河南省洛陽市理工學(xué)院附中2025屆高三5月適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題試卷含解析

河南省洛陽市理工學(xué)院附中2025屆高三5月適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某公園新購進盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種A． B． C． D．2．已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大，則拋物線的標(biāo)準方程為（）A． B． C． D．3．在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等腰或直角三角形 D．鈍角三角形4．若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．由曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為()A．1 B． C． D．6．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨特，神獸人們喜愛．下圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形．若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方形內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．8．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（）A． B． C． D．9．平行四邊形中，已知，，點、分別滿足，，且，則向量在上的投影為（）A．2 B． C． D．10．已知（i為虛數(shù)單位，），則ab等于（）A．2 B．-2 C． D．11．如果實數(shù)滿足條件，那么的最大值為（）A． B． C． D．12．下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過何種變換可以得到的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線相切于點，是上一點(不與重合)，若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過，則點到拋物線頂點的距離的最小值是__________.14．已知等比數(shù)列滿足公比，為其前項和，，，構(gòu)成等差數(shù)列，則_______．15．已知復(fù)數(shù)，且滿足（其中為虛數(shù)單位），則____.16．已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|FP|=5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角，，的對邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點，求的最小值.18．（12分）已知．（1）已知關(guān)于的不等式有實數(shù)解，求的取值范圍；（2）求不等式的解集．19．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點.（1）證明：平面平面；（2）已知點在棱上且，求直線與平面所成角的余弦值.21．（12分）已知橢圓的上頂點為，圓與軸的正半軸交于點，與有且僅有兩個交點且都在軸上，（為坐標(biāo)原點）.（1）求橢圓的方程；（2）已知點，不過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與直線的斜率互為相反數(shù).22．（10分）已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）求證：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開有，扣除郁金香在兩邊有，即可求出結(jié)論.【詳解】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有種，然后將盆錦紫蘇放入到4個位置中有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有，扣除郁金香在兩邊，排盆虞美人、盆郁金香有種，再將盆錦紫蘇放入到3個位置中有，根據(jù)分步計數(shù)原理有，所以共有種.故選:B.本題考查排列應(yīng)用問題、分步乘法計數(shù)原理，不相鄰問題插空法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2．B【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p，即可得到拋物線方程．【詳解】由拋物線y2＝2px（p＞0）上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以拋物線的標(biāo)準方程為：y2＝2x．故選B．本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．3．C【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由，化簡可得，最后分類討論可得；【詳解】解：因為所以所以所以所以所以當(dāng)時，為直角三角形；當(dāng)時即，為等腰三角形；的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：．本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．4．B【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)恰有三個零點，即可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，則或，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以0或是函數(shù)y的極值點，函數(shù)的極值為：，函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是：.故選B.該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點個數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點個數(shù)的問題，難度不大.5．B【解析】

首先求得兩曲線的交點坐標(biāo)，據(jù)此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程：可得：，，結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為：.本題選擇B選項.本題主要考查定積分的概念與計算，屬于中等題.6．D【解析】

由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，可得，然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：由，所以所以故選：A本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，考驗計算，屬基礎(chǔ)題.8．C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．【詳解】解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P?ABC，正方體的棱長為2，

該幾何體的表面積：．故選C．本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．9．C【解析】

將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將用向量和表示是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.10．A【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解．【詳解】，，得，．．故選：．本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，是基礎(chǔ)題．11．B【解析】

解：當(dāng)直線過點時，最大，故選B12．D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為，再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像：，，故，即，，，取，得到，函數(shù)向右平移個單位得到.故選：.本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)拋物線，不妨設(shè)，取，通過求導(dǎo)得，，再根據(jù)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過，則，得到，兩式聯(lián)立，求得點N的軌跡，再求解最值.【詳解】因為拋物線，不妨設(shè)，取，所以，即，所以，因為以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過，所以，所以，所以，由，解得，所以點在直線上，所以當(dāng)時，最小，最小值為.故答案為：2本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系直線的交軌問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.14．0【解析】

利用等差中項以及等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由，，是等差數(shù)列可知因為，所以，故答案為：0本題考查了等差中項的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

計算出，兩個復(fù)數(shù)相等，實部與實部相等，虛部與虛部相等，列方程組求解.【詳解】，所以，所以.故答案為：-8此題考查復(fù)數(shù)的基本運算和概念辨析，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運算法則.16．【解析】

設(shè)點為，由拋物線定義知，，求出點P坐標(biāo)代入雙曲線方程得到的關(guān)系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因為點P在拋物線y2=8x上，|FP|=5，設(shè)點為，由拋物線定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線-=1，得-=1，又因為a2+b2=4，解得a=1，b=，因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線為y=±x，由點到直線的距離公式可得，點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為：本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì)；考查運算求解能力和知識遷移能力；靈活運用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得，在中結(jié)合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結(jié)合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】（1），，由題知，，則，則，，；（2）在中，由余弦定理得，，設(shè)，其中.在中，，，，，所以，，所以的幾何意義為兩點連線斜率的相反數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得，故的最小值為.本題考查正弦定理和余弦定理的實際應(yīng)用，還涉及二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式，考查計算能力.18．（1）；（2）.【解析】

（1）依據(jù)能成立問題知，，然后利用絕對值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范圍；（2）按照零點分段法解含有兩個絕對值的不等式即可?！驹斀狻恳驗椴坏仁接袑崝?shù)解，所以因為，所以故。①當(dāng)時，，所以，故②當(dāng)時，，所以，故③當(dāng)時，，所以，故綜上，原不等式的解集為。本題主要考查不等式有解問題的解法以及含有兩個絕對值的不等式問題的解法，意在考查零點分段法、絕對值三角不等式和轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的應(yīng)用。19．（1）；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，計算函數(shù)的單調(diào)性，得到，再討論，，三種情況，計算得到答案.（2）計算得到，討論，兩種情況，分別計算單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到答案.【詳解】（1），①當(dāng)時恒成立，所以單調(diào)遞增，因為，所以有唯一零點，即符合題意；②當(dāng)時，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)。（i）當(dāng)即,所以符合題意，（ii）當(dāng)即時，因為，故存在,所以不符題意（iii）當(dāng)時，因為，設(shè)，所以,單調(diào)遞增，即，故存在，使得，不符題意；綜上，的取值范圍為。（2）。①當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，即符合題意；②當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，又因為，所以存在，使得，且當(dāng)時，。即在上單調(diào)遞減，所以，不符題意。綜上，的取值范圍為.本題考查了函數(shù)的零點問題，恒成立問題，意在考查學(xué)生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.20．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形，可得面，再由面面平行的判定可證得面面平行；（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標(biāo)系，可求得面PAB的法向量，再運用線面角的向量求法，可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】（1），,又，，,而、分別是、的中點，，故面,又且，故四邊形是平行四邊形,面,又，是面內(nèi)的兩條相交直線,故面面.（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建系如圖所示,則，，，,設(shè)是平面PAB的法向量,，令，則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.本題考查空間的面面平行的判定，以及線面角的空間向量的求解方法，屬于中檔題.21．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)條件可得，進而得到，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，分別表示出直線和直線斜率，相加利用根與系數(shù)關(guān)系即可得到.【詳解】解：（1）圓與有且僅有兩個交點且都在軸上，所以，又，，解得，故橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，則，解得，設(shè)點，，則，，所以，故直線與直線的斜率互為相反數(shù).本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準方程，屬于中檔題．22．（1）時，有一個零點；當(dāng)且時，有兩個零點；（2）見解