河南省鶴壁市高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期線上第二次模擬考試試題文含解析

PAGE20-河南省鶴壁市高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期線上其次次模擬考試試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算得解.【詳解】由題意得，所以所以故選D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)等式進(jìn)行復(fù)數(shù)四則運(yùn)算得，其共軛復(fù)數(shù)．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)概念，考查基本運(yùn)算實(shí)力，留意題目求的是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，而不是求復(fù)數(shù)．3.中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2024年底，全國鐵路營業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里，其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2024年鐵路和高鐵運(yùn)營里程（單位：萬公里）的折線圖，以下結(jié)論不正確的是（）A.每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營里程增加最顯著B.從2014年到2024年這5年，高鐵運(yùn)營里程與年價(jià)正相關(guān)C.2024年高鐵運(yùn)營里程比2014年高鐵運(yùn)營里程增長80%以上D.從2014年到2024年這5年，高鐵運(yùn)營里程數(shù)依次成等差數(shù)列【答案】D【解析】【分析】由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解詳解】選項(xiàng)，明顯正確；對(duì)于，，選項(xiàng)正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故錯(cuò).故選D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的學(xué)問，考查數(shù)據(jù)處理實(shí)力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題4.已知向量，的夾角為，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)兩邊平方，轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程，依據(jù)，得到．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得：或，由，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查方程思想，留意等式的敏捷運(yùn)用．5.要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等變換思想化簡三角函數(shù)的解析式，利用圖象平移規(guī)律可得出結(jié)論.【詳解】，函數(shù)，把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，解答的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式，考查推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.若變量，滿意約束條件，則的最大值是（）A. B. C.-2 D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論．【詳解】畫出不等式組表示的可行域，表示通過可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率，又解得C，由圖可知：點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線斜率最大，即.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，以及直線的斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．7.數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出，再由可得出的值.【詳解】對(duì)隨意的，，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，計(jì)算出是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.8.下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴祥瑞．在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令圓的半徑為1，則，故選C．9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則滿意的正整數(shù)的值為（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【解析】∵，∴，∴，，∴，，∴滿意的正整數(shù)的值為12，故選C.10.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)三視圖推斷出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可計(jì)算出該幾何體的體積.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體可看作兩個(gè)幾何體的組合體，左側(cè)是四分之一圓錐，右側(cè)是四棱錐，圓錐的底面半徑為，高為，棱錐的底面是邊長為的正方形，一條側(cè)棱垂直于底面，且長度為．所以，該幾何體的體積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．11.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線上的點(diǎn)，且與軸垂直，的內(nèi)切圓的方程為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，利用平幾相關(guān)學(xué)問得，再由倍角公式得，從而得到，利用雙曲線的定義和，求得，代入漸近線方程得：．【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，如圖所示：點(diǎn)則為的角平分線，所以，所以，所以，在中，，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程，求解過程中敏捷運(yùn)用平面幾何學(xué)問，能使運(yùn)算量大大削減，使問題的求解更簡潔．12.