

等/VE?△ABD^AACE

型②△AOBs\HOC

AD=AEZ

手Y③旋轉(zhuǎn)角相寺

AB=AC

拉(BPZl=zC2=Z3)

ZBAC=ZDAE

手/w④A、B、C、D四點(diǎn)共圓

⑤AH平分立BHE

③倍長(zhǎng)中線:

基本圖形輔助線條件與結(jié)論應(yīng)用環(huán)境

①倍長(zhǎng)中線常和△三邊

延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,條件：ZiABC,AD=BD關(guān)系結(jié)合，考察中線長(zhǎng)的

使DE=AD,連接CE取值范圍

玲結(jié)論：②倍長(zhǎng)中線也可以和其

\/

△ABD^ACED(SAS)他幾何圖形結(jié)合，考察幾

1何圖形的面積問題

【中考真題練】

1.（2023?長(zhǎng)春）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑N3的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)。為也4，、39的中點(diǎn),

只要量出的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑N3的長(zhǎng)度.依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

B.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

C.兩條直線被:一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

D.兩點(diǎn)之間線段最短

【分析】根據(jù)點(diǎn)。為44'、59的中點(diǎn)得出CM=O4,OB=OB',根據(jù)對(duì)頂角相等得到乙4。8=/4。夕,

從而證得和△409全等，于是有48=43',問題得證.

【解答】解：：點(diǎn)。為/4、38的中點(diǎn)，

：.OA=OA',OB=OB',

由對(duì)頂角相等得

在△NO8和△?O夕中，

'0A=0A'

-NAOB=NA'OB'，

OB=OBy

.,.△AOB//\AOB，（SAS）,

：.AB=A'B',

即只要量出的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑28的長(zhǎng)度，

故選：A.

2.（2023?重慶）如圖，在Rtz\/8C中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)、D為BC上一點(diǎn)"連接NO.過(guò)點(diǎn)3

作BELAD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CFLAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若BE=4,CF=1,則昉的長(zhǎng)度為3.

【分析】先證明p（44S）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/尸=3E=4,4E=CF=1,進(jìn)一

步可得防的長(zhǎng).

【解答】解：,:BEUD,CFLAD,

：.ZBEA=ZAFC=90°,

:.NBAE+N4BE=9Q°,

VZBAC=90°,

AZBAE+ZFAC=90°,

ZFAC=NABE,

在△N3E和/中，

,ZBEA=ZAFC

，ZABE=ZFAC-

,AB=AC

:.AABE出ACAF（AAS）,

：.AF=BE,AE=CF,

；BE=4,CF=\,

:.AF=BE=4,AE=CF=\,

:.EF=AF-AE=4-1=3,

故答案為：3.

3.（2023?呼和浩特）如圖，在RtA48C中，ZABC^9Q°,AB=BC,AC=4近，點(diǎn)P為NC邊上的中點(diǎn),

PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,尸N交3C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,且尸MLLPN.若敏=1,則△「」村的面積為（）

A.13B.V13C.8D.空

2

【分析】依據(jù)題意，連接5P,然后先證明△BMPgZiCNP從而CN=BP=1,又由等腰可得

BC=4,從而在RtZXMBN中可以求得A/M又MP=NP,從而可得MN的值，進(jìn)而可以得解.

在RtZ\A8C中，ZABC=90°,

?.?48=2C,點(diǎn)尸為NC邊上的中點(diǎn)，

C.BPLAC,NCBP=NABP=Z/ABC=45°,NBC4=45°,BP=CP=Lc=2近.

22

:.NMBP=NNCP=180°-45°=135°.

'JBPLAC,PMLPN,

：.ZBPM+ZMPC=90°,ZCPN+ZMPC=90°.

NBPM=ZCPN.

又BP=CP,ZMBP=ZNCP,

:.叢BMPS叢CNPCASA）.

:.BM=CN=1,MP=NP.

在RtzXAPC中，8c=4BP2yp2=4.

在RtAMBN中，MN=VBM2+BN2=Vl2+52=^26.

又在Rt/XMPN中，MP=NP,

：.MP2+NP2=MN2.

：.MP=NP=^p^.

：.SAPMN=—MP-NP=1^-.

22

故選：D.

