專題1.3 有理數(shù)（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（解析版）

專題1.3有理數(shù)（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】有理數(shù)的概念整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).知識拓展：有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)；反過來，分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù).【例1】（23-24七年級上·山東菏澤·階段練習(xí)）下列各數(shù)：中，有理數(shù)有個．【答案】5【分析】本題考查負(fù)有理數(shù)的識別，熟練掌握整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．解：這5個數(shù)是有理數(shù)．故答案為：5【點(diǎn)撥】此處特別注意是無理數(shù)，0.1010010001是有規(guī)律排列的有理數(shù)；【知識點(diǎn)二】有理數(shù)的分類知識拓展：（1）小數(shù)包括無限不循環(huán)小數(shù)，故小數(shù)不能等同于分?jǐn)?shù)，但除了.無限不循環(huán)小數(shù)，其他小數(shù)都屬于分?jǐn)?shù)；(2）圓周率是無限不循環(huán)小數(shù)，它不能化為分?jǐn)?shù)，是將來要學(xué)的無理數(shù)。【例2】（22-23七年級上·山東濟(jì)南·期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號里：，，，，，，，，，．整數(shù)集合：{

…}正分?jǐn)?shù)集合：{

…}負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{

…}【答案】，，，；，，；，，．【分析】本題考查了有理數(shù)的概念及分類，根據(jù)定義直接求解即可，解題的關(guān)鍵是熟悉整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)的定義，熟練掌握此題的特點(diǎn)并能熟練運(yùn)用．解：整數(shù)集合：{，，，，…}；正分?jǐn)?shù)集合：{，，，…}；負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{，，，…}；故答案為：，，，；，，；，，．【點(diǎn)撥】有理數(shù)分類要遵循“不重不小漏”的原則【知識點(diǎn)三】0的意義既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，正負(fù)數(shù)以0為界；（2）為了表示沒有而產(chǎn)生一個數(shù)0；（3）0還可以表示為一個事件的起點(diǎn)；（4）與0對應(yīng)的是非零，非零表示正數(shù)或負(fù)數(shù)，總之，一個圈，表示的意義有無窮無盡的地方?！纠?】下列說法錯誤的是（

