專題22任意角與弧度制8種常見(jiàn)考法歸類（75題）（原卷版）

專題22任意角與弧度制8種常見(jiàn)考法歸類（75題）考點(diǎn)一任意角的概念考點(diǎn)二終邊相同的角找終邊相同的角終邊在某條直線上的角的集合考點(diǎn)三象限角及區(qū)域角的表示（一）確定角所在的象限（二）區(qū)域角考點(diǎn)四弧度制的概念考點(diǎn)五角度制與弧度制的互化考點(diǎn)六用弧度制表示有關(guān)的角考點(diǎn)七扇形的弧長(zhǎng)、面積考點(diǎn)八扇形中的最值問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)1：任意角1、任意角(1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．(2)角的表示：如圖所示：角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊：OA，終邊：OB，頂點(diǎn)O.(3)角的分類：名稱定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的加法與減法設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，－α為角α的相反角．(1)α＋β：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．知識(shí)點(diǎn)2：象限角1、定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.注：“銳角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？銳角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是銳角，也可以是大于360°的角，還可以是負(fù)角，小于90°的角可以是銳角，也可以是零角或負(fù)角．2、象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或知識(shí)點(diǎn)3：軸線角1、定義：軸線角是指以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為始邊，終邊落在坐標(biāo)軸上的角.2、軸線角的表示：①終邊落在軸非負(fù)半軸②終邊落在軸非負(fù)半軸③終邊落在軸非正半軸或④終邊落在軸非正半軸或⑤終邊落在軸⑥終邊落在軸或⑦終邊落在坐標(biāo)軸知識(shí)點(diǎn)4：終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為知識(shí)點(diǎn)5：角度制與弧度制的概念1、弧度制長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫(xiě)).2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，3、常用的角度與弧度對(duì)應(yīng)表角度制弧制度知識(shí)點(diǎn)6：扇形中的弧長(zhǎng)公式和面積公式弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.解題策略12、理解與角的概念有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大?。硗庑枰莆张袛嘟Y(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可．2、終邊相同的角的表示(1)終邊相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．(2)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍．3、象限角的判定方法①根據(jù)圖象判定．利用圖象實(shí)際操作時(shí)，依據(jù)是終邊相同的角的思想，因?yàn)?°～360°之間的角與坐標(biāo)系中的射線可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．②將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°之間沒(méi)有兩個(gè)角終邊是相同的．4、表示區(qū)域角的三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．5、確定nα及eq\f(α,n)所在的象限分類討論時(shí)要對(duì)k的取值分以下幾種情況進(jìn)行討論：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下結(jié)論．幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)單直觀．通過(guò)該類問(wèn)題，提升邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng)．6、角度與弧度互化技巧在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式πrad＝180°是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)，弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)．7、用弧度制表示終邊相同角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時(shí)，其中2kπ是π的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍．(2)注意角度制與弧度制不能混用．8、扇形的弧長(zhǎng)和面積的求解策略(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2(其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，R是扇形的半徑，α是扇形圓心角的弧度數(shù)，0<α<2π)．(2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解．考點(diǎn)一任意角的概念1.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）【多選】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．鈍角是第二象限角B．第二象限角比第一象限角大C．大于的角是鈍角D．是第二象限角2．（2024·福建南平·高一武夷山一中?？计谥校┌逊轴槗芸?5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.3.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）時(shí)鐘走了3小時(shí)20分，則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為．4．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，射線繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，并在此基礎(chǔ)上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120到達(dá)位置，則．5．（2024·湖南·高一南縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2023年2月4日至2月20日在北京舉行，中國(guó)運(yùn)動(dòng)員通過(guò)頑強(qiáng)拼搏，共獲得9枚金牌，列金牌榜第三名，創(chuàng)造了冬奧會(huì)上新的輝煌.在冬奧會(huì)的比賽中有一位滑地運(yùn)動(dòng)員做了一個(gè)空中翻騰五周的高難度動(dòng)作，那么“空中翻騰五周”等于度（不考慮符號(hào)）.6．（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知集合A={|為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D7．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）求下列各式的值，并作圖說(shuō)明運(yùn)算的幾何意義．(1)；(2)；(3)．8．（2024·全國(guó)·高一課堂例題）下列所示圖形中，的是；的是．

考點(diǎn)二終邊相同的角（一）找終邊相同的角9.【多選】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．10．（2024·安徽·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，下列與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．11．（2024·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┫铝懈鹘侵校c角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．12.（2023春·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）下列各角中，與角終邊相同的是（

）A． B． C． D．13．（2024·廣東東莞·高一?？计谥校┱?qǐng)寫(xiě)出與終邊相同的最小正角：.14.（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α與120°角終邊相同，則α=．15．（2024·全國(guó)·高一課堂例題）在區(qū)間內(nèi)找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．(1)；(2)；(3)．16．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫(xiě)出來(lái)：(1)；(2)；(3)；(4)．17.（2023春·山東威海·高一統(tǒng)考期末）下列角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱的是（

