2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（滬教版）第十七章 一元二次方程（六大題型）（60道壓軸題專練）（解析版）

一元二次方程（六大題型）（60道壓軸題專練）壓軸題型一一元二次方程的解1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）方程x3+x﹣1＝0的實(shí)數(shù)根所在的范圍是（）A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜【答案】C【分析】當(dāng)時，方程無解，可知，方程兩邊都除以x，得，根據(jù)可得的范圍，從而得到縮小的x的范圍，進(jìn)一步根據(jù)，再得到縮小的的范圍，進(jìn)而可確定x的更小范圍．【詳解】解：將代入方程得，∴x≠0，∴原方程可化為，∵，∴，∴，當(dāng)時，，∴，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程根的估計(jì)方法．兩邊除以x，得到降次的方程是本題的關(guān)鍵．2．（2023春·福建南平·九年級專題練習(xí)）兩個關(guān)于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且，如果是方程的一個根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2020 B． C．-2020 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及一元二次方程的解法即可求出答案．【詳解】∵，，a+c=0∴，∵ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，∴，，∴，，∵是方程的一個根，∴是方程的一個根，∴是方程的一個根，即是方程的一個根故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的定義以及方程的解的概念．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）關(guān)于的方程必有一個根為（）A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2【答案】A【分析】分別把，，，代入中，利用一元二次方程的解，當(dāng)為任意值時，則對應(yīng)的的值一定為方程的解.【詳解】解：A、當(dāng)是，，所以方程必有一個根為1，所以A選項(xiàng)正確；B、當(dāng)時，，所以當(dāng)時，方程有一個根為，所以B選項(xiàng)錯誤；C、當(dāng)時，，所以當(dāng)時，方程有一個根為，所以C選項(xiàng)錯誤；D、當(dāng)時，，所以當(dāng)時，方程有一個根為，所以D選項(xiàng)錯誤.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根，將選項(xiàng)分別代入方程求解是解題的關(guān)鍵.4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）設(shè)a、b是整數(shù)，方程x2+ax+b=0的一根是，則的值為（）A．2 B．0 C．-2 D．-1【答案】C【分析】先化簡，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根據(jù)題意列出二元一次方程組并求解求得a和b的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：==1．∵方程x2+ax+b=0的一根是，∴++b=0．∴．∴．∵、是整數(shù)，∴解得∴==．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡，一元二次方程的解，二元一次方程組的應(yīng)用，正確構(gòu)造二元一次方程組是解題關(guān)鍵．5．（2023·山東濟(jì)南·一模）已知m是方程式的根，則式子的值為．【答案】2020【分析】由題意可得出，可變形為，．再由，將代入化簡得，再將代入求值即可．【詳解】∵m是方程式的根，∴，∴，．，將代入，得：，再將代入，得：．故答案為：2020．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解得定義，代數(shù)式求值．利用整體代入的思想是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知下面三個關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一個相同的實(shí)數(shù)根，則a+b+c的值為．【答案】0【分析】設(shè)這個相同的實(shí)數(shù)根為t，把x＝t代入3個方程得出a?t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a?t+b＝0，3個方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．【詳解】解：設(shè)這個相同的實(shí)數(shù)根為t，把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：a?t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a?t+b＝0相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，（a+b+c）（t2+t+1）＝0，∵t2+t+1＝（t）20，∴a+b+c＝0，故答案是：0．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．7．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知為一元二次方程的一個根，且，為有理數(shù)，則，．【答案】；；【分析】將因式分解求得，則可化簡得，根據(jù)，為有理數(shù)，可得，也為有理數(shù)，故當(dāng)時候，只有，，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵∴∴∴∴∴∵，為有理數(shù)，∴，也為有理數(shù)，故當(dāng)時候，只有，，∴，，故答案是：，；【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理數(shù)，無理數(shù)的概念的理解，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知是方程的一個根，則．【答案】【分析】由方程根的定義可得，變形為．再將等號兩邊同時乘并變形得，代入逐步化簡即可．【詳解】∵是方程的一個根．∴，即．將等號兩邊同時乘得：，即．∴．故答案為：-2021．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程解的定義以及代數(shù)式求值．熟練掌握整體代入的思想是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023春·福建福州·八年級福州日升中學(xué)?？计谀╅喿x材料．材料：若一元二次方程的兩個根為，，則，．(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則，．(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)，分別滿足，，且，求的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)閱讀材料可得答案；（2）由題意得出，可看作方程的兩個根，據(jù)此知，，將其代入計(jì)算可得；（3）把變形為，據(jù)此可得實(shí)數(shù)和可看作方程的兩根，繼而知，，進(jìn)一步代入計(jì)算可得．