高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)第05講數(shù)列求和(九大題型)(講義)(原卷版+解析)

第05講數(shù)列求和目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．（2）掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法．2023年甲卷（理）第17題，12分2023年II卷第18題，12分2023年I卷第20題，12分高考對(duì)數(shù)列求和的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．?dāng)?shù)列的求和主要考查等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及非等差、等比數(shù)列的求和方法，其綜合性較強(qiáng)．?dāng)?shù)列求和問題以解答題的形式為主，偶爾出現(xiàn)在選擇填空題當(dāng)中，常結(jié)合函數(shù)、不等式綜合考查．一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．【解題方法總結(jié)】常見的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項(xiàng)模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．題型一：通項(xiàng)分析法例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求和．例2．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項(xiàng)和為A． B． C． D．例3．求數(shù)列1，，，，，的前項(xiàng)之和．變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前n項(xiàng)和為.變式2．（2023·全國·高三對(duì)口高考）數(shù)列的前n項(xiàng)和.變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用若此數(shù)列各項(xiàng)被除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為.【解題方法總結(jié)】先分析數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項(xiàng)和問題應(yīng)該強(qiáng)化的意識(shí)．題型二：公式法例4．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)由，的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項(xiàng)之和．例5．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例6．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列(1)求通項(xiàng)公式(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解題方法總結(jié)】針對(duì)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時(shí)，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．題型三：錯(cuò)位相減法例7．（2023·廣東茂名·高三茂名市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足且(1)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，請(qǐng)求出的值；(2)在（1）的條件下，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．例8．（2023·四川綿陽·高三鹽亭中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列?的前?項(xiàng)和為?，且?;數(shù)列?為等差數(shù)列，且?.(1)求數(shù)列?的通項(xiàng)公式.(2)若?，求數(shù)列?的前?項(xiàng)和?.例9．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若為前項(xiàng)的和，求.變式4．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式5．（2023·廣東東莞·?？既＃┮阎獢?shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式6．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求其前項(xiàng)和【解題方法總結(jié)】錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）適用條件若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和．（2）基本步驟（3）注意事項(xiàng)①在寫出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．①②得：．整理得：．題型四：分組求和法例10．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┮阎獢?shù)列和滿足：，，，，其中．(1)求證：；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．例11．（2023·廣東深圳·高三北師大南山附屬學(xué)校校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.例12．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式7．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足是與的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.變式8．（2023·海南·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式9．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.變式10．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.變式11．（2023·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1=1且滿足，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn+1=3bn.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn；(3)若在bk與bk+1之間依次插入數(shù)列{an}中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求數(shù)列{cn}中前50項(xiàng)的和T50.【解題方法總結(jié)】（1）分組轉(zhuǎn)化求和數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型題型五：裂項(xiàng)相消法例13．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.例14．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例15．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：.變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，．(1)求；(2)若，為的前n項(xiàng)和，證明：．變式13．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．變式14．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求和.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式17．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求集合中元素的個(gè)數(shù).變式18．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和變式20．（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，且.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式21．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證．變式22．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．變式23．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．【解題方法總結(jié)】裂裂項(xiàng)相消法求和（1）基本步驟（2）裂項(xiàng)原則一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（3）消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．題型六：倒序相加法例16．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，且，則的前n項(xiàng)和為．例17．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，，則．例18．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求得的值為.變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則.變式25．（2023·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和．變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和．變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則．