教師資格認定考試初級中學數(shù)學模擬題13

教師資格認定考試初級中學數(shù)學模擬題13一、單項選擇題1.

設常數(shù)α＞0，β＞0，則級數(shù)的收斂性______A.與α，β的值有關(guān)B.僅與α的值有關(guān)C.僅與β的值有關(guān)D.與α，β的值都無關(guān)正確答案：A[解析]，根據(jù)正項級數(shù)的比式判別法可知，當0＜β＜1時，級數(shù)收斂，當β＞1時，級數(shù)發(fā)散，當β=1且α＞1時，級數(shù)收斂，當β=1且α≤1時，級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)的收斂性與α，β的值都有關(guān)。

2.

極限

A．0

B．

C．1

D．正確答案：C[解析]當x→0時，ex-1～x，則。

3.

函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則______A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函數(shù)正確答案：D[解析]f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1)，

∴函數(shù)f(x)關(guān)于點(1，0)及點(-1，0)對稱，函數(shù)f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函數(shù)。

∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4)，f(-x+3)=-f(x+3)，即f(x+3)是奇函數(shù)。故選D。

4.

設三階矩陣，若伴隨矩陣的秩為1，則必有______A.a=b或a+2b=0B.a=b或a+2b≠0C.a≠b且a+2b=0D.a≠b且a+2b≠0正確答案：C[解析]根據(jù)矩陣A與其伴隨矩陣A*的關(guān)系，知r(A)=2，矩陣A的秩小于它的行數(shù)或列數(shù)，故有，可得a+2b=0或a=b。

當a=b時，，此時r(A)=1≠2，故必有a≠b且a+2b=0。

5.

已知a=i+2j+3k，b=2i+mj+4k，c=ni+2j+k是空間中的三個向量，則“m=0且n=0”是“a，b，c三向量共面”的______A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件正確答案：A[解析]三向量共面的充要條件為(a×b)·c=0，即，行列式展開得m+8n-3mn=0。當m=0且n=0時，等式成立，可推出三向量共面；當三向量共面時，無法推出m=0且n=0。故選A。

6.

對某目標進行100次獨立射擊，假設每次射擊擊中目標的概率是0.2，記X為100次獨立射擊中擊中目標的總次數(shù)，則E(X2)=______A.20B.200C.400D.416正確答案：C[解析]由題意知，X～B(100，0.2)，所以E(X)=100×0.2=20，因為每次射擊都是獨立的，所以X和X相互獨立，E(X2)=E(X·X)=[E(X)]2=400。

7.

在等腰二角形、平行四邊形、橢圓和拋物線四個圖形中，是中心對稱圖形的有______A.1個B.2個C.3個D.4個正確答案：B[解析]四個圖形中，橢圓既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，平行四邊形是中心對稱圖形，等腰三角形和拋物線是軸對稱圖形，所以這四個圖形中有2個是中心對稱圖形。

8.

我國古代關(guān)于求解一次同余式組的方法被西方稱作“中國剩余定理”，這一方法的首創(chuàng)者是______A.賈憲B.劉徽C.朱世杰D.秦九韶正確答案：D[解析]秦九韶(約1202-1261)，所著《數(shù)書九章》是一部劃時代的巨著，它完整保存了中國算籌記數(shù)法及其演算式，論述了自然數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、復數(shù)，還第一次用小數(shù)表示無理根。《數(shù)書九章》還對“大衍求一術(shù)”(一次同余組解法)和“正負開方術(shù)”(高次方程的數(shù)值解法)等進行了十分深入的研究。

二、簡答題(本大題共5小題，每小題7分，共35分)1.

利用拉格朗日中值定理證明下列不等式：，其中0＜m＜n。正確答案：解：設f(x)=lnx，則，

因為f(x)在[m，n]上滿足拉格朗日中值定理，則在(m，n)內(nèi)存在一點ξ，使得。

由0＜m＜n得，即，可得，結(jié)論得證。

2.

拋物線y2=2x把圓x2+y2=8分成兩部分，求這兩部分面積之比。正確答案：解：拋物線y2=2x與圓x2+y2=8的交點分別為(2，2)與(2，-2)，如圖所示，拋物線將圓分成兩個部分A1，A2，記它們的面積分別為S1，S2，

則有。

3.

