空間中直線、平面的平行 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1.2空間中直線、平面的平行幾何中點線面向量中點+位置向量點+方向向量點+法向量OPpPaABO

lAPa

復(fù)習(xí)導(dǎo)入我們知道，直線的方向向量和平面的法向量是確定空間中的直線和平面的關(guān)鍵量，那么是否能用這些向量來刻畫空間直線、平面的平行、垂直關(guān)系呢?首先來看平行的問題.思考1：由直線與直線平行的關(guān)系，如何用向量表示它們的關(guān)系？這兩條直線的方向向量有什么關(guān)系？新知探究

l1l2(1)新知探究1.直線與直線平行

αl(2)思考2：由直線與平面平行的關(guān)系，可以得到直線的方向向量與平面的法向量有什么關(guān)系？新知探究2.直線與平面平行

α(3)β思考3：由平面與平面平行的關(guān)系，可以得到這兩個平面的法向量有什么關(guān)系？新知探究3.平面與平面平行例1:

證明“平面與平面平行的判定定理”:若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.αβPba練習(xí)鞏固

練習(xí)鞏固大冊P20變式訓(xùn)練2

證明:如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DA=a,DC=b,DD1=c,坐標(biāo)法題型一：利用空間向量證明線線平行

練習(xí)鞏固課本P31T2題型一：利用空間向量證明線線平行

ACDBEF基底法練習(xí)鞏固題型二：利用空間向量證明線面平行

ACDBC1D1B1A1P

練習(xí)鞏固大冊P20例3題型二：利用空間向量證明線面平行、面面平行【例3】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.

ADCBA1D1C1B1F?E?∴EF//平面ACD1.練習(xí)鞏固題型二：利用空間向量證明線面平行方法一

證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一個基底表示.方法二

證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證.方法三

先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．利用空間向量證明線面平行的三種方法方法總結(jié)證法1(幾何法)：ADD1A1B1C1BCFENM又∴∵M(jìn),N,E,F分別為棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中點.連接NE,則NE//A1B1,AB//A1B1,NE=A1B1,AB=A1B1,NE//AB

,NE=AB

,∴

ABEN為平行四邊形.∴

AN//BE.又AN平面EFDB，BE平面EFDB，∴

AN//平面EFDB.同理AM//平面EFDB.又AM∩AN=A,∴

面AMN∥面EFDB.

練習(xí)鞏固題型二：利用空間向量證明線面平行、面面平行

練習(xí)鞏固題型二：利用空間向量證明線面平行、面面平行ADD1A1B1C1BCFENM證法2(向量法)：xyz例3

如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：平面EFG∥平面PBC．BACDPEFGxyz證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,2,0)．

練習(xí)鞏固(1)線線平行的向量表示.2.方法歸納：基底法、坐標(biāo)法.3.易錯點：通過向量和平面平行直接得到線面平行，忽略條件直線不在平面內(nèi).(2)線面平行的向量表示.(3)面面平行的向量表示.1.知

識

點：課堂小結(jié)1、判斷直線與直線平行的方法：①平行四邊形的對邊平行、梯形的上下底平行、棱柱的側(cè)棱互相平行…②三角形的中位線、相似線段成比例③基本事實4——平行線的傳遞性④直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.⑤平面與平面平行的性質(zhì)定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行⑥直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行．⑦兩直線的方向向量共線(直接法、基底法、坐標(biāo)法找λ)歸納總結(jié)——平行的判定2、判段直線與平面平行的方法：①判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.(幾何法、基底法、坐標(biāo)法)

直線的方向向量與平面內(nèi)兩個不共線的向量共面.②面面平行的性質(zhì)：兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.③如果兩個平面相互垂直，如果一條直線垂直于兩個平面中的一個，則該直線要么在另一個平面內(nèi)，要么與另一個平面平行.④法向量坐標(biāo)法：直線的方向向量與平面的法向量垂直歸納總結(jié)——平行的判定3、判段平面與平面平行的方法：①判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行.(幾何法、基底法、坐標(biāo)法)②平行于