）A．0是最小的自然數(shù) B．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)C．是零上溫度和零下溫度的分界線 D．海拔高度是0米表示沒有高度【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)0的特殊性質(zhì)解答．解：A、0是最小的自然數(shù)，正確，故本選項(xiàng)不符合題意，B、0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，正確，故不符合題意；C、0℃是零上溫度和零下溫度的分界線，正確，故本選項(xiàng)不符合題意，D、海拔高度為0米表示高度和參考高度相等，故本選項(xiàng)符合題意，故選：D．【知識點(diǎn)四】帶“非”字的有理數(shù)帶“非”字的有理數(shù)“非負(fù)數(shù)”“非正數(shù)”“非負(fù)整數(shù)”“非正整數(shù)”“非零”“非小數(shù)”等等，如“非負(fù)數(shù)”表示不是負(fù)數(shù)，就是正數(shù)或0，在理解“非負(fù)整數(shù)”，表示的含義有兩層意義：首先它是整數(shù)，其次它才是正負(fù)整數(shù)，所以“非負(fù)整數(shù)”表示的是不是負(fù)整數(shù)，就是0和正整數(shù)，這是學(xué)生易錯的地方?！纠?】（23-24七年級上·湖北恩施·階段練習(xí)）把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的橫線上：1，，，325，，0，，0.618，，π，0.1010010001…．負(fù)數(shù)有：；非正數(shù)有：；負(fù)整數(shù)有：；非負(fù)數(shù)有：；負(fù)分?jǐn)?shù)有：；非負(fù)整數(shù)有：．【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)是比0小的數(shù)，非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和0，非負(fù)整數(shù)包括正整數(shù)和0，以及負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)的定義，對各個數(shù)進(jìn)行判斷，進(jìn)行解答即可．解：負(fù)數(shù)有：，，，；非正數(shù)有：，，，0，；負(fù)整數(shù)有：，；非負(fù)數(shù)有：1，，325，0，π，3.1010010001…；負(fù)分?jǐn)?shù)有：，；非負(fù)整數(shù)有：1，325，0．【點(diǎn)撥】特別注意帶“非”的理解，如“非負(fù)整數(shù)”表示的前提是整數(shù)，在整數(shù)中不是負(fù)整數(shù)就是正整數(shù)和0；第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有理數(shù)的概念理解【例1】簡答：（1）-1和0之間還有負(fù)數(shù)嗎？如有，請列舉．（2）-3和-1之間有負(fù)整數(shù)嗎？-2和2之間有哪些整數(shù)？（3）有比-1大的負(fù)整數(shù)嗎？有比1小的正整數(shù)嗎？（4）寫出三個大于-105小于-100的有理數(shù)．（5）如果把一個物體向右移動5m記作移動-5m，那么這個物體又移動+5m是什么意思？這時物體離它兩次移動前的位置多遠(yuǎn)？【答案】（1）有，；（2）-3與-1之間有負(fù)整數(shù)，-2；-2與2之間有整數(shù)為-1,0,1；（3）沒有，沒有；（4）-104，-103，-102；（5）表示把一個物體向左移動5m；0m．【分析】（1）根據(jù)-1和0之間有無數(shù)個負(fù)數(shù)，即可得答案；（2）根據(jù)整數(shù)的定義直接可得答案；（3）根據(jù)-1是最大的負(fù)整數(shù)，1是最小的正整數(shù)直接可得答案；（4）在-105和-100的有理數(shù)有無數(shù)個，所以可直接寫出答案；（5）根據(jù)有理數(shù)相反意義的概念可直接得出答案．答：（1）-1和0之間有負(fù)數(shù)，如，，等等；（2）-3和-1之間有負(fù)整數(shù)，如-2；-2和2之間有3個整數(shù)，分別為：-1,0,1；（3）沒有比-1大的負(fù)整數(shù)，也沒有比1小的正整數(shù)，因?yàn)?1就是最大的負(fù)整數(shù)，1就是最小的正整數(shù)；（4）大于-105小于-100的有理數(shù)有無數(shù)個，所以可任意寫出三個，如：-104，-103，-102；（5）因?yàn)榘岩粋€物體向右移動5m記作移動-5m，所以根據(jù)有理數(shù)相反意義的關(guān)系可得移動+5m表示把一個物體向左移動5m，這時物體離它兩次移動前的位置為0m．【舉一反三】【變式1】（22-23七年級上·全國·課后作業(yè)）在數(shù)，，，，，，（每兩個中依次多一個）中，有理數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義，即可求解．有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．解：在數(shù)，，，，，，（每兩個中依次多一個）中，有理數(shù)有，，，，，，共6個故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的定義，掌握有理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．其中“（每兩個中依次多一個）”是有規(guī)律排列有無限不循環(huán)小數(shù)，它和一樣都是無理數(shù)【變式2】（23-24七年級上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）在“”中有理數(shù)有個．【答案】3【分析】本題主要考查有理數(shù)的有關(guān)概念，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握有理數(shù)的概念．解：分?jǐn)?shù)和整數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，∴有理數(shù)有：．故答案為：3．【題型2】0的意義的認(rèn)識【例2】在下表適當(dāng)?shù)目崭窭锎颉啊獭碧?有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)非負(fù)整數(shù)2－3.140－1【分析】有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱,整數(shù)就是像-3,-2,-1,0,1,2,3，等這樣的數(shù)，整數(shù)包括：負(fù)整數(shù)，0，正整數(shù)；分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，或一個事件與所有事件的比例.把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)分為：正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)；非負(fù)整數(shù)是指0和正整數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的定義和分類進(jìn)行解答.解：如下表所示：有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)非負(fù)整數(shù)2√√√√－3.14√√√0√√√－1√√√【點(diǎn)撥】本題主要考查有理數(shù)的定義和有理數(shù)的分類，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握有理數(shù)的定義和有理數(shù)的分類.【舉一反三】【變式1】關(guān)于“0”的說法，正確的是（

