二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大值問題的探究學(xué)習(xí)

PAGEPAGE1二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大值問題的探究學(xué)習(xí)浙江省諸暨市草塔中學(xué)何勇魯芝珍311812倡導(dǎo)“積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”是新課程所提出的一項(xiàng)基本理念，二項(xiàng)式定理中經(jīng)常出現(xiàn)一類求二項(xiàng)式系數(shù)最大值的問題,除了要求搞清楚某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別以外,還要對(duì)一些常見的系數(shù)最大值問題進(jìn)行探求分析。筆者對(duì)二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大值問題進(jìn)行了探究教學(xué)的嘗試。問題、求（+）10展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。師：本題小括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)看似復(fù)雜,既有三次和五次根式,又在分母中含有變量,請(qǐng)思考展開式中各項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系。生：因?yàn)樾±▋?nèi)的兩個(gè)項(xiàng)和本身的系數(shù)為1,所以展開式中每一項(xiàng)的系數(shù)都等于該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),而展開式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,故只需求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)即可。解：由題，二項(xiàng)展開式的系數(shù)即該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)，即T6==252。探究1、求（）9展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)。師：本題小括號(hào)的項(xiàng)的系數(shù)與上題有何區(qū)別？生：本題小括號(hào)的兩項(xiàng)的系數(shù)分別為1和，故展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)等于該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)等于該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的相反數(shù)。即每一項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的絕對(duì)值相等。解：由題，二項(xiàng)展開式的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的絕對(duì)值相等，而展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5和第6項(xiàng)，且第5項(xiàng)的系數(shù)為正，第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，故展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)為第6項(xiàng)，即T6==。探究2、求（1+2x）4展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。師：可以發(fā)現(xiàn)，本題中小括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)既不相等也不相反，該如何來求系數(shù)最大的項(xiàng)？生：……師：該題顯然不能按上述兩題的方法直接轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)，我們可以嘗試應(yīng)用“夾逼法”求解。解：設(shè)展開式中的第r+1項(xiàng)為Tr+1=(r=0,1,…4)，令——①即得，故r=3，即第四項(xiàng)的系數(shù)最大，T4==。探究3、：由①式求解系數(shù)的最大值時(shí)的r一定有解嗎？如果有解，會(huì)有幾個(gè)解？你能證明嗎？生1：可能會(huì)有多個(gè)解，比如有可能第3項(xiàng)比第2項(xiàng)和第4項(xiàng)的系數(shù)大，第6項(xiàng)比第5項(xiàng)和第7項(xiàng)的系數(shù)大……生2：可能會(huì)無解，比如各項(xiàng)的系數(shù)依次減小或依次增大時(shí)，這樣的r就不存在。師：那我們不妨對(duì)一般結(jié)論加以證明，例如求（1+ax）n展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)(其中a>0).請(qǐng)同學(xué)們按照夾逼法的思想進(jìn)行探求。下面由同學(xué)們自己思考。解：設(shè)展開式中的第r+1項(xiàng)為Tr+1=令，展開得，即a>0,>,故，又=1，上述方程組必有解，且當(dāng)和都為整數(shù)時(shí)，r有兩解：、，否則r有且只有一解。探究4、求（）10展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。師:本題小括號(hào)中第二項(xiàng)的系數(shù)為,所以各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)不同且展開式的項(xiàng)呈正負(fù)相間變化，與上題又有區(qū)別，又該如何求解呢？生一：用“夾逼法”。設(shè)展開式中的第r+1項(xiàng)為Tr+1=令,即……師：若將此式展開化簡(jiǎn)，則由于r的奇偶性不確定，所以、等的正負(fù)性不定，而且由于項(xiàng)的正負(fù)相間，會(huì)有多個(gè)滿足條件的r，故此法不可取。生二：既然根據(jù)思路一直接用“夾逼法”不可行，是因?yàn)轫?xiàng)正負(fù)相間。因?yàn)檎归_式的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故系數(shù)最大的項(xiàng)必為奇數(shù)項(xiàng)，即r為偶數(shù)。設(shè)r為偶數(shù)，令，即，即……師：上述不等式組中的兩個(gè)不等式都是二次不等式，雖然理論上可以求出滿足條件的r,但求解過程較繁。生三：由變式1想到項(xiàng)r與項(xiàng)的絕對(duì)值之間的關(guān)系，于是不妨先求絕對(duì)值最大的項(xiàng)。解：Tr+1=，令ar=，令ar+1>ar,即>,rN,r6,即r1<r2<r3<r4<r5<r6<r7>r8>r9>r10,又r=7時(shí)系數(shù)小于0，故只要比較和的大小，求得<，故第7項(xiàng)的系數(shù)最大T7=210。小結(jié)：①對(duì)二項(xiàng)式(ax+by)n展開式中系數(shù)的最大值問題，當(dāng)a=b=1時(shí)可直接轉(zhuǎn)化到二項(xiàng)式系數(shù)求解，反之，可以直接用“夾逼法”思想或