1.1.3集合的基本運算（講義7大題型）

1.1.3集合的基本運算1、理解兩個集合的并集、交集及補集的含義，會求兩個簡單集合的并集、交集及補集(重點）；2、能使用維恩圖（Venn)表達集合的關系及運算（難點）.知識點1交集1、交集的概念自然語言一般地，給定兩個集合A，B，由既屬于A又屬于B的所有元素（即A與B的公共元素）組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”．符號語言．圖形語言（1）與有部分公共元素（2）與沒有公共元素，（3），則（4），則（5）注：圖中的陰影部分表示交集2、交集的運算性質性質定義滿足交換律空集與任何集合的交集都是空集集合與集合本身的交集仍為集合本身多個集合的交集滿足結合律若，則交集關系與子集關系的轉化兩個集合的交集是其中任一集合的子集知識點2并集1、并集的概念自然語言一般地，給定兩個集合A，B，由這兩個集合的所有的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”．符號語言．圖形語言（1）與有部分公共元素（2）與沒有公共元素（3），則（4），則（5）注：圖中的陰影部分表示交集2、并集的運算性質性質定義滿足交換律任何集合與其本身的并集等于這個集合本身任何集合與空集的并集等于這個集合本身多個集合的并集滿足結合律,任何集合都是該集合與另一個集合并集的子集任何集合與它子集的并集都是它本身，反之亦然知識點3全集與補集1、全集的概念在研究集合與集合之間的關系時，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集．記法：全集通常記作U．【注意】全集不是固定不變的，它是一個相對概念，是一句具體問題來選擇的．2、補集的概念自然語言如果給定集合A是全集U的一個子集，則由U中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為A在U中的補集，記作，讀作“A在U中的補集”．符號語言．圖形語言注：圖中的陰影部分表示補集，全集通常用矩形區(qū)域表示．3、補集的運算性質性質定義任何集合與其補集的并集為全集任何集合與其補集的交集為空集任何集合補集的補集為集合本身全集的補集為空集，空集的補集為全集【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看題目的。知識點4德摩根定律和容斥原理1、德摩根定律設集合U為全集，A、B為U的子集，則有（1）（2）2、容斥原理：在部分有限集中，我們經常遇到有關集合中元素的個數問題，常用Venn圖表示兩集合的交、并、補。如果用card表示有限集合元素的個數，即card（A）表示有限集A的元素個數，則有如下結論：（1）（2）【常用方法技巧】1、交集、并集、補集的基本運算方法（1）進行集合運算時，可按照如下口訣進行：交集元素仔細找，屬于且屬于；并集元素勿遺漏，切忌重復僅取一；全集是大范圍，去掉中元素，剩余元素成補集。（2）解決集合的混合運算問題時，一般先算括號內的部分；（3）當集合是用列舉法表示時（如數集），可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當集合用描述法表示時（如不等式行事表示的集合），則可運用數軸求解。2、利用交并補求參數范圍的解題思路（1）根據并集求參數范圍：若A有參數，則需要討論A是否為空集；若B有參數，則；（2）根據交集求參數范圍：若A有參數，則需要討論A是否為空集；若B有參數，則3、運用補集思想解題的步驟當從正面考慮情況較多、問題較復雜時，往往考慮運用補集思想，其解題步驟為：第一步：否定已知條件，考慮反面問題；第二步：求解反面問題對應的參數范圍；第三步：取反面問題對應的參數范圍的補集題型一交集的概念與運算【例1】（2223高一上·江蘇宿遷·月考）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.【變式11】（2324高二下·河北邢臺·月考）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.【變式12】（2024·浙江臺州·一模）設集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，僅點在直線上，所以.故選：C【變式13】（2324高一上·陜西西安·月考）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖，只有當時，集合有交集，此時.故選：D題型二并集的概念與運算【例2】（2324高一下·廣東深圳·期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據并集的含義知，故選：D.【變式21】（2324高一上·重慶黔江·月考）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，集合，而，所以.故選：D【變式22】（2324高一上·四川攀枝花·月考）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為集合，，則．故選：．【變式23】（2223高一上·江蘇宿遷·月考）設集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為集合，集合，所以.故選：D.題型三補集的概念與運算【例3】（2324高一上·江蘇徐州·期中）設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，，則.故選：D【變式31】（2324高三上·北京大興·期末）已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，，則.故選：C.【變式32】（2425高一上·全國·假期作業(yè)）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，又因為，所以，故選：C.【變式33】（2024·四川涼山·三模）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為集合或，，所以，故選：B．題型四交并補混合運算【例4】（2324高一下·安徽滁州·期末）設集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，，則.故選：D【變式41】（2324高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，則，故選：B．【變式42】（2324高一上·河南新鄉(xiāng)·月考）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，，∴，∴．故選：C．【變式43】（2324高一下·遼寧沈陽·月考）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題得：，，，或，或，所以，故A錯誤；或，故B錯誤；或，故C錯誤；，故D正確；故選：D.題型五根據交并補運算求參數【例5】（2324高一下·云南怒江·月考）（多選）若，，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因為，所以；若，則，時，，不符合集合元素的互異性，舍去；時，，，滿足，故A正確；若，則，時，，，滿足，故B正確；時，，，滿足，故C正確；若，則，不符合集合元素的互異性，舍去；若，則或0，時，，，滿足；所以或或，故選：ABC.【變式51】（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】由，則，故有，解得，即.故答案為：.【變式52】（2324高一上·廣東佛山·月考）已知集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由集合，，可得或，因為，則滿足.故選：A.【變式53】已知集合，或.(1)若，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1),；(2),,.【解析】（1）由集合，或.，，解得.的取值范圍是,；

