八年級數(shù)學(xué)等腰三角形經(jīng)典教學(xué)案

...wd......wd......wd...等腰三角形等腰三角形含義：有兩條邊相等的三角形。常見題：兩邊長和第三邊，求周長。例題：兩條邊長分別為2和5，求周長，注意：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。等腰三角形的性質(zhì)：1.等邊對等角，例如：AB=AC，∠B=∠C等腰三角形的性質(zhì)：2等腰△的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合〔通常稱作“三線合一〞〕。注意：只有等腰三角形才有三線合一。[例1]如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度數(shù)．3.等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等〔簡寫成“等角對等邊〞〕．4.[例2]求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC〔如圖〕．求證：AB=AC．證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B〔兩直線平行，同位角相等〕，∠2=∠C〔兩直線平行，內(nèi)錯角相等〕．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC〔等角對等邊〕．練習(xí)：：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC〔兩直線平行，內(nèi)錯角相等〕．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD〔等角對等邊〕．[例3]如圖〔1〕，標(biāo)桿AB的高為5米，為了將它固定，需要由它的中點C向地面上與點B距離相等的D、E兩點拉兩條繩子，使得D、B、E在一條直線上，量得DE=4米，繩子CD和CE要多長分析：這是一個與實際生活相關(guān)的問題，解決這類型問題，需要將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型．此題是在等腰三角形中等腰三角形的底邊和底邊上的高，求腰長的問題．一、復(fù)習(xí)知識要點1．有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊．兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角．2．三角形按邊分類：三角形3．等腰三角形是軸對稱圖形，其性質(zhì)是：性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等〔簡寫成“等邊對等角〞〕性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．4．等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等〔簡寫成“等角對等邊〞〕．二、例題例：如圖，五邊形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，點F是CD的中點．求證：AF⊥CD.分析：要證明AF⊥CD，而點F是CD的中點，聯(lián)想到這是等腰三角形特有的性質(zhì)，于是連接AC、AD，證明AC=AD，利用等腰三角形“三線合一〞的性質(zhì)得到結(jié)論．證明：連接AC、AD在△ABC和△AED中∴△ABC≌△AED〔SAD〕∴AC=AD〔全等三角形的對應(yīng)邊相等〕又∵△ACD中AF是CD邊的中線〔〕∴AF⊥CD〔等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合〕三、練習(xí)〔一〕、選擇題1．等腰三角形的對稱軸是〔〕A．頂角的平分線B．底邊上的高C．底邊上的中線D．底邊上的高所在的直線2．等腰三角形有兩條邊長為4cm和9cm，則該三角形的周長是〔〕A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm3．等腰三角形的頂角是80°，則一腰上的高與底邊的夾角是〔〕A．40°B．50°C．60°D．30°4．等腰三角形的一個外角是80°，則其底角是〔〕A．100°B．100°或40°C．40°D．80°5．如圖1，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，假設(shè)∠A=18°，則∠GEF的度數(shù)是〔〕A．80°B．90°C．100°D．108°如圖1答案:1．D2．B3．A4．C5．B如圖2〔二〕、填空題6．等腰△ABC的底角是60°，則頂角是________度．7．等腰三角形“三線合一〞是指___________．8．等腰三角形的頂角是n°，則兩個底角的角平分線所夾的鈍角是_________．9．如圖2，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，則∠EDF的度數(shù)是_____．10．△ABC中，AB=AC．點D在BC邊上〔1〕∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；〔2〕∵AD是中線，∴∠________=∠________；________⊥________；〔3〕∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．11．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，則AB：BC=_________．12．AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，要使AD∥BC，則△ABC的邊一定滿足________．13．△ABC中，∠C=∠B，D、E分別是AB、AC上的點，AE=2cm，且DE∥BC，則AD=________．答案:6．607．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合8．〔90+n〕°9．70°10．略11．112．AB=AC13．2cm14．30海里〔三〕、解答題15．如圖，CD是△ABC的中線，且CD=AB，你知道∠ACB的度數(shù)是多少嗎由此你能得到一個什么結(jié)論請表達(dá)出來與你的同伴交流．