【詳解】（1）解：，，故答案為：；；（2）∵，，且，∴，可看作方程的兩個根，∴，，∴，∴的值為；（3）∵，分別滿足，，且，∴，∴和可看作方程的兩根，∴，，∴，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的方程及分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．10．（2022春·安徽合肥·八年級合肥市第四十八中學(xué)?？计谥校┯^察下列一組方程：；；；；它們的根有一定的規(guī)律，都是兩個連續(xù)的自然數(shù)，我們稱這類一元二次方程為“連根一元二次方程”．若也是“連根一元二次方程”，寫出k的值，并解這個一元二次方程；請寫出第n個方程和它的根．【答案】（1）k＝－15，x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n.【分析】（1）根據(jù)十字相乘的方法和“連根一元二次方程”的定義,找到56是7與8的乘積,確定k值即可解題,（2）找到規(guī)律,十字相乘的方法即可求解.【詳解】解：(1)由題意可得k＝－15，則原方程為x2－15x＋56＝0，則(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.(2)第n個方程為x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n.【點(diǎn)睛】本題考查了用因式分解法求解一元二次方程,與十字相乘聯(lián)系密切,連根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等難度,會用十字相乘解題是解題關(guān)鍵.壓軸題型二換元法解一元二次方程1．（2023春·安徽宣城·八年級校考期中）已知a、b為實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為（

）A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5【答案】B【分析】設(shè)，則原方程換元為，可得，，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則原方程換元為，，解得，（不合題意，舍去），的值為3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·四川遂寧·九年級校聯(lián)考期中）已知一元二次方程的解是，，則一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由這兩個方程結(jié)合整體思想，可得，，解這兩個一元一次方程即得方程的解．【詳解】∵一元二次方程的解是，，∴一元二次方程中，，，解得：，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，整體思想解一元二次方程，關(guān)鍵是把方程中的當(dāng)作一個整體，則此方程與毫無二致．3．（2023春·八年級課時練習(xí)）若實(shí)數(shù)m、n滿足，則的值為（）A．2 B．6 C．6或﹣2 D．6或2【答案】B【分析】令，得，解一元二次方程即可．【詳解】解：令，則原方程為：，則，，所以，，故的值為6或﹣2，∵，∴的值為6，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的求解，了解一元二次方程的求解方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·重慶合川·九年級重慶市合川中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例．這個三角形給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（其中，字母按的降冪排列，b的升冪排列）．例如，在三角形中第2行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第三行的的4個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第4行的五個數(shù)1，4，6，4，1；恰好對應(yīng)著展開式中各項(xiàng)的系數(shù)，有如下結(jié)論：①；②“楊輝三角”中第9行所有數(shù)之和1024；③“楊輝三角”中第20行第3個數(shù)為190；④的結(jié)果是；⑤當(dāng)代數(shù)式的值是1時，實(shí)數(shù)a的值是或，上述結(jié)論中，正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】把中換成后可得，，由此即可判斷①；觀察并計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)第n行所有數(shù)字之和為，由此即可判斷②；觀察并計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)第n行（n大于2）第三個數(shù)誒為，由此即可判斷③；時，，即可判斷④；當(dāng)時，，再由的值為1，得到，解方程即可判斷⑤．【詳解】解：∵，∴把上述式子中的換成后可得，，∴，故①正確；第1行的所有數(shù)字之和為，第2行的所有數(shù)字之和為，第3行的所有數(shù)字之和為，第4行的所有數(shù)字之和為，……，∴可以得到規(guī)律第n行所有數(shù)字之和為，∴“楊輝三角”中第9行所有數(shù)之和，故②錯誤；第2行第三個數(shù)為，第3行第三個數(shù)為，第4行第三個數(shù)為，第5行第三個數(shù)為，……，∴第n行（n大于2）第三個數(shù)為，∴“楊輝三角”中第20行第3個數(shù)為，故③正確；∵，∴當(dāng)時，，故④正確；∵，∴當(dāng)時，，∵的值為1，∴，∴，∴，∴，故⑤正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法中得規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2020春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是一元二次方程的兩個數(shù)根，且，則．【答案】－8【分析】根據(jù)是一元二次方程的兩個數(shù)根，可得，，則有，，即，=5，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個數(shù)根，∴，，∴，∴，∴，∴∴∴，故答案為：-8．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也考查了換元法的解方程方法，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·安徽馬鞍山·八年級馬鞍山八中?？计谥校┮阎獂是實(shí)數(shù)且滿足，那么的值是.【答案】1【分析】設(shè)，則原方程可化為，然后利用因式分解法解方程，結(jié)合根的判別式判斷根的情況，即可求出t的值.【詳解】解：設(shè)，∴原方程可化為：，∴，解得：或；當(dāng)時，有，此時，則方程無解；當(dāng)時，有，此時，則方程有解；∴；故答案為：1.【點(diǎn)睛】此題考查了用換元法解一元二次方程，以及根的判別式，考察了學(xué)生的整體思想．解題的關(guān)鍵是找到哪個是換元的整體．7．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知方程的根為，，則方程的根是．【答案】，【分析】設(shè)，可得，根據(jù)的根為，，可得或，即可得到答案；【詳解】解：設(shè)，可得，∵的根為，，∴或，解得：，，故答案為，；【點(diǎn)睛】本題考查換元法求方程的解，解題的關(guān)鍵是設(shè)，得到，結(jié)合方程的根為，．8．