（2），，或，即或.

的取值范圍是,,.題型六韋恩圖在集合運算中的應用【例6】（2324高一上·貴州黔東南·期中）已知集合，，且都是全集的子集，則下圖所示的韋恩圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以．故選：A．【變式61】（2324高一上·廣東韶關·期中）已知集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（

）

A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】由題意知，，，所以圖中陰影部分表示或.故選：A.【變式62】（2324高一上·寧夏固原·月考）如圖，已知矩形表示全集是的兩個子集，則陰影部分可表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圖象中，空白部分可表示為，所以陰影部分可表示為.故選：D【變式63】（2324高一下·江西上饒·月考）已知全集為，集合滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，結合韋恩圖，知；；不是的子集；．故選：B．題型七交并補在實際問題中的應用【例7】（2324高一上·廣東韶關·月考）高一班共有28名同學非常喜歡數學，有15人學習必修一，有8人學習必修二，有14人學習選修一，同時學習必修一和必修二的有3人，同時學習必修一和選修一的有3人，沒有人同時學習三本書.同時學習必修二和選修一的有（

）人，只學習必修一的有（

）人.A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9【答案】D【解析】設同時學習必修二和選修一的有x人，則，解得，即同時學習必修二和選修一的有3人，則只學習必修一的有（人），故選：D.【變式71】（2324高一上·吉林延邊·月考）某班有21名學生參加數學競賽，17名學生參加物理競賽，10名學生參加化學競賽，他們之中既參加數學競賽又參加物理競賽的有12人，既參加數學競賽又參加化學競賽的有6人，既參加物理競賽又參加化學競賽的有5人，三科都參加的有2人．現(xiàn)在參加競賽的學生都要到外地學習參觀，則需要預訂多少張火車票（

）A．29 B．27 C．26 D．28【答案】B【解析】該班學生參加競賽情況如圖所示，集合A，B，C，D，E，F(xiàn)，G中的任意兩個集合無公共元素，其中G表示三科都參加的學生集合，G中的學生數為2．因為既參加數學競賽又參加物理競賽的有12人，所以D中的學生數為，同理，得E中的學生數為，F(xiàn)中的學生數為．又因為參加數學、物理、化學競賽的人數分別為21，17，10，所以A中的學生數為，B中的學生數為，C中的學生數為，故置預訂火車票的張數為．故選：B.【變式72】（2324高一上·河南鄭州·月考）某年級先后舉辦了數學、歷史、音樂講座，其中有人聽了數學講座，人聽了歷史講座，人聽了音樂講座，記是聽了數學講座的學生，是聽了歷史講座的學生，是聽了音樂講座的學生.用來表示有限集合中元素的個數，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】將已知條件用Venn圖表示出來如下圖，對A：，故A錯誤；對B：，故B正確；對C：，故C錯誤；對D：，故D錯誤；故