高考理數(shù)一輪課件3第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用14-第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性總綱目錄教材研讀函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系考點(diǎn)突破考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)三已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),(1)若f'(x)>0在該區(qū)間內(nèi)恒成立,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)①

單調(diào)遞增

;(2)若f'(x)<0在該區(qū)間內(nèi)恒成立,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)②

單調(diào)遞減

;(3)若f'(x)=0在該區(qū)間內(nèi)恒成立,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是③

常數(shù)函數(shù)

.教材研讀1.函數(shù)f(x)=cosx-x在(0,π)上的單調(diào)性是

()A.先增后減

B.先減后增C.單調(diào)遞增

D.單調(diào)遞減答案

D∵在(0,π)上,f'(x)=-sinx-1<0,∴f(x)在(0,π)上單調(diào)遞減,故

選D.D2.若函數(shù)f(x)=x-

sin2x+asinx在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是

()A.[-1,1]

B.

C.

D.

C答案

C

f'(x)=1-

cos2x+acosx=1-

(2cos2x-1)+acosx=-

cos2x+acosx+

,f(x)在R上單調(diào)遞增,則f'(x)≥0在R上恒成立,令cosx=t,則t∈[-1,1],則-

t2+at+

≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t2-3at-5,則

解得-

≤a≤

,故選C.3.(2016北京東城期中)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則x·f'(x)>0的解集為

()

A.(-∞,0)∪(1,2)B.(1,2)C.(-∞,1)D.(-∞,1)∪(2,+∞)A答案

A不等式x·f'(x)>0等價(jià)于當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,即x>0時(shí),函數(shù)f(x)遞

增,則1<x<2;或當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,即x<0時(shí),函數(shù)f(x)遞減,則x<0.綜上,不等

式的解集為(-∞,0)∪(1,2),故選A.4.函數(shù)y=

x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為

(0,1]

.答案(0,1]解析由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),由y'=x-

≤0(x>0),解得0<x≤1,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1].5.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函數(shù),則a的最大值是

3

.答案3解析

f'(x)=3x2-a,由題意知在[1,+∞)上,f'(x)≥0,即a≤3x2,又x∈[1,+∞)

時(shí),3x2≥3,∴a≤3,即a的最大值是3.考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性典例1已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.討論f(x)的單調(diào)性.考點(diǎn)突破解析

f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(1)設(shè)a≥0,則當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在

(-∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增.(2)設(shè)a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-

,則f‘(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.②若a>-

,則ln(-2a)<1,故當(dāng)x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(ln(-2a),1)時(shí),f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)單調(diào)遞增,在(ln(-2a),1)

單調(diào)遞減.③若a<-

,則ln(-2a)>1,故當(dāng)x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(1,ln(-2a))時(shí),f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)單調(diào)遞增,在(1,ln(-2a))單調(diào)遞減.方法技巧用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟①求f'(x).②確定f'(x)在(a,b)內(nèi)的符號(hào).③作出結(jié)論,依據(jù)是f'(x)>0時(shí)為增函數(shù);f'(x)<0時(shí)為減函數(shù).提醒研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時(shí),需注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解

集的影響進(jìn)行分類討論.1-1已知函數(shù)f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-

處取得極值.(1)確定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性.解析(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=3ax2+2x,因?yàn)閒(x)在x=-

處取得極值,所以f'

=0,即3a·

+2×

=

-

=0,解得a=

.(2)由(1)得g(x)=

ex,故g'(x)=

ex+

ex=

ex=

x(x+1)(x+4)ex.令g'(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.當(dāng)x<-4時(shí),g'(x)<0,故g(x)為減函數(shù);當(dāng)-4<x<-1時(shí),g'(x)>0,故g(x)為增函數(shù);當(dāng)-1<x<0時(shí),g'(x)<0,故g(x)為減函數(shù);當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>0,故g(x)為增函數(shù).綜上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)內(nèi)為減函數(shù),在(-4,-1)和(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù).典例2

(2017北京順義二模,18)已知函數(shù)f(x)=pe-x+x+1(p∈R).(1)當(dāng)實(shí)數(shù)p=e時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)當(dāng)p=1時(shí),若直線y=mx+1與曲線y=f(x)沒有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范