（2023春·八年級單元測試）若關(guān)于的一元二次方程有一根為2022，則一元二次方程必有一根為．【答案】【分析】對于一元二次方程，設(shè)得到，利用有一個根為得到，從而可判斷一元二次方程必有一根為．【詳解】解∶由得到，對于一元二次方程，設(shè)，所以，而關(guān)于的一元二次方程有一根為，所以有一個根為，則，解得，所以一元二次方程有一根為．故答案為∶【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解.正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋?），解得，，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；原方程有四個根：，，，．在由原方程得到方程（1）的過程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．(1)試用上述方法解方程：，得原方程的解為___________．(2)解方程．【答案】(1)，(2)【分析】（1）結(jié)合材料，利用，再換元，求出m的值，再代入求出x即可；（2）結(jié)合材料，利用，再換元，求出n的值，再代入求出x即可．【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，解得，，?dāng)時，，解得，當(dāng)，，方程無解，故原方程的解為，，故答案為：，．（2）解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，解得，，?dāng)時，，解得，當(dāng)時，，即，，則方程無解，故原方程的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，換元法解一元二次方程，能夠正確換元是解此題的關(guān)鍵．10．（2021秋·全國·九年級期中）閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，整理得，即，∴．∵，∴．上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．（1）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求的值．（2）若四個連續(xù)正整數(shù)的積為120，求這四個連續(xù)正整數(shù)．【答案】（1）；（2）這四個整數(shù)為2，3，4，5【分析】（1）設(shè)2x2+2y2=m，則原方程變?yōu)椋╩+3）（m-3）=27，解方程求得m=±6，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求得x2+y2=3；（2）設(shè)最小的正整數(shù)為x，則另三個分別為x+1、x+2、x+3，根據(jù)題意可得方程x（x+1）（x+2）（x+3）=120，整理為（x2+3x）（x2+3x+2）=120，設(shè)x2+3x=y，則原方程變?yōu)閥（y+2）=120，解方程求得y=-12或10，由于y是正整數(shù)，可得y=10，所以x2+3x=10，再解方程求得x的值即可.【詳解】解：（1）設(shè)，則，∴，即，∴，∵，∴，∴．（2）設(shè)最小數(shù)為x，則，即：，設(shè)，則，∴，，∵，∴，∴，（舍去），∴這四個整數(shù)為2，3，4，5．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替(即換元)，則能使復(fù)雜的問題簡單化．壓軸題型三配方法的應(yīng)用1．（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系中，P點(diǎn)坐標(biāo)為，且實(shí)數(shù)m，n滿足，則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由,得，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為，逐步整理，最后將被開方數(shù)配方進(jìn)行求解即可.【詳解】解：由,得，∴點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為：，故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)，但計(jì)算整理過程非常復(fù)雜，要求有極強(qiáng)的計(jì)算能力，確保計(jì)算的正確性，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.2．（2022秋·重慶·九年級西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎獌蓚€多項(xiàng)式、，（其中x為實(shí)數(shù)），①若，則；②存在實(shí)數(shù)x，使得；③已知，則的值為1562；④當(dāng)時，若，則的值為．以上結(jié)論中正確的個數(shù)有（）個A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】①根據(jù)題意列出方程求解即可判斷；②求出可知恒大于0，從而判斷；③分別令和，再把所得式子相減化簡即可判斷；④由可得，從而得到，繼而推出，由此判斷．【詳解】解：①∵、，∴，化簡得：，解得：，故①錯誤；②∵、，∴，∴不存在實(shí)數(shù)x，使得，故②錯誤；③∵即令得：①，令得：②，由①-②得：，∴，故③正確；④∵，即，化簡得：∵∴兩邊除以x并整理得：，∴，∴故④錯誤．正確的為③，共1個，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，配方法的應(yīng)用，加減消元法，利用完全平方公式計(jì)算等知識，綜合能力要求較高，掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識并融會貫通是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值是（

）A．10 B．9 C．19 D．11【答案】A【分析】把代數(shù)式根據(jù)完全平方公式化成幾個完全平方和的形式，再進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵∴代數(shù)式的最小值是10．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是配方法的應(yīng)用-用配方法確定代數(shù)式的最值，解此題的關(guān)鍵是將原代數(shù)式化成幾個完全平方和的形式．4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式能取的最小值是（

