人教版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題17.7勾股定理章末八大題型總結(jié)(拔尖篇)(學(xué)生版+解析)

專題17.7勾股定理章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】 1【題型2勾股定理在網(wǎng)格問題中的運(yùn)用】 2【題型3勾股定理在折疊問題中的運(yùn)用】 4【題型4以弦圖為背景的計算】 6【題型5勾股定理的證明方法】 7【題型6勾股定理與全等綜合】 10【題型7由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】 12【題型8由勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題】 13【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，射線AM⊥AN于點A、點C、B在AM、AN上，D為線段AC的中點，且DE⊥BC于點E．（1）若BC=10，直接寫出AC（2）若AC=8，△ABC的周長為24，求△ABC的面積；（3）若AB=6，C點在射線AM上移動，問此過程中，BE【變式1-1】（2023·福建·模擬預(yù)測）如圖所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC2?M【變式1-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，若AB=3，CD=2，則AD2【變式1-3】（2023春·福建莆田·八年級校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A4,4，B

(1)如圖1，判斷△AOB的形狀并說明理由；(2)如圖2，M，N分別是y軸負(fù)半軸和x軸正半軸上的點，且AM⊥AN，探究線段OM，ON，OA之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，延長BA交y軸于點C，M，N分別是x軸負(fù)半軸和y軸負(fù)半軸上的點，連接AN交x軸于D，且∠AMO+∠ANO=45°，探究BD2，DM【題型2勾股定理在網(wǎng)格問題中的運(yùn)用】【例2】（2023春·浙江·八年級期末）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中．每個小正方形的頂點稱為格點.以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E,F,G,H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖．例如，在圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為26，此時正方形EFGH的面積為52．問：當(dāng)格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為26時，正方形EFGH的面積的所有可能值是(不包括52)．【變式2-1】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為5a，22a，17a（a＞0），請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：（3）若△ABC三邊的長分別為m2【變式2-2】（2023春·湖北武漢·八年級?？计谥校┰?0×10網(wǎng)格中，點A和直線l的位置如圖所示：

（1）將點A向右平移6個單位，再向上平移2個單位長度得到點B，在網(wǎng)格中標(biāo)出點B；（2）在（1）的條件下，在直線l上確定一點P，使PA＋PB的值最小，保留畫圖痕跡，并直接寫出PA＋PB的最小值：______；（3）結(jié)合（2）的畫圖過程并思考，直接寫出x2+3【變式2-3】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的10×10網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．五邊形ABCDE的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，按步驟完成下列問題：（1）五邊形ABCDE的周長為．（2）在AB上找點F，使E，C兩點關(guān)于直線DF對稱；（3）設(shè)DF交CE于點G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；（4）在直線DF上找點H，使∠AHB＝135°．【題型3勾股定理在折疊問題中的運(yùn)用】【例3】（2023春·河南鄭州·八年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P是邊AC上一動點，把△ABP沿直線BP折疊，使得點A落在圖中點A′處，當(dāng)△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是．【變式3-1】（2023春·浙江寧波·八年級?？计谥校┒x：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．（1）對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB＝3，則該三角形的面積為；（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點A落在點D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝2，求△PDC的面積．【變式3-2】（2023春·浙江·八年級期末）如圖1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC邊上的高線長．(2)點E是BC邊上的動點，點D在邊AB上，且AD＝4，連結(jié)DE．①如圖2，當(dāng)點E是BC中點時，求△BDE的面積．②如圖3，沿DE將△BDE折疊得到△FDE，當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時，求BE的長．【變式3-3】（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b(1)對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是___．A.①一定是“方倍三角形”

B.②一定是“方倍三角形”C.①②都一定是“方倍三角形”

D.①②都一定不是“方倍三角形”(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB=3(3)如圖，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P為AC邊上一點，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點A落在點D處，連結(jié)CD，AD，若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝【題型4以弦圖為背景的計算】【例4】（2023春·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）在認(rèn)識了勾股定理的趙爽弦圖后，一位同學(xué)嘗試將5個全等的小正方形嵌入長方形ABCD內(nèi)部，其中點M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB=7，BC=8，則小正方形的邊長為（

）A．5 B．6 C．7 D．2【變式4-1】（2023春·安徽合肥·八年級合肥市第四十二中學(xué)校考期中）如圖，它是由弦圖變化得到的，是由八個全等的直角三角形拼接而成的，將圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別記為S1、S2、（1）若S1=25，S3=1（2）若S1+S2【變式4-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面積為80．連接ACAC，交BE于點P，交DG于點Q，連接FQ．則圖中陰影部分的面積之和為．【變式4-3】（2023春·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面積分別為S1，S2，S3，若S1+【題型5勾股定理的證明方法】【例5】（2023春·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．(1)證明勾股定理取4個與Rt△ABC（圖1）全等的三角形，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，把它們拼成邊長為a+b