）A．是整數(shù)，也是正數(shù) B．是整數(shù)，但不是正數(shù)C．不是整數(shù)，是正數(shù) D．是整數(shù)，但不是有理數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是有理數(shù)也是整數(shù)，據(jù)此對各選項(xiàng)逐一判斷即可．解：A．0是整數(shù)，不是正數(shù)，則A選項(xiàng)錯誤，故A選項(xiàng)不符合題意；B．0是整數(shù)，不是正數(shù)，則B選項(xiàng)正確，故B選項(xiàng)符合題意；C．0是整數(shù)，不是正數(shù)，則C選項(xiàng)錯誤，故C選項(xiàng)不符合題意；D．0是整數(shù)，也是有理數(shù)，則D選項(xiàng)錯誤，故D選項(xiàng)不符合題意，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)的概念，0的特殊規(guī)定：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是有理數(shù)也是整數(shù)．熟練記憶是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】0既不是，也不是．0是和的分界點(diǎn)．【答案】正數(shù)/負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)/正數(shù)正數(shù)/負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)/正數(shù)【分析】根據(jù)0的意義求解即可．解：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，故答案為：正數(shù)；負(fù)數(shù)；正數(shù)；負(fù)數(shù)．【點(diǎn)撥】本題主要考查了0的意義，熟知0的意義是解題的關(guān)鍵．【題型3】有理數(shù)分類的判斷【例3】“不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)，不是負(fù)數(shù)的數(shù)一定是正數(shù)”的說法對嗎？為什么？【答案】不對，因?yàn)?既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．【分析】舉反例進(jìn)行說明即可．解答：不對．因?yàn)?既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．【點(diǎn)撥】本題主要考查了0的意義，掌握“0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)”是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）在，，0，，中分?jǐn)?shù)有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行判斷即可．解：在，，0，，中，分?jǐn)?shù)有，，，共3個，故選：C．【變式2】（23-24七年級上·江蘇淮安·期中）在中，正整數(shù)有個，負(fù)數(shù)有個，則的值為.【答案】5【分析】根據(jù)正整數(shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)的定義得出它們的個數(shù)，再代入計(jì)算即可．解：在中，正整數(shù)有2020，，共2個；負(fù)數(shù)有，共3個；∴m=2，n=3，m+n=2+3=5．故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的分類，代數(shù)式求值，掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．【題型4】帶“非”字有理數(shù)識別【例4】我們用字母表示一個有理數(shù)，試判斷下列說法是否正確，若不正確，請舉出反例．（1）一定表示正數(shù)，一定表示負(fù)數(shù)；（2）如果是零，那么就是負(fù)數(shù)；（3）若是正數(shù)，則一定為非正數(shù)．【答案】(1)錯誤．若，則；(2)錯誤．若，則；(3)正確；【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的分類分析小題即可判斷；（2）根據(jù)有理數(shù)的分類分析小題即可判斷；（3）根據(jù)有理數(shù)的分類分析小題即可判斷；（1）解：錯誤．舉例：若，則；（2）解：錯誤．舉例：若，則；（3）解：正確．【點(diǎn)撥】本題考查有理數(shù)的分類，解題時需要掌握整數(shù)和分?jǐn)?shù)，正數(shù)和負(fù)數(shù)以及0的定義和特點(diǎn)，理解0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．【舉一反三】【變式1】（23-24七年級上·河南周口·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，大括號中所填的數(shù)正確的是（

