2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第2章 一元二次方程（壓軸題專練）（原卷版）

第2章一元二次方程（壓軸題專練）題型01：公式法解一元二次方程1．將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為．2．閱讀下面的例題：分解因式：．解：令得到一個關(guān)于的一元二次方程，，．解得，；．這種因式分解的方法叫求根法，請你利用這種方法完成下面問題：(1)已知代數(shù)式對應(yīng)的方程解為和7，則代數(shù)式分解后為；(2)將代數(shù)式分解因式．題型02：換元法解一元二次方程3．閱讀下列材料：方程：是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解這個方程得：，．當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴所以原方程有四個根：，，，．在這個過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(1)利用換元法解方程得到方程的解為______．(2)若，求的值．(3)利用換元法解方程：．4．閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．材料2

已知實(shí)數(shù)m，n滿足，且，顯然m，n是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：解方程：．(2)間接應(yīng)用：已知兩個不相等實(shí)數(shù)m，n滿足：，求的值．(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，求的值．5．閱讀材料，解答問題：材料一：已知實(shí)數(shù)a，滿足，，則可將a，b看作一元二次方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根．材料二：已知實(shí)數(shù)a，滿足，，將兩邊同除以，得，即，則可將a，看作一元二次方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根．請根據(jù)上述材料，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答下列問題：(1)已知實(shí)數(shù)a，滿足，，求的值；(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，且，求的值．6．閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿足：，且，求的值．題型03：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用7．閱讀材料．材料：若一元二次方程的兩個根為，，則，．(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則，．(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)，分別滿足，，且，求的值．8．對于一元二次方程，下列說法：①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程有兩個不相等的實(shí)根，則方程無實(shí)根；③若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實(shí)根，；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④9．（1）是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，且，求的值．（2）已知：，是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，設(shè)，，…，．根據(jù)根的定義，有，，將兩式相加，得，于是，得．根據(jù)以上信息，解答下列問題：①直接寫出，的值．②經(jīng)計(jì)算可得：，，，當(dāng)時，請猜想，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．10．定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，若，且，則稱這個方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．題型04：一元二次方程有關(guān)的新定義題型11．根據(jù)絕對值定義：可將表示為，故化簡可得，，或四種不同結(jié)果，給出下列說法：①化簡一共有8種不同的結(jié)果；②化簡一共有8種不同的結(jié)果；③若，（為正整數(shù)），則當(dāng)時，．以上說法中正確的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個12．根據(jù)絕對值的定義可知，下列結(jié)論正確的個數(shù)有（

）①化簡一共有8種不同的結(jié)果；②的最大值是5；③若，（為正整數(shù)），則當(dāng)時，；④若關(guān)于的方程有2個不同的解，其中為常數(shù)，則或A．4個 B．3個 C．2個 D．1個13．定義：如果代數(shù)式（，、、是常數(shù)）與（，、、是常數(shù)），滿足，，，則稱這兩個代數(shù)式A與B互為“同心式”，下列四個結(jié)論：（1）代數(shù)式：的“同心式”為；（2）若與互為“同心式”，則的值為1；（3）當(dāng)時，無論x取何值，“同心式”A與B的值始終互為相反數(shù)；（4）若A、B互為“同心式”，有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則．其中，正確的結(jié)論有（

）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型05：存在性問題14．如圖，在矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿向點(diǎn)B以的速度移動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊向點(diǎn)C以的速度移動．當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)P，Q兩點(diǎn)移動的時間為，求：(1)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形；(2)當(dāng)x為何值時，的面積為；(3)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形．15．如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)B，當(dāng)有一點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒．(1)當(dāng)時，直接寫出P，Q兩點(diǎn)間的距離．(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．(3)是否存在，使得的面積等于，若存在，請求出的值：若不存在，請說明理由．16．如圖，在中，，厘米，厘米，點(diǎn)D在上，且厘米．現(xiàn)有兩個動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時出發(fā)，其中點(diǎn)P以4厘米/秒的速度沿向終點(diǎn)C運(yùn)動；點(diǎn)Q以5厘米/秒的速度沿向終點(diǎn)C運(yùn)動．過點(diǎn)P作交于點(diǎn)E，連接．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時間為t秒．(1)；（用t的代數(shù)式表示）(2)連接，并運(yùn)用割補(bǔ)的思想表示的面積（用t的代數(shù)式表示）；(3)是否存在某一時刻t，使四邊形是平行四邊形，如果存在，請求出t，如果不存在，請說明理由；(4)當(dāng)t為何值時，為直角三角形．題型06：一元二次方程的幾何應(yīng)用17．在凸四邊形中，，．(1)如圖1，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，畫出圖形，并寫出的度數(shù)；(2)如圖2，已知．①求證：；②若，求的面積．18．已知，在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，C重合），連接，將繞著點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．

(1)①如圖1，當(dāng)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)時，請猜想：與數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，當(dāng)，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)時，①中的結(jié)論是否依然成立？說明理由．(2)如圖3，若，，直接寫出的面積的最大值．題型07：一元二次方程與平面直角坐標(biāo)系19．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，點(diǎn)是在直線上位于第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，連接．(1)求出__________；(2)若平分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，若是以為直角邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo).20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．點(diǎn)E的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)F和點(diǎn)E，直線與直線相交于點(diǎn)P．(1)求直線的表達(dá)式和點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)矩形的邊在y軸的正半軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)B在線段上，邊平行于x軸，且，將矩形沿射線的方向平移，邊始終與x軸平行，已知矩形以每秒個單位的速度勻速移動（點(diǎn)A移動到點(diǎn)E時止移動），設(shè)移動時間為t秒．①當(dāng)時，A點(diǎn)坐標(biāo)是_________，移動t秒時，D點(diǎn)坐標(biāo)為_________，②矩形在移動過程中，B、C、D三點(diǎn)中有且只有一個頂點(diǎn)落在直線或上時，矩形會發(fā)出紅光，請直接寫出矩形發(fā)出紅光時t的值；③若矩形在移動的過程中，直線交直線于點(diǎn)N，交直線于點(diǎn)M．當(dāng)?shù)拿娣e等于18時，請直接寫出此時t的值．題型08：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用21．正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計(jì)劃在元宵節(jié)前用21天的時間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計(jì)劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每袋手工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應(yīng)降價多少元？22．“中國元素”幾乎遍布卡塔爾世界杯的每一個角落，某特許商品專賣店銷售中國制造的紀(jì)念品，深受大家喜愛．自世界杯開賽以來，其銷量不斷增加，該商品銷售第x天（，且x為整數(shù)）與該天銷售量y（件）之間滿足函數(shù)關(guān)系如下表所示：第x天1234567…銷售量y（件）220240260280300320340…為回饋項(xiàng)客，該商家將此紀(jì)念品的價格不斷下調(diào)，其銷售單價z（元）與第x天（，且x為整數(shù)）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)時，，當(dāng)