）A．2011 B．2013 C．2018 D．2023【答案】B【分析】根據(jù)同族二次方程的定義，可得出a和b的值，從而解得代數(shù)式的最小值．【詳解】解：與為同族二次方程．，，∴，解得：．，當(dāng)時，取最小值為2013.故選：B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組的方法，理解同族二次方程的定義是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）當(dāng)，時，多項(xiàng)式有最小值，這個最小值是．【答案】4315【分析】利用配方法將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：===∴當(dāng)a=4，b=3時，多項(xiàng)式有最小值15．故答案為：4，3，15．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知a、b、c滿足，，，則．【答案】3【分析】題中三個等式左右兩邊分別相加后再移項(xiàng)，可以通過配方法得到三個平方數(shù)的和為0.然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可以得到a、b、c的值，從而求得a+b+c的值．【詳解】解：題中三個等式左右兩邊分別相加可得：，即，∴，∴a=3,b=-1,c=1，∴a+b+c=3-1+1=3，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法的方法和步驟并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．7．（2021秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）對于有理數(shù)，定義的含義為：當(dāng)時，；當(dāng)時，.若，則的值等于．【答案】【分析】根據(jù)6m-4n-m2-n2與13的大小，確定m，n的值．【詳解】解：∵min{13，6m-4n-m2-n2}=13，∴13≤6m-4n-m2-n2．整理，得（m-3）2+（n+2）2≤0，∴m-3=0，n+2=0．解得m=3，n=-2．∴mn=3-2=．故答案是：．【點(diǎn)睛】考查了配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意理解新定義的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知a、b、c為的三邊長，且a、b滿足，c為奇數(shù)，則的周長為．【答案】8【分析】利用配方法把原式變形，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系解答即可．【詳解】，，，，，邊長c的范圍為．邊長c的值為奇數(shù)，，的周長為．故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用和三角形三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用完全平方公式、掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀材料：選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方．例如①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：，或③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；(2)已知，求的值(3)當(dāng)，為何值時，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？【答案】(1)見解析(2)(3)當(dāng)，時，取得最小值，最小值為【分析】（1）根據(jù)配方的定義，分別選取二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)中的兩項(xiàng)，進(jìn)行配方即可得出三種形式；（2）首先根據(jù)配方法把變形為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出，，解出、的值，然后將、的值代入代數(shù)式，計(jì)算即可得出結(jié)果；（3）首先根據(jù)配方法把代數(shù)式變形為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出，進(jìn)而得出當(dāng)，時，取得最小值，再進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：第一種形式：選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方，；第二種形式：選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方，；或；第三種形式：選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方，；（2）解：，配方，得：，即，∵，，∴，，解得：，，∴；（3）解：，∵，∴，當(dāng)，時，取得最小值，即當(dāng)，時，取得最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)配方法的步驟和完全平方公式進(jìn)行配方是解本題的關(guān)鍵．10．（2022春·湖南株洲·七年級?？计谥校┻x取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方．例如：①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：或；③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：根據(jù)上述材料，解決下面問題：(1)若是完全平方式，請寫出所有滿足條件的不同單項(xiàng)式n：__________________(2)求代數(shù)式最小值；(3)寫出代數(shù)式的兩種不同形式的配方；(4)已知，求的值．【答案】(1)，，，，-1(2)5(3)見解析(4)1【分析】（1）按照多種方式把配方，然后根據(jù)多項(xiàng)式相等的定義可以得到解答；（2）把按照二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方，再根據(jù)平方數(shù)的非負(fù)性可以得解；（3）按照多種方式把配方可以得解；（4）把左邊按配方成兩個平方式的和，再根據(jù)平方數(shù)的非負(fù)性可以得到一個二元一次方程組，解方程組后再把x、y的值代入即可．【詳解】（1）解：∵∴n=2x或-2x；∵∴n=∵，，∴n=或-1，∴所有滿足條件的不同單項(xiàng)式n為，，，，-1，故答案為，，，，-1；（2）解：，當(dāng)時，此代數(shù)式取得最小值為5；（3）解：取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：，或；取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：；寫2種即可．（4）解：原方程可化為：，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方式的結(jié)構(gòu)及配方法的幾種方式是解題關(guān)鍵．壓軸題型四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）若a≠b，且則的值為（

）A． B．1 C．.4 D．3【答案】B【詳解】解：由得：∴又由可以將a，b看做是方程的兩個根∴a+b=4，ab=1∴故答案為B.【點(diǎn)睛】本題看似考查代數(shù)式求值，但解題的關(guān)鍵是構(gòu)造一元二次方程并運(yùn)用根于系數(shù)的關(guān)系求解．2．（2022秋·九年級課時練習(xí)）若，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為