設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋业膱D象是連續(xù)不間斷，，有，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，可知該函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可推斷出函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，進(jìn)而得出該函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可解出所求不等式.【詳解】令，定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，，則函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，因?yàn)?，有，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.則函數(shù)是上的奇函數(shù)并且單調(diào)遞減，又等價(jià)于，即，，又，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用構(gòu)造函數(shù)求解函數(shù)不等式，依據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的實(shí)力，屬于中等題.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知2a=5b=m,且=1,則m=____.【答案】10【解析】因?yàn)?a=5b=m,所以a=log2m,b=log5m,由換底公式可得=logm2+logm5=logm10=1,則m=10.點(diǎn)睛：(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡合并，在運(yùn)算中要留意化同底或指數(shù)與對(duì)數(shù)互化．(2)嫻熟地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡、證明常用的技巧．14.橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是_______【答案】【解析】【分析】設(shè)與平行且與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式等于0求得c的值，把橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離轉(zhuǎn)化為與橢圓的相切的的直線和其平行線間的距離.【詳解】設(shè)直線與橢圓相切．由消去x整理得.由得.當(dāng)時(shí)符合題意(舍去)．即x+2y+=0與橢圓相切,橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離即為兩條平行線之間的距離:【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡潔性質(zhì)，考查了直線和橢圓的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答本題的關(guān)鍵是理解橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離，與這條直線和它平行且與橢圓的相切的直線間的距離的關(guān)系.15.已知函數(shù)在函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)__________．【答案】4【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，或，本題轉(zhuǎn)化為上述方程有幾解，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，或，所以共有四個(gè)解，因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，故填：4．16.已知為曲線在處的切線，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為時(shí)，實(shí)數(shù)的值為______.【答案】或【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得在點(diǎn)處的切線方程，令求出的值，令求出的值，再由三角形的面積公式，得到關(guān)于的方程，從而求得或．【詳解】因?yàn)?，所以，所以切線的方程為：，令得：；令得：，所以，解得：或，故填：或．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、曲線在某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解實(shí)力．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在中，三邊，，的對(duì)角分別為，，，已知，.（1）若，求；（2）若邊上的中線長為，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理把等式中的邊化成角，利用三角恒等變換得到，再利用正弦定理，求得；（2）設(shè)邊上的中線為，利用向量加法法則得，對(duì)式子兩邊平方轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算，求得，再利用三角形的面積公式求面積的值．【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ?，得，所?所以.又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所?（2）設(shè)邊上的中線為，則，所以，即，.解得或（舍去）.所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、面積公式在解三角形中的運(yùn)用，解題過程中向量關(guān)系的兩邊平方后，本質(zhì)是余弦定理．18.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿著折起，使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，且有.（1）證明：.（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，推導(dǎo)出，，由此能證明，可得，結(jié)合證得.（2））由（1）結(jié)合垂直關(guān)系可計(jì)算四棱錐的高及底面的面積，能求出的體積．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，由已知得，∴，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴.因?yàn)?，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴.又因?yàn)椋?，從而平面，∴，又，不平行，∴平?（2）由（1）知，，底面的面積為，∴四棱錐的體積.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直證明，考查四棱錐的體積的求法，考查了空間思維實(shí)力，是中檔題．19.