變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.【解題方法總結(jié)】將一個(gè)數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．題型七：并項(xiàng)求和例19．（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的前項(xiàng)和為，，，則.例21．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.變式29．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的k的值．變式30．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式31．（2023·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前18項(xiàng)和．【解題方法總結(jié)】兩兩并項(xiàng)或者四四并項(xiàng)題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和例22．（2023·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)求證：.例23．（2023·天津市寶坻區(qū)第一中學(xué)二模）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．(1)和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前8項(xiàng)和；(3)證明：．例24．（2023·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.變式32．（2023·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；(2)設(shè)，證明：.【解題方法總結(jié)】先放縮后裂項(xiàng)，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標(biāo)．題型九：分段數(shù)列求和例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)記的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)對(duì)任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例26．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例27．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，滿足：.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式33．（2023·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，若，，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令為的前n項(xiàng)的和，求.變式34．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和分別為：，且滿足：，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)的和.變式35．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解題方法總結(jié)】（1）分奇偶各自新數(shù)列求和（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項(xiàng)”求和1．（2021?浙江）已知數(shù)列滿足，．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．2．（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為的長方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折次，那么．3．（2021?上海）已知為無窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．

第05講數(shù)列求和目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．（2）掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法．2023年甲卷（理）第17題，12分2023年II卷第18題，12分2023年I卷第20題，12分高考對(duì)數(shù)列求和的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．?dāng)?shù)列的求和主要考查等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及非等差、等比數(shù)列的求和方法，其綜合性較強(qiáng)．?dāng)?shù)列求和問題以解答題的形式為主，偶爾出現(xiàn)在選擇填空題當(dāng)中，常結(jié)合函數(shù)、不等式綜合考查．一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．【解題方法總結(jié)】常見的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項(xiàng)模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．題型一：通項(xiàng)分析法例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求和．【解析】∵，∴．例2．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項(xiàng)和為A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列通項(xiàng)，．故選：．例3．求數(shù)列1，，，，，的前項(xiàng)之和．【解析】由于，所以前項(xiàng)之和．變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】【解析】觀察數(shù)列得到，所以前n項(xiàng)和.故答案為：.變式2．（2023·全國·高三對(duì)口高考）數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】【解析】由題意，，所以故答案為：變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用若此數(shù)列各項(xiàng)被除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為.【答案】【解析】由數(shù)列，，，，，，，，，，各項(xiàng)除以的余數(shù)，可得數(shù)列為，，，，，，，，，，，，，，1，，所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，一個(gè)周期中八項(xiàng)和為，又因?yàn)椋詳?shù)列的前項(xiàng)的和.故答案為：.【解題方法總結(jié)】先分析數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項(xiàng)和問題應(yīng)該強(qiáng)化的意識(shí)．題型二：公式法例4．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)由，的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項(xiàng)之和．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，因?yàn)閯t，解得，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，，所以．?）設(shè)數(shù)列的第項(xiàng)與數(shù)列的第項(xiàng)相等，則，，，所以，，，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，故的前5項(xiàng)之和．例5．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時(shí)，，所以時(shí)，，又時(shí)，，得，也滿足上式．故．（2）由（1）可知：．記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上：例6．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列(1)求通項(xiàng)公式(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，又成等比數(shù)列，所以，即，整理得，得或，若，則，，若，則，得，，.綜上所述：或.（2）若，則，；若，則，.【解題方法總結(jié)】針對(duì)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時(shí)，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．題型三：錯(cuò)位相減法例7．（2023·廣東茂名·高三茂名市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足且(1)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，請(qǐng)求出的值；(2)在（1）的條件下，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)符合題意，則必為與無關(guān)的常數(shù).因?yàn)?要使是與無關(guān)的常數(shù)，則，可得.故存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.（2）由，且，由（1）知等差數(shù)列的公差，所以，即，所以記：，有，兩式相減，得，故.例8．（2023·四川綿陽·高三鹽亭中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列?的前?項(xiàng)和為?，且?;數(shù)列?為等差數(shù)列，且?.(1)求數(shù)列?的通項(xiàng)公式.(2)若?，求數(shù)列?的前?項(xiàng)和?.