第一章直線與圓知識歸納與題型突破（4大考點8大題型）

第一章直線與圓（題型清單）0101考點歸納考點一、直線的方程考點二、兩條直線的位置關(guān)系考點三、圓的方程考點四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系0202知識速記直線的方程1．直線的傾斜角一般地，給定平面直角坐標系中的一條直線，如果這條直線與x軸相交，將x軸繞著它們的交點按eq\o(□,\s\up1(1))逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所轉(zhuǎn)的eq\o(□,\s\up1(2))最小正角記為θ，則稱θ為這條直線的eq\o(□,\s\up1(3))傾斜角；傾斜角的取值范圍是eq\o(□,\s\up1(4))[0，π)．2．直線的斜率(1)一般地，如果直線l的傾斜角為θ，則當θ≠90?時，稱k＝eq\o(□,\s\up1(5))tanθ為直線l的斜率；當θ＝90°時，稱直線l的斜率不存在．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個不同的點，則當x1≠x2時，直線l的斜率為k＝eq\o(□,\s\up1(6))eq\f(y2－y1,x2－x1)；當x1＝x2時，直線l的斜率不存在．(3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的eq\o(□,\s\up1(7))方向向量．若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(u，v)，則k＝eq\o(□,\s\up1(8))eq\f(v,u)．3．直線方程的五種形式名稱幾何要素方程形式適用范圍點斜式點(x0，y0)，斜率keq\o(□,\s\up1(9))y－y0＝k(x－x0)與x軸不垂直斜截式斜率k，縱截距beq\o(□,\s\up1(10))y＝kx＋b兩點式點(x1，y1)，點(x2，y2)，x1≠x2，y1≠y2eq\o(□,\s\up1(11))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與坐標軸不垂直截距式縱、橫截距，a≠0，b≠0eq\o(□,\s\up1(12))eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且不垂直于坐標軸一般式Ax＋By＋C＝0(A≠0或B≠0)所有直線常用結(jié)論1．經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．2．直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0兩條直線的位置關(guān)系1．兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交eq\o(□,\s\up1(1))k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝eq\o(□,\s\up1(2))－1eq\o(□,\s\up1(3))A1A2＋B1B2＝0平行eq\o(□,\s\up1(4))k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))重合eq\o(□,\s\up1(5))k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0(1)當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.(2)當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.2．兩直線的位置關(guān)系與方程組解的關(guān)系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合eq\o(□,\s\up1(6))平行3.三種距離公式(1)兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\o(□,\s\up1(7))eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．(2)點到直線的距離公式點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\o(□,\s\up1(8))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)兩平行直線間的距離公式兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\o(□,\s\up1(9))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．圓的方程1．圓的定義與方程2．點與圓的位置關(guān)系圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r，設(shè)M的坐標為(x0，y0)．三種情況(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(6))＝r2?點在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(7))>r2?點在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(8))<r2?點在圓內(nèi)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0，))消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點Δeq\o(□,\s\up1(1))<0Δeq\o(□,\s\up1(2))＝0Δeq\o(□,\s\up1(3))>0幾何觀點deq\o(□,\s\up1(4))>rdeq\o(□,\s\up1(5))＝rdeq\o(□,\s\up1(6))<r2．圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\o(□,\s\up1(7))eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)．則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系圓心距與半徑的關(guān)系圖示公切線條數(shù)外離eq\o(□,\s\up1(8))d>r1＋r24內(nèi)含eq\o(□,\s\up1(9))d<|r1－r2|0相交eq\o(□,\s\up1(10))|r1－r2|<d<r1＋r22內(nèi)切eq\o(□,\s\up1(11))d＝|r1－r2|1外切eq\o(□,\s\up1(12))d＝r1＋r230303題型歸納題型一直線的方程例題：11．過點，傾斜角為的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出直線的斜率，再利用點斜式求出直線方程.【詳解】由傾斜角為知，直線的斜率為，又直線過點，所以直線方程為，化簡得.故選：C.12．過點和，的直線的一般式方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用直線的截距式方程求得直線的方程，再化為一般式方程，即可求解.【詳解】由直線過點和，可得直線的截距式得直線方程為，整理得，即直線的一般式方程為.故選：C.鞏固訓練11．已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的一般式方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由斜截式方程求解即可.【詳解】由直線的傾斜角可得直線的斜率，所以直線的方程為，即直線的一般方程為：.故選：D.12．過點，且傾斜角為的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)傾斜角為的直線的方程形式，即可得到正確選項.【詳解】因為過點的直線傾斜角為，即直線垂直于軸，所以直線方程為，故選：A.13．已知直線過點，且直線的傾斜角為直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得直線的傾斜角為，得到的斜率為，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，其中，由直線，可得斜率為，即，可得，根據(jù)題意，可得直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因為直線經(jīng)過點，可得直線的方程為，即.故選：D題型二直線方程的綜合應(yīng)用例題：21．已知直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】求出直線在坐標軸上的截距，再利用面積公式解方程可得.【詳解】令，得；令,得．故與坐標軸圍成的三角形的面積為，解得.故選：B22．直線l：與y軸的交點為A，把直線l繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線l：的傾斜角為，可得，從而利用兩角和的正切公式求出直線的斜率，由直線的點斜式方程，即可得答案.【詳解】設(shè)直線l：的傾斜角為，則，由題意可得，直線的傾斜角為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故選：C鞏固訓練21．直線，當變動時，所有直線都通過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線方程轉(zhuǎn)化為：，然后令，解方程即可求解．【詳解】解：直線方程轉(zhuǎn)化為：，令，解得，所以直線過定點，故選：A．22．若直線與直線的交點位于第二象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先確定直線所過定點及直線與坐標軸的交點，結(jié)合圖象可確定滿足題意的臨界狀態(tài)，結(jié)合直線斜率和傾斜角關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：直線恒過定點；直線與軸分別交于點，；在平面直角坐標系中作出直線如下圖所示，結(jié)合圖象可知：若直線與直線交點位于第二象限，則臨界狀態(tài)為如圖所示的位置，其中過點，與直線平行；，，傾斜角為，傾斜角為，直線傾斜角的取值范圍為.故選：D.23．已知直線l過點，且與直線及x軸圍成等腰三角形，則l的方程為（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)直線所過點、傾斜角以及等腰三角形等知識求得正確答案.【詳解】設(shè)，直線過和，當時，直線、直線與軸圍成的三角形是不是等腰三角形.所以直線的斜率存在.設(shè)關(guān)于軸的對稱點為，當直線過兩點時，，三角形是等腰三角形，同時由于直線的斜率為，傾斜角為，所以三角形是等邊三角形，所以，此時直線的方程為，即，設(shè)直線與軸相交于點，如圖所示，若，則，所以直線，也即直線的斜率為，對應(yīng)方程為，即，綜上直線方程為或，故選：D題型三兩條直線的平行與垂直例題：31．過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線與（）平行，先設(shè)出所求直線方程，代入已知點的坐標，可求待定系數(shù).【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程是，代入點，得，解得，所以所求的直線方程是．故選:A32．若直線與直線垂直，則實數(shù)a的取值是（