設η為AX=b(b≠0)的一個解，ξ1，ξ2，…，ξn-r為對應齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，證明ξ1，ξ2，…，ξn-r，η線性無關(guān)。正確答案：證：用反證法進行證明。由ξ1，ξ2，…，ξn-r為對應齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，

知ξ1，ξ2，…，ξn-r線性無關(guān)。

設ξ1，ξ2，…，ξn-r，η線性相關(guān)，

則η可由ξ1，ξ2，…，ξn-r線性表示，即η=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r。

因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組的解，

故η必是AX=0的解，

這與已知條件η為AX=b(b≠0)的一個解相矛盾。

由上可知，ξ1，ξ2，…，ξn-r，η線性無關(guān)。

4.

什么是幾何直觀?在教學中如何培養(yǎng)學生的幾何直觀觀念?正確答案：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。在教學中培養(yǎng)學生的幾何直觀觀念可以從以下兩方面考慮：(1)注重直觀，強調(diào)學生的動手實驗能力的培養(yǎng)。學生掌握知識一般有一個從感性到理性的認知過程，在教學中，恰當?shù)剡\用直觀手段可以使知識具體化、形象化，為學生感知、理解和記憶知識創(chuàng)造條件；同時還能引起學生的注意，激發(fā)他們的學習興趣，提高課堂教學的有效性。因此．在教學中要注重直觀性教學，重點可以采取以下三步：①運用直觀教具，提供感性認識。②重視實驗，提高學生的動手能力。③利用形象語言，幫助理解和識記。(2)注重思想方法，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想。義務教育階段幾何直觀教學的關(guān)鍵點是能夠運用形象的幾何圖形解決復雜的數(shù)學問題，這里就蘊含了一個重要的數(shù)學思想即數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合能培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間觀念和幾何直觀能力，培養(yǎng)學生形象思維與抽象思維的交叉運用，從而有助于培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力。

5.

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學思想，它的實質(zhì)就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決問題。用數(shù)形結(jié)合思想解題能簡化推理和運算，具有直觀、快捷的優(yōu)點。請簡要談談數(shù)形結(jié)合思想在解哪些類型的問題時可以發(fā)揮作用，使問題得到更好的解決。正確答案：(1)利用數(shù)軸將代數(shù)問題化為幾何問題；(2)利用函數(shù)圖象和性質(zhì)將代數(shù)問題化為幾何問題；(3)利用幾何模型將代數(shù)問題化為幾何問題；(4)利用方程或不等式將代數(shù)問題化為幾何問題；(5)利用三角知識解決幾何問題；(6)利用幾何圖形特征將幾何計算化為代數(shù)運算；(7)最值問題。

三、解答題(本大題共1小題，10分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x。1.

求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及最大值；正確答案：解：令，解得x=0，當x＞0時，f'(x)＜0，故[0，+∞)為函書f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

當-1＜x＜0時，f'(x)＞0，故(-1，0)為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間。

當x=0時，函數(shù)f(x)取得最大值0。

2.

設a＞0，b＞0，若b≥a，

①求證：，e為自然對數(shù)底數(shù)。

②若g(x)=xlnx，求證：g(a)+(a+b)ln2≥g((a+b)-g(b)。正確答案：①由上小題知函數(shù)f(x)在x=0處取得最大值，所以f(x)≤0，即ln(1+x)-x≤0，

假設，則有，即。

②g(x)=xlnx，g'(x)=lnx+1，，

當x＞0時，g"(x)＞0，g(x)在(0，+∞)上的圖象是凹的，

又b≥a＞0，于是有，從而，

整理得，

也就是g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)-g(b)。

四、論述題(本大題共1小題，15分)《義務教育數(shù)學課程標準》(2011年版)指出“要讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程”，數(shù)學課程的內(nèi)容“應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流”。1.

這里的“過程”大體上要包括哪些方面?正確答案：這里的“過程”大體上要包括兩個方面：①發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學成分，并對這些成分做符號化處理，把一個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。②在數(shù)學范疇之內(nèi)對已經(jīng)符號化了的問題做進一步抽象化處理，從符號一直到嘗試建立和使用不同的數(shù)學模型，發(fā)展成為完善、合理的數(shù)學概念框架為止。

2.