4.（2023?湖北）如圖，ABAC,和△/斯都是等腰直角三角形，/B4C=/DEB=/AEF=90°,

點(diǎn)E在△/2C內(nèi)，BE>AE,連接交/E于點(diǎn)G,DE交AB于點(diǎn)、H,連接CF.給出下面四個(gè)結(jié)論：

①/DB4=NEBC；②/BHE=/EGF；③AB=DF；④AD=CF.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①

⑶⑷.

【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出//5C=/D2E=45°,可得出①正確；證明△BE/g/VJE尸

(&4S),由全等三角形的性質(zhì)得出可得出③正確；由直角三角形的性質(zhì)可判斷②不正確；

證明四邊形。尸C4為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出D/=CR則可得出答案.

【解答】解：△。即都是等腰直角三角形，

:.NABC=NDBE=45°,

ZABC-ZABE=ZDBE-AABE,

：.ZEBC=ZDBA,

故①正確；

,:ADEB和△/所都是等腰直角三角形，

:.BE=DE,AE=EF,NBED=NAEF=9Q°,

：.NBEA=/DEF,

???△BEA/ADEF（SAS）,

：?AB=DF,ZABE=ZEDF,ZBAE=ZDFE.

故③正確；

VZBEH=ZGEF=90°,

；?/ABE+/BHE=90°,/EGF+/DFE=90°,

■:BE>AE,

???/ABEW/AEB,

：./ABE7ZDFE,

：./BHE#ZEGF；

VZBAC=90°,ZEAF=45°,

AZBAE+ZE4C=45°,

又?；NAFD+/EFG=45°,ZBAE=ZDFE,

：.ZDFA=ZFAC,

J.DF//AC,

■:AB=DF,AB=AC,

：?DF=AC,

???四邊形。尸C4為平行四邊形，

：.DA=CF.

故④正確.

故答案為：①③④.

5.（2023?遂寧）如圖，以△45。的邊45、4C為腰分別向外作等腰直角△42E、AACD,連結(jié)瓦入BD、

EC,過(guò)點(diǎn)4的直線/分別交線段?；?、5C于點(diǎn)M、N.以下說(shuō)法：①當(dāng)45=4C=5C時(shí)，ZAED=30°；

②EC=BD；③若45=3,AC=4fBC=6,則QE=2愿；④當(dāng)直線時(shí)，點(diǎn)M為線段的中

點(diǎn).正確的有①②⑷.（填序號(hào)）

【分析】由4B=4C=BC,得/B4c=60°,因?yàn)锳C=AD,ZBAE=ZCAD=90°,所以ZE

=AD,ZEAD=nO°,則N/ED=N/OE=30°,可判斷①正確；由NC4O=NA4E=90°,推導(dǎo)出

ZCAE^ZDAB,可證明△口￡之△D4B,得EC=BD,可判斷②正確；設(shè)8。交NE于點(diǎn)G,交CE于

點(diǎn)。，可證明NEO8=90°,則/。。￡)=/3。。=/。。片=90°,可根據(jù)勾股定理推導(dǎo)出。爐+8。2=

BE2+CD2,可求得8爐=452+/爐=]8,CD1^AD-+AC1^32,BC?=36,則。五#2向，可判斷

③錯(cuò)誤；當(dāng)直線/L8C時(shí)，作斯〃40交直線/于點(diǎn)R連接。尸，可證明△瓦4尸絲△/2C,貝尸=/C

=4D,所以四邊形NDFE是平行四邊形，則”為線段。E的中點(diǎn)，可判斷④正確，于是得到問題的答

案.

【解答】解：'：AB=AC=BC,

：.ZBAC=60°,

,:AE=AB,AC=AD,/BAE=/CAD=90°,

；.AE=AD,N￡4D=360-60°-90°-90°=120°,

ZAED=ZADE=^X(180°-120°)=30°,

2

故①正確；

■:NCAD=NBAE=90°,

：.ZCAE=ZDAB=90°+ZDAE,

：./\CAE^/\DAB(SAS),

：.EC=BD,

故②正確；

如圖1,設(shè)2。交NE于點(diǎn)G,交CE于點(diǎn)。，

ZAEC=AABD,ZOGE=ZAGB,

：.ZAEC+ZOGE=ZABD+ZAGB=90°,

：.ZEOB=90°,

AZCOD=ZBOC=ZDOE=90°,

：.DE2+BC2=OD1+OE1+OB-+OC1=BE2+CD2,

AE=AB=3,AD=AC=4,BC=6,

：.BE2=AB2+AE2=32+32=18,CD2=AD2+AC2=42+42=32,5C2=62=36,

:?DE='>/BE2-^D2-BC2=V18+32-36=V14W2M,

故③錯(cuò)誤；

當(dāng)直線/_LBC時(shí)，如圖2,作所〃交直線/于點(diǎn)尸，連接。咒

:/AEF+NDAE=18Q°,ZBAC+ZDAE=180°,

/AEF=ABAC,

■:/ANB=NBAE=90°,

：.ZEAF=ZABC=900-ZBAN,

,:EA=AB,

A/\EAF^/\ABC(ASA),

：.EF=AC=AD,

...四邊形ADFE是平行四邊形,

為線段的中點(diǎn)，

故④正確，

故答案為：①②④.

