高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第04講正弦定理和余弦定理(分層精練)(原卷版+解析)

第04講正弦定理和余弦定理(分層精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，若，則（

）A． B． C．2 D．2．（2023春·山東濟南·高一校考階段練習(xí)）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則（

）A．30° B．45° C．150° D．30°或150°3．（2023春·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．84．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則的面積為（

）．A． B． C． D．5．（2023春·湖北武漢·高一武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）校考階段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則邊c長為（

）．A． B．C．或 D．或6．（2023春·甘肅白銀·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形7．（2023春·江蘇南京·高一南京市大廠高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別為、、，設(shè)為的面積，且，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．28．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下圖是梁思成研究廣濟寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁與該截面的交點，，分別是兩房檐與該截面的交點，該建筑關(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對稱，測得柱子與之間的距離是（為測量單位），柱子與之間的距離是．如果把，視作線段，記，，是的四等分點，，，是的四等分點，若，則線段的長度為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023春·浙江金華·高一校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．在中，若，則B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則不是等邊三角形10．（2023春·福建莆田·高一?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.下面四個結(jié)論正確的是（

）A．，，則的外接圓半徑是2 B．若，則C．若，則一定是銳角三角形 D．若，則三、填空題11．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若外接圓面積為，則面積的最大值為______．12．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，點在邊上，，則邊的最小值為__________.四、解答題13．（2023春·廣東廣州·高一廣州市培英中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，是角所對的邊，且滿足(1)求角的大??；(2)設(shè)向量，向量，且向量共線，判斷的形狀.14．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大?。?2)若，求的周長的取值范圍．15．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？级＃┑膬?nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，D為BC中點，，求AD的長.B能力提升1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省阜寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，有，則的最大值是（

）A． B． C． D．3．（2023春·山東煙臺·高一山東省招遠第一中學(xué)?？计谥校╀J角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（多選）（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點G為△ABC的重心，點D，E分別為AB，AC上的點，且D，G，E三點共線，，，m＞0，n＞0，記△ADE，△ABC，四邊形BDEC的面積分別為S1，S2，S3，則（）A． B． C． D．6．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，且，延長至.則下面結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若，則周長的最大值為D．若，則面積的最大值為C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（多選）（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）已知點是平行四邊形所在平面外一點，，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．存在實數(shù)，使C．不是平面的法向量 D．四邊形的面積為3．（多選）（2023春·山東菏澤·高一校考階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且B為鈍角，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023春·重慶·高三重慶市長壽中學(xué)校?？计谀┰凇鰽BC中，角的對邊分別為，若，且．(1)求角B的值；(2)若，且的面積為，求BC邊上的中線AM的長．5．（2023春·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）在中，、、分別是角A、B、C的對邊，.(1)求B的大?。?2)若，求的周長的取值范圍.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是斜三角形，角A，B，C滿足.(1)求證：；(2)若角A，B，C的對邊分別是邊a，b，c，求的最小值，并求此時的各個內(nèi)角的大小.第04講正弦定理和余弦定理(分層精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】C【詳解】因為，所以，所以，則.故選：C.2．（2023春·山東濟南·高一?？茧A段練習(xí)）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則（

）A．30° B．45° C．150° D．30°或150°【答案】A【詳解】因為，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因為，所以，所以．故選：A3．（2023春·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】根據(jù)正弦定理有，得；故選：D.4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B5．（2023春·湖北武漢·高一武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則邊c長為（

）．A． B．C．或 D．或【答案】A【詳解】在中，因為，，，所以，即，解得或（舍去），所以.故選：A.6．（2023春·甘肅白銀·高一校考階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形【答案】B【詳解】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故為等腰三角形或直角三角形故選：B7．（2023春·江蘇南京·高一南京市大廠高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別為、、，設(shè)為的面積，且，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【詳解】由余弦定理知：，由條件：，，即，

，

，

，時取最大值1；故選：B．8．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下圖是梁思成研究廣濟寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁與該截面的交點，，分別是兩房檐與該截面的交點，該建筑關(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對稱，測得柱子與之間的距離是（為測量單位），柱子與之間的距離是．如果把，視作線段，記，，是的四等分點，，，是的四等分點，若，則線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，如圖所示：其中點與點重合，因為該建筑關(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對稱，，，是的四等分點，，，是的四等分點所以，，，所以為直角三角形，四邊形為矩形，所以且，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以.故選：A.二、多選題9．（2023春·浙江金華·高一?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．在中，若，則B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則不是等邊三角形【答案】ABD【詳解】對于A：，，由正弦定理可得，A正確；對于B：在銳角中，，，，B正確；對于C：在中，若，由正弦定理可得，，或，或，則是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；對于D：在中，若，則不是等邊三角形，D正確.故選：ABD.10．（2023春·福建莆田·高一校考階段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.下面四個結(jié)論正確的是（