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，兩式相減有即.因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.則.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）在等差數(shù)列中，設(shè)首項(xiàng)為公差為，則解得所以.則①②所以①②得即解得例9．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若為前項(xiàng)的和，求.【解析】（1）因?yàn)?，所?兩式作差得，整理得.令，得，故對(duì)任意都成立.所以的首項(xiàng)為1，故，所以是公比為2的等比數(shù)列.所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）得，所以.所以.又，作差得，，.變式4．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由題意①，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，②，①－②得，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，所以時(shí)，兩式相減得，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）得，③，④，③－④得：，所以.變式5．（2023·廣東東莞·?？既＃┮阎獢?shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由，，得，整理得，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）知，∴，∴，設(shè)，則，兩式相減得，從而∴.變式6．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求其前項(xiàng)和【解析】（1）因?yàn)?，所以由題意可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，兩式作差得：，化簡得：即，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）方法一：設(shè)，則有，比較系數(shù)得，所以所以，所以，所以.方法二：因?yàn)?，所以，所以，所以，所?【解題方法總結(jié)】錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）適用條件若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和．（2）基本步驟（3）注意事項(xiàng)①在寫出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．①②得：．整理得：．題型四：分組求和法例10．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┮阎獢?shù)列和滿足：，，，，其中．(1)求證：；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）證明：因?yàn)棰?，②，①②可得，且，所以，?shù)列為常數(shù)列，且③，①②可得，且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以，④，③④可得，則，所以，.（2）由（1）可知，，則.例11．（2023·廣東深圳·高三北師大南山附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由且得當(dāng)時(shí)，由得，所以.所以，故，又當(dāng)時(shí)，，適合上式.所以.（2）因?yàn)?，，所以?shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)?2為公比的等比數(shù)列.故數(shù)列的前2n項(xiàng)的和，所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.例12．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，可得，所以?shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，所以.所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得；綜上所述：.變式7．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足是與的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，解得，所以，由題意知：，因?yàn)?，所以，解得，所以；?）由（1）得，.變式8．（2023·海南·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）由，得，故，所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，故．（2），所以變式9．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），由得時(shí)，，兩式相減得，因?yàn)?，所以，所以是等差?shù)列，首項(xiàng)為4，公差為3，所以；（2）由于，因此數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，所求和為.變式10．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，取倒得，所以，即，即，因?yàn)?，所以是，的等比?shù)列，所以.（2）在之間有2個(gè)3，之間有個(gè)3，之間有個(gè)3，之間有個(gè)3，合計(jì)個(gè)3，所以.變式11．（2023·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1=1且滿足，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn+1=3bn.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn；(3)若在bk與bk+1之間依次插入數(shù)列{an}中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求數(shù)列{cn}中前50項(xiàng)的和T50.【解析】（1）由得：∵是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列∴又當(dāng)時(shí)，得當(dāng)，由…①…②由①－②整理得：，∵，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故；（2）（3）依題意知：新數(shù)列中，（含）前面共有：項(xiàng)．由，（）得：，∴新數(shù)列中含有數(shù)列的前9項(xiàng)：，，……，，含有數(shù)列的前41項(xiàng)：，，，……，；∴．【解題方法總結(jié)】（1）分組轉(zhuǎn)化求和數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型題型五：裂項(xiàng)相消法例13．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)也成立.所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，則公差，故.（2）因?yàn)?，所以，?例14．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）時(shí)，，時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)滿足，；（2），.例15．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：.【解析】（1）設(shè)公差為，由題意得解得∴.（2）由（1）知，∴，.∵，∴.變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，．(1)求；(2)若，為的前n項(xiàng)和，證明：．【解析】（1）而，是公比為首項(xiàng)為的等比數(shù)列，,.（2）,,,，，.變式13．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1）由已知①，當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，②，①②得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；（2）因?yàn)?，所?變式14．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求和.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，即，得，解得或（舍），所以，所以，.（2）由（1）得，，所以.變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以，兩式相減得：，所以，，，，則，即也適合上式，所以是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，故：，故；（2）由（1）得，故，當(dāng)時(shí)，，故.變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以，即所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以；（2）.變式17．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求集合中元素的個(gè)數(shù).【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以所以，?又因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)椋粤?，得，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為.變式18．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【解析】（1）由，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，整理得：，①所以有，②①-②可得，所以為等差數(shù)列，因?yàn)?，所以公差為，所?（2），∴.變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】（1）由得，，所以時(shí)，，故，又，則，當(dāng)時(shí)，成立，所以，．