(2)應(yīng)用勾股定理

①應(yīng)用場景1：在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點．如圖3，在數(shù)軸上找出表示1的點D和表示4的點A，過點A作直線l垂直于DA，在l上取點B，使AB=2，以點D為圓心，DB為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點C表示的數(shù)是______．②應(yīng)用場景2：解決實際問題．如圖4，某公園有一秋千，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=0.5m，將它往前推至C處時，水平距離CD=2m，踏板離地的垂直高度CF=1.5m【變式5-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）計算圖1的面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是a+b2，如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為a2+2ab+(1)如圖2，正方形ABCD是由四個邊長分別是a，b的長方形和中間一個小正方形組成的，用不同的方法對圖2的面積進(jìn)行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______（用a，b表示）(2)已知：兩數(shù)x，y滿足x+y=14，xy=24，求x?y的值．(3)如圖3，正方形ABCD的邊長是c，它由四個直角邊長分別是a，b的直角三角形和中間一個小正方形組成的，對圖3的面積進(jìn)行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______．（用a，b，c表示，結(jié)果化到最簡）【變式5-2】（2023春·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即12ab×4+b?a2【方法運(yùn)用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形△ABC和△DEA如圖2放置，其三邊長分別為a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，顯然BC⊥AD．(1)請用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AB邊上的高為______．(3)如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x，求x的值．【變式5-3】（2023春·全國·八年級期中）如圖（1），是兩個全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）（1）用這樣的兩個三角形構(gòu)造成如圖（2）的圖形，利用這個圖形，證明：a2+b2＝c2；（2）用這樣的兩個三角形構(gòu)造圖3的圖形，你能利用這個圖形證明出題（1）的結(jié)論嗎？如果能，請寫出證明過程；（3）當(dāng)a＝3，b＝4時，將其中一個直角三角形放入平面直角坐標(biāo)系中，使直角頂點與原點重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合（如圖4中Rt△AOB的位置）．點C為線段OA上一點，將△ABC沿著直線BC翻折，點A恰好落在x軸上的D處．①請寫出C、D兩點的坐標(biāo)；②若△CMD為等腰三角形，點M在x軸上，請直接寫出符合條件的所有點M的坐標(biāo)．【題型6勾股定理與全等綜合】【例6】（2023春·安徽滁州·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為底邊BC上的高線，E是AC上一點，連接BE交AD于點F，且∠CBE=45°．

(1)求證：AB(2)如圖1，若AB=6.5，BC=5，求AF的長；(3)如圖2，若AF=BC，以BF，EF和AE為邊，能圍成直角三角形嗎？請判斷，并說明理由．【變式6-1】（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期中）如圖，把一張矩形紙片沿對角線BD折疊，若BC=9，CD=3，那么AF的長為．【變式6-2】（2023春·湖北襄陽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG=CH=8，BG=DH=6，連接GH，則線段GH的長為（

）

A．538 B．22 C．14【變式6-3】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=62，D是射線CB上的動點，過點A作AF⊥AD（AF始終在AD上方），且AF=AD，連接(1)如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，判斷BF與DC的關(guān)系，并說明理由．

(2)如圖2，若點D、E為線段BC上的兩個動點，且∠DAE=45°，連接EF，DC=3，求ED的長．

(3)若在點D的運(yùn)動過程中，BD=3，則AF=___．(4)如圖3，若M為AB中點，連接MF，在點D的運(yùn)動過程中，當(dāng)BD=__時，MF的長最??？最小值是___．

