2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（滬教版）第十六章 二次根式（5類(lèi)壓軸題專(zhuān)練）（原卷版）

第十六章二次根式（5類(lèi)壓軸題專(zhuān)練）壓軸題型一分母有理化1．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，那么滿足上述條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）.A．4 B．5 C．6 D．72．（2021·湖北·統(tǒng)考中考真題）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故，由，解得，即．根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（）A． B． C． D．3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列計(jì)算或判斷：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5）=，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023春·重慶江津·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)二次根式中有這樣的情形．如，它們的積是有理數(shù)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)利用有理化因式可以去掉根號(hào)，令（n為非負(fù)數(shù)），則；．下列選項(xiàng)中正確的有（

）個(gè)．①若a是的小數(shù)部分，則的值為；②若（其中b、c為有理數(shù)），則；③．A．0 B．1 C．2 D．35．（2023秋·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列分母有理，……從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律．6．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）滿足不等式的整數(shù)的個(gè)數(shù)是．7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)＝．8．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，a是x的整數(shù)部分，b是x的小數(shù)部分，則a-b=9．（2021春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校╅喿x下列材料，然后回答問(wèn)題．①在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如一樣的式子，可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算．(1)計(jì)算：．(2)已知m是正整數(shù)，，，，求m．(3)已知，則的值為?10．（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀與思考請(qǐng)你閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．裂項(xiàng)法，是數(shù)學(xué)中求和的一種方法，是分解與組合思想在求和中的具體應(yīng)用．具體方法是將求和中的每一項(xiàng)進(jìn)行分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．我們以往的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和．例如：．在學(xué)習(xí)完二次根式后我們又掌握了一種根式裂項(xiàng)．例如：，．(1)模仿材料中的計(jì)算方法，化簡(jiǎn)：______．(2)觀察上面的計(jì)算過(guò)程，直接寫(xiě)出式子______．(3)利用根式裂項(xiàng)求解：．壓軸題型二二次根式的化簡(jiǎn)求值1．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若和都是正整數(shù)且，和是可以合并的二次根式，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①只存在一組和使得；②只存在兩組和使得；③不存在和使得；④若只存在三組和使得，則的值為49或64A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，則的值為（

）A．0 B．1 C． D．3．（2020秋·湖北武漢·九年級(jí)華師一附中初中部?？计谥校┮阎獂＝，則x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值為（

）A．0 B．1 C． D．4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，的值為（

）A．1 B． C．2 D．35．（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則．6．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）a，b為有理數(shù)，且，則．7．（2023春·北京東城·八年級(jí)匯文中學(xué)?？计谥校┮阎獮閷?shí)數(shù)，記，（1）當(dāng)時(shí)，的值為．（2）的最小值為．8．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）設(shè)，，當(dāng)t為時(shí)，代數(shù)式．9．（2023春·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)(2)10．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在第一階段質(zhì)量監(jiān)測(cè)的選擇題中，我們發(fā)現(xiàn)在三邊長(zhǎng)分別為，，（）的三角形中，有．(1)推導(dǎo)該結(jié)論的一種思路可以用如下的框圖表示，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)其中的空格．

(2)推導(dǎo)該結(jié)論的其他思路還有：①利用，，，再配方，……②利用，使用平方差公式，……．③利用，……上述思路都不完整，請(qǐng)寫(xiě)出一種完整的推導(dǎo)思路．壓軸題型三二次根式的混合計(jì)算1．（2023春·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，，則a與b的大小關(guān)系是（

）A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<b C．a(chǎn)=b D．不能確定2．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）與最接近的整數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于代數(shù)式，有以下幾種說(shuō)法，①當(dāng)時(shí)，則的值為-4.②若值為2，則.③若，則存在最小值且最小值為0.在上述說(shuō)法中正確的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③4．（2021·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，是大于1的自然數(shù)，那么的值是（

）.A． B． C． D．5．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若的積是有理數(shù)，則無(wú)理數(shù)m的值為．6．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的值為．7．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，則的值為．8．（2023春·北京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，且，則．9．（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算(1)；(2)（）．10．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．①在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，比如我們熟悉的下面這個(gè)題：已知ab2，ab3，求．我們可以把a(bǔ)b和ab看成是一個(gè)整體，令xab，yab，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．(1)計(jì)算：；(2)m是正整數(shù)，a，b且．求m．(3)已知，求的值．壓軸題型四幾何圖形中的二次根式的計(jì)算1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是正內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，下列結(jié)論：①可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到；②點(diǎn)與的距離為4；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論是（

