2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運(yùn)算 3.1.1 空間向量及其加減運(yùn)算 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（教學(xué)用書）教案 新人教A版選修2-1

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（教學(xué)用書）教案新人教A版選修2-1主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何，本節(jié)課主要圍繞3.1空間向量及其運(yùn)算展開。具體內(nèi)容包括：

1.空間向量及其加減運(yùn)算（3.1.1）：介紹空間向量的概念，引導(dǎo)學(xué)生理解空間向量的坐標(biāo)表示；講解空間向量的加減運(yùn)算及其幾何意義。

2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（3.1.2）：探討空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，包括數(shù)乘運(yùn)算的定義、性質(zhì)以及在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

本節(jié)課將緊密結(jié)合教材新人教A版選修2-1，確保教學(xué)內(nèi)容的相關(guān)性和實(shí)用性。通過(guò)實(shí)例分析與實(shí)際操作，幫助學(xué)生掌握空間向量的基本概念和運(yùn)算方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)立體幾何打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)本章節(jié)旨在培養(yǎng)學(xué)生以下核心素養(yǎng)：

1.邏輯推理：通過(guò)空間向量的概念引入與運(yùn)算方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠運(yùn)用邏輯推理能力，理解向量加減與數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)則，并能解決相關(guān)問(wèn)題。

2.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生利用空間向量進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的能力，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)向量運(yùn)算求解，增強(qiáng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3.抽象思維：引導(dǎo)學(xué)生從具體實(shí)例中抽象出空間向量的概念，形成對(duì)空間向量及其運(yùn)算的抽象認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的抽象思維能力。

4.數(shù)學(xué)表達(dá)：通過(guò)課堂講解、練習(xí)與討論，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)空間向量及其運(yùn)算過(guò)程的能力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)交流與表達(dá)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.空間向量的概念及坐標(biāo)表示。

2.空間向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算。

難點(diǎn)：

1.空間向量的幾何意義理解。

2.向量運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

解決辦法及突破策略：

1.采用直觀教具和動(dòng)畫演示，幫助學(xué)生形象理解空間向量的幾何意義，強(qiáng)化對(duì)向量概念的記憶。

2.通過(guò)典型例題和練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量加減和數(shù)乘運(yùn)算解決問(wèn)題，總結(jié)運(yùn)算規(guī)律，提高解題技巧。

3.組織小組討論，讓學(xué)生互相交流解題思路，激發(fā)思維碰撞，共同突破難點(diǎn)。

4.創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，將空間向量運(yùn)算與生活實(shí)例相結(jié)合，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)向量運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用的理解，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法：采用講授法、討論法和案例研究法。通過(guò)講授法明確空間向量的概念及運(yùn)算規(guī)則；利用討論法鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解，深化理解；結(jié)合案例研究法，以實(shí)際問(wèn)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生探索空間向量的應(yīng)用。

2.教學(xué)活動(dòng)：設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、小組討論和角色扮演等互動(dòng)環(huán)節(jié)。實(shí)驗(yàn)活動(dòng)幫助學(xué)生直觀感受空間向量的幾何意義；小組討論促進(jìn)學(xué)生交流與合作，共同解決問(wèn)題；角色扮演激發(fā)學(xué)生興趣，提高課堂參與度。

3.教學(xué)媒體：使用多媒體課件、實(shí)物模型和數(shù)學(xué)軟件等教學(xué)工具。多媒體課件展示空間向量運(yùn)算的動(dòng)態(tài)過(guò)程，增強(qiáng)直觀感受；實(shí)物模型輔助理解幾何意義；數(shù)學(xué)軟件輔助學(xué)生進(jìn)行向量運(yùn)算的實(shí)踐操作，提高實(shí)際運(yùn)用能力。教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入新課

（1）復(fù)習(xí)提問(wèn)：

同學(xué)們，我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)向量的概念，誰(shuí)能來(lái)說(shuō)一說(shuō)平面向量的定義及其基本運(yùn)算？

（2）導(dǎo)入：

很好，今天我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算。空間向量與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)，它在立體幾何中具有重要作用。

2.空間向量的概念及坐標(biāo)表示

（1）展示概念：

請(qǐng)同學(xué)們翻到教材第3章第1節(jié)，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)空間向量的概念。

空間向量是有大小、方向的量，它可以用一個(gè)箭頭表示。與平面向量類似，空間向量也可以用坐標(biāo)表示。

（2）探究坐標(biāo)表示：

現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們觀察教材中的圖3.1，思考如何用坐標(biāo)表示空間向量？

（3）學(xué)生回答：

空間向量可以用一個(gè)有序數(shù)對(duì)表示，例如：(x,y,z)。

（4）講解坐標(biāo)表示：

非常好！空間向量的坐標(biāo)表示就是這樣的有序數(shù)對(duì)。其中，x、y、z分別表示向量在x軸、y軸、z軸上的投影長(zhǎng)度。

3.空間向量的加減運(yùn)算

（1）講解加減運(yùn)算：

（2）示例：

假設(shè)有兩個(gè)空間向量A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，那么它們的和C=A+B=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。

同理，它們的差D=A-B=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)。

（3）練習(xí)：

請(qǐng)同學(xué)們?cè)诮滩牡?章第1節(jié)中完成例題3.1，并思考空間向量加減運(yùn)算的幾何意義。

（4）學(xué)生解答：

4.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

（1）講解數(shù)乘運(yùn)算：

現(xiàn)在我們來(lái)看空間向量的數(shù)乘運(yùn)算。數(shù)乘運(yùn)算是指將一個(gè)向量與一個(gè)實(shí)數(shù)相乘。