A．2015 B． C．2016 D．2019【答案】C【分析】根據(jù)方程的解得概念可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，再代入即可得出結(jié)論．【詳解】是方程的兩個實(shí)數(shù)根，，即，則．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的概念及韋達(dá)定理，熟練掌握韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2019秋·九年級單元測試）若，是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2，∴2x12﹣2x1+x22+3=x12﹣2x1+x12+x22+3=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3=4+4+8+3=19．故選A．【點(diǎn)睛】將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于的一元二次方程同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結(jié)論：①這兩個方程的根都負(fù)根；②；③，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】設(shè)方程的兩根為x1、x2，方程同的兩根為y1、y2．①根據(jù)方程解的情況可得出x1?x2=2n＞0、y1?y2=2m＞0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，進(jìn)而得出這兩個方程的根都是負(fù)根，①正確；②由方程有兩個實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，將（m-1）2+（n-1）2展開代入即可得出②正確；③根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，結(jié)合x1、x2、y1、y2均為負(fù)整數(shù)即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)方程的兩根為x1、x2，方程同的兩根為y1、y2．①∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，∴x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴這兩個方程的根都是負(fù)根，①正確；②∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正確；③∵y1?y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1?y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均為負(fù)整數(shù)，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1?x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x1?x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均為負(fù)整數(shù)，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2n-2m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．綜上所述：成立的結(jié)論有①②③．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的根的判別式，根據(jù)不同結(jié)論靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,也是解決問題的難點(diǎn)．5．（2022秋·九年級課時練習(xí)）已知a、b、c均為實(shí)數(shù)，且，，則．【答案】4【分析】先變形得到a+b=4，ab=2c2-4c+10，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，a、b可看作是方程x2-4x+2c2-4c+10=0的兩實(shí)數(shù)解，配方后可得（x-2）2+2（c-）2=0，得到x=2，c=，然后計(jì)算abc的值即可；【詳解】∵a+b=4，ab=2c2-4c+10∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-4c+10=0的兩實(shí)數(shù)解∴（x-2）2+2（c-）2=0∴x-2=0或c-=0解得x=2，c=∴ab=2×3-4×+10=4∴abc=4×=4故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．學(xué)會觀察算式形式，正確寫出一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知不等式的解集是，其中，則不等式的解集．【答案】或【分析】由于不等式的解集為，其中，可得，是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，且，利用根與系數(shù)的關(guān)系可把不等式化為，解出即可．【詳解】解：不等式的解集為，則，是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，且，，其中，，，則不等式化為，，可化為，或，，，不等式的解集為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根之間的關(guān)系、一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．7．（2022秋·全國·九年級期末）設(shè)a，b，c，d是四個不同的實(shí)數(shù)，如果a，b是方程的兩根，c，d是方程的兩根，那么的值為．【答案】【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得，，兩式相加得，根據(jù)一元二次方程根的定義可得，可得，同理可得，兩式相減即可得，根據(jù),求得，進(jìn)而可得【詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，，兩式相加得．

因?yàn)槭欠匠痰母?，所以，又，所以?/p>

同理可得②

①-②得．因?yàn)?，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，根據(jù)等式的性質(zhì)變形是解題的關(guān)鍵．8．（2018秋·四川成都·九年級成都實(shí)外?？奸_學(xué)考試）對于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程的兩個根記作，則的值為．【答案】．【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，則，然后代入即可求解．【詳解】由韋達(dá)定理得：，原式，∵∴原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，關(guān)鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出一般形式再進(jìn)行代入求解．9．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)時，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計(jì)；我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．(1)求黃金分割數(shù)；(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足：，且，求ab的值；(3)已知兩個不相等的實(shí)數(shù)p，q滿足：，求的值．【答案】(1)(2)2(3)0【分析】（1）依據(jù)題意，將代入然后解一元二次方程即可得解；（2）依據(jù)題意，將變形為，從而可以看作，是一元二次方程的兩個根，進(jìn)而可以得解；（3）依據(jù)題意，將已知兩式相加減后得到，兩個關(guān)系式，從而求得，進(jìn)而可以得解．【詳解】（1）依據(jù)題意，將代入得，解得，∵黃金分割數(shù)大于0，∴黃金分割數(shù)為．（2）∵，∴，則．又∵，∴，是一元二次方程的兩個根，則，∴．（3）∵，；∴；即；∴．