【題型7由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】【例7】（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．若AB=3，BC=4，CC1A．74 B．310 C．89 【變式7-1】（2023春·安徽合肥·八年級合肥壽春中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一個圓柱形食品盒，它的高為10cm，底面圓的周長為(1)點A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對側(cè)中點B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是cm；(2)將左圖改為一個無蓋的圓柱形食品盒，點C距離下底面3cm，此時螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內(nèi)表面對側(cè)中點B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是cm【變式7-2】（2023春·全國·八年級期中）愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：已知，如圖一個棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁BC的中點M，甲蟲所走的最短路程是cm【變式7-3】（2023春·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期末）初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運(yùn)用”，形成了空間幾何問題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解題策略．問題提出：如圖所示是放在桌面上的一個圓柱體，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，如何求最短路程呢？(1)問題分析：螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，可以有幾條路徑？在圖中畫出來；(2)問題探究：①若圓柱體的底面圓的周長為18cm，高為12cm，螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點②若圓柱體的底面圓的周長為24cm，高為4cm，螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點③若圓柱體的底面圓的半徑為r，高為?，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，求最短路程．【題型8由勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題】【例8】（2023春·吉林白城·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．【變式8-1】（2023春·全國·八年級期中）2019年10月1日，中華人民共和國70年華誕之際，王梓涵和學(xué)校國旗護(hù)衛(wèi)隊的其他同學(xué)們趕到學(xué)校舉行了簡樸而降重的升旗儀式．傾聽著雄壯的國歌聲，目送著五星紅旗緩緩升起，不禁心潮澎湃，愛國之情油然而生．愛動腦筋的王梓涵設(shè)計了一個方案來測量學(xué)校旗桿的高度．將升旗的繩子拉直到末端剛好接觸地面，測得此時繩子末端距旗桿底端2米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5m處，測得此時繩子末端距離地面高度為1m，最后根據(jù)剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理就能算出旗桿的高度為（）A．10m B．11m C．12m D．13m【變式8-2】（2023春·陜西西安·八年級西北大學(xué)附中?？计谀締栴}探究】(1)如圖①，點E是正△ABC高AD上的一定點,請在AB上找一點F，使EF=12(2)如圖②，點M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動點，求12【問題解決】(3)如圖③，A、B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點B到AC的最短距離為360km．今計劃在鐵路線AC上修一個中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路。如果同樣的物資在每千米公路上的運(yùn)費(fèi)是鐵路上的兩倍。那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最小值，請確定中轉(zhuǎn)站M的位置,并求出AM的長．(結(jié)果保留根號)【變式8-3】（2023·四川德陽·八年級?？计谀┠壳?，某市正積極推進(jìn)“五城聯(lián)創(chuàng)”，其中擴(kuò)充改造綠地是推進(jìn)工作計劃之一.現(xiàn)有一塊直角三角形綠地，量得兩直角邊長分別為a＝9m和b＝12m，現(xiàn)要將此綠地擴(kuò)充改造為等腰三角形，且擴(kuò)充部分包含以b＝12m為直角邊的直角三角形，則擴(kuò)充后等腰三角形的周長為.專題17.7勾股定理章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】 1【題型2勾股定理在網(wǎng)格問題中的運(yùn)用】 7【題型3勾股定理在折疊問題中的運(yùn)用】 13【題型4以弦圖為背景的計算】 23【題型5勾股定理的證明方法】 27【題型6勾股定理與全等綜合】 35【題型7由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】 42【題型8由勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題】 48【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，射線AM⊥AN于點A、點C、B在AM、AN上，D為線段AC的中點，且DE⊥BC于點E．（1）若BC=10，直接寫出AC（2）若AC=8，△ABC的周長為24，求△ABC的面積；（3）若AB=6，C點在射線AM上移動，問此過程中，BE【答案】（1）100；（2）24；（3）是定值，值是36【分析】（1）根據(jù)AC⊥AB，由勾股定理即可得解；（2）由△ABC周長及其三邊符合勾股定理，列式，聯(lián)立方程即可得AB和BC的長，代入三角形面積公式計算即可；（3）根據(jù)DE⊥BC，得Rt△BDE和Rt【詳解】解：（1）AC（2）因為AM⊥AN，所以△ABC是直角三角形．因為AC=8，△ABC的周長為24，所以AB=16?BC，所以16?BC2+82=B所以S△ABC（3）在Rt△BDE中，BE2=BD所以BE因為D為線段AC的中點，所以AD=DC，所以BE在Rt△ABD中，B所以BE故在點C移動的過程中，BE2?E【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理的使用條件是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·福建·模擬預(yù)測）如圖所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC2?M【答案】45【分析】在Rt△ABD和Rt△ADC中，分別表示出BD2和CD2，在Rt△BDM【詳解】解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和RtBD2=A在Rt△BDM和RtMMC∴MC=AC=45．故答案為：45．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，若AB=3，CD=2，則AD2【答案】13【分析】在Rt△AOB和Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得BO2+AO2=AB2=32【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠在Rt△AOB和Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，BO2+A∴BO∵AD2=D∴AD故答案為：13．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·福建莆田·八年級校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A4,4，B

