2.5 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（原卷版）-2024-2025學(xué)年【暑假預(yù)習(xí)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修一）

.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系知識點一直線與圓的位置關(guān)系【【解題思路】直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷．(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷定點與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系．但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．【例1-1】（2024·河南·一模）已知圓，則下列說法錯誤的是（

）A．點在圓外 B．直線平分圓C．圓的周長為 D．直線與圓相離【例1-2】（23-24高二下·陜西榆林·階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【例1-3】（23-24高二下·河南濮陽·階段練習(xí)）已知直線與圓和圓都相切，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．或【變式】1．（23-24高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系為（）A．相交且過圓心 B．相交且不過圓心C．相切 D．相離2．（24-25高二上·上?！卧獪y試）直線繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后所得的直線l與圓的位置關(guān)系是（

）A．直線l過圓心 B．直線l與圓相交，但不過圓心C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無公共點3．（22-23高二上·安徽蕪湖·期中）圓與直線的交點個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．與k的取值有關(guān)4．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知直線與圓相交，則實數(shù)k的取值范圍是．5．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍是．知識點二直線與圓的弦長【【解題思路】直線與圓相交時的弦長求法幾何法利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長l之間的關(guān)系r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2解題代數(shù)法若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長弦長公式法設(shè)直線l：y＝kx＋b與圓的兩交點為(x1，y1)，(x2，y2)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])【例2-1】（24-25高二上·上?！て谥校┤魣A與直線相交于A、B兩點，則弦的長為．【例2-2】（24-25高二上·上?！ふn堂例題）過點的直線l與圓C：相交于A、B兩點，則的最小值是．【例2-3】（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）直線，被圓截得最短弦的長為（

）A． B． C． D．【例2-4】（23-24高二下·安徽安慶·期末）已知圓心為的圓與x軸交于A、B兩點，，則該圓的方程是（

）A． B．C． D．【變式】1．（23-24高二上·江西上饒·期末）直線被圓所截得的弦長為（

）A．2 B． C． D．102．（23-24高二下·山西長治·期末）已知直線被圓心為的圓截得的弦長為，則該圓的方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二下·重慶·期末）過點的直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．24．（23-24高二下·湖南益陽·階段練習(xí)）直線截圓所得弦長的最小值為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·安徽六安·期末）“”是“直線被圓截得的弦長為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件知識點三圓上或圓外一點求切線方程【【解題思路】求過某一點的圓的切線方程(1)點(x0，y0)在圓上．①先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式可得切線方程．②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)點(x0，y0)在圓外．①設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．②當(dāng)用此法只求出一個方程時，另一個方程應(yīng)為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況．③過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．【例3-1】（23-24高二下·上海靜安·期末）圓在點處的切線方程為．【例3-2】（23-24高二下·河北張家口·期中）已知和點，則過點的的所有切線方程為.【例3-3】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）由點向圓引的切線長是（

）A．3 B． C． D．5【例3-4】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角（銳角或直角）的余弦值為（

）A． B． C． D．6【例3-5】（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)P為直線上的動點，PA，PB為圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形的周長的最小值為（

）A．3 B． C．4 D．【變式】1．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）過點作圓的切線l，求切線l的方程2．（23-24高二上·福建漳州·期末）圓在點處的切線方程為.3．（23-24高二上·山西呂梁·階段練習(xí)）過點與圓相切的直線方程為．4．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點，圓，若直線與圓C相切，則直線的方程為5．（2024·全國·模擬預(yù)測）若直線上僅存在一點，使得過點的直線與圓切于點，且，則的值為6．（23-24高二下·四川成都·開學(xué)考試）若點P是直線l：上的一動點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為（23-24高二上·河北邯鄲·期末）過直線上的動點向圓心為，半徑為2的圓引兩條切線（為切點），則四邊形的面積的最小值為知識點四判斷兩個圓的位置關(guān)系【【解題思路】判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值，半徑之和進行比較，進而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中主要使用的方法．(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)進而判斷兩圓位置關(guān)系．【例4-1】（23-24高二上·北京·期中）已知圓，圓，那么兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．外離 C．外切 D．內(nèi)含【例4-2】（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）圓：與圓：的公切線有且僅有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式】1．（23-24高二上·甘肅慶陽·期末）圓：與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．相離2．（22-23高二上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）設(shè)圓：，圓：，則圓，的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．相離3．（23-24高二上·北京·期中）圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切4．（23-24高二上·青海西寧·期中）已知圓與圓有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（23-24高二下·河南·期中）（多選）已知圓，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若圓和圓相交，則B．若圓和圓外切，則C．當(dāng)時，圓和圓有且僅有一條公切線D．當(dāng)時，圓和圓相交弦長為知識點五兩個圓的公共弦【【解題思路】1.兩圓的公共弦所在直線方程若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.2.公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．【例5-1】（23-24高二下·山西太原·階段練習(xí)）若過點向圓C：作兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【例5-2】（23-24高二下·貴州·階段練習(xí)）已知圓與圓交于A，B兩點，則（