又∵；∴；即．∵，為兩個不相等的實(shí)數(shù)，∴，則，∴．又∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．10．（2023秋·湖南長沙·九年級?？茧A段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家高斯曾說過：“如果別人思考數(shù)學(xué)的真理像我一樣深入持久，他也會找到我的發(fā)現(xiàn)．”我們向偉人看齊，將這種勤思善學(xué)、勵能篤行的精神運(yùn)用于日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來，嘗試發(fā)現(xiàn)新的驚喜．【提出問題】我們曾探究過一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，如果一元二次方程的系數(shù)按照某種規(guī)律發(fā)生變化，原方程的根與新方程的根是否也會產(chǎn)生某種聯(lián)系？【構(gòu)造關(guān)系】將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按照的比例放大或縮小，其中，我們稱新方程為原方程的“系變方程”，系變倍數(shù)為．(1)當(dāng)系變倍數(shù)為3時，求解一元二次方程的“系變方程”．【自能探究】(2)已知某一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根、，當(dāng)時，其“系變方程”也有兩個實(shí)數(shù)根、，且，求的最小值．(3)已知關(guān)于的方程有四個實(shí)數(shù)根、、、，問是否存在定值，對于任意實(shí)數(shù)，都滿足，若存在，請求出的值．若不存在，請說明理由．【答案】(1)“系變方程”為；(2)最小值為；(3)存在或【分析】（1）根據(jù)“系變方程”的定義求得各項(xiàng)的系數(shù)，即可求解；（2）設(shè)原方程為，由，得到，“系變方程”為，推出，原式變形為配方得，據(jù)此求解即可；（3）根據(jù)因式分解法解一元二次方程得出，或，求得4個實(shí)數(shù)根，進(jìn)而根據(jù)題意，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)系變倍數(shù)為3時，一元二次方程的“系變方程”的二次項(xiàng)系數(shù)為、一次項(xiàng)系數(shù)為、常數(shù)項(xiàng)為，∴“系變方程”為；（2）解：設(shè)原方程為，由題意得，∴，當(dāng)時，其“系變方程”為，∴，∴，∴，故原式的最小值為；（3）解：∵∴即∴即∵原方程有個解，∴或解得：或或或∵又∴或故存在或【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，理解“系變方程”的定義是解題的關(guān)鍵．壓軸題型五一元二次方程根的判別式1．（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，，且．下列說法正確的個數(shù)為（）①；②，；③；④關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，利用消去得到，從而即可對①進(jìn)行判斷；由于，，利用有理數(shù)的性質(zhì)可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)根的判別式的意義得到，即，則可對③進(jìn)行判斷；利用把方程化為，由于方程可變形為，所以或，于是可對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，∵，∴，∴，所以①正確；∵，，∴，，所以②正確；∵，∴，即，∴，所以③錯誤；∵，∴方程化為，即，∵方程可變形為，∴或，解得，，所以④正確．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用：若，是一元二次方程的兩根，則，．2．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為正整數(shù)，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將已知方程整理為一元二次方程，結(jié)合方程根的情況，得出的取值范圍，再代入方程即可求解．【詳解】解：變形得，，∵為正整數(shù)，∴存在正整數(shù)，使得①，∴，即，∴②，設(shè)關(guān)于的方程為③，方程有兩個正整數(shù)解，∴，∴，∵為正整數(shù)，∴的值為，可證為時方程③無正整數(shù)根，∴當(dāng)時，方程得，，解得，，，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查將分式轉(zhuǎn)化為一元二次方程方程，根據(jù)根的情況解一元二次方程的參數(shù)，再代入計(jì)算，掌握以上相關(guān)知識的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根滿足，則實(shí)數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到，，進(jìn)而推出，則，，即可推出，然后代入，得到，再根據(jù)判別式求出符號題意的值即可得到答案．【詳解】解：∵是方程的兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合題意，∴∴符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·湖南永州·九年級校考開學(xué)考試）對于一元二次方程，下列說法：①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程有兩個不相等的實(shí)根，則方程無實(shí)根；③若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實(shí)根，；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式及根的定義以及求根公式逐個判斷排除．【詳解】解：①若，則是方程的解，故①正確；②方程有兩個不相等的實(shí)根，，則方程的判別式，方程必有兩個不相等的實(shí)根，故②錯誤；③∵方程兩根為，且滿足，∴，令，，∴方程有兩個實(shí)數(shù)根，令兩根分別為，∴，，∴方程，必有實(shí)根，，故③正確；④若是一元二次方程的根，則由求根公式可得：，，，故④正確．故正確的有①③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判斷，根據(jù)方程形式，判斷根的情況是求解本題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）已知，為實(shí)數(shù)，且滿足，記的最大值為，最小值為，則．【答案】【分析】根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵已知，為實(shí)數(shù)，且滿足，∴關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，∴，∴，的最大值為，的最大值為：，即，當(dāng)時，的最小值為：，即，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·福建廈門·九年級?？计谥校┮阎P(guān)于的一元二次方程，下列結(jié)論：①方程總有兩個不等的實(shí)數(shù)根；②若兩個根為，，且，則，；③若兩個根為，，則；④若，則代數(shù)式的值為一個完全平方數(shù)，其中正確的結(jié)論是（填序號）．【答案】①③【分析】利用判別式判斷①，求出時的兩個根，判斷②，利用根與系數(shù)的關(guān)系，判斷③，求出的值以及完全平方數(shù)的定義，判斷④．