）A． B． C． D．（二）終邊在某條直線上的角的集合18.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若角的終邊在函數(shù)的圖象上，試寫(xiě)出角的集合為．19.（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中寫(xiě)出下列角的集合：(1)終邊在軸的非負(fù)半軸上；(2)終邊在上．20.（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）寫(xiě)出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

考點(diǎn)三象限角及區(qū)域角的表示（一）確定角所在的象限21．（2024·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)?？计谥校┑慕K邊在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限22.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）角是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限23．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，，則所在象限是（

）A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限24．【多選】（2024·湖南株洲·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（

）A．① B．② C．③ D．④25．（2024·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如果角α為銳角，那么，所在的象限是．26.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若角是第二象限角，則角的終邊所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限27．（2024·天津河?xùn)|·高三?？茧A段練習(xí)）若是第二象限角，則是象限28.（2023春·江西撫州·高一資溪縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎堑谝幌笙藿牵敲矗?/p>

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角29.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角30.【多選】（2023春·江西宜春·高一?？茧A段練習(xí)）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個(gè)象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限31．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．（二）區(qū)域角32．（2024·四川眉山·高一?？计谥校?）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫(xiě)出角的集合．

（2）已知角，將改寫(xiě)成的形式，并指出是第幾象限角．33．（2024·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為．

34．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．35.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

36.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．考點(diǎn)四弧度制的概念37.（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A．弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑B．大圓中弧度的圓心角比小圓中弧度的圓心角大C．所有圓心角為弧度的角所對(duì)的弧長(zhǎng)都相等D．用弧度表示的角都是正角38.（2023春·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）自行車(chē)的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是（

）A． B． C． D．39.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）親愛(ài)的考生，我們數(shù)學(xué)考試完整的時(shí)間是2小時(shí)，則從考試開(kāi)始到結(jié)束，鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為.40.【多選】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）鐘表在我們的生活中隨處可見(jiàn)，高一某班的同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)了“任意角和弧度制”后，對(duì)鐘表的運(yùn)行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開(kāi)了激烈的討論，若將時(shí)針與分針視為兩條線段，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．小趙同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了5h，時(shí)針轉(zhuǎn)了．”B．小錢(qián)同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了40min，分針轉(zhuǎn)了．”C．小孫同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12:35時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為．”D．小李同學(xué)說(shuō)：“時(shí)鐘的時(shí)針與分針一天之內(nèi)會(huì)重合22次．”41.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考點(diǎn)五角度制與弧度制的互化42.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）把下列各角從度化為弧度：(1)；(2)．43．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）把下列角度與弧度進(jìn)行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)44.（2023秋·天津武清·高三校考階段練習(xí)）化為角度是（

）A． B． C． D．45．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）將下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)346．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）把下列各角化成的形式，并指出它們是哪個(gè)象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．47．（2024·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知.(1)將寫(xiě)成的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求與終邊相同的角，滿足．考點(diǎn)六用弧度制表示有關(guān)的角48.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列與終邊相同角的集合中正確的是（

）A． B．C． D．49．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．50．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）用弧度制表示與角的終邊相同的角的集合為（

）A． B．C． D．51.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）將－1485°化成的形式是（

）A． B． C． D．52.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)與角終邊相同的正角：（用弧度數(shù)表示）.53.（2023春·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知.(1)將寫(xiě)成的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求與終邊相同的角，滿足．54．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）終邊在直線上的角的集合為．55．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）用弧度制寫(xiě)出終邊在陰影部分的角的集合：(1)

(2)

56.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無(wú)特別說(shuō)明，邊界線為實(shí)線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

57.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

考點(diǎn)七扇形的弧長(zhǎng)、面積58.（2023秋·江西撫州·高二江西省樂(lè)安縣第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若扇形的圓心角為，半徑.則它的弧長(zhǎng)為.59．（2024·上海松江·高三?？计谥校┤粢簧刃蔚膱A心角為，半徑為2，則扇形的弧長(zhǎng)為.60．（2024·山東淄博·高一校聯(lián)考期中）已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．61.（2023春·江西吉安·高一校聯(lián)考期中）已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的周長(zhǎng)為.62．（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中校考期中）已知扇形的圓心角是，半徑為，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．63．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知扇形的圓心角為，其弧長(zhǎng)為，則這個(gè)扇形的面積為．64.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）若扇形的面積是，它的周長(zhǎng)是，則扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．65．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知扇形AOB的面積為，圓心角為120°，則該扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為.66．（2024·遼寧錦州·高三渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎硶r(shí)鐘的分針長(zhǎng)，時(shí)間經(jīng)過(guò)5分鐘，則時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角為弧度，分針掃過(guò)的扇形的面積為67．（2024·上?！じ呷虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計(jì)算問(wèn)題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分．若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為．

68.（2023春·上海松江·高一統(tǒng)考期中）建于明朝的杜氏雕花樓被譽(yù)為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我國(guó)古建筑雕刻中很重要的一種藝