(1)如圖1，判斷△AOB的形狀并說明理由；(2)如圖2，M，N分別是y軸負(fù)半軸和x軸正半軸上的點，且AM⊥AN，探究線段OM，ON，OA之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，延長BA交y軸于點C，M，N分別是x軸負(fù)半軸和y軸負(fù)半軸上的點，連接AN交x軸于D，且∠AMO+∠ANO=45°，探究BD2，DM【答案】(1)△AOB是等腰三角形，證明見解析(2)ON=OM+2(3)OM【分析】（1）過點A作AH⊥OB，垂足為H，根據(jù)等腰直角三角形的判定可得答案；（2）過點A作AB⊥OA，交x軸于點B，證明△AOM≌△ABNASA，由全等三角形的性質(zhì)得出OM=BN，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OB=（3）過A作AG⊥AN交y軸于G，連接GM，先證△AOM≌△ABNASA，得出OM=BN，再證△MGA≌△MDASAS，得出MG=DM，由勾股定理即可得到【詳解】（1）解：△AOB為等腰直角三角形，理由如下：過點A作AH⊥OB，垂足為H，

∵點A4,4，B∴OH=4，∴HB=4=AH=OH，∴∠AOB=∠OAH=45°=∠ABH=∠HAB，∴∠OAB=90°，OA=AB，∴△AOB為等腰直角三角形；（2）ON=OM+2OA．理由：過點A作AB⊥AO，交x軸于點

由（1）可知△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=∠AOB=45°，∠OAB=90°，∴∠AOM=∠ABN=135°，∵AM⊥AN，∴∠MAN=90°，∴∠OAM=∠BAN，在△AOM和△ABN中，∠AOM=∠ABNOA=AB∴△AOM≌△ABNASA∴OM=BN，∴ON=BN+OB=OM+OB，而△AOB是等腰直角三角形，可得OB=2∴ON=OM+2（3）OM2+BD2=DM2，理由如下：過A作

∵△OAB是等腰直角三角形，∴∠ABO=∠AOB=45°，∠OAB=90°，OA=AB，∴∠AOG=45°=∠ABO，∵AG⊥AN，∴∠OAG=∠DAB，在△AGO和△DAB中，∠AOG=∠ABDOA=AB∴△GAO≌△DABASA∴OG=BD，AG=AD，而Rt△GOM中，O∴OM∵∠AOG=90°?45°=45°=∠ANO+∠OAD，∠ANO+∠AMO=45°，∴∠AMO=∠OAD，∵∠AMO+∠MAO=∠AOB=45°，∴∠OAD+∠MAO=45°，即∠MAN=45°∴∠MAD=∠GAM=45°，在△MGA和△MDA中，MA=MA∠GAM=∠MAD∴△MGA≌△MDASAS∴MG=MD，∴OM【點睛】本題是三角形綜合題，考查全等三角形判定性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)及勾股定理等知識，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形性質(zhì)證明三角形全等．【題型2勾股定理在網(wǎng)格問題中的運(yùn)用】【例2】（2023春·浙江·八年級期末）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中．每個小正方形的頂點稱為格點.以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E,F,G,H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖．例如，在圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為26，此時正方形EFGH的面積為52．問：當(dāng)格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為26時，正方形EFGH的面積的所有可能值是(不包括52)．【答案】36或50【分析】設(shè)四個全等的直角三角形的直角邊邊長分別為a，b．利用分類討論的思想，在格點上找出各點位置，即找出邊的位置，即可求出面積．【詳解】設(shè)四個全等的直角三角形的直角邊邊長分別為a，b．則正方形EFGH的邊長為a+b，即S正方形EFGH∴在網(wǎng)格中找出a和b的線段，且線段的端點都在格點上即可．分情況討論：①a=5，b=1，如圖，此時S正方形EFGH②a=13此時S正方形EFGH③a=22此時S正方形EFGH題干中不包括52，故S正方形EFGH故答案為：36或50．【點睛】本題考查勾股定理．利用分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為5a，22a，17a（a＞0），請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：（3）若△ABC三邊的長分別為m2【答案】（1）72；（2）畫圖見解析，3【分析】（1）利用割補(bǔ)法求解可得；（2）在網(wǎng)格中利用勾股定理分別作出邊長為5a、22a（3）在網(wǎng)格中構(gòu)建邊長為6m和6n的矩形，同理作出邊長為m2+16n2、【詳解】解：（1）ΔABC的面積為3×3?1故答案為：72（2）如圖，AB=22a，BC=5由圖可得：SΔABC故答案為：3a（3）構(gòu)造ΔABC所示，AB=(2m)AC=mBC=(3m)∴SΔABC【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了勾股定理及作圖的知識，解答本題關(guān)鍵是仔細(xì)理解問題背景，熟練掌握勾股定理，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．【變式2-2】（2023春·湖北武漢·八年級校考期中）在10×10網(wǎng)格中，點A和直線l的位置如圖所示：

