數(shù)學(xué)悖論課件

生活中有趣的悖論問(wèn)題悖論有點(diǎn)像魔術(shù)中的變戲法，它使人們?cè)诳赐曛螅瑤缀鯖](méi)有—個(gè)不驚訝得馬上就想知道：“這套戲法是怎么搞成的？”當(dāng)把技巧告訴他時(shí)，他就會(huì)不知不覺(jué)地被引進(jìn)深?yuàn)W而有趣的數(shù)學(xué)世界之中。

正是因?yàn)殂Ｕ摰拇嬖?，?shù)學(xué)才能越來(lái)越嚴(yán)密，可以說(shuō)，

悖論是缺憾的美悖論(paradox)來(lái)希臘自語(yǔ)“para+dokein”，意思是“多想一想”。

悖論是自相矛盾的命題。即如果承認(rèn)這個(gè)命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認(rèn)這個(gè)命題的否定命題成立，又可推出這個(gè)命題成立如果承認(rèn)它是真的，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認(rèn)它是假的，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，卻又得出它是真的。一般地說(shuō)，由于悖論是一種形式矛盾，即是某些特殊的思想規(guī)定的產(chǎn)物，它們就不可能是事物辯證性質(zhì)的直接反映；進(jìn)而，我們也就不能把它們說(shuō)成是“特殊的客觀真理”，而只能說(shuō)它們是“歪曲了的真理”。悖論的種類(lèi)悖論主要有邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統(tǒng)計(jì)悖論時(shí)間悖論等邏輯悖論之“雞生蛋，蛋生雞”傳統(tǒng)的“先有雞，還是先有蛋？”的循環(huán)式悖論問(wèn)題這個(gè)互為因果的循環(huán)推理本身無(wú)法自我解脫，需要實(shí)際的考證，如考古學(xué)和生物學(xué)的研究成果等，才能打破這一循環(huán)。

它里面也隱含著一個(gè)不相容的前提假設(shè)：“雞是由蛋孵化出來(lái)的，蛋又是由雞生出來(lái)的?！眴为?dú)來(lái)看都符合日常觀察，但合在一起卻是一對(duì)不自洽的假設(shè)。邏輯悖論之沙堆悖論有一堆1，000,000顆沙粒組成的沙堆。如果我們拿走一顆沙粒，那么還是有一堆；如果我們?cè)倌米咭活w沙粒，那么還是一堆。如果我們就這樣一次拿走一顆沙粒，那么當(dāng)我們們?nèi)〉弥皇Ｏ乱活w沙粒，那么它還是一堆嗎？回答：設(shè)定一個(gè)固定的邊界。如果我們說(shuō)10,000顆沙粒是一堆沙，那么少于10，000顆沙粒組成的就不能稱(chēng)之為一堆沙。顯然這樣區(qū)分9999顆沙和10001顆沙就有點(diǎn)不合理。那么就有一個(gè)解決方案了——設(shè)定一個(gè)可變的邊界，但是這個(gè)邊界是多少，并不需要知道。邏輯悖論之理發(fā)師悖論一個(gè)男理發(fā)師的招牌上寫(xiě)著：

告示：城里所有不自己剃頭的男人都由我給他們剃頭，我也只給這些人剃頭。誰(shuí)給這位理發(fā)師剃頭呢？如果他自己剃頭，那他就屬于自己剃頭的那類(lèi)人。但是，他的招牌說(shuō)明他不給這類(lèi)人剃頭，因此他不能自己來(lái)剃頭。如果另外一個(gè)人來(lái)給他剃頭，那他就是不自己剃頭的人。但是，他的招牌說(shuō)他要給所有這類(lèi)人剃頭。因此其他任何人也不能給他剃頭。看來(lái)，沒(méi)有任何人能給這位理發(fā)師剃頭了！

