人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三專(zhuān)題13.6含30°的直角三角形的性質(zhì)【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題13.6含30°的直角三角形的性質(zhì)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由含30°的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 1【題型2由含30°的直角三角形的性質(zhì)求角度】 2【題型3由含30°的直角三角形的性質(zhì)求面積】 3【題型4由含30°的直角三角形的性質(zhì)求最值】 4【題型5由含30°的直角三角形的性質(zhì)求坐標(biāo)】 5【題型6由含30°的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明】 6【題型7由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】 7【題型8由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】 9【題型9由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 10【題型10含30°的直角三角形的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 11知識(shí)點(diǎn)：含30°的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半。【題型1由含30°的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】【例1】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且AE=CD，BE與AD相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q．

(1)求證：BE=AD；(2)若PQ=4，求BP的長(zhǎng)．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·黑龍江牡丹江·期中）在等邊三角形△ABC，若AB邊上的高CD與邊BC所夾得角為30°，且BD=3，則△ABC的周長(zhǎng)為（

）A．18 B．9 C．6 D．4.5【變式1-2】（23-24八年級(jí)·山東泰安·期末）如圖所示，△ABC是等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E．若AE=3，則△ABC的邊長(zhǎng)為（

）A．12 B．10 C．8 D．6【變式1-3】（2024八年級(jí)·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，以AC為邊在△ABC外作等邊△ACD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC．若AB=5.4，CE=3，則BE=．【題型2由含30°的直角三角形的性質(zhì)求角度】【例2】（2024·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）如圖所示，把兩塊完全相同的等腰直角三角板如圖所示的方式擺放，線段AC在直線MN上．若點(diǎn)F恰好是線段AB中點(diǎn)，則∠AFD的大小為°．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=45°，點(diǎn)M為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)2AM+CM最小時(shí)，則∠CAM的度數(shù)為（

）

A．60° B．45° C．30° D．15°【變式2-2】（2024八年級(jí)·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，AC=BC，且點(diǎn)D在△ABC外，D在AC的垂直平分線上，連接BD，若∠DBC=30°，∠ACD=12°，則∠A=°．【變式2-3】（2024·安徽·八年級(jí)期末）已知在等腰△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AD=12BC，則∠CA．5種 B．4種 C．3種 D．2種【題型3由含30°的直角三角形的性質(zhì)求面積】【例3】（2024·山東聊城·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AC于點(diǎn)D，連接BD，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于12BD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)E，連接DE，則S△CDEA．1:2 B．3:3 C．2:5 D．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·重慶·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且BD=CD=6,∠DBC=15°，則△BCD的面積為（

A．9 B．12 C．18 D．6【變式3-2】（23-24八年級(jí)·遼寧遼陽(yáng)·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，D是BC上一點(diǎn)，連接AD，若AD平分∠BAC，設(shè)△ADB和△ADC的面積分別是S1，S2，則S1A．1:1 B．2:1 C．3:1 D．3:2【變式3-3】（23-24八年級(jí)·湖南永州·期中）如圖，在△ABC中，AB=6，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到△A【題型4由含30°的直角三角形的性質(zhì)求最值】【例4】（23-24八年級(jí)·湖北荊門(mén)·期末）如圖，CA⊥直線l于點(diǎn)A，CA=4，點(diǎn)B是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，以CB為邊向上作等邊△MBC，連接MA，則MA的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-1】（23-24八年級(jí)·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，OP=6，點(diǎn)E是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PE的最小值為（）A．4 B．2 C．5 D．3【變式4-2】（23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·期中）如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·浙江金華·期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，AG是底邊BC上的高，在AG的延長(zhǎng)線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D，連接CD，作∠CDE=150°，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠CDE的角平分線交AB邊于點(diǎn)F，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段EF的最小值(

)A．6 B．4 C．3 D．2【題型5由含30°的直角三角形的性質(zhì)求坐標(biāo)】【例5】（23-24八年級(jí)·北京朝陽(yáng)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OAB的斜邊OB在x軸上，∠ABO=30°，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為【變式5-1】（23-24八年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，A?3，0，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D