（1）將點A向右平移6個單位，再向上平移2個單位長度得到點B，在網(wǎng)格中標(biāo)出點B；（2）在（1）的條件下，在直線l上確定一點P，使PA＋PB的值最小，保留畫圖痕跡，并直接寫出PA＋PB的最小值：______；（3）結(jié)合（2）的畫圖過程并思考，直接寫出x2+3【答案】（1）見解析；（2）62；（3）【分析】（1）根據(jù)題意標(biāo)出點B即可；（2）作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于P，則此時PA＋PB的值最小，根據(jù)勾股定理求出結(jié)論即可；（3）將條件中的數(shù)表示為直角三角形的直角邊，畫對應(yīng)圖形，作軸對稱圖形，求出最小值即可．【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）如圖所示，PA＋PB的最小值＝62故答案為：62（3）如圖，AP=x2+

∴PA＋PB的最小值即為：A'B=7∴x2+32＋故答案為：72【點睛】本題考查了作圖——平移變換，勾股定理，軸對稱——最短路線問題，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的10×10網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．五邊形ABCDE的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，按步驟完成下列問題：（1）五邊形ABCDE的周長為．（2）在AB上找點F，使E，C兩點關(guān)于直線DF對稱；（3）設(shè)DF交CE于點G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；（4）在直線DF上找點H，使∠AHB＝135°．【答案】（1）20+10【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出五邊形ABCDE各邊的長，相加即可；（2）連接EC，作DF⊥EC交AB于點F即可；（3）分成兩個三角形求面積即可；（4）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）由題意，AB=BC=CD=32+42∴五邊形ABCDE的周長=20+10，故答案為：20+10（2）如圖，連接EC，作DF⊥EC交AB于點F，點F即為所求作．∵DE=CD=5，DF⊥EC，∴CE=GE，∴點D，G是CE垂直平分線上的點，∴DF是CE的垂直平分線，∴E，C兩點關(guān)于直線DF對稱；（3）∵EG=22+∴AG∴△AEG是直角三角形；∴S四邊形AEDG（4）如圖，過點A作AH⊥DF于H，連接BH，則點H即為所求作．∵BK=KH=22+∴BK∴△BHK是等腰直角三角形．∴∠BHK=45°．∴∠AHB=135°．【點睛】本題考查作圖-軸對稱變換，勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【題型3勾股定理在折疊問題中的運(yùn)用】【例3】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P是邊AC上一動點，把△ABP沿直線BP折疊，使得點A落在圖中點A′處，當(dāng)△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是．【答案】4或3【分析】分類討論分別當(dāng)∠AA′C=90°時，當(dāng)∠ACA′=90°時，根據(jù)折疊的性質(zhì)函數(shù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖1，當(dāng)∠AA′C=90°時，∵以直線BP為軸把△ABP折疊，使得點A落在圖中點A′處，∴AP=A′P，∴∠PAA′=∠AA′P，∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，∴∠PCA′=∠PA′C，∴PC=PA′，∴PC=12如圖2，當(dāng)∠ACA′=90°時，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，∵以直線BP為軸把△ABP折疊，使得點A落在圖中點A′處，∴A′B=AB=10，PA=PA′，∴A′C=4，設(shè)PC=x，∴AP=8-x，∵A′C2+PC2=PA′2，∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，∴PC=3，綜上所述：當(dāng)△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是4或3，故答案為：4或3．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題）直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·浙江寧波·八年級?？计谥校┒x：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．（1）對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB＝3，則該三角形的面積為；（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點A落在點D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝2，求△PDC的面積．【答案】（1）A；（2）22；（3）3【分析】（1）根據(jù)“方倍三角形”定義可得，等邊三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”進(jìn)而可以判斷；（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，滿足a2＋b2＝3，根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2＋3＝2b2，即可得a和b的值，進(jìn)而可得直角三角形的面積；（3）根據(jù)題意可得△ABP≌△DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可得△ABD為等邊三角形，從而證明△APD為等腰直角三角形，可得AP＝DP＝2，延長BP交AD于點E，根據(jù)勾股定理求出BE的長，根據(jù)△PBC為等腰直角三角形，可得PC＝2PB＝6?2，