圖2

6.(2023?鞍山)如圖，在正方形/8C。中，點(diǎn)〃為C。邊上一點(diǎn)，連接將■繞點(diǎn)4順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90°得到△4BN,在MW,NN上分別截取4E,AF,使AE=AF=BC,連接￡巴交對(duì)角線2。于點(diǎn)G,

連接/G并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)若NM=空，CH=2,則/G的長(zhǎng)為—理」.

37

【分析】解法一：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/M=4V,DM=BN,/MAN=90°,ZDAM=ZBAN,ZAMD=Z

ANB,連接DE,BF,由等線段減等線段相等可得尸N=EM,于是可通過(guò)S4S證明△AFN絲得

到2尸=?！?易得AF=AB,AE=4D,由三角形內(nèi)角和定理可得//2尸=//必=工(180°-/BAF),

2

ZADE^ZAED=1.(180°-NDAE),由/D4E=NBAF得至“NABF=N4FB=/4DE=/AED,易

2

得△/匹為等腰直角三角形，根據(jù)等角減等角相等可知NGF5=NGDE,于是可通過(guò)44s證明△GEBg

△GDE,得至1」尸G=OG,BG=EG,進(jìn)而可通過(guò)SSS證明得到/D4H=NN4H,由平

行線的性質(zhì)可得乙4/W=NM4〃，貝空，設(shè)BH=x,則/3=BC=x+2,BN=^^,

33

在RtZ\4BN中，利用勾股定理建立方程，求得xi=6,?=L即3〃=6或工，過(guò)點(diǎn)G作PG//BC,交

x233

AB于點(diǎn)、P,易得乙APGS^ABH,由相似三角形的性質(zhì)得￡望_,易得△P2G為等腰直角三角形，PG

PGBH

PB,分兩種情況討論：①當(dāng)3〃=6時(shí)，AB=BC=8,則理_工殳=_1,進(jìn)而可設(shè)4P=4a,PG=3a=

PGBH3

PB,由4B=4P+P3=8,解得a總，在RtZUPG中，利用勾股定理即可求出NG的長(zhǎng)；②當(dāng)即工時(shí)，

73

AD=CD=AB=L,此時(shí)點(diǎn)M在CD的延長(zhǎng)線上，與題意不符.