【變式5-2】（2024·山東泰安·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為0，0，點(diǎn)M的坐標(biāo)為3，0，N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK，連接NK，A．32 B．323 C．2【變式5-3】（23-24八年級(jí)·廣東東莞·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,1)，以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過(guò)點(diǎn)A1作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)O1，以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，再過(guò)點(diǎn)A2作x【題型6由含30°的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明】【例6】（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D(1)用尺規(guī)作出線段AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，求證：CD=1【變式6-1】（23-24八年級(jí)·重慶江津·期中）如圖，在等腰△ABC中，AC=BC，∠ACB=4∠B，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC，交AB于點(diǎn)E，連接CE．(1)求∠BCE的度數(shù)；(2)求證：AB=3CE．【變式6-2】（2024八年級(jí)·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)D，(1)若AC=6cm，求CE(2)連接CD，請(qǐng)判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·安徽阜陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知在等邊三角形ABC中，D，E分別是邊BC，AC上的點(diǎn)，且AE=DC，連接AD，BE相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AD，Q為垂足，求證：BP=2PQ．【題型7由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】【例7】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC=90°，AB=4，∠C=30°．沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊（折痕為AF），使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕交AC于點(diǎn)E（折痕為EG），則FG的長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【變式7-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊D點(diǎn)，若EC=6cm，則AC=（

A．12 B．16 C．18 D．14【變式7-2】（2024·山東濱州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是矩形紙片ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，E是BC上一點(diǎn)，將紙片沿AE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合．若BE=3，則折痕AE的長(zhǎng)為．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，將△ADC沿AC折疊后，點(diǎn)D恰好落在DC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．若∠B=60°，AB=2，則BC為．【題型8由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】【例8】（23-24八年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=5?cm，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AB'C'的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)α的度數(shù)為°；(2)求△ABB【變式8-1】（2024·新疆烏魯木齊·三模）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若∠B=90°，∠C=30°，AB=2，則AE的長(zhǎng)為．

【變式8-2】（2024八年級(jí)·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△AB'C'是△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后得到的，已知∠B=90°，AB=1，∠C=30°，則【變式8-3】（2024·河北秦皇島·八年級(jí)期末）如圖，在等邊△ABC中，AB=10，P為BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)P，交線段AB于點(diǎn)M，將PM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，交線段AC于點(diǎn)N，連接MN，有三位同學(xué)提出以下結(jié)論：嘉嘉：△PNC為直角三角形．淇淇：當(dāng)AM=2時(shí)，AN=7．珍珍：在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，MN不存在平行于BC的情況．下列說(shuō)法正確的是（

）A．只有嘉嘉正確 B．嘉嘉和淇淇正確C．淇淇和珍珍正確 D．三人都正確【題型9由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例9】（23-24八年級(jí)·湖南岳陽(yáng)·期中）如圖：△ABC是邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)．當(dāng)t為時(shí)，【變式9-1】（23-24八年級(jí)·山西晉中·期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°,∠A=30°,AC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AC、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為vP=2cm/s,vQ=1cm/s(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為等邊三角形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？【變式9-2】（2024八年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，則BP=cm，BQ=(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)，分別用含有t的式子表示；BP=cm，BQ=(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？【變式9-3】（23-24八年級(jí)·遼寧朝陽(yáng)·期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°，AB=4cm，AC=12cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿CA邊以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)

(1)用含t的代數(shù)式表述AQ的長(zhǎng)是______．(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型10含30°的直角三角形的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】【例10】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期末）如圖①，設(shè)計(jì)一張折疊型方桌，其示意圖如圖②，若AO=BO=50cm，CO=DO=30cm．現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿需要叉開(kāi)的角度∠AOB應(yīng)為120°，則AB距離地面CD的高為【變式10-1】（23-24八年級(jí)·廣西玉林·期中）某游樂(lè)場(chǎng)部分平面圖如圖所示，點(diǎn)C、E、A在同一直線上，點(diǎn)D、E、B在同一直線上，DB⊥AB．測(cè)得A處與E處的距離為70m，C處與E處的距離為35m，∠C=90°，∠BAE=30°．(1)請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)木馬E處到出口B處的距離；(2)判斷入口A到出口B處的距離與海洋球D到過(guò)山車(chē)C處的距離是否相等？若相等，請(qǐng)證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式10-2】（23-24八年級(jí)·河北廊坊·期末）如圖，嘉琪想測(cè)量一座古塔CD的高度，在A處測(cè)得∠CAD=15°，再往前行進(jìn)60m到達(dá)B處，測(cè)得∠CBD=30°，點(diǎn)A，B，D在同一條直線上，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，這座古塔CD的高度為（

A．40m B．30m C．252【變式10-3】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·期中）圖①所示的是某超市入口的雙翼閘門(mén)，如圖②，當(dāng)它的雙翼展開(kāi)時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為7cm，雙翼的邊緣AC=BD=80cm，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角專(zhuān)題13.6含30°的直角三角形的性質(zhì)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由含30°的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 1【題型2由含30°的直角三角形的性質(zhì)求角度】 5【題型3由含30°的直角三角形的性質(zhì)求面積】 10【題型4由含30°的直角三角形的性質(zhì)求最值】 14【題型5由含30°的直角三角形的性質(zhì)求坐標(biāo)】 19【題型6由含30°的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明】 23【題型7由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】 27【題型8由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】 30【題型9由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 34【題型10含30°的直角三角形的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 39知識(shí)點(diǎn)：含30°的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半?！绢}型1由含30°的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】【例1】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且AE=CD，BE與AD相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q．