）A．，，則的外接圓半徑是2 B．若，則C．若，則一定是銳角三角形 D．若，則【答案】ABD【詳解】對：由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故正確；對：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確；對：因為，所以為銳角，但不確定，故C錯誤；對：若，，所以由正弦定理得，故D正確.、故選：ABD.三、填空題11．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若外接圓面積為，則面積的最大值為______．【答案】【詳解】由已知及正弦定理得，所以，所以，又，所以．由的外接圓面積為，得外接圓的半徑1．由正弦定理得，所以，所以，解得，所以的面積，當且僅當時等號成立．故答案為:.12．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，點在邊上，，則邊的最小值為__________.【答案】1【詳解】令，則，又，在中，由余弦定理可得，化簡整理得，因為，所以，所以，即，當且僅當時等號成立，所以的最小值為1.故答案為：1四、解答題13．（2023春·廣東廣州·高一廣州市培英中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，是角所對的邊，且滿足(1)求角的大??；(2)設(shè)向量，向量，且向量共線，判斷的形狀.【答案】(1)(2)直角三角形【詳解】（1）因為，所以；因為，所以；（2）因為，共線，所以，所以或（舍）；當時，，所以為直角三角形.14．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大?。?2)若，求的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，所以，因為因為，所以，所以因此有．又因為，所以．（2）由，及余弦定理，得，所以，當且僅當時取等號．又因為，所以，故的周長的取值范圍為．15．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？级＃┑膬?nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，D為BC中點，，求AD的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∴∴∵，由正弦定理得∴，∴，∴，解得；（2），，∴，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，解得．B能力提升1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由正弦定理得：由余弦定理得：，即當且僅當時，即，，時取等號，,則，所以面積的最大值.故選：B2．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省阜寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，有，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，又，，所以又，，，所以，即，，當且僅當即時取等號，顯然為銳角，要使取最大值，則取最小值，此時，所以，即的最大值是．故選：D．3．（2023春·山東煙臺·高一山東省招遠第一中學(xué)校考期中）銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為在銳角中，，且，所以，則，所以，則或（舍去），所以，，因為為銳角三角形，，所以，所以，所以，，故選：B.4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令的內(nèi)角所對邊分別為，由正弦定理及得，即，銳角中，，即，同理，于是，解得，又線段為邊上的中線，則，又，于是，因此，當時，，，所以中線的取值范圍是.故選：D5．（多選）（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點G為△ABC的重心，點D，E分別為AB，AC上的點，且D，G，E三點共線，，，m＞0，n＞0，記△ADE，△ABC，四邊形BDEC的面積分別為S1，S2，S3，則（）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】A選項，由D、G、E三點共線，則＝，設(shè)，，m＞0，n＞0.則，又由重心性質(zhì)可知，則，，即，即選項A正確；B選項，S1＝＝，S2＝，則，即選項B正確；CD選項，＝≤，當且僅當，即時取等號，則，即選項C正確，D錯誤.故選：ABC．6．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，且，延長至.則下面結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若，則周長的最大值為D．若，則面積的最大值為【答案】ACD【詳解】，，解得：，由得：，，，解得：（舍）或，，，A正確；，，，即，為等邊三角形，，B錯誤；，，在中，由余弦定理得：，（當且僅當時取等號），解得：，周長的最大值為，C正確；設(shè)，則，，則當時，取得最大值，D正確.故選：ACD.C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】因為，，所以，而，在中，設(shè)，則，由正弦定理得，解得，由余弦定理，所以.故選：C.2．（多選）（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）已知點是平行四邊形所在平面外一點，，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．存在實數(shù)，使C．不是平面的法向量 D．四邊形的面積為【答案】ACD【詳解】A：，所以本選項結(jié)論正確；B：，假設(shè)存在存在實數(shù)，使，，顯然方程組無實數(shù)解，因此假設(shè)不成立，所以不存在實數(shù)，使，因此本選項說法不正確；C：不互相垂直，所以不是平面的法向量，因此本選項說法正確；D：，所以，四邊形的面積為：，因此本選項說法正確，故選：ACD3．（多選）（2023春·山東菏澤·高一?？茧A段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且B為鈍角，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】因為，所以