）A． B．5 C． D．【變式】1．（23-24高二上·四川成都·期末）圓和圓的公共弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．2．（2024高二·全國·專題練習(xí)）圓與圓的公共弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．3．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）兩圓與的公共弦長為（

）A． B． C． D．14．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）已知點和圓Q：，則以PQ為直徑的圓與圓Q的公共弦長是（

）A． B． C． D．知識點六實際應(yīng)用題【【解題思路】解決直線與圓的實際應(yīng)用題的步驟(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知．(2)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示幾何模型中的基本元素?3)求解：利用直線與圓的有關(guān)知識求出未知．(4)還原：將運算結(jié)果還原到實際問題中去．【例6】（23-24高二上·浙江金華·期中）臺風(fēng)中心從地以每小時的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市在地正東處，城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為小時.【變式】1．（23-24高二上·廣東潮州·期中）某圓拱梁的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造時，每隔3m需要一個支柱支撐，求支柱的長（參考數(shù)據(jù)2.45，結(jié)果精確到0.1m）．2．（23-24高二上·湖北武漢·期末）為了保證海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺的正東方向設(shè)立了觀測站，在平臺的正北方向設(shè)立了觀測站，它們到平臺的距離分別為12海里和海里，記海平面上到觀測站和平臺的距離之比為2的點的軌跡為曲線，規(guī)定曲線及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū)．

(1)如圖，以為坐標原點，，為，軸的正方向，建立平面直角坐標系，求曲線的方程；(2)海平面上有漁船從出發(fā)，沿方向直線行駛，為使?jié)O船不進入預(yù)警區(qū)，求的取值范圍．3．（23-24高二上·吉林·期末）如圖，第25屆中國機器人及人工智能大賽總決賽中，主辦方設(shè)計了一個矩形坐標場地（包含地界和內(nèi)部），長為12米，在邊上距離B點5米的E處放置一只機器犬，在距離B點2米的F處放置一個機器人，機器人行走的速度為v，機器犬行走的速度為，若機器犬和機器人在場地內(nèi)沿著直線方向同時到達場地內(nèi)某點P，則機器犬將被機器人捕獲，點P叫成功點．(1)求在這個矩形場地內(nèi)成功點P的軌跡方程；(2)若N為矩形場地邊上的一點，若機器犬在線段上都能逃脫，問N點應(yīng)在何處？知識點七與圓有關(guān)的最值問題【【解題思路】與圓有關(guān)的最值1.形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．2.形如u＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．3.形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(l,b)的截距的最值問題．【例7-1】（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．表示經(jīng)過的所有直線B．圓上的點到直線距離的最小值為C．圓上的點到直線距離的最大值為D．若直線與圓相切，則【例7-2】（23-24高二上·海南省直轄縣級單位·期中）（多選）已知實數(shù)x和y滿足，則下列說法正確的是（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最大值為【例7-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）（多選）已知實數(shù)，滿足曲線的方程，則下列選項正確的是（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最大值是【變式】1．（23-24高二上·山東·期中）（多選）已知實數(shù)x，y滿足方程，則下列說法正確的是（）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的范圍是2．（23-24高二上·福建廈門·期中）（多選）已知點是圓上一動點，則下列說法正確的是（

）A．的最小值是0 B．的最大值為1C．的最大值為 D．的最小值為3．（23-24高三上·廣東汕頭·期中）（多選）已知圓，點是直線上一動點，過點作直線分別與圓相切于點，則（

）A．圓上恰有一個點到的距離為 B．直線恒過定點C．的最小值是 D．四邊形面積的最小值為24．（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知，，，且，點．(1)求的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值．【題組一直線與圓的位置關(guān)系】1．（23-24高二上·陜西渭南·期末）已知直線和圓，則直線l與圓C（