(1)求證：BE=AD；(2)若PQ=4，求BP的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)8【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）證明△ABE≌△CAD即可得證；（2）求出∠PBQ=30°，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，在△ABE和△CAD中AB=AC∠BAE=∠ACD∴△ABE≌△CADSAS∴BE=AD．（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠BPQ=∠ABP+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，又∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=180°?∠BPQ?∠BQP=30°，∴BP=2PQ，又∵PQ=4，∴BP=8．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·黑龍江牡丹江·期中）在等邊三角形△ABC，若AB邊上的高CD與邊BC所夾得角為30°，且BD=3，則△ABC的周長(zhǎng)為（

）A．18 B．9 C．6 D．4.5【答案】A【分析】由30度角的性質(zhì)可求出BC=2AB=6，然后由等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，

∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°．∵∠BCD=30°，BD=3，∴BC=2AB=6．∵△ABC是等邊三角形，∴△ABC的周長(zhǎng)為6×3=18．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·山東泰安·期末）如圖所示，△ABC是等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E．若AE=3，則△ABC的邊長(zhǎng)為（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°；在直角三角形中30°角所對(duì)應(yīng)的邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可知∠A=60°，在直角三角形ADE中求得AD的長(zhǎng)，即可求得AC的長(zhǎng)．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．若AE=3，∴在直角三角形ADE中，∠A=60°，∠AED=90°，∠ADE=30°，∴AD=2AE=6，又∵D為AC的中點(diǎn)，∴AC=2AD=12，∴等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為12，故選：A．【變式1-3】（2024八年級(jí)·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，以AC為邊在△ABC外作等邊△ACD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC．若AB=5.4，CE=3，則BE=．【答案】7.8【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線，構(gòu)造全等三角形和含有30°角的直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于P，根據(jù)∠ABC=60°得∠BAC+∠BCA=120°，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得AC=CD，∠ACD=60°，則∠DCE+∠BCA=120°，由此得∠BAC=∠DCE，據(jù)此可依據(jù)“AAS”判定△APC和△CED全等，從而得AP=CE=3，則BP=AB?AP=2.4，進(jìn)而在根據(jù)直角三角形性質(zhì)得BC=2BP=4.8，據(jù)此可得BE的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于P，如圖所示：∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°?∠ABC=120°，∵△ACD為等邊三角形，∴AC=CD，∠ACD=60°，∵∠DCE+∠BCA=180°?∠ACD=120°，∴∠BAC=∠DCE，∵CP⊥AB，DE⊥BC，∴∠APC=∠CED=90°，在△APC和△CED中，∠APC=∠CED=90°∠BAC=∠DCE∴△APC≌△CED(AAS∴AP=CE=3，∴BP=AB?AP=5.4?3=2.4，在Rt△BCP中，∠ABC=60°∴∠BCP=30°，∴BC=2BP=2×2.4=4.8，∴BE=BC+CE=4.8+3=7.8．故答案為：7.8【題型2由含30°的直角三角形的性質(zhì)求角度】【例2】（2024·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）如圖所示，把兩塊完全相同的等腰直角三角板如圖所示的方式擺放，線段AC在直線MN上．若點(diǎn)F恰好是線段AB中點(diǎn)，則∠AFD的大小為°．【答案】15【分析】本題考查了三角形中位線，含30°的直角三角形，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線，垂足為H，先證明FH為△ABC的中位線，和∠B=∠HFA=45°，再根據(jù)直角三角形中30°所對(duì)的直角邊為斜邊的一半即可得出∠FDH=30°，繼而求出∠HFD，以及∠AFD的度數(shù)．【詳解】過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線，垂足為H，如圖：∵點(diǎn)F恰好是線段AB中點(diǎn)，F(xiàn)H⊥AC，∠BCA=90°，∴BC∥FH，BC=2FH，∴∠B=∠HFA=45°，∵兩塊等腰直角三角板完全相同，∴BC=FD，∴BC=FD=2FH，∵∠FHD=90°，∴∠FDH=30°，∴∠HFD=60°，∵∠B=∠HFA=45°，∴∠AFD=∠HFD?∠HFA=60°?45°=15°，故答案為：15．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=45°，點(diǎn)M為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)2AM+CM最小時(shí)，則∠CAM的度數(shù)為（