這是伯特納德·羅素提出的這個(gè)悖論，為的是把他發(fā)現(xiàn)的關(guān)于集合的一個(gè)著名悖論用故事通俗地表述出來(lái)。理發(fā)師悖論的數(shù)學(xué)表達(dá)式：已知：集合Z={x|x≠x},問(wèn)：x是否屬于集合Z?或者：已知：P={A∣A∈A}Q={A∣A￠A}

問(wèn)：Q∈P還是Q∈Q？羅素悖論的影響羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖了。當(dāng)弗雷格已經(jīng)完成他的關(guān)于算術(shù)基礎(chǔ)的兩冊(cè)巨著《算術(shù)的基本法則》的最后一冊(cè)時(shí)，羅素通信告訴了他這個(gè)悖論。弗雷格在其論著的末尾以悲哀的話語(yǔ)寫(xiě)道：“一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更痛苦的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎(chǔ)垮掉了。當(dāng)本書(shū)等待復(fù)印的時(shí)候，羅素先生的一封信把我置于這種境地”。于是，弗雷格終結(jié)了這不止12年的辛勤勞動(dòng)。狄德金原來(lái)打算把《連續(xù)性及無(wú)理數(shù)》第3版復(fù)印，這時(shí)也把稿件抽了回來(lái)。發(fā)現(xiàn)拓?fù)鋵W(xué)中“不動(dòng)點(diǎn)原理”的布勞威也認(rèn)為自己過(guò)去作的工作都是“廢話”，聲稱(chēng)要放棄不動(dòng)點(diǎn)原理。羅素悖論引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)！?。?！羅素悖論的“破壞力”還不僅局限在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，只要把羅素悖論的陳述略加修改，即用邏輯的術(shù)語(yǔ)來(lái)代替集合論中的術(shù)語(yǔ)，羅素悖論就可以推廣到邏輯領(lǐng)域。這樣，羅素悖論就不僅觸及到數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論本身，它涉及到了一向被認(rèn)為極為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膬砷T(mén)科學(xué)----數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)。幾何悖論幾何悖論所構(gòu)造的圖案是僅存在于2維平面世界里的圖形，是一種通過(guò)素描，線描等立體繪畫(huà)手法表現(xiàn)出3維立體世界中不可能存在的圖像。

“不可能臺(tái)階”是由英國(guó)遺傳學(xué)家列昂尼爾·S·彭羅斯和他的兒子，數(shù)學(xué)家羅杰爾·彭羅斯發(fā)明的，后者于1958年把它公布于眾，人們常稱(chēng)這臺(tái)階為“彭羅斯臺(tái)階”。在這個(gè)臺(tái)階里，永遠(yuǎn)找不到最高階和最低階，“不可能臺(tái)階”永遠(yuǎn)沒(méi)有盡頭。。。。。。

紅衣女子是真實(shí)的還是在拼圖里的？?jī)闪谢疖?chē)會(huì)相撞嗎？美國(guó)魔術(shù)·安德魯斯創(chuàng)造了這個(gè)精彩的幻覺(jué)作品球和影幻覺(jué)：兩幅幻覺(jué)圖中，球相對(duì)于背景的位置一樣嗎？折疊的棋盤(pán)：你從上面還是從下面看到棋盤(pán)呢?曲折的悖論：這是一個(gè)奇妙的不可能成立的曲折體，由匈牙利藝術(shù)家托馬斯·伐克期創(chuàng)作瑞典藝術(shù)家?jiàn)W斯卡·盧特斯瓦爾德，給了我們不可能的三角形中又一種變化。此圖屬于“不可能三角形”的一種變體。超級(jí)櫥窗