3

解法二：同解法一可得紅，沒BH：x,BN=y,貝U5C=x+2=45,AN=x+y,以此可建

3

-25

x+y=《-x=6_1

O

立關(guān)于x,y的方程組，,解得：＜7或，'W,再同解法一討論即可得出

/\22/25、2

(x+2n)+y=(―)y=8

【解答】解：解法一：??,將△4/)河繞點(diǎn)4順時(shí)針旋90°得到△%加,

:.AM=AN,DM=BN,NMAN=90°,/DAM=/BAN,ZAMD^ZANB,

如圖，連接DE,BF,

'：AE=AF=BC,FN^AN-AF,EM=AM-AE,

:.FN=EM,

在△瓦W和中,

'BN=DM

<NFNB=NEMD，

FN=EM

:.叢BFN/XDEMQSAS),

：.BF=DE,

:四邊形/BCD是正方形，

；./ADB=NABD=45°,AB=AD=BC,

：.AF=AB,AE=AD,

：.AABF和△/￡￡(都是等腰三角形，

：.ZABF=ZAFB=1-(180°-/BAF),ZADE=ZAED=1.(180°-/DAE),

22

ZDAE=ZBAF,

：.NABF=NAFB=N4DE=ZAED,

；AF=AE,ZMAN=90°,

4AFE為等腰直角三角形，

:.NAEG=NAFG=45°,

,：ZGDE=ZADE-NADB=ZADE-45°,

ZGFB=NAFB-ZAFG=NAEB-45°,

：.ZGFB=ZGDE,

在△GFB和△GDE中，

'NBGF=NEGD

<ZGFB=ZGDE-

tBF=DE

：./\GFB^/\GDE(AAS),

:.FG=DG,BG=EG,

在△4FG和△NOG中，

'AF=AD

<FG=DG，

AG=AG

:?△AFG/AADGCSSS),

ZE4G=ZDAG,即

,:AD〃BC,

：.ZDAH=ZAHN,

：./AHN=/NAH,

:.AN=NH=AM=2L,

3

設(shè)BH=x,貝！|A8=8C=5H+C7f=x+2,BN=NH-BH=-^--x,

在RtZ\/3N中，AN2=BN2+AB2,

,/25、2,25\2/、2

,,(—)=(~^--x)+(x+n2)，

解得：X1=6,Kc」，

X23

.?.昉r=6或L

3

如圖，過(guò)點(diǎn)G作尸G〃3C,交4B于點(diǎn)、P,

?■--AP=---P-G-,"g-n-A--P=---A-B-,

ABBHPGBH

■:PG//BC,

???NG尸8=180°-ZPBH=1SO°-90°=90°,

TN尸5G=45°,

：?/PGB=90°-N尸5G=45°=/PBG,

:.PG=PB,

①當(dāng)BH=6時(shí)，AD=CD=AB=BH+CH=8,

?-?-A-P二AB=—8=—4,

PGBH63

???設(shè)4尸=4a,PG=3a=PB,

?:AB=AP+PB=8,

4。+3a=8,

解得「專

在中，22=2(2=5a=;

RtZ\NPGAG=VAP+PG7(4a)+3a)-y

②當(dāng)BH」時(shí)，AB=CD=BC=BH+CH=工，

,:DM=8>CD=1~,

3

...點(diǎn)”在CD的延長(zhǎng)線上，與題意不符.

綜上，AG的長(zhǎng)為也.

7

解法二：同解法一可得4N=M/=4W=2且,

3

設(shè)BH=x,BN=y,

:.BC=BH+CH=x+2=AB,AN=BH+BN=x+y,

在RtZUBN中，AB2+BN1=AN1,

J25

,x+y=l-

??<,

z11\22,25、2

(x+2)+y=(—)

'x=6f

解得：，7,,*3,

方|y=8

同解法一討論，即可得出/G=也.

7

故答案為：40

7

7.(2023?大連)如圖，AC=AE,BC=DE,8C的延長(zhǎng)線與DE相交于點(diǎn)尸，ZACF+ZAED=^O°.求

證：AB=AD.

【分析】由已知//。尸+//皮）=180°,可得到NZC2=N4E。，再利用S4s證明△/BCq△40￡1,從

而得到/8=力。.

【解答】證明："：ZACF+ZAED=ISO°,ZACF+ZACB=l?,0o,

：.ZACB^ZAED,

在△4BC和△4OE中，

，AC=AE,

-ZACB=ZAED,

BC=DE,

:.AABCgA4DE(S4S),

：?AB=AD.

8.（2023?遂寧）如圖，四邊形N8CD中，/D〃BC,點(diǎn)。為對(duì)角線8。的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的直線/分別與

AD,3C所在的直線相交于點(diǎn)E、F.（點(diǎn)￡不與點(diǎn)。重合）

(1)求證：ADOEmABOF；

(2)當(dāng)直線/_L3D時(shí)，連結(jié)BE、DF,試判斷四邊形E8FD的形狀，并說(shuō)明理由.

【分析】(1)由/D〃2C,得NODE=NOBF,而0。=。8,ZDOE=ZBOF,即可根據(jù)全等三角形的

判定定理證明

(2)由00=05,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)。且WDE=BE,DF=BF,由△OOE四△30尸，得DE=BF,

則DE=BE=DF=BF,所以四邊形EBFD是菱形.

【解答】(1)證明：

：./ODE=/OBF,

:點(diǎn)。為對(duì)角線5D的中點(diǎn)，

：.OD=OB,

在AD0E和4臺(tái)。尸中，

fZODE=ZOBF

<OD=OB，

LZDOE=ZBOF

:.叢D0E"4B0F(ASA).

(2)解：四邊形EAED是菱形，理由如下：

?：OD=OB,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)。且

直線I是線段BD的垂直平分線，

：.DE=BE,DF=BF,

"：ADOE沿ABOF,

：.DE=BF,

,:DE=BE=DF=BF,

...四邊形班FO是菱形.