）．A．①②③④ B．①② C．①②③⑤ D．①②③④⑤2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）《周髀算經(jīng)》中有一種幾何方法可以用來(lái)解形如x(x+5)=24的方程的正數(shù)解，方法為：如圖，將四個(gè)長(zhǎng)為x+5，寬為x的長(zhǎng)方形紙片（面積均為24）拼成一個(gè)大正方形，于是大正方形的面積為：24×4+25=121，邊長(zhǎng)為11，故得x(x+5)=24的正數(shù)解為x==3．小明按此方法解關(guān)于x的方程x2+mx－n=0時(shí)，構(gòu)造出同樣的圖形．已知大正方形的面積為12，小正方形的面積為4，則方程的正數(shù)解為（

）A．－1 B．+1 C． D．－13．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開(kāi)門(mén).出東門(mén)一十五里有木.問(wèn)出南門(mén)幾何步而見(jiàn)木？”其算法為：東門(mén)南到城角的步數(shù)，乘南門(mén)東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹(shù)距離東門(mén)的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門(mén)里見(jiàn)到樹(shù)，則．若一小城，如圖所示，出東門(mén)1200步有樹(shù)，出南門(mén)750步能見(jiàn)到此樹(shù)，則該小城周長(zhǎng)的最小值為（

）（注：1里=300步，且兩個(gè)正數(shù)的和大于等于其積開(kāi)方的兩倍，當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)取等號(hào)）．A．里 B．里 C．里 D．里4．（2021春·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》中的“方田章”論述了三角形面積的求法：“圭田術(shù)曰，半廣以乘正廣”，就是說(shuō)：“三角形的面積＝底×高÷2”，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中也提出了“三斜求積術(shù)”，即可以利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求取三角形面積，用現(xiàn)代式子可表示為：S＝（其中a、b、c為三角形的三條邊長(zhǎng)，S為三角形的面積）．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝，AD＝，對(duì)角線BD＝，則平行四邊形ABCD的面積為（

）A． B． C． D．5．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）把四張形狀大小完全相同寬為的小長(zhǎng)方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個(gè)底面為長(zhǎng)方形（長(zhǎng)為，寬為）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖②中兩塊陰影部分的周長(zhǎng)和是．6．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下圖是由一連串直角三角形組成的，其中，第1個(gè)三角形的面積記為，第2個(gè)三角形的面積記為，…，第個(gè)三角形的面積記為，觀察圖形，得到如下各式：，；，；，；…根據(jù)以上的規(guī)律，推算出；若一個(gè)三角形的面積是，則它是第個(gè)三角形．7．（2022春·黑龍江佳木斯·七年級(jí)樺南縣第四中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）有若干個(gè)面積為2的正方形，根據(jù)下列拼圖的啟示填空：(1)計(jì)算：＋＝3；(2)計(jì)算：＋＝6；(3)計(jì)算：＋＝.8．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把四張形狀大小完全相同的小長(zhǎng)方形卡片（如圖①）不重疊地放在底面為長(zhǎng)方形（長(zhǎng)為，寬為）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖中兩塊陰影部分的周長(zhǎng)和是．

9．（2023春·陜西安康·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形ABCD的綠地，長(zhǎng)BC為米，寬AB為米，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建兩個(gè)形狀大小相同的長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），每個(gè)長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為米，寬為米．(1)求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）(2)除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/平方米的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)多少元？10．（2023春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)以及二次根式的有關(guān)概念，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)以下結(jié)果：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為2．請(qǐng)利用以上結(jié)果解決下面的問(wèn)題：(1)當(dāng)時(shí)，的最小值為_(kāi)_____；當(dāng)時(shí)，的最大值為_(kāi)_____；(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(3)如圖，已知四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，若的面積為1，的面積為4，求四邊形面積的最小值．

壓軸題型五二次根式的數(shù)字規(guī)律問(wèn)題1．（2023·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考二模）人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金比，優(yōu)選法中的“法”與黃金分割緊密相關(guān)，這種方法經(jīng)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的倡導(dǎo)在我國(guó)得到大規(guī)模推廣，取得了很大的成果．設(shè)，，記，，，…依此規(guī)律，則的值為（

）A． B．25 C． D．1252．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第行從左至右第個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．3．（2023春·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：，……，按照上述規(guī)律，計(jì)算：（）A． B． C．9 D．84．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）觀察下列各式：，，，…請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算，其結(jié)果為(

)A． B． C． D．5．（2023春·甘肅隴南·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列各式：①，②，③，…，根據(jù)以上規(guī)律，第n個(gè)等式應(yīng)為：．6．（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察下列式子：；；；；…；請(qǐng)用字母表示其中的規(guī)律．7．（2023春·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列各式：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)以上規(guī)律，寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的等式是．8．（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列各式：；；．（1）請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，可以猜想：＝；（2）利用上述規(guī)律計(jì)算：＝．（直接寫(xiě)出答案）9．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列解題過(guò)程：，，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)觀察上面的解答過(guò)程，化簡(jiǎn)：；(2)請(qǐng)你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)