【詳解】解：，∴，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；故①正確；當(dāng)時，，∴，∴當(dāng)時，的兩個根，，且，則：，故②錯誤；若兩個根為，，則：，∴；，∴；故③正確；∵，當(dāng)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，不是整數(shù)，∴的值不一定是完全平方數(shù)，故④錯誤；故答案為①③.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況及根與系數(shù)的關(guān)系，涉及完全平方數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方數(shù)概念．7．（2022春·陜西西安·八年級高新一中?？计谀?）若，且有，則的值是．（2）如果方程的三個根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得再變形可得可得是方程的兩個根，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得答案；（2）先解方程可得或設(shè)的兩根分別為可得再利用列不等式，再解不等式即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴則則是方程的兩個根，（2），∴或設(shè)的兩根分別為解得：由三角形的三邊關(guān)系可得：而所以解得：綜上：k的取值范圍是故答案為：（1）；（2）【點(diǎn)睛】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，高次方程的解法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元一次不等式組的解法，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，構(gòu)建新的一元二次方程，再利用根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系解題是關(guān)鍵．8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）將兩個關(guān)于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程（）與方程是“同源二次方程”，且方程（）有兩個根為、，則b－2c＝，的最大值是．【答案】4；-3【分析】利用（）與方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，進(jìn)而得出，設(shè)（），得，根據(jù)方程有正數(shù)解可知，求出t的取值范圍即可求出的最大值．【詳解】解：根據(jù)新的定義可知，方程（）可變形為，∴，展開，，可得，，∴；∵，，∴，∵方程（）有兩個根為、，∴，且，∴，設(shè)（），得，∵方程有正數(shù)解，∴，解得，即，∴．故答案為：4，-3．【點(diǎn)睛】本題考查新定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，由根與系數(shù)的關(guān)系得到是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知關(guān)于x的方程，其中p，q都是實(shí)數(shù)．(1)若時，方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，，且，求實(shí)數(shù)p的值．(2)若方程有三個不同的實(shí)數(shù)根，，，且，求實(shí)數(shù)p和q的值．(3)是否同時存在質(zhì)數(shù)p和整數(shù)q使得方程有四個不同的實(shí)數(shù)根，，，且？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或，(3)存在，時，；當(dāng)時，【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，代入可得關(guān)于的方程，解方程即可；（2）由方程有三個不同的實(shí)數(shù)根、、，可得，、是方程的兩根；由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，．，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解出即可求出的值；（3）方程有四個不同的實(shí)數(shù)根，，，，由（2）知，不妨設(shè)，是方程的兩根，，是方程的兩根，可得，進(jìn)行討論即可求解．【詳解】（1）解：若，則方程為．因該方程有兩個不同的實(shí)數(shù)、，可得，，，解得；由，得，解得或．（注意因?yàn)?，所以．?）顯然．方程可寫成．因該方程有三個不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有三個不同的交點(diǎn)，可得：，，即，因?yàn)?、是方程的兩根，即．則，，．，解得．由，得，解得，∴或，．（3）存在．方程有四個不同的實(shí)數(shù)根，，，，由（2）知，不妨設(shè)，是方程的兩根，，是方程的兩根，則，，，，則，，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭琴|(zhì)數(shù)，，，所以，，則，則無解，則，則無解，則，則，解得，則，則，解得，2，5，則，則，解得．故，5，所以存在滿足條件的，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根，根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，若，且，則稱這個方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．【答案】(1)此方程為“限根方程”，理由見解析(2)k的值為2(3)m的取值范圍為或【分析】（1）解該一元二次方程，得出，再根據(jù)“限根方程”的定義判斷即可；（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，代入，即可求出，．再結(jié)合“限根方程”的定義分類討論舍去不合題意的值即可；（3）解該一元二次方程，得出或．再根據(jù)此方程為“限根方程”，即得出此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的判別式即可得出，且，可求出m的取值范圍．最后分類討論即可求解．【詳解】（1）解：，，∴或，∴．∵，，∴此方程為“限根方程”；（2）∵方程的兩個根分比為，∴，．∵，∴，解得：，．分類討論：①當(dāng)時，原方程為，∴，，∴，，∴此時方程是“限根方程”，∴符合題意；②當(dāng)時，原方程為，∴，，∴，，∴此時方程不是“限根方程”，∴不符合題意．綜上可知k的值為2；（3），，∴或，∴或．∵此方程為“限根方程”，∴此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，且，∴，即，∴且．分類討論：①當(dāng)時，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)時，∴，∵，∴，解得：．綜上所述，m的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式．讀懂題意，理解“限根方程”的定義是解題關(guān)鍵．壓軸題型六一元二次方程的應(yīng)用1．