9.(2023?巴中)綜合與實(shí)踐.

(1)提出問題.如圖1,在△48C和△4DE中，/BAC=/DAE=9G°,S.AB=AC,AD=AE,連接

BD,連接CE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。.

①4BOC的度數(shù)是90°.

②BD：CE=1：1.

(2)類比探究.如圖2,在△45。和△DEC中，ZBAC=ZEDC=90°,S.AB=AC,DE=DC,連接

AD、BE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)。

@ZAOB的度數(shù)是45°；

@AD：BE=

(3)問題解決.如圖3,在等邊△/2C中，4D_L3c于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在線段40上(不與/重合)，以

/￡為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊△NM,將△，跖繞著點(diǎn)4在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度.如圖4,M為

所的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn).

①說(shuō)明△MVD為等腰三角形.

②求乙的度數(shù).

【分析】(1)(2)從圖形可辯知，這個(gè)是手拉手全等或相似模型，按模型的相關(guān)結(jié)論解題.

(3)稍有變化，受前兩間的啟發(fā)，連接8RCE完成手拉手的構(gòu)造，再結(jié)合三角形中位線知識(shí)解題.

【解答】解：(1)(1),：ZBAC=ZDAE=9Q°,

：.ABAC-NDAC=NDAE-ZDAC,

：.ZBAD=ZCAE.

又；AB=4C,AD=AE,

:.△BAD^dCAE(&4S).

/4BD=ZACE,

：NR4C=90°,

/ABC+/ACB=ZABD+ZOBC+ZACB^90°,

?.ZACE+ZOBC+ZACB=90°,

即：ZBCE+ZOBC=90°,

AZBOC=90°.

故4BOC的度數(shù)是90°.

②由①得△240名

：.BD=CE.

故8。：CE=1：1.

(2)@'：AB=AC,DE=DC,

?ABAC

"DF'DC"

又：NBAC=/EDC=90°,

△NBCsADEC,

:.N4CB=NDCB,匹

ACDC

ZACE+ZECB=ZDCA+ZACE,

：.ZECB=ZDCA.

:.△ECBsADCA,

:.NCBE=NCAD,

：.ZAOB=lSQa-ZABO-N2/O=180°-ZABO-ZCAD-N8/C=180°-ZABO-ZCBE-90°

=180°-45°-90°=45°.

故的度數(shù)是45°.

②由①得：AECBsADCA.

:.AD：BE=DC：EC,

■:NEDC=90°,S.DE=DC,

：.ZDCE=45°,

AD￡=COS45°=邁.

EC2

AD：BE=1：V2.

(3)①解：連接3RCE,延長(zhǎng)CE交MN于點(diǎn)、P,交BF于點(diǎn)、O.

在等邊△/BC中/8=/C,又于點(diǎn)。，

為8C的中點(diǎn)，

又為斯的中點(diǎn)，N為2E的中點(diǎn)，

:.MN、ND分別是ABEF、△BCE的中位線，

:.MN=LBF,DN=LEC.

22

；/E4E=/BAC=60°,

NE4E+NEAB=ZBAC+ZEAB.

：.NE4B=ZEAC.

在和△48尸中,

'AF=AE

<ZFAB=ZEAC-

LAB=AC

:.AACE沿AABF(S/S).

：.BF=EC.

:.MN=DN.

:AMND為等腰三角形.

②:FACE當(dāng)A4BF,

：.NACE=/ABF,

由(1)(2)規(guī)律可知：ZBOC=60°,

：.ZFOC=180°-ZSOC=180°-60°=120°,

又,：BF〃MN,CP//DN,

：.ZMND=ZMPE=ZFOC=120°.

圖5

【中考模擬練】

I.（2023?三穗縣校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)，￡分別為△48C的邊48,NC上的點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至R使

EF=DE,連接FC.若FC〃4B,AB=5,CF=3,則8。的長(zhǎng)等于（）

A.1B.2C.3D.5

【分析】由尸C〃/8得，ZDAE=ZFCE,再利用44s證明△￡）/￡1絲△尸C￡,得4D=CF,從而解決問

題.

【解答】,JFC//AB,

：.NDAE=ZFCE,

在△￡)/￡與△bCE中，

,ZDAE=ZFCE

'NAED=/CEF，

.DE=EF

:.ADAE出LFCE(AAS),

：.AD=CF,

,:CF=3,

：.AD=CF=3,

又,：AB=5,

：.BD=AB-AD=5-3=2,

故選：B.