）

A．60° B．45° C．30° D．15°【答案】D【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．在BC下方作∠BCN=30°，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CN于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CN于點(diǎn)E，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出ME=12CM，根據(jù)2AM+CM=2AM+12CM=2AM+ME，兩點(diǎn)之間線段最短，且垂線段最短，得出當(dāng)A、M、E【詳解】解：在BC下方作∠BCN=30°，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CN于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CN于點(diǎn)E，如圖所示：

則ME=1∴2AM+CM=2AM+∵兩點(diǎn)之間線段最短，且垂線段最短，∴當(dāng)A、M、E三點(diǎn)共線，且AE⊥CN時(shí)，AM+ME最小，即2AM+CM最小，∴當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F時(shí)，2AM+CM最小，∵∠AFC=90°，∠ACE=∠ACB+∠BCE=45°+30°=75°，∴∠CAF=90°?75°=15°，即此時(shí)∠CAM=15°．故選：D．【變式2-2】（2024八年級(jí)·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，AC=BC，且點(diǎn)D在△ABC外，D在AC的垂直平分線上，連接BD，若∠DBC=30°，∠ACD=12°，則∠A=°．【答案】72【分析】過(guò)C作CM⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于M，過(guò)D作DN⊥AC于N，證明Rt△DNC≌Rt△DMCHL，得∠DCM=∠ACD=12°，求出【詳解】解：如圖，過(guò)C作CM⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于M，過(guò)D作DN⊥AC于N，∵點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，∴DN垂直平分AC，∴NC=1∵AC=BC，∴NC=1在Rt△BMC中，∠DBC=30°∴CM=1∴CM=CN，在Rt△DNC和Rt∵CD=CDCN=CM∴Rt△DNC≌∴∠DCM=∠ACD=12°，∵∠DBC=30°，∴∠MCB=60°，∴∠ACB=60°?12°×2=36°，又∵AC=BC，∴∠A=1故答案為：72．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),含30°角直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟知等腰三角形的兩個(gè)底角相等，需要作輔助線，構(gòu)建全等三角形，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．【變式2-3】（2024·安徽·八年級(jí)期末）已知在等腰△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AD=12BC，則∠CA．5種 B．4種 C．3種 D．2種【答案】A【分析】根據(jù)題意分兩種情況：AD落在△ABC內(nèi)部和AD落在△ABC外部，然后分別根據(jù)等腰三角形的概念和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】（1）當(dāng)AD落在△ABC內(nèi)部時(shí)，①如圖，當(dāng)AB=AC時(shí)，

∵AD⊥BC，AD=1∴AD=BD=DC，即∠C=45°．②如圖，當(dāng)AB=CB時(shí)，

∵AD⊥BC，AD=1∴AD=1∴∠B=30°，∴∠C=③如圖，當(dāng)AC=BC時(shí)，

∵AD⊥BC，AD=1∴AD=1∴∠C=30°．（2）當(dāng)AD落在△ABC外部時(shí)，④當(dāng)AB=AC時(shí)，此時(shí)不存在．⑤如圖，當(dāng)AB=CB時(shí)，

∵AD⊥BC，AD=1∴AD=1∴∠ABD=30°，則∠C=1⑥如圖，當(dāng)AC=BC時(shí)，

∵AD⊥BC，AD=1∴AD=1∴∠ACD=30°，則∠ACB=180°?30°=150°，即∠C=150°．綜上，∠C的度數(shù)可能為15°，30°，45°，75°，150°，共5種可能，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況討論．【題型3由含30°的直角三角形的性質(zhì)求面積】【例3】（2024·山東聊城·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AC于點(diǎn)D，連接BD，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于12BD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)E，連接DE，則S△CDEA．1:2 B．3:3 C．2:5 D．【答案】D【分析】先根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)得到AB=12AC【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=90°?∠BAC=90°?60°=30°，∴AB=1由題意得：AB=AD，AP平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAE，在△ABE與△ADE中，AB=AD∠BAE=∠DAE∴△ABE≌△ADESAS∴S△ABE∵AD=AB=1∴AD=CD，∴S△ADE∴S△ABC∴S△CDE故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—基本作圖，直角三角形兩銳角互余，30°角的直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等底同高的三角形面積相等．掌握基本作圖及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·重慶·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且BD=CD=6,∠DBC=15°，則△BCD的面積為（