（2023春·河南駐馬店·九年級駐馬店市第二初級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖1，矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)沿從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)間的距離為，圖2是點(diǎn)運(yùn)動時隨變化的關(guān)系圖象，則的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】當(dāng)，即在點(diǎn)時，；利用兩點(diǎn)之間線段最短，得到，得的最大值為；在中，由勾股定理求出的長，再根據(jù)求出的長．【詳解】解：由函數(shù)圖象知：當(dāng)，即在點(diǎn)時，．利用兩點(diǎn)之間線段最短，得到．的最大值為，．在中，由勾股定理得：，設(shè)的長度為，則，，即，，解得或，由于，．，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)勾股定理求出BE的長是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·九年級課時練習(xí)）空地上有一段長為a米的舊墻，利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯誤的是（）A．若，則有一種圍法B．若，則有一種圍法C．若，則有兩種圍法D．若，則有一種圍法【答案】A【分析】分兩種情況討論：，圖2圍法，設(shè)矩形菜園垂直于墻的邊為x米，分別表示矩形的長，再利用矩形面積列方程，解方程，注意檢驗(yàn)x的范圍，從而可得答案．【詳解】解：設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：此時都不符合題意，采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，綜上：若，，則沒有圍法，故A符合題意；設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，綜上：若，則有兩種圍法，故B不符合題意；設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)都不符合題意，若，則有兩種圍法，C不符合題意，設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)都不符合題意，綜上所述，若，則有一種圍法，D不符合題意；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，表示圖2中矩形的長是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·海南儋州·九年級專題練習(xí)）某口罩經(jīng)銷商批發(fā)了一批口罩，進(jìn)貨單價為每盒50元，若按每盒60元出售，則每周可銷售80盒．現(xiàn)準(zhǔn)備提價銷售，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每盒每提價1元，每周銷量就會減少2盒，為保護(hù)消費(fèi)者利益，物價部門規(guī)定，銷售時利潤率不能超過50%，設(shè)該口罩售價為每盒元，現(xiàn)在預(yù)算銷售這種口罩每周要獲得1200元利潤，則每盒口罩的售價應(yīng)定為（

）A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元【答案】A【分析】根據(jù)每天的銷售利潤＝每箱的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，在結(jié)合銷售利潤不能超過50%，即可確定x的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：（x﹣50）[80-2（x-60）]＝1200，整理得：x2﹣150x+5600＝0．解得：x1＝70，x2＝80．當(dāng)x＝70時，利潤率＝×100%＝40%＜50%，符合題意；當(dāng)x＝80時，利潤率＝×100%＝60%＞50%，不合題意，舍去．所以要獲得1200元利潤，每盒口罩的售價應(yīng)定為70元．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題關(guān)鍵是根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出平均每天的銷售量，找準(zhǔn)等量關(guān)系正確列出一元二次方程．4．（2022·河北石家莊·?？级＃┣宕麛?shù)學(xué)家梅文鼎在《勾股舉隅》一書中，用四個全等的直角三角形拼出正方形的方法證明了勾股定理（如圖）．設(shè)四個全等直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，五邊形的面積為，的面積為，若，，則的值為A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，，，推出，，三點(diǎn)共線，分別表示出五邊形的面積，的面積,然后利用，列出方程即可求得結(jié)論．【詳解】解：四個直角三角形全等，，，，，，四邊形是正方形，，，，，三點(diǎn)共線，五邊形的面積為，，，，，的面積為，，，，（不合題意，舍去），故的值為5．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現(xiàn)將邊增加．

（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是．（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個的值，使得到的矩形面積為，則的值是．【答案】6/【分析】（1）根據(jù)面積的不變性，列式計(jì)算即可．（2）根據(jù)面積，建立分式方程，轉(zhuǎn)化為a一元二次方程，判別式為零計(jì)算即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，起始長方形的面積為，變化后長方形的面積為，∵，邊減少，得到的矩形面積不變，∴，解得，故答案為：6．（2）根據(jù)題意，得，起始長方形的面積為，變化后長方形的面積為，∴，，∴，∴，∴，∵有且只有一個的值，∴，∴，解得（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的面積變化，一元二次方程的應(yīng)用，正確轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）六張完全相同的小矩形紙片C與A，B兩張矩形紙片恰好能拼成一個相鄰邊長為m，50的大矩形，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．（1）若，則矩形A的水平邊長為；（2）請用含m，n的代數(shù)式表示矩形A的周長：；（3）若矩形A，B的面積相等，則．【答案】【分析】（1）根據(jù)圖可得矩形A的長個小矩形寬，即可得到矩形A的水平邊長；（2）根據(jù)圖可得矩形A的寬個小矩形寬，進(jìn)而得到矩形A的豎直邊長，即可得到答案；（3）分別表示出矩形A，B的面積，根據(jù)矩形A，B的面積相等即可得到答案．【詳解】解：設(shè)矩形A的水平邊長為，矩形A的豎直邊長，（1）由圖可知，；（2）由（1）可知，由圖可知矩形A的周長；（3）由題知，矩形A的面積；由圖知，矩形B的面積矩形A，B的面積相等,①小矩形紙片長，矩形A的水平邊長為由圖可知小矩形紙片長矩形A的水平邊長②聯(lián)立①②解得，（舍去）．故答案為：；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查列多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的值，一元二次方程，掌握解題的方法以及解方程的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）一個矩形內(nèi)放入兩個邊長分別為和的小正方形紙片，