結(jié)合具體的數(shù)學內(nèi)容，談談數(shù)學新課程的教學應采用什么樣的模式展開?正確答案：數(shù)學新課程的教學，應結(jié)合具體的數(shù)學內(nèi)容采用“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的模式展開，讓學生經(jīng)歷知識的形成與應用的過程，從而更好地理解數(shù)學知識的意義，掌握必要的基礎(chǔ)知識與基本技能，發(fā)展應用數(shù)學知識的意識與能力，增強學好數(shù)學的愿望和信心。

3.

課程標準的這一理念從內(nèi)容上強調(diào)了過程，這對教師提出了新的要求，談談你對此方面的理解。正確答案：課程標準的這一理念從內(nèi)容上強調(diào)了過程，不僅與創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)緊密結(jié)合，而且使學生的探索經(jīng)歷和得出新發(fā)現(xiàn)的體驗成為數(shù)學學習的重要途徑。在教學中，教師首先應考慮的是要充分調(diào)動學生的主動性與積極性，引導學生開展觀察、操作、比較、概括、猜想、推理、交流等多種形式的活動，使學生通過各種數(shù)學活動，掌握基本的數(shù)學知識和技能，初步學會從數(shù)學的角度去觀察事物和思考問題，產(chǎn)生學習數(shù)學的愿望和興趣。例如，抽象數(shù)學概念的教學，要關(guān)注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式。

五、案例分析題(本大題共1小題，20分)某教師關(guān)于“實際問題與二元一次方程組”的教學過程各環(huán)節(jié)設計的習題如下：

(1)提出問題，導入新課

問題1：母親26歲結(jié)婚，第二年生個兒子，若干年后母親的年齡是兒子年齡的3倍，此時母親的年齡為幾多?

解法一：設經(jīng)過x年后，母親的年齡是兒子年齡的3倍。

由題意得26+x=3x。

解法二：設母親的年齡為x歲。

由題意得x=3(x-26)。

(2)精選講例，探求新知

問題2：某班有45位學生，共有班費2400元，現(xiàn)準備給每位學生訂一份報紙。已知《作文報》的訂費為60元/年，《科學報》的訂費為50元/年，則訂閱兩種報紙各多少份?

鞏固練習：小明和小李兩人進行投籃比賽，規(guī)則：小明投3分球，小李投2分球，兩人共投中20次，經(jīng)計算兩人得分相等，問小李和小明各投中幾個球?

(3)變式訓練，激活學生思維

問題3：小明和小李兩人進行投籃比賽，小明投3分球，小李投2分球，兩人共投中100次，小明投中率為40%，小李投中率為40%，經(jīng)計算兩人得分相等，問小李和小明各投中幾個球?

問題4：已知某電腦公司有A型、B型、C型3種型號的電腦，其價格分別為A型6000元/臺、B型4000元/臺、C型2500元/臺，我校計劃將100500元錢全部用于從該公司購進其中兩種不同型號電腦共36臺，請你設計出幾種不同的購買方案供學校采用。小紅的方案：她認為可以購進A型和B型電腦。請你判斷小紅提出的方案是否合理，并通過計算說明。

(4)課堂練習，鞏固新知

練習1：A，B兩地相距36千米，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙從B地出發(fā)步行到A地，兩人同時出發(fā)，4小時后相遇。若6小時后，甲所余路程為乙所余路程的2倍，求甲、乙兩人的速度。

練習2：某班借來一批圖書，分借給同學閱覽，如果每人借6本，那么會有一個同學沒書可借，如果每人借5本，那么還剩5本書沒人借，問該班有多少人?有多少書?

(5)拓展

練習3：變式訓練問題4中，若學校要購買A，B，C三種型號的電腦，又如何安排?

練習4：某中學新建一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同。安全檢查中，對4道門進行測試，當同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時，2分鐘內(nèi)可以通過560名學生，當同時開啟一道正門和一道側(cè)門時，4分鐘內(nèi)可以通過800名學生。

①問平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學生?

②檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20%，安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學生應在5分鐘內(nèi)通過這4道門安全撤離。假設這棟大樓每間教室最多有45名學生，問建造的這4道門是否符合安全規(guī)定?

問題：1.