圍.考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解析(1)當(dāng)p=e時(shí),f(x)=e-x+1+x+1,f'(x)=-e-x+1+1,∴f(1)=3,f'(1)=0.∴曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=3.(2)∵f(x)=pe-x+x+1,∴f'(x)=-pe-x+1.①當(dāng)p≤0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞);②當(dāng)p>0時(shí),令f'(x)=0,得ex=p,解得x=lnp.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,lnp)lnp(lnp,+∞)f'(x)-0+f(x)↘2+lnp↗所以當(dāng)p>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lnp,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,lnp).(3)當(dāng)p=1時(shí),f(x)=e-x+x+1,直線y=mx+1與曲線y=f(x)沒有公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)

于x的方程mx+1=e-x+x+1在(-∞,+∞)上沒有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于x的方程(m-1)x

=e-x(*)在(-∞,+∞)上沒有實(shí)數(shù)解.①當(dāng)m=1時(shí),方程(*)化為e-x=0,顯然在(-∞,+∞)上沒有實(shí)數(shù)解.②當(dāng)m≠1時(shí),方程(*)化為xex=

,令g(x)=xex,則有g(shù)'(x)=(1+x)ex.令g'(x)=0,得x=-1,則當(dāng)x變化時(shí),g'(x),g(x)的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,+∞)g'(x)-0+g(x)↘-

↗當(dāng)x=-1時(shí),g(x)min=-

,當(dāng)x趨近于+∞時(shí),g(x)趨近于+∞,從而g(x)的值域?yàn)?/p>

.所以當(dāng)

<-

,即1-e<m<1時(shí),方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解.綜合①②可知,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1-e,1].方法技巧利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)方法方法一:(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)y'=f'(x);(3)解不等式f'(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間;(4)解不等式f'(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.提醒寫單調(diào)區(qū)間時(shí),同增(減)區(qū)間不能用“∪”連接.方法二:(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)y'=f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出在定義域內(nèi)的一切根;(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無(wú)定義點(diǎn))和上面所求的各根按由小到

大的順序排列起來(lái),然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)

間;(4)確定f'(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào),根據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的單

調(diào)性.2-1

(2018北京朝陽(yáng)高三期中,18)已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+a)·e-x,a∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=f'(x),其中f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),判斷g(x)在定義域內(nèi)是否

是單調(diào)函數(shù),并說(shuō)明理由.解析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R}.f'(x)=-(x-2)(x-a)e-x.①當(dāng)a<2時(shí),令f'(x)<0,解得x<a或x>2,此時(shí)f(x)為減函數(shù);令f'(x)>0,解得a<x<2,此時(shí)f(x)為增函數(shù).②當(dāng)a=2時(shí),f'(x)=-(x-2)2e-x≤0恒成立,此時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù).③當(dāng)a>2時(shí),令f'(x)<0,解得x<2或x>a,此時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù);令f'(x)>0,解得2<x<a,此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù).綜上,當(dāng)a<2時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,a),(2,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為(a,2);當(dāng)a=2時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,+∞);當(dāng)a>2時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,2),(a,+∞);單調(diào)遞增區(qū)間為(2,a).(2)g(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),理由如下:g'(x)=f″(x)=[x2-(a+4)x+3a+2]·e-x.記h(x)=x2-(a+4)x+3a+2,則函數(shù)h(x)的圖象為開口向上的拋物線.方程h(x)=0的判別式Δ=a2-4a+8=(a-2)2+4>0恒成立,所以h(x)有正有負(fù),從而g'(x)有正有負(fù).故g(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).考點(diǎn)三已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍典例3設(shè)函數(shù)f(x)=

x3-

x2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=1.(1)求b,c的值;(2)若a>0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+2x,且g(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)

a的取值范圍.解析(1)f'(x)=x2-ax+b.由題意得

即

(2)由(1)得f'(x)=x2-ax=x(x-a),結(jié)合a>0知:當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f'(x)>0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a).(3)g'(x)=x2-ax+2,依題意,存在x∈(-2,-1),使不等式g'(x)=x2-ax+2<0成立,即x∈(-2,-1)時(shí),a<

=-2

,當(dāng)且僅當(dāng)x=

,即x=-

時(shí)等號(hào)成立.所以滿足要求的a的取值范圍是(-∞,-2

).方法技巧利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路(1)由可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減)可知f'(x)≥0(f'(x)≤0)在

區(qū)間[a,b]上恒成立,進(jìn)而列出不等式.(2)利用分離參數(shù)法求解恒成立問題.(3)對(duì)等號(hào)是否成立進(jìn)行單獨(dú)檢驗(yàn),檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f'(x)在整