）A．相切 B．相離C．相交 D．相交且過圓心2．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）過點作圓的切線，直線與直線平行，則直線與的距離為（

）A．4 B．2 C． D．3．（23-24高二下·廣西桂林·期末）（多選）直線l：，圓C：，下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l的傾斜角為B．圓C的圓心坐標為（1，0）C．當(dāng)時，直線l與圓C相切D．當(dāng)時，直線l與圓C相交4．（2024·山東·二模）（多選）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點 B．直線與圓相交C．當(dāng)直線平分圓時， D．當(dāng)點到直線距離最大值時，5．（22-23高二下·上海閔行·期末）若直線與圓相交，則實數(shù)的取值范圍是.6．（23-24高三下·上海浦東新·期中）已知圓，圓，若兩圓相交，則實數(shù)的取值范圍為.【題組二直線與圓的弦長】1．（23-24高二上·山東青島·期末）已知兩點，以線段為直徑的圓截直線所得弦長為（

）A． B． C．4 D．22．（23-24高二下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）已知直線和圓，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．直線過定點 B．直線與圓有兩個交點C．存在直線與直線垂直 D．直線被圓截得的最短弦長為4．（23-24高二下·浙江·期中（多選）若直線與圓相交于兩點，則的長度可能等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【題組三圓上或圓外一點求切線方程】1．（23-24福建·開學(xué)考試）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·安徽淮北·期末）從原點向圓引兩條切線，則兩條切線間圓的劣弧長為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·河南許昌·期末）直線l過點，且與圓相切，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．或4．（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知圓，直線的過點且與圓相切，則滿足條件的直線有幾條（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（23-24高二上·北京延慶·期末）已知圓，求經(jīng)過點的圓的切線方程．6．（22-23高二上·北京·期中）已知圓C：，直線m的傾斜角為且與圓C相切，則切線m的方程為．7．（22-23高二上·云南臨滄·階段練習(xí)）已知圓，過點作不過圓心的直線交圓于兩點，則面積的最大值是.【知識點四判斷兩個圓的位置關(guān)系】1．（22-23高二下·上?！て谥校﹫A與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含2．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（）u哦下單已知直線與圓：和圓：都相切，則直線的方程可能為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）（多選）已知兩圓和有公共點則r的值可能是（

）A． B．1 C．6 D．84．（23-24高二上·廣東深圳·期末）寫出與圓和都相切的一條直線的方程.【知識點五兩個圓的公共弦】1．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓和圓相交于A，B兩點，則弦AB的長為（

）．A． B． C．4 D．22．（23-24高二上·江蘇南京·期末）（多選）已知圓O：()與圓M：，則下列說法正確的有（）A．若，則兩圓外切B．若，直線為兩圓的公切線C．若，則兩圓的公共弦所在直線方程為D．若，則兩圓外離3．（23-24高二下·廣東·期中）已知圓：和圓：，則兩圓公共弦所在直線的方程為.4．（23-24高二上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知，．(1)求兩圓公共弦所在的直線方程；(2)求兩圓的公共弦長．【知識點六實際應(yīng)用題】1．（22-23高二上·云南昆明·期中）如圖是某圓拱橋的示意圖，水面跨度為16米，拱橋頂點離河面4米，當(dāng)水面上漲2米后，水面寬為（

）米A．8 B．10 C．12 D．142．（23-24高二上·吉林長春·期末）某市為了改善城市中心環(huán)境,計劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移,需要拆除工廠內(nèi)一個高塔,施工單位在某平臺O的北偏東方向處設(shè)立觀測點A,在平臺O的正西方向240m處設(shè)立觀測點B,以O(shè)為坐標原點,O的正東方向為x軸正方向,建立如圖所示的平面直角坐標系.已知經(jīng)過O,A,B三點的圓為圓C.(1)求圓C的方程.(2)規(guī)定圓C及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū),經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn),在平臺O的正南方向200m的P處,有一輛小汽車沿北偏西方向行駛,小汽車會不會進入安全預(yù)警區(qū)?說明理由.3．（23-24高二上·重慶云陽·階段練習(xí)）如圖，已知一艘海監(jiān)船上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東的處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北的處島嶼，