）A．或 B．C． D．【答案】A【分析】由兩直線垂直的條件，列方程求實數(shù)a的值.【詳解】直線與直線垂直，則有，解得或，故選：A．鞏固訓練31．已知直線：，：，若，則m的值為（

）A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或3【答案】B【分析】根據(jù)直線平行得到方程，求出或1，檢驗后得到答案.【詳解】由題意得，解得或1，當時，直線：，：，兩直線平行，滿足要求.當時，直線：，：，兩直線重合，舍去，故選：B32．若直線與互相垂直，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由兩直線互相垂直的條件，列方程求的值.【詳解】若直線與互相垂直，則有，解得.故選：A33．若直線l經(jīng)過點和，且與斜率為的直線垂直，則實數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用斜率公式表示出；再根據(jù)兩直線垂直列出關(guān)系式求解即可.【詳解】由題意得，直線l的斜率必存在，且.因為直線l與斜率為的直線垂直所以，解得.故選：A.題型四兩條直線的綜合應(yīng)用例題：41．已知直線，直線，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可得直線的斜率，進而可得傾斜角.【詳解】因為直線的斜率，且，可知直線的斜率所以的傾斜角為．故選：D．42．已知直線與直線平行，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩直線平行列式計算即可.【詳解】由題意可知，，所以，且.故選：B.鞏固訓練41．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】利用直線垂直的性質(zhì)與基本不等式可求最小值.【詳解】因為，故即，故，當且僅當時等號成立，故的最小值為，故選：C.42．已知關(guān)于直線的對稱點為，則直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率及所過的點，再利用直線的點斜式方程求出方程.【詳解】依題意，直線的斜率，則直線的斜率為，且過點，所以直線的方程是，即.故選：B43．已知直線，?，，則（