A．9 B．12 C．18 D．6【答案】A【分析】本題考查等邊對(duì)等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合三角形的外角，求出∠ADC=30°，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)，由三角形的面積公式求出△BCD的面積即可．【詳解】解：∵BD=CD=6,∠DBC=15°，∴∠DCB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠BCD=30°，∵∠A=90°，∴AC=1∴△BCD的面積為12故選A．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·遼寧遼陽(yáng)·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，D是BC上一點(diǎn)，連接AD，若AD平分∠BAC，設(shè)△ADB和△ADC的面積分別是S1，S2，則S1A．1:1 B．2:1 C．3:1 D．3:2【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，三角形的面積等知識(shí)，先求出∠BAD=∠CAD=30°，得出AD=BD，從而CD=1【詳解】解：∵∠C=90°,∠B=30°，∴∠BAC=90°?30°=60°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=1∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，

∴CD=1∴S1故選B．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·湖南永州·期中）如圖，在△ABC中，AB=6，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到△A【答案】9【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=6【詳解】解：在△ABC中，AB=6，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到△A∴△ABC≌△∴A∴△A1BA如圖，過(guò)A1作A1D⊥AB于D∴S又∵SS△∴S【題型4由含30°的直角三角形的性質(zhì)求最值】【例4】（23-24八年級(jí)·湖北荊門(mén)·期末）如圖，CA⊥直線l于點(diǎn)A，CA=4，點(diǎn)B是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，以CB為邊向上作等邊△MBC，連接MA，則MA的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．以AC為邊作等邊三角形ACE，連接ME，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥ME于點(diǎn)F，證明△BCA≌△MCE(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出BA=ME，【詳解】解：如圖，以AC為邊作等邊三角形ACE，連接ME，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥ME于點(diǎn)F，∵△MBC和△ACE為等邊三角形，∴BC=CM，AC=CE，∠BCM=∠ACE=60°，∴∠BCA=∠MCE，在△BCA和△MCE中，BC=MC∠BAC=∠MCE∴△BCA≌△MCE(SAS∴BA=ME，∠BAC=∠MEC=90°，∴∠AEF=90°?60=30°，∵B是直線l的動(dòng)點(diǎn)，∴M在直線ME上運(yùn)動(dòng)，∴MA的最小值為AF，∵AE=AC=4，∴AF=1故選：B【變式4-1】（23-24八年級(jí)·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，OP=6，點(diǎn)E是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PE的最小值為（）A．4 B．2 C．5 D．3【答案】D【分析】題考查了垂線段最短以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)及垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用．過(guò)P作PH⊥OB，根據(jù)垂線段最短即可求出PE最小值．【詳解】解∶∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，∵PD⊥OA，OP=6，∴PD=1過(guò)P作PH⊥OB于點(diǎn)H，

∵PD⊥OA，OC平分∠AOB，∴PD=PH=3，∵點(diǎn)E是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，∴PE的最小值為3，故選：C．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·期中）如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是．【答案】3【分析】取BC的中點(diǎn)，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)可以證明△MBG≌△NBH，可得MG=NH，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MG⊥CH時(shí)，MG最短，即HN最短，進(jìn)而根據(jù)30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半即可求得線段HN長(zhǎng)度的最小值．本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【詳解】解：如圖，取BC的中點(diǎn)，連接MG，∵線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，即∠MBH+∠MBC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等邊三角形的高，∴BH=1∴BH=BG，又∵BM旋轉(zhuǎn)到BN，∴BM=BN，∴△MBG≌△NBH(SAS)∴MG=NH，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MG⊥CH時(shí)，MG最短，即HN最短，此時(shí)∠BCH=1CG=1∴MG=1∴HN=3∴線段HN長(zhǎng)度的最小值是32故答案為：3【變式4-3】（23-24八年級(jí)·浙江金華·期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，AG是底邊BC上的高，在AG的延長(zhǎng)線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D，連接CD，作∠CDE=150°，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠CDE的角平分線交AB邊于點(diǎn)F，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段EF的最小值(

)A．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】此題考查了全等三角形的判定即性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，證明△MDE≌△NDCASA，推出DE=DC，再證明△EDF≌△CDFSAS，推出EF=CF，得到當(dāng)CF⊥AB時(shí)CF有最小值，即EF有最小值，由∠BAC=30°，AC=4，求出【詳解】解：作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AB=AC，AG⊥BC，∴AG平分∠BAC，即AD平分∠BAC，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∵∠BAC=30°，∠AMD=∠AND=90°，∴∠MDN=150°，∵∠CDE=150°，∴∠MDE=150°?∠CDM=∠NDC，∴△MDE≌△NDC(ASA∴DE=DC，∵DF平分∠CDE，∴∠EDF=∠CDF，連接CF，∵DF=DF，∴△EDF≌△CDFSAS∴EF=CF，∴當(dāng)CF⊥AB時(shí)CF有最小值，即EF有最小值，此時(shí)，∵∠BAC=30°，AC=4，∴CF=1故選：D．【題型5由含30°的直角三角形的性質(zhì)求坐標(biāo)】【例5】（23-24八年級(jí)·北京朝陽(yáng)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OAB的斜邊OB在x軸上，∠ABO=30°，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為【答案】4,0【分析】本題主要考查了含30度角直角三角形的特征，解題的關(guān)鍵是掌握含30度角的直角三角形，30度角所對(duì)的邊是斜邊的一半．過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，先得出∠OAC=30°，則OA=2OC=2，進(jìn)而得出OB=2OA=4，即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，∵Rt△OAB中∠ABO=30°∴∠AOB=60°，∵AC⊥OB，∴∠OAC=30°，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，∴OC=1，∴OA=2OC=2，∵∠ABO=30°，∴OB=2OA=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,0，故答案為：4,0．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，A?3，0，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D