（2）由（1）知，，所以，，因?yàn)?，于是，所以，．故?shù)列的前項(xiàng)和為．變式20．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┮阎菙?shù)列的前項(xiàng)和，滿足，且.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)椋@然，所以，即，所以，所以，又當(dāng)時(shí)，也滿足，所以.（2）由（1）知，則當(dāng)時(shí)，，又也滿足，所以，則，則.變式21．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證．【解析】（1）由，且，則，所以，而，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，所以，所以.（2），由得，，所以，即，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?變式22．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．【解析】（1）因?yàn)?，所以，即所以（為常?shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）由（1）知，即.所以，所以為公比為的等比數(shù)列，又，所以，因?yàn)椋?，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：．變式23．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．【解析】（1）由，得，令，有，，當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，于是，則，當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，因此，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）由（1）知，，所以．【解題方法總結(jié)】裂裂項(xiàng)相消法求和（1）基本步驟（2）裂項(xiàng)原則一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（3）消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．題型六：倒序相加法例16．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，且，則的前n項(xiàng)和為．【答案】【解析】因?yàn)?，又，所以又因?yàn)?，所以，?故答案為：.例17．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，，則．【答案】44【解析】由題意，可得，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，則，解得，則，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可得，則，同理可得，，，，，∴．故答案為：例18．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求得的值為.【答案】11【解析】因，設(shè)，則，故.故答案為：11變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則.【答案】4042【解析】由，令可得，，且，則，所以，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即由已知，，又兩式相加可得，所以，.故答案為：4042.變式25．（2023·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和．【答案】【解析】由得，，由，得，故，故，所以，則，兩式相減得：故，故答案為：變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】【解析】由題設(shè)，，所以，即且n≥2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：.變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則．【答案】/【解析】∵①，∴當(dāng)時(shí)，②，①－②得，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，此時(shí)仍然成立，∴．∴當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，故．由于，設(shè)則，∴．故答案為：．變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.【答案】46【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，設(shè)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，其中，且，則有，從而當(dāng)時(shí)，有：，當(dāng)時(shí)，，，相加得所以，又，所以對(duì)一切正整數(shù)，有；故有.故答案為：46.【解題方法總結(jié)】將一個(gè)數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．題型七：并項(xiàng)求和例19．（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．【答案】36【解析】由題意可得為奇數(shù)時(shí)，，兩式相減得；為偶數(shù)時(shí)，，兩式相加得，故.故答案為：36例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的前項(xiàng)和為，，，則.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，則為偶數(shù)，為偶數(shù)，可得，，兩式相加可得：，故，解得.故答案為：.例21．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.【解析】（1）設(shè)公差為，則，解得，，所以.（2），所以，所以.變式29．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的k的值．【解析】（1）設(shè)的公比為q，由，得，解得，由，，成等差數(shù)列，得，即，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）由（1）知，，，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，，令，得；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，，令，得，所以或37.變式30．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，兩式子作差可得，又，所以，可得數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和.變式31．（2023·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前18項(xiàng)和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為．則，解得.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）知，，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，．所以數(shù)列的前18項(xiàng)和為.【解題方法總結(jié)】兩兩并項(xiàng)或者四四并項(xiàng)題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和例22．（2023·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)求證：.【解析】(1)數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，化簡得，解得，，∴，.由已知，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，∴，，即，∴數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，∴，.(2)由（1）可得，，∴，∴(3)由（1）可得，，則，方法一：∵，∴，令，，兩式相減可得，∴，∴方法二：∵時(shí)，，根據(jù)“若，，則”，可得，∴，令，，兩式相減可得，∴∴，∴方法三：令，下一步用分析法證明“”要證，即證，即證，即證，當(dāng)，顯然成立，∴，∴例23．（2023·天津市寶坻區(qū)第一中學(xué)二模）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．(1)和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前8項(xiàng)和；(3)證明：．【解析】(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由已知，得，而，所以．又因?yàn)?，解得．所以．由，可得①．由，得②，?lián)立①②，解得，由此可得．所以，的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為．(2)解：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由，得，所以，，上述兩式相減，得．得．所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，．(3)解：由（1）得，所以：當(dāng)時(shí)，，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，所以，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，得證．例24．（2023·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.【解析】(1)令，，則舍去，所以.(2)，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，舍去，，當(dāng)時(shí)，，(3)令，所以變式32．（2023·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；(2)設(shè)，證明