）A．或 B． C．或 D．【答案】B【分析】由兩直線平行和垂直的條件，列方程求解.【詳解】已知直線，由，得，且，解得，由，得，故.故選：B.題型五圓的方程例題：51．在平面直角坐標系中，圓心為，半徑為2的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓心和半徑直接確定圓的方程.【詳解】由題意可得方程為.故選：C.52．圓的圓心坐標和半徑分別為（

）A．， B．， C．，3 D．，3【答案】A【分析】利用給定圓的方程直接求出圓心坐標及半徑即得.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為.故選：A鞏固訓練51．圓的圓心和半徑分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將圓的一般方程化為標準方程求圓心與半徑即可.【詳解】由，所以圓心和半徑分別為.故選：D52．經(jīng)過點，且以為圓心的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點間的距離公式求出圓的半徑，結(jié)合圓的標準方程與一般方程之間的轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】由題意得，圓的半徑，所以圓的標準方程為，所以圓的一般方程為．故選：A.53．過和兩點的面積最小的圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出以為直徑的圓的方程可得正確的選項.【詳解】設(shè)過和兩點的圓的圓心為，半徑為，則，故，當且僅當為中點時等號成立，故過和兩點的圓的面積最小時直徑為，此時圓的圓心為，故其標準方程為，故選：C.題型六軌跡方程和最值問題例題：61．已知圓，是圓上的動點，點，若動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，由求出，代入圓的方程可得答案.【詳解】設(shè)，，由，得，所以，又因為點在圓上，所以，即.故選：C.62．已知兩直線與的交點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出兩直線的交點坐標，利用該交點到圓心的距離小于半徑列式，解不等式可得結(jié)果.【詳解】由，得，則兩直線與的交點為，依題意得，解得.故選：B.鞏固訓練61．若點是圓:上一點,則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)圓外一定點到圓上一點距離的平方的幾何意義進行求解即可.【詳解】圓:可化為表示點到點的距離的平方,因為，所以的最小值為.故選：B.62．已知線段的端點的坐標，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡所圍成圖形的面積（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用相關(guān)點法求得點的軌跡方程，進而求得面積.【詳解】設(shè)線段的中點，，則，即，又因為端點在圓上運動，所以，即，整理得：，所以點的軌跡方程是以圓心為，半徑為的圓.所以該圓的面積為.故選：C.63．已知為圓上的一動點，為坐標原點，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)點到點的距離公式，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】的圓心為，半徑為，由題意得，故在圓外，所以的最大值為．故選：D題型七圓的切線、弦長例題：71．直線被圓所截得的弦長為（

）A． B． C．3 D．6【答案】B【分析】先求出圓心和半徑，利用弦長與半徑的關(guān)系可得答案.【詳解】圓化為標準方程為：,圓心為，；圓心到直線的距離為，所以弦長為.故選：B.72．若直線與圓只有一個公共點，則（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，可得直線與圓相切，再借助點到直線距離公式計算即得.【詳解】依題意，直線與圓相切，而圓的圓心，半徑為1，因此，解得，所以.故選：C鞏固訓練71．若直線與圓交于點A，B，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直線被圓截得的弦長公式求解.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，所以，故選：B.72．已知直線與圓相交于A，B兩點，則|的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線恒過的定點，由幾何法可知當時，最小，用勾股定理求出?！驹斀狻繉的方程轉(zhuǎn)化為，令解得，即過定點，當時，圓心到直線的距離最大值為，此時取得最小值,根據(jù)勾股定理：.故選：A73．已知圓，直線經(jīng)過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】點斜式設(shè)出方程，利用相切可求答案.【詳解】顯然斜率不存在時，不合題意；斜率存在時，設(shè)方程為，圓心到直線的距離為，因為與圓相切，所以，即，解得，即的方程為.故選：A題型八直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系綜合例題：81．已知圓與圓交于A，B兩點，則（

）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】求出兩圓的公共弦所在直線方程，再求出弦長即可.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，圓與圓相交，兩圓方程相減得直線：，顯然點在直線上，因此線段是圓的直徑，所以.故選：C82．已知點關(guān)于直線的對稱點Q落在圓上，則（

）A．1 B． C． D．0【答案】A【分析】根據(jù)點關(guān)于直線對稱確定Q在圓上．聯(lián)立，求出Q點坐標，