某市政府為減輕汽車尾氣對(duì)大氣的污染，保衛(wèi)藍(lán)天，激勵(lì)廣闊市民運(yùn)用電動(dòng)交通工具出行，確定為電動(dòng)車（含電動(dòng)自行車和電動(dòng)汽車）免費(fèi)供應(yīng)電池檢測服務(wù).現(xiàn)從全市已掛牌照的電動(dòng)車中隨機(jī)抽取100輛托付專業(yè)機(jī)構(gòu)免費(fèi)為它們進(jìn)行電池性能檢測，電池性能分為須要更換、尚能運(yùn)用、較好、良好四個(gè)等級(jí)，并分成電動(dòng)自行車和電動(dòng)汽車兩個(gè)群體分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本分布如圖.（1）采納分層抽樣的方法從電池性能較好的電動(dòng)車中隨機(jī)抽取9輛，再從這9輛中隨機(jī)抽取2輛，求至少有一輛為電動(dòng)汽車的概率；（2）為進(jìn)一步提高市民對(duì)電動(dòng)車的運(yùn)用熱忱，市政府打算為電動(dòng)車車主一次性發(fā)放補(bǔ)助，標(biāo)準(zhǔn)如下：①電動(dòng)自行車每輛補(bǔ)助300元；②電動(dòng)汽車每輛補(bǔ)助500元；③對(duì)電池須要更換的電動(dòng)車每輛額外補(bǔ)助400元.試求抽取的100輛電動(dòng)車執(zhí)行此方案的預(yù)算；并利用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)市政府執(zhí)行此方案的預(yù)算.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻數(shù)圖，利用分層抽樣得電動(dòng)自行車應(yīng)抽取4輛，電動(dòng)汽車應(yīng)抽取5輛，再利用古典概型和對(duì)立事務(wù)求得：至少有一輛為電動(dòng)汽車的概率為；（2）由頻數(shù)圖，計(jì)算樣本中100輛電動(dòng)車共補(bǔ)助元，算出每輛電動(dòng)車平均需補(bǔ)助的錢乘以可得估計(jì)出市政府執(zhí)行此方案的預(yù)算．【詳解】（1）依據(jù)分層抽樣的原理，電動(dòng)自行車應(yīng)抽?。ㄝv），電動(dòng)汽車應(yīng)抽取（輛）.從9輛電動(dòng)車中抽取2輛，設(shè)電動(dòng)汽車和電動(dòng)自行車分別為，，，，，，，，，可得抽法總數(shù)為36種，其中2輛均為電動(dòng)自行車的有,,,,,,共6種.“設(shè)從這9輛中隨機(jī)抽取2輛，至少有一輛為電動(dòng)汽車”為事務(wù)，則.（2）由條件可知，這100輛電動(dòng)車中電動(dòng)自行車60輛，電動(dòng)汽車40輛，其中電池須要更換的電動(dòng)自行車8輛，電動(dòng)汽車1輛.依據(jù)補(bǔ)助方案可知，這100輛電動(dòng)車共補(bǔ)助（元）.由樣本估計(jì)總體，市政府執(zhí)行此方案的預(yù)算大約須要（元）.即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查從圖中抽取數(shù)據(jù)信息、古典概型計(jì)算概率、樣本估計(jì)總體思想，考查基本數(shù)據(jù)處理實(shí)力．20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比到定點(diǎn)的距離大1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.（2）若為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，，切點(diǎn)為，，為的中點(diǎn).①求證：軸；②直線是否恒過肯定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）由題意知，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離等于到定點(diǎn)的距離，符合拋物線的定義，求軌跡的方程為；（2）①設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的方程分別為：、，從而有，為方程的兩根，證明點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，從而證得軸；②由①中的結(jié)論，把直線的方程寫成含有參數(shù)的形式，即并把方程看成關(guān)于的一次函數(shù)，從而得到定點(diǎn)為．【詳解】（1）由動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比到定點(diǎn)的距離大1得，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離等于到定點(diǎn)的距離，所以點(diǎn)的軌跡為頂點(diǎn)在原點(diǎn)、開口向上的拋物線，其中，軌跡方程為.（2）①設(shè)切點(diǎn)，，，所以切線的斜率為，切線.設(shè)，則有，化簡得.同理可得.所以，為方程的兩根.則有，，所以.因此軸.②因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以直線，即.即直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義求方程、利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、直線與拋物線相切、直線過定點(diǎn)等學(xué)問，考查運(yùn)算求解和邏輯推理實(shí)力．特殊是在求證直線過定點(diǎn)進(jìn)，也可以有另外的思路，即把直線設(shè)成的形式，然后找尋的關(guān)系，再把直線方程轉(zhuǎn)化成只含變量或變量的方程．21.已知函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)隨意的，，，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后得到，對(duì)分狀況進(jìn)行探討：、、、；（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，從而把不等式中的肯定值去掉得：，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，或，，所以在，上單調(diào)遞增；，，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，或，，所以在，上單調(diào)遞增；，，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減；，，所以在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)椋桑?）得，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，由得，即.令，，只需恒成立，即恒成立，即，即.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、全稱量詞和存在量詞的綜合、不等式恒成立問題等，對(duì)分類探討思想的要求較高，在第（2）問的求解時(shí)，去掉肯定值后，構(gòu)造新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)探討新函數(shù)是解決問題的難點(diǎn)．請(qǐng)考生在22、23兩