2.(2024?昆山市一模)如圖，在平行四邊形48CD中，AD=5,48=6衣，是銳角，CE_L4D于點(diǎn)E,

廠是CD的中點(diǎn)，連接AF,EF.若/EFB=90°,則CE的長(zhǎng)為2g.

【分析】如圖，延長(zhǎng)8/交/〃的延長(zhǎng)線于0,連接BE,設(shè)DE=x,首先證明△8CF之(44S),

得出EQ=BE=x+5,利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)8b交/。的延長(zhǎng)線于0,連接5E,設(shè)DE=x,

:四邊形ABCD是平行四邊形,

J.DQ//BC,AD=BC=5,

:./Q=/CBF,

,:DF=FC,ZDFQ=ZBFC,

:.叢BCFW叢QDF(AAS),

：.BC=DQ,QF=BF,

；/MB=90°,

：.EFLQB,

.\EQ=BE=x+5,

u

：CE.LADfBC//AD,

：.CEA.BC,

：.ZDEC=ZECB=90°,

'：CE2=DC2-ED2=EB2-BC2,

(6A/2)2-x2—(x+5)2-52,

整理得：2，+10x-72=0,

解得x=4或-9(舍棄)，

:.BE=9,

CE=7BE2-BC2=792-52=2>/14-

故答案為：2日.

3.（2023?福田區(qū)二模）如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為8,對(duì)角線/C,3。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)N分別在

邊3C,CD上，且NVON=90°,連接MV交0c于尸，若BM=2,則OP?OC=20.

【分析】過(guò)點(diǎn)。作OEL8C于點(diǎn)E,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得05=。。=。。，ZBOC=ZCOD=90a,

NO8C=/OCB=NOCD=45°,再根據(jù)同角的余角相等可得N3OA/=NCON,以此即可通過(guò)N&4證明

/\OBM^/\OCN,得到2M=CN=2,OM=ON,進(jìn)而得到NCW=/OCM=45°,易證明△OMPs4

OCM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得理_旦巳，即。P?OC=O序，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得OE=3￡

OC0M

=4,則ME=2,最后根據(jù)勾股定理即可求解.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)E,

?/四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為8的正方形,

：.OB=OC=OD,BC=8,BDLAC,

：.ZBOC=ZCOD=90°,ZOBC=ZOCB=ZOCD=45°,

VABOC=ZBOM+ZCOM=90°,

又ZMON=ZCOM+ZCON=90°,

ZBOM=ZCON,

在AOBM和△OCN中,

，ZBOM=ZCON

-OB=OC，

,ZOBM=ZOCN

：./\OBM^/\OCN（ASA）,

:.BM=CN=2,OM=ON,

叢MON為等腰直角三角形，

：.NOMN=/0NM=45°,

：.ZOMP^ZOCM=45°,

ZPOM=NMOC,

:.叢OMPs叢OCM,

???0-M=--O-P,

0C0M

C.OP'OC^OM1,

VZBOC=90°,OB=OC,OELBC,

.".OE=BE=~^l（j=4,

：.ME=BE-BM=2,

在RtAOME中,。胎=OE2+ME2,

.?.OA/2=42+22=20,

：.OP-OC=20.

故答案為：20.

4.（2024?河南一模）如圖，在菱形O4BC中，48。。=60°,點(diǎn)C（-3,0）,點(diǎn)。在對(duì)角線20上，

且00=22。，點(diǎn)￡是射線/。上一動(dòng)點(diǎn)，連接。E,尸為x軸上一點(diǎn)（尸在左側(cè)），且/ED尸=60°,

連接即，當(dāng)△。跖的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（）

A.(1,3)B.(-1,-Vs)c.(.1,亨)D.(0,0)

【分析】先說(shuō)明△￡>￡下是等邊三角形，再利用垂線段最短找到點(diǎn)E的位置，最后確定E的坐標(biāo).

【解答】解：如圖，取點(diǎn)G(-2,0),連接。G,

:四邊形CM2C是菱形點(diǎn)C(-3,0),

OC=OA=BC=3,

?；NBCO=60°,

J.ABCO是等邊三角形，

???。5=3,ZBOC=60°,

?；OD=2BD,

：.OD=2,

U：OG=2,

???△OG。是等邊三角形，

：.ZGDO=60°,DG=DO,

VZEDF=60°,

???ZFDG=ZEDO,

VZFGD=ZEOD=120°,

AAFDG^^EDOCASA),

:?DF=DE,

即是等邊三角形，

/./\DEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，DE最小，

如圖，過(guò)。作DE_L。/,垂足為E,過(guò)E作EH_Lx軸，垂足為H,

RtZXDOE中，NDOE=60°,OD=2,

：.OE=loD^l,

2

RtZ\O￡77中，ZEOH=60a,

0H=XJOE=—,EH=OE,sinAEOH=OE,sin60°

222

故選：c.