美國(guó)魔術(shù)師杰瑞·安德魯斯發(fā)明了一個(gè)“瘋狂的板條箱”。他怎么能把那么多豎直的支撐桿似那么不可能的方式連起來(lái)呢

拿著放光球的手是靜的還是動(dòng)的諾布的不可能的架子

中間到底是凹進(jìn)去的，還是凸出來(lái)的？

橋漸變成了船。

此圖屬于“背景錯(cuò)覺(jué)”。在這幅圖中，你看見(jiàn)了什么？你看見(jiàn)的是男人的腿，還是女人的腿？在這幅圖像中，一個(gè)大個(gè)子正在追趕一個(gè)小個(gè)子，對(duì)嗎？其實(shí)，這兩個(gè)人完全是一模一樣的?。ú恍牛坑贸咦恿苛靠矗。?/p>

此圖屬于“大小恒常錯(cuò)覺(jué)”。

你看到了螺旋，還是同心圓？乍一看，圖中是一個(gè)螺旋，實(shí)際上它是同心圓。

此圖屬于“Fraser螺旋錯(cuò)覺(jué)”。統(tǒng)計(jì)悖論之選舉悖論假定有三個(gè)人—阿貝爾、伯恩斯和克拉克競(jìng)選總統(tǒng)。民意測(cè)驗(yàn)表明，選舉人中有2/3愿意選A不愿選B，有2/3愿選B不愿選C。是否愿選A不愿選C的最多？

統(tǒng)計(jì)悖論之選舉悖論不一定！如果選舉人下表那樣排候選人，就會(huì)引起一個(gè)驚人的逆論。三分之一的人，對(duì)選舉人的喜好是：A，B，C；另外三分之一的人，對(duì)選舉人的喜好是：B，C，A；最后三分之一的人，對(duì)選舉人的喜好是：C，A，B。所以，有2/3寧愿選A而不愿選B；同樣，有2/3寧愿選B而不愿選C；有2/3寧愿選C而不愿選A！這條悖論有時(shí)稱(chēng)為阿洛悖論，肯尼思·阿洛曾根據(jù)這條悖論和其他邏輯理由證明了，一個(gè)十全十美的民主選舉系統(tǒng)在原則上是不可能實(shí)現(xiàn)的，他因此而分享了1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)金。概率悖論之貝特朗悖論有一個(gè)半徑為r的圓，在此圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，設(shè)其邊長(zhǎng)為Y。取圓任意一條弦，設(shè)其長(zhǎng)為X；同時(shí)。請(qǐng)問(wèn)，X>Y的概率是多少？

可以算出：Y=√3r解答一：此題等價(jià)于“從圓心到弦的距離<r/2”的概率（這個(gè)很容易證明，因?yàn)閮?nèi)接正三角形的高是3r/2）。我們?nèi)∑叫杏谌我庖粋€(gè)方向的所有弦，容易看出其中有一半的弦到圓心的距離<r/2，概率為1/2

因此，X>Y的概率為1/2

解答二：在圓周上取任意一點(diǎn)A作為弦的一個(gè)端點(diǎn)，另一端點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)構(gòu)成一系列弦。顯然，其中所有與過(guò)A點(diǎn)的圓切線構(gòu)成大于60度角且小于120度角的一部分弦是滿足題目要求的，從角度關(guān)系容易得知，此部分弦占所有弦的1/3

因此，X>Y的概率為1/3

解答三：考慮弦的中點(diǎn)，根據(jù)解答一中的“等價(jià)于”容易得知，若弦中點(diǎn)位于半徑為r/2的同心小圓內(nèi)，則弦長(zhǎng)滿足題意要求。很明顯，小圓面積為大圓的1/4

因此，X>Y的概率為1/4

概率悖論之生日悖論問(wèn)題提出：如果一個(gè)房間里有23個(gè)或23個(gè)以上的人，那么至少有兩個(gè)人的生日相同的概率要大于50%.看起來(lái)是不是不太可能？任意n（n<365）個(gè)人，他們的生日各不相同的概率為.n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為P=1-