請對上述該老師習題內(nèi)容的配置進行評析；正確答案：①本課的習題配置注重從學生親身經(jīng)歷的活動、學生熟悉的事入手，有開放型題、變式題，有數(shù)學思想的滲透，從易到難，由淺入深，應該說習題的設置具有一定的挑戰(zhàn)性，能夠起到激活學生思維的作用。

②本課的教學容量太大且選題具有一定的難度，對于基礎(chǔ)好的學生來說，也很難能在有限的時間內(nèi)從容地、完整地完成所有的學習任務；對于基礎(chǔ)差的學生來說，由于太多的題不會做的情況，課堂的時間等于白白浪費了。

③由于時間緊，不能給學生留有充分的思考空間和時間，學生對于習題所傳達的知識、方法很難理解透徹。所以常常出現(xiàn)習題做了很多，但是再遇見題還是不會做，習題的功能沒有發(fā)揮。

2.

結(jié)合新課程理念，針對上述內(nèi)容給出教學時習題配置的建議。正確答案：建議：①可以結(jié)合學生的實際情況，分層次配題。對于基礎(chǔ)差的學生，習題的難度再降低一些，使他們會用二元一次方程組解決最基本的實際問題。對于基礎(chǔ)好的學生，可以刪除部分低難度的題，使他們能有更多的時間去探究問題，去迎接挑戰(zhàn)。

②將學生分成不同的學習小組，能力強、弱搭配。在上述習題中選出部分更容易激起學生對數(shù)學的興趣，更適合學生探究的習題，充分發(fā)揮習題的功能，使學生在主動學習、探究學習的過程中獲得知識，培養(yǎng)能力。

對于“實際問題與二元一次方程組”的教學，不等同于一般例題內(nèi)容的教學，應該以探究學習的方式完成。教材設置的“數(shù)學活動”及“拓廣探索”欄目下的習題等都帶有一定的探究性，對于這些內(nèi)容的教學，應注意鼓勵學生積極探究，當學生在探究過程中遇到困難時，教師應啟發(fā)誘導，沒計必要的鋪墊，適時地追問，讓學生在經(jīng)過自己的努力克服困難的過程中體驗如何探究，而不要替代他們思考，不要過早給出答案。應鼓勵探究多種不同的分析問題和解決問題的方法，使探究過程活躍起來，在這樣的氛圍中可以更好地激發(fā)學生積極思維，得到更大收獲。所以教學中不能盲目地擴大習題量，而是要充分發(fā)揮習題的功能，給學生留有充分的思考時間與空間，引導學生更多的參與數(shù)學活動和相互交流，在主動學習、探究學習的過程中獲得知識，培養(yǎng)能力，使每一位學生都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。

六、教學設計題(本大題共1小題，30分)下面是人教版義務教育數(shù)學教科書七年級上冊的內(nèi)容，據(jù)此回答下列問題。

兩輛汽車從同一處O出發(fā)，分別向東、西方向行駛10km，到達A、B兩處(如下圖)。

它們的行駛路線相同嗎?它們的行駛路程相等嗎?

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫作數(shù)a的絕對值(absolutevalue)，記作|a|。例如，上圖中A，B兩點分別表示10和-10，它們與原點的距離都是10個單位長度，所以10和-10的絕對值都是10，即|10|=10，|-10|=10。

顯然|0|=0。

由絕對值的定義可知：

一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。即：

(1)如果a＞0，那么|a|=a；

(2)如果a=0，那么|a|=a；

(3)如果a＜0，那么|a|=-a。

問題：1.

分析學生學習絕對值這一節(jié)內(nèi)容的知識背景；正確答案：學生在學習了有理數(shù)、數(shù)軸，相反數(shù)等概念后，能夠用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，知道數(shù)軸上的點到原點的距離，并能比較這些距離的大小，已經(jīng)具備了一定的數(shù)形結(jié)合的能力。

2.

寫出這節(jié)課的教學重難點；正確答案：教學重點：①初步理解絕對值的意義；②會求一個有理數(shù)的絕對值。

教學難點：①有理數(shù)絕對值概念的形成及運用：

②用數(shù)形結(jié)合的思想理解絕對值的意義。

3.

設計教學過程。正確答案：教學過程：

一、創(chuàng)設情境，導入新課

出示PPT，讓學生觀察圖片中的