5.（2023?長(zhǎng)春模擬）兩個(gè)大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放.將兩個(gè)三角板抽象成如圖②所

示的△/8C和△/￡>￡,點(diǎn)8、C、。依次在同一條直線上，連接CE.若CD=1,CE=3,則點(diǎn)/到直線

BC的距離為一百_.

圖①圖②

【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得/A4c=60°,AB=AC,ND4E=60°,AD=AE,進(jìn)而可得出

ZBAD=ZCAE,據(jù)此可依據(jù)“S/S”判定和全等，從而得出BD=CE=3,進(jìn)而得8C=2,

然后過(guò)點(diǎn)/作于點(diǎn)X,在中，利用勾股定理可求出的長(zhǎng).

【解答】解：:△/BC和△4DE均為等邊三角形，

AZBAC^6Q°,AB=AC,NDAE=60°,AD=AE,

：.ZBAC=ZDAE,

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即：ZBAD=ZCAE,

在△48。和△NCE中，

'AB=AC

,ZBAD=ZCAE-

LAD=AE

:AABD出AACE（.SAS）,

:.BD=CE,

即：BC+CD=CE,

'：CD=\,CE=3,

：.BC+\=3,

:.BC=2,

圖①圖②

；△NBC是等邊三角形,

■,?BH=CH=yBC-1x2=l'"=BC=2,

在RtZ\/77C中，AC=2,CH=1,

由勾股定理得：AH=VAC2-CH2=^22-12=V3-

點(diǎn)A到直線BC的距離為近.

故答案為：V3.

6.(2024?雁塔區(qū)校級(jí)二模)已知：如圖，點(diǎn)E、F在上，AF與DE交于點(diǎn)、G,AB=DC,GE=GF,

【分析】由G￡=GF,得出4G跖為等腰三角形，即/G￡F=NG/E再判定A/B尸也aDCE,根據(jù)/尸

-GF=DE-GE,即可得出結(jié)論.

【解答】證明：-：GE=GF,

.?.△GE/為等腰三角形，

：.ZGEF=ZGFE,

:在尸和△OCE中，NB=NC,

/A=ND,

在△48尸和△DCE中，

rZA=ZD

，AB=DC，

LZB=ZC

:.△ABF咨ADCE(ASA),

:.AF=DE,

又,：GF=GE,

：.AF-GF=DE-GE,

即AG=DG.

7.(2024?涼州區(qū)一模)某同學(xué)用10塊高度都是5c%的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，

木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板(N4SD=90°,BD=BA)，點(diǎn)8在C￡上，點(diǎn)/和。

分別與木墻的頂端重合.

(1)求證：△ACB9ABED；

(2)求兩堵木墻之間的距離.

D

【分析】(1)根據(jù)題意可得/C=2C,ZACB=90°,ADLDE,BE1,DE,進(jìn)而得到N/￡>C=NC￡8=

90°,再根據(jù)等角的余角相等可得NDNC,再證明△/OC絲△CE8即可；

(2)利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.

【解答】(1)證明：由題意得：AB=BD,NABD=90°,ACLCE,DELCE,

；.NBED=/ACB=90°,

：.ZBDE+ZDBE^90°,NDBE+/ABC=90°,

：.ZBDE=Z.ABC,

在△NCB和△BED中，

，ZABC=ZBDE

?ZACB=ZBED-

BD=AB

:.LACB咨ABED(AAS):

(2)解：由題意得：NC=5X3=15(cm),￡>￡=7X5=35(cm),

??AACB咨ABED,

DE=BC=35cm,BE=AC=l5cm,

：.DE=DC+CE=50(cm),

答：兩堵木墻之間的距離為50cm.