【答案】9【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．由等邊三角形的性質(zhì)求得AB的長(zhǎng)，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AD的長(zhǎng)，繼而求得OD的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，且BO⊥AC，∴AO=OC，∵A?3∴AO=3，∴AB=AC=2AO=6，∵BD⊥AB，∴∠ABD=90°，∴∠ADB=30°，∴AD=2AB=12，∴OD=AD?OA=9，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為9，故答案為：9，【變式5-2】（2024·山東泰安·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為0，0，點(diǎn)M的坐標(biāo)為3，0，N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK，連接NK，A．32 B．323 C．2【答案】A【分析】如圖所示，將△MOK繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△MQN，連接OQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OK=NQ，OM=QM，∠OMQ=60°，證明△OMQ是等邊三角形，得到∠QOM=60°，OQ=OM，推出∠NOQ=30°；由垂線段最短可知，當(dāng)NQ⊥y軸，NQ最小，即【詳解】解：如圖所示，將△MOK繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△MQN，連接OQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OK=NQ，∴△OMQ是等邊三角形，∴∠QOM=60°，∴∠NOQ=30°，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為3，∴OQ=OM=3，由垂線段最短可知，當(dāng)NQ⊥y軸，NQ最小，即OK最小，此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)N'∴OK故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·廣東東莞·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,1)，以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過(guò)點(diǎn)A1作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)O1，以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，再過(guò)點(diǎn)A2作x【答案】1【分析】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，理解在直角三角形中，30°的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．首先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)及等邊三角形的性質(zhì)得OA1=OA=1,∠AOA1=60°,進(jìn)而得∠A1OO1【詳解】∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,1)，∴OA∴∠A∵A∴在Rt△A1OO∴點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)為1同理：A2O2=12A∴點(diǎn)A2的縱坐標(biāo)為122,點(diǎn)A?的縱坐標(biāo)為123,點(diǎn)A?∴點(diǎn)A2021的縱坐標(biāo)為故答案為：12【題型6由含30°的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明】【例6】（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D(1)用尺規(guī)作出線段AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，求證：CD=1【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作一條線段垂直平分線的方法，進(jìn)行作圖即可；（2）過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，連接DN，由角平分線的性質(zhì)和定義得到∠BAD=12∠BAC=15°，DC=DE，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得到NA=ND，進(jìn)而得到∠DNE=∠NDA+∠NAD=30°【詳解】（1）解：如圖，MN為所求作的線段AD的垂直平分線；（2）證明：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，連接DN，∵∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠BAD=12∠BAC=15°∵M(jìn)N是AD的垂直平分線，∴DN=AN，∴∠NDA=∠NAD=15°，∴∠DNE=∠NDA+∠NAD=30°，在Rt△DNE中，DE=∵DN=AN，DC=DE，∴CD=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了，尺規(guī)作一條線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·重慶江津·期中）如圖，在等腰△ABC中，AC=BC，∠ACB=4∠B，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC，交AB于點(diǎn)E，連接CE．(1)求∠BCE的度數(shù)；(2)求證：AB=3CE．【答案】(1)∠BCE=90(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）證明△ECD≌△EAD，可得∠A=∠ECD，設(shè)∠B=x，可得∠BEC=2x，得出x+2x+3x=180°，解得x=30°，則∠BCE可求出；（2）由直角三角形的性質(zhì)可得BE=2CE，AE=CE，則結(jié)論可得出．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC，∴∠EDC=∠EDA=90°，DC=DA，∵ED=ED，∴△ECD≌△EADSAS∴∠A=∠ECD，設(shè)∠B=x，∵AC=BC，∴∠B=∠A=x，∴∠BEC=∠A+∠ECA=2x，∵∠ACB=4∠B，∴∠BCE=3x，∵∠B+∠BEC+∠BCE=180°，∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，∴∠BCE=90°；（2）解：∵∠B=30°，∠BCE=90°，∴BE=2CE，∵CE=AE，∴AB=BE+AE=3CE．【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．熟練掌握運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2024八年級(jí)·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)D，(1)若AC=6cm，求CE(2)連接CD，請(qǐng)判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)2cm(2)等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．（1）連接BE，由垂直平分線的性質(zhì)可求得∠CBE=∠ABE=∠A=30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性質(zhì)可證得BE=2CE（2）由垂直平分線的性質(zhì)可求得AD=BD，根據(jù)含30°角的直角三角形可得BC=12AB，因此△BCD為等腰三角形，進(jìn)一步由題意可知∠ABC=60°【詳解】（1）解：如圖，連接BE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30°，∴∠CBE=∠ABC?∠ABE=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE∴AE=2CE，∵AC=6cm∴CE=2cm（2）△BCD是等邊三角形，理由如下：連接CD，∵DE垂直平分AB，∴D為AB中點(diǎn)，∴AD=BD，在Rt△ABC中，∠A=30°∴BC=1∴AD=BD=BC，又∵∠ABC=60°，∴△BCD是等邊三角形．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·安徽阜陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知在等邊三角形ABC中，D，E分別是邊BC，AC上的點(diǎn)，且AE=DC，連接AD，BE相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AD，Q為垂足，求證：BP=2PQ．【答案】見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可判斷兩個(gè)三角形全等；根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及三角形外角的性質(zhì)，可以得到∠PBQ=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到．本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及含30度角直角三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中，AE=CD∠BAC=∠ACB∴△BAE≌△ACD(SAS)∴∠ABE=∠CAD，∵∠BPQ為△ABP外角，∴∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．【題型7由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】【例7】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC=90°，AB=4，∠C=30°．沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊（折痕為AF），使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕交AC于點(diǎn)E（折痕為EG），則FG的長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，BF=FD，CG=GD，即FG=12BC，再由30°【詳解】解：由折疊可知，BF=FD，CG=GD，∴FG=1在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，∠C=30°，∴BC=2AB=2×4=8，∴FG=1故選：B．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊D點(diǎn)，若EC=6cm，則AC=（