經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果：由表可看出，在僅有64人的班級(jí)里，“至少有兩人生日相同”這一事件的概率與1相差無(wú)幾.n202330405064100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.999概率悖論之四只貓的性別問(wèn)題提出：新房子里的四只貓，它們的性別是什么？一般認(rèn)為四只都是雄的不太可能，都是雌的也不可能（4-0）.也許只有一只雌的，也許只有一只雄的（3-1）.而每只貓是雄的或雌的概率都是，所以最有可能的是兩只雌貓兩只雄貓（2-2）.這種想法正確嗎？若我們把所有情況都列出來(lái)，就很明顯了.用B表示雄貓，G表示雌貓，則共有16種，分別是:BBBBBBBGBBGBBGBBGBBBBBGGBGBGBGGBGBBGGBBGGGBBBGGGGBGGGGBGGGGBGGGG概率悖論之四只貓的性別共有16種，分別是:BBBBBBBGBBGBBGBBGBBBBBGGBGBGBGGBGBBGGBBGGGBBBGGGGBGGGGBGGGGBGGGG因此，都為雄貓或雌貓有兩種，概率為2/16=1/8僅有一只雄貓或一只雌貓有八種，概率為8/16=1/2兩只雄貓兩只雌貓有六種，概率為6/16=3/8所以，最有可能的是第二種情況，只有一只雄貓或只有一只雌貓.概率悖論之三張卡片的騙局問(wèn)題提出：三張卡片，分別為第一張A兩面都是紅色，第二張B，一面是紅色，一面是黑色，第三張C兩面都是黑色.莊家把卡片放在帽子里搖晃，取出一張放在桌子上，打賭下面和上面的顏色相同.莊家會(huì)這樣說(shuō)，這個(gè)賭博是公平的.假定取出的卡片上面是紅色，那么不可能是卡片C，所以要么是A，要么是B，也就是要么相同，要么不同，這樣的話輸贏的概率都是1/2.概率悖論之三張卡片的騙局顯然，莊家的話是騙人的，但好像有些道理，這樣很多的賭徒就上當(dāng)了.因?yàn)閷?shí)際情況是有三種等可能情況，而非兩種.紅色朝上有可能是，則下面與上面相同的有兩種情況，所以莊家贏的概率為2/3

這個(gè)卡片游戲是著名數(shù)學(xué)家沃德·威弗設(shè)計(jì)的.他曾在1950年10月《科學(xué)美國(guó)人》關(guān)于“概率”一文中介紹過(guò)這個(gè)內(nèi)容.卡片游戲是稱(chēng)為伯特納德箱的悖論的翻版.在伯特納德以后，一位德國(guó)數(shù)學(xué)家將它寫(xiě)進(jìn)一本書(shū)中，于1889年發(fā)表.概率悖論之貝殼之謎問(wèn)題提出：游戲規(guī)則是這樣，三個(gè)貝殼猜猜哪個(gè)貝殼下有綠豆，如果猜對(duì)了可以獲得多一倍的賭金.在玩了一陣后，馬克先生斷定，他贏的概率最多為.于是莊家破例讓馬克玩這個(gè)游戲，先允許馬克先生隨便選一個(gè)貝殼，莊家再翻開(kāi)一個(gè)空貝殼，這樣，綠豆一定在另兩個(gè)貝殼的一個(gè)里，馬克先生贏的概率就增大了.但是，馬克先生還是輸完了所有的錢(qián).這是怎么回事？概率悖論之貝殼之謎因?yàn)轳R克先生沒(méi)有意識(shí)到，在他選完貝殼后，再翻開(kāi)一個(gè)空貝殼根本不影響他贏的概率.在馬克選貝殼的時(shí)候，仍然是在三個(gè)中選，而莊家是游戲操縱者，自然知道空貝殼是哪一個(gè)，翻開(kāi)的貝殼一定是空的，所以馬克贏的概率沒(méi)有改變.但是當(dāng)改變一下游戲規(guī)則，莊家先翻開(kāi)一個(gè)貝殼，馬克再選，那么概率就上升到了.