）A．正數(shù)集合： B．非負(fù)數(shù)集合：C．分?jǐn)?shù)集合： D．整數(shù)集合：【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，理解有理數(shù)的相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)正數(shù)的定義判斷A的正誤，再根據(jù)非負(fù)數(shù)是正數(shù)或0判斷B的正誤；再根據(jù)有理數(shù)也可分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)判斷C，D的正誤即可解答．解：A．由是正數(shù)，故正確，符合題意；B．由為負(fù)數(shù)，故錯誤，不符合題意；C．1為整數(shù)，故錯誤，不符合題意；D．因?yàn)槭欠謹(jǐn)?shù)，故錯誤，不符合題意．故選：A．【變式2】（22-23七年級上·湖北黃石·期中）在下列數(shù)，，，，，，，，中，屬于非負(fù)有理數(shù)的有．【答案】，，，【分析】根據(jù)非負(fù)有理數(shù)即大于等于的有理數(shù)，逐一判斷即可．解：數(shù)，，，，，，，，中，非負(fù)有理數(shù)即大于等于的有理數(shù)有：，，，，故答案為：，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的分類，理解非負(fù)有理數(shù)即大于等于的有理數(shù)是解題的關(guān)鍵．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·江西·中考真題）下列各數(shù)中，正整數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類即可求解．解：是正整數(shù)，是小數(shù)，不是整數(shù)，不是正數(shù)，不是正數(shù)，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列數(shù)中，屬于負(fù)數(shù)的是（

）A．2023 B． C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)小于0的數(shù)即為負(fù)數(shù)解答可得．解：是負(fù)數(shù)，和是正數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，熟練掌握負(fù)數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（2024七年級·全國·競賽）若為整數(shù)，則整數(shù)可取的值有（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】本題主要考查了整數(shù)的定義，理解整數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．分別用列舉法確定為整數(shù)的的值，然后取公共部分即可解答．解：∵為整數(shù)時，∴可取；∵為整數(shù)時，∴可取，∴當(dāng)為整數(shù)時，可取值為共兩個．故選C．【例2】把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的橫線上：1，-0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…．正數(shù)有：；分?jǐn)?shù)有：；負(fù)數(shù)有：；正整數(shù)有：；非正數(shù)有：；負(fù)整數(shù)有：；非負(fù)數(shù)有：；負(fù)分?jǐn)?shù)有：；非負(fù)整數(shù)有：．【答案】1，，325，0.618，π，0.1010010001…；-0.20，，-23.13，0.618；-0.20，-789，-23.13，-2014；1，325；-0.20，-789，0，-23.13，-2014；-789，-2014；1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…；-0.20，-23.13；1，325，0.解答：按照本題中給出的分類，結(jié)合各類型數(shù)的定義依次分析各個數(shù)的特征，得(1)1是正數(shù)；1是正整數(shù)；1是非負(fù)數(shù)；1是非負(fù)整數(shù).(2)-0.20是分?jǐn)?shù)；-0.20是負(fù)數(shù)；-0.20是非正數(shù)；-0.20是負(fù)分?jǐn)?shù).(3)是正數(shù)；是分?jǐn)?shù)；是非負(fù)數(shù).(4)325是正數(shù)；325是正整數(shù)；325是非負(fù)數(shù)；325是非負(fù)整數(shù).(5)-789是負(fù)數(shù)；-789是非正數(shù)；-789是負(fù)整數(shù).(6)0是非正數(shù)；0是非負(fù)數(shù)；0是非負(fù)整數(shù).(7)-23.13是分?jǐn)?shù)；-23.13是負(fù)數(shù)；-23.13是非正數(shù)；-23.13是負(fù)分?jǐn)?shù).(8)0.618是正數(shù)；0.618是分?jǐn)?shù)；0.618是非負(fù)數(shù).(9)-2014是負(fù)數(shù)；-2014是非正數(shù)；-2014是負(fù)整數(shù).(10)π是正數(shù)；π是非負(fù)數(shù).(11)0.1010010001…是正數(shù)；0.1010010001…是非負(fù)數(shù).故本題應(yīng)進(jìn)行如下填寫：(正數(shù))1，，325，0.618，π，0.1010010001…；(分?jǐn)?shù))-0.20，，-23.13，0.618；(負(fù)數(shù))-0.2