8.(2024?龍馬潭區(qū)一模)如圖，拋物線>=°/+/+6(aWO)與x軸交于/(-1,0),3(3,0)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D

(1)求拋物線的解析式；

(2)若在線段3c上存在一點(diǎn)"，使得N3MO=45°,過(guò)點(diǎn)。作08,(W交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)8,求

點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0是在對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,0,使得以點(diǎn)P,Q,C,。為頂

點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

【分析】⑴把點(diǎn)N(7,0),2(3,0)代入拋物線解析式得卜++6=°,解得(a=-2,即可得

l9a+3b+6=0Ib=4

出結(jié)論；

(2)由待定系數(shù)法得直線3c的解析式為y=-2x+6,設(shè)點(diǎn)〃■的坐標(biāo)為(/，-2加+6)(0<m<3),

過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)〃作軸于點(diǎn)K,證△OWN四△HOK(44S),得MN=OK,ON

=HK.則X(-2m+6,-m),再由點(diǎn)H(-2加+6,-m)在直線y=-2x+6上，得-2(-2w+6)+6

=-m,解得加=旦，即可解決問題；

5

(3)分兩種情況討論，①當(dāng)CD為菱形的邊時(shí)，②當(dāng)CD為菱形的對(duì)角線時(shí)，分別求出點(diǎn)0的坐標(biāo)即

可.

【解答】解：(1)?拋物線了="2+歷：+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-I,0),5(3,0)兩點(diǎn)，

.(a-b+6=0

19a+3b+6=0，

解得：卜=-2,

Ib=4

...拋物線的解析式為了=-2X2+4X+6；

(2)由(1)得，點(diǎn)C(0,6),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c,

:直線3C經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,0),C(0,6),

.(3k+c=0

"Ic=6,

解得：。=-2

Ic=6

直線2c的解析式為y=-2x+6,

設(shè)點(diǎn)Af的坐標(biāo)為(m,-2m+6)(0<m<3),

如圖1,過(guò)點(diǎn)〃■作MNLy軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)〃作軸于點(diǎn)K,

則/MM9=NOKH=90°,

"：OHVOM,

ZMOH=9Q°,

9：ZOMB=45°,

???叢MOH是等腰直角三角形，

：.OM=OH.

VZMON+ZKOH=90°,ZOHK+ZKOH=90°,

ZMON=/OHK,

:?△OMNQAHOK(AAS),

：.MN=OK,ON=HK.

?\H(-2加+6,-m),

■:點(diǎn)、H(-2冽+6,-m)在直線y=-2x+6上，

-2(-2m+6)+6=-m,

解得：,"=旦，

5

把機(jī)=2代入y=-2x+6得：歹=理_,

55

...當(dāng)/。屈3=45°時(shí)，點(diǎn)用■的坐標(biāo)為(旦，-1§.)；

55

(3)存在，理由如下：

:拋物線的解析式為y=-2%2+4X+6=-2(x-1)2+8,頂點(diǎn)為D,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,8),

分兩種情況討論：

①當(dāng)CD為菱形的邊時(shí)，

如圖2,過(guò)。作CE_LD。于￡

VC(0,6),D(1,8),

CD=yj(1-0)2+(8-6)2=娓，

:.DQ=CD=0

；.。點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,8-f)或(1,8+75)；

②當(dāng)CD為菱形的對(duì)角線時(shí)，

如圖3,設(shè)點(diǎn)。(1,m),P(0,n),

VC(0,6),D(1,8),

加+〃=6+8=14,

??n=14-m,

：.P(0,14-m),

.'.PC=14-m-6=8-m,

"：CQ^V(l-0)2+(m-6)2=Vl+(m-6)2;PC=CQ,

解得：m=^L,

4

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,.）；

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,8-A/5）或（1，8+遙）或（1,2工）.

考點(diǎn)二：三角形的相似模型

核心提煉;查漏補(bǔ)缺

相似三角形和勾股定理是解決初中數(shù)學(xué)求長(zhǎng)度問題中的兩大重要定理，所有的幾何問題就長(zhǎng)度，最后幾

乎都能轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)定理的應(yīng)用。而作為應(yīng)用幾率更大的相似三角形，熟悉其常用模型，利用模型的性質(zhì)

思考對(duì)應(yīng)問題的走向就是一個(gè)非常重要的解題思想。所以，先熟悉相似的各種模型，再在問題中識(shí)別模型,

最后利用模型找捷徑。

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

題型01相似三角形常見模型及其應(yīng)用

2

解題大招：相似常見模型:

①A字圖：

②8字圖:

③一線三等角：

常用結(jié)論：

1易得△左S△右；

2.如圖②，當(dāng)尸時(shí)，ABDE