A．12 B．16 C．18 D．14【答案】C【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的直角．理解直角三角形中30°角所對(duì)邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)DE=EC=6cm，∠EDB=∠C=90°∴∠EDA=90°，∵∠A=30°，∴AE=2DE=12cm∴AC=AE+EC=18cm故選C．【變式7-2】（2024·山東濱州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是矩形紙片ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，E是BC上一點(diǎn)，將紙片沿AE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合．若BE=3，則折痕AE的長(zhǎng)為．【答案】6【分析】此題考查了中心對(duì)稱(chēng)，矩形的性質(zhì)，以及翻折變換，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．由折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)得到OE垂直平分AC，得到AE=EC，根據(jù)AB為AC的一半確定出∠ACE=30°，進(jìn)而得到OE等于EC的一半，求出EC的長(zhǎng)，即為AE的長(zhǎng)．【詳解】解：由題意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，且OE垂直平分AC，∴AE=CE，∠ACB=30°，在Rt△OEC中，∠OCE=30°∴OE=1∵BE=3，∴OE=3，EC=6，則AE=6，故答案為：6．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，將△ADC沿AC折疊后，點(diǎn)D恰好落在DC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．若∠B=60°，AB=2，則BC為．【答案】4【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30°的直角三角形．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．由折疊的性質(zhì)與題意可得，∠ACD=90°，由?ABCD，可知BC=AD，CD=AB=2，∠D=∠B=60°，則∠CAD=180°?∠ACD?∠D=30°，【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，∠ACD=90°，∵?ABCD，∴BC=AD，∴∠CAD=180°?∠ACD?∠D=30°，∴AD=2CD=4，∴BC=4，故答案為：4．【題型8由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】【例8】（23-24八年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=5?cm，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AB'C'的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)α的度數(shù)為°；(2)求△ABB【答案】(1)60(2)30【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（1）根據(jù)∠C=90°，∠ABC=30°，求出∠BAC=90°?30°=60°，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB=2AC=10cm，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出∠BAB'=60°，【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=90°?30°=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：α=∠BAB（2）解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，AC=5?cm∴AB=2AC=2×5=10cm∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度至△AB∴∠BAB'=60°∴△ABB∴△ABB'的周長(zhǎng)是【變式8-1】（2024·新疆烏魯木齊·三模）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若∠B=90°，∠C=30°，AB=2，則AE的長(zhǎng)為．