16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：∠ABC=∠ADC.17．如圖，△ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于F交BC于E，求證：△DBE是等腰三角形．答案:15．∠ACB=90°．結(jié)論：假設(shè)一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形16．連接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．∴∠ABC=∠ADC17．證明∠D=∠BED等邊三角形定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB．分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．[例5]右圖是屋架設(shè)計圖的一局部，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多長分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△AED與Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中點，所以DE=AB．[例]等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高．：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的長．分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一個外角，則∠DAC=15°×2=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半，可求出CD．等邊三角形一、復(fù)習(xí)知識要點1．三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形．2．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°3．等邊三角形的判定方法：〔1〕三條邊都相等的三角形是等邊三角形；〔2〕三個角都相等的三角形是等邊三角形；〔3〕有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．4．在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．二、練習(xí)〔一〕、選擇題1．正△ABC的兩條角平分線BD和CE交于點I，則∠BIC等于〔〕A．60°B．90°C．120°D．150°2．以下三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角〔每個頂點處各取一個外角〕都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有〔〕A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是〔〕A．等邊三角形B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等邊三角形4．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長度是〔〕A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm5．如圖，E是等邊△ABC中AC邊上的點，∠1=∠2，BE=CD，則對△ADE的形狀最準(zhǔn)備的判斷是〔〕A．等腰三角形B．等邊三角形C．不等邊三角形D．不能確定形狀答案：1．C2．D3．A4．C5．B〔二〕、填空題6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則∠B=_______．7．AD是等邊△ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點F，則∠AFE=______．8．等邊三角形是軸對稱圖形，它有______條對稱軸，分別是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延長線于點D，則CD的長度是_______．答案：6．60°7．60°8．三；三邊的垂直平分線9．1cm〔三〕、解答題10．D、E分別是等邊△ABC中AB、AC上的點，且AE=BD，求BE與CD的夾角是多少度11．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于點D，求證：BC=3AD.12．如圖，點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求證：△BCE≌△ACD；②求證：CF=CH；③判斷△CFH的形狀并說明理由．13．如圖，點E是等邊△ABC內(nèi)一點，且EA=EB，△ABC外一點D滿足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度數(shù)．〔提示：連接CE〕答案：10．60°或120°11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt△ADC中CD=2AD，∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；②證明△BCF≌△ACH；③△CFH是等邊三角形．13．連接CE，先證明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，再證明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°Ⅲ、隨堂練習(xí)，變式訓(xùn)練練習(xí)1：請同學(xué)們做課本51頁的練習(xí)第一題，同時教師在黑板上補(bǔ)充一下題目：求等腰三角形個角度數(shù)：在等腰三角形中，有一個角的度數(shù)為36°.在等腰三角形中，有一個角的度數(shù)為110°.學(xué)生思考，練習(xí)，教師指導(dǎo)，并給出答案，之后引導(dǎo)學(xué)生對以上這種類型的題目存在的規(guī)律進(jìn)展歸納總結(jié)。歸納：等腰三角形的一個內(nèi)角的度數(shù),求其它兩角時,(a)假設(shè)角為鈍角或直角,則它一定是頂角；(b)假設(shè)角為銳角,它可能是頂角,也可能是底角。