（2）示例：

假設(shè)有一個(gè)空間向量A(x,y,z)，那么數(shù)乘運(yùn)算B=kA=(kx,ky,kz)，其中k為實(shí)數(shù)。

（3）練習(xí)：

請(qǐng)同學(xué)們?cè)诮滩牡?章第1節(jié)中完成例題3.2，并思考數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義。

（4）學(xué)生解答：

5.課堂小結(jié)

（1）總結(jié)：

（2）提問(wèn)：

同學(xué)們，誰(shuí)能來(lái)說(shuō)一說(shuō)空間向量加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義？

（3）學(xué)生回答：

空間向量加減運(yùn)算表示向量在空間中的平移，數(shù)乘運(yùn)算表示對(duì)向量進(jìn)行縮放。

6.作業(yè)布置

（1）課后習(xí)題：

請(qǐng)同學(xué)們完成教材第3章第1節(jié)的課后習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

（2）思考題：

思考空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，下節(jié)課我們一起來(lái)討論。

7.課堂結(jié)束

今天我們學(xué)習(xí)了空間向量及其運(yùn)算，希望大家課后認(rèn)真復(fù)習(xí)，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。同學(xué)們，再見(jiàn)！知識(shí)點(diǎn)梳理1.空間向量的概念

-空間向量的定義：具有大小和方向的量，用箭頭表示。

-空間向量的表示：有序數(shù)對(duì)(x,y,z)，分別表示向量在x軸、y軸、z軸上的投影長(zhǎng)度。

2.空間向量的坐標(biāo)表示

-坐標(biāo)表示方法：空間向量可以用一個(gè)有序數(shù)對(duì)表示，如(x,y,z)。

-坐標(biāo)軸的投影：向量在x軸、y軸、z軸上的投影長(zhǎng)度分別對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的x、y、z分量。

3.空間向量的加減運(yùn)算

-加法運(yùn)算：兩個(gè)空間向量相加，得到一個(gè)新的向量，其坐標(biāo)為原向量坐標(biāo)對(duì)應(yīng)分量相加。

-減法運(yùn)算：兩個(gè)空間向量相減，得到一個(gè)新的向量，其坐標(biāo)為第一個(gè)向量坐標(biāo)減去第二個(gè)向量坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)分量。

-幾何意義：加法運(yùn)算表示向量的平移，減法運(yùn)算表示向量的反向平移。

4.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

-數(shù)乘定義：將一個(gè)空間向量與一個(gè)實(shí)數(shù)相乘，得到一個(gè)新的向量。

-數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則：數(shù)乘向量的坐標(biāo)為原向量坐標(biāo)與實(shí)數(shù)的乘積。

-幾何意義：數(shù)乘運(yùn)算表示對(duì)向量進(jìn)行縮放，實(shí)數(shù)為正時(shí)沿原方向縮放，為負(fù)時(shí)沿原方向的反向縮放。

5.空間向量的線性組合

-定義：空間向量的線性組合是指將多個(gè)空間向量與相應(yīng)的實(shí)數(shù)相乘后再相加的結(jié)果。

-運(yùn)算規(guī)則：線性組合的坐標(biāo)為各個(gè)向量坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)乘積的和。

6.空間向量的線性關(guān)系

-平行向量：方向相同或相反的向量，它們的線性組合仍為同方向或相反方向的向量。

-垂直向量：相互垂直的向量，它們的點(diǎn)積為零。

7.空間向量的應(yīng)用

-立體幾何中的向量運(yùn)算：用于求解空間幾何圖形的長(zhǎng)度、面積和體積等。

-物理學(xué)中的向量問(wèn)題：描述物體運(yùn)動(dòng)的加速度、速度等向量關(guān)系。板書設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

1.空間向量的概念與坐標(biāo)表示

-定義：具有大小和方向的量

-坐標(biāo)表示：(x,y,z)

2.空間向量的加減運(yùn)算

-加法：A+B=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

-減法：A-B=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

3.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

-數(shù)乘：kA=(kx,ky,kz)

②關(guān)鍵詞與句：

1.向量加法：平移

2.向量減法：反向平移

3.數(shù)乘運(yùn)算：縮放

③藝術(shù)性與趣味性：

1.使用不同顏色的粉筆，區(qū)分向量加、減和數(shù)乘運(yùn)算。

2.在黑板上繪制向量箭頭，直觀展示向量的幾何意義。

3.舉例生活中的向量問(wèn)題，如力的合成、速度方向等，激發(fā)學(xué)生興趣。

板書設(shè)計(jì)條理清晰，重點(diǎn)突出，簡(jiǎn)潔明了，同時(shí)注重藝術(shù)性和趣味性，有助于學(xué)生理解和記憶空間向量的相關(guān)知識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。課后作業(yè)1.計(jì)算題：

已知空間向量A(2,3,4)和B(-1,2,3)，求向量A+B和向量A-B。

答案：

A+B=(2+(-1),3+2,4+3)=(1,5,7)

A-B=(2-(-1),3-2,4-3)=(3,1,1)

2.應(yīng)用題：

一物體受到兩個(gè)力的作用，力F1的大小為5N，方向?yàn)?1,2,3)，力F2的大小為3N，方向?yàn)?2,-1,1)。求物體的合力方向。

答案：

設(shè)合力方向?yàn)橄蛄緾，則C=F1+F2

C=(5*1+3*2,5*2+3*(-1),5*3+3*1)=(11,7,18)

合力方向?yàn)橄蛄緾=(11,7,18)

3.計(jì)算題：

已知空間向量A(3,4,5)，求向量2A和向量-1.5A。

答案：

2A=2*(3,4,5)=(6,8,10)

-1.5A=-1.5*(3,4,5)=(-4.5,-6,-7.5)

4.應(yīng)用題：

在三維坐標(biāo)系中，點(diǎn)P