【答案】4【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得AC=2AB=4，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AC=4．本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴AC=2AB=4，∵將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴AE=AC=4，故答案為：4【變式8-2】（2024八年級(jí)·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△AB'C'是△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后得到的，已知∠B=90°，AB=1，∠C=30°，則【答案】4【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出AC=2，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：在△ABC中，∠B=90°，AB=1，∠C=30°∴AC=2又∵△AB'C'是△ABC繞點(diǎn)∴AC'=AC，且C，A∴CC故答案為：4．【變式8-3】（2024·河北秦皇島·八年級(jí)期末）如圖，在等邊△ABC中，AB=10，P為BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)P，交線段AB于點(diǎn)M，將PM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，交線段AC于點(diǎn)N，連接MN，有三位同學(xué)提出以下結(jié)論：嘉嘉：△PNC為直角三角形．淇淇：當(dāng)AM=2時(shí)，AN=7．珍珍：在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，MN不存在平行于BC的情況．下列說(shuō)法正確的是（

）A．只有嘉嘉正確 B．嘉嘉和淇淇正確C．淇淇和珍珍正確 D．三人都正確【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明∠PNC=180°?∠C?∠NPC=90°，可以判斷嘉嘉正確：然后由含30度角的直角三角形的性質(zhì)判斷淇淇正確：珍珍錯(cuò)誤，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可得：∠MPN=60°∵PM⊥BC∴∠BPM=90°∴∠NPC=180°?∠BPM?∠MPN=30°∵△ABC為等邊三角形∴∠C=60°∴∠PNC=180°?∠C?∠NPC=90°∴△PNC為直角三角形，故嘉嘉正確；∵在等邊△ABC中，AB=10，∠B=60°當(dāng)AM=2時(shí)，BM=8，∵PM⊥BC∴∠BMP=30°∴BP=∴PC=6∵∠NPC=180°?∠BPM?∠MPN=30°∴NC=∴AN=AC?NC=7，故淇淇正確；當(dāng)BM=4時(shí)，AM=10?4=6∴BP=∴CP=10?2=8∴CN=∴AN=AC?CN=6=AM∵∠A=60°由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：PM=PN，∠MPN=60°∴△MPN是等邊三角形∴∠AMN=60°=∠B∴MN∥BC，故珍珍錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)．【題型9由含30°的直角三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例9】（23-24八年級(jí)·湖南岳陽(yáng)·期中）如圖：△ABC是邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)．當(dāng)t為時(shí)，【答案】1或2/2或1【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵；分兩種情況：∠BPQ=90°；∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP,BQ的表達(dá)式和∠B的度數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：在△ABC中，根據(jù)題意得：AP=tcm，BQ=tcm若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，BQ=1即t=1∴t=1，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，BP=1∴3?t=1∴t=2．∴當(dāng)t=1或t=2時(shí)，△PBQ是直角三角形．故答案為：1或2．【變式9-1】（23-24八年級(jí)·山西晉中·期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°,∠A=30°,AC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AC、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為vP=2cm/s,vQ=1cm/s(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為等邊三角形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？【答案】(1)t=(2)t=165【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得出BC=4cm，根據(jù)題意，得CP=8?2t,CQ=t（2）因?yàn)椤鱌CQ為直角三角形，所以分類(lèi)討論，即當(dāng)∠CQP=90°時(shí)，CP=2CQ或當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，CQ=2CP，進(jìn)行列式求解，即可作答．【詳解】（1）解：∵∠B=90°,∠A=30°，∴∠C=60°,AC=2BC．∵AC=8∴BC=4cm∵動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AC、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為v∴0≤t≤4,CP=8?2t,CQ=t；當(dāng)CP=CQ時(shí)，△PCQ為等邊三角形．即8?2t=t.∴t=8即當(dāng)t=83時(shí)，（2）解：若△PCQ為直角三角形，①當(dāng)∠CQP=90°時(shí)，CP=2CQ，即8?2t=2t,∴t=2．②當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，CQ=2CP，即t=2(8?2t),∴t=即當(dāng)t=165或t=2時(shí)，【變式9-2】（2024八年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，則BP=cm，BQ=(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)，分別用含有t的式子表示；BP=cm，BQ=(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？【答案】(1)1，2(2)3?t，t(3)t=1s或【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解直角三角形中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和掌握分類(lèi)討論的思想是解答本題等關(guān)鍵．（1）根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”并結(jié)合圖形即可解答；（2）根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”并結(jié)合圖形即可解答；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得該直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ與PB的關(guān)系，要分∠BPQ=90°和∠PQB=90°兩種情況，分別在直角三角形BQP中根據(jù)BQ、PB列出關(guān)于【詳解】（1）解：∵動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，則BP=3?1×2=1cm，故答案為：1，2；（2）解：∵動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)，∴BP=3