本次變式訓(xùn)練中，教師應(yīng)重點關(guān)注：〔1〕學(xué)生能否正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)；〔2〕學(xué)生是否注意到等腰三角形的地窖一定是銳角；〔3〕學(xué)生是否注意到可能的多種情況；(4)學(xué)生是否注意到等腰三角形的頂角可能是鈍角，但底角一定是銳角。設(shè)計意圖：及時穩(wěn)固所學(xué)知識，了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力，同時培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想。練習(xí)2：：在△ABC中，AB=AC，BD=DC.AD=4,BC=6時，求②當(dāng)時，求的度數(shù)。解:解:練習(xí)2的訓(xùn)練主要是讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)2來解題。設(shè)計意圖：及時穩(wěn)固所學(xué)知識，了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力，同時培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想。Ⅳ、應(yīng)用深化，穩(wěn)固提高例：在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)。BCBCAD解：因為AB=AC,BD=BC=AD所以∠ABC=∠C=∠BDA,∠A=∠ABD〔等邊對等角〕設(shè)∠C=x,則∠BDA=∠A+∠ABD=2x從而∠ABC=∠C=∠BDA=2x于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°解得x=36°在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=72°，∠C=72°。通過例題講解，教師應(yīng)重點關(guān)注：〔1〕學(xué)生能否正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)解決問題；〔2〕學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識的應(yīng)用意識。設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生正確應(yīng)用所學(xué)知識的應(yīng)用能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識，參與意思，穩(wěn)固所學(xué)性質(zhì)。Ⅴ、課時小結(jié)請大家拿出前面剪得的等腰三角形，與小組同學(xué)一起結(jié)合圖形指出你知道的內(nèi)容。等腰三角形的兩個底角相等〔簡稱“等邊對等角〞〕；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。教師重點關(guān)注：①歸納、總結(jié)能力；②不同層次的學(xué)生對本節(jié)知識的認(rèn)識程度；③學(xué)生獨立面對困難和抑制困難的能力。設(shè)計意圖：總結(jié)回憶學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納，激發(fā)學(xué)生主動參與的意識，為每一位學(xué)生創(chuàng)造在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗時機(jī)，并為程度不同的學(xué)生提供充分展示自己的時機(jī)。一、選擇題〔每題6分，共30分〕每題有且只有一個正確答案1．等腰三角形〔不等邊〕的角平分線、中線和高的條數(shù)總和是〔〕A．3B．5C．7D．92．在射線、角和等腰三角形中，它們〔〕軸對稱圖形A．都是B．只有一個是C．只有一個不是D．都不是3．如以以以下圖：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一點，假設(shè)∠BDC=72°，則圖形中共有〔〕個等腰三角形。A．1B．2C．3D．44．三角形內(nèi)有一點，它到三角形三邊的距離都相等，同時與三角形三頂點的距離也都相等，則這個三角形一定是〔〕A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．非等腰三角形D．等邊三角形5．△ABC中，AB=AC，AB邊的中垂線與直線AC所成的角為50°，則∠B等于〔〕A．70°B．20°或70°C．40°或70°D．40°或20°二、填空題〔每題6分，共30分〕1．等腰三角形中的一個外角為130°，則頂角的度數(shù)是_______________。2．△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，CD=3，∠B=75°，則AB=_________________3．如以以以下圖：△ABC中，AB=AC，DE是AB中垂線交AB、AC于D，E，假設(shè)△BCE的周長為24，AB=14，則BC=________，假設(shè)∠A=50°，則∠CBE=______________。4．等腰三角形中有兩個角的比為1：10，則頂角的度數(shù)是__________________。5．如以以以下圖：等邊△ABC，D是形外一點，假設(shè)AD=AC，則∠BDC=_____________度。三、作圖題〔6分〕，只畫圖，不寫作法。如左圖：直線MN及點A，B。在直線MN上作一點P，使∠APM=∠BPM。四、解答題〔第1小題12分，第2、3小題各11分〕1．：如圖△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。求證：HB=HC。2．：如圖：等邊△ABC，D、E分別是BC、AC上的點，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，假設(shè)AE=CD，求證：。3．：如圖：△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC=120°，AB+BD=DC。求：∠C的度數(shù)。選作題：：如圖：△ABC中，D是BC上一點，P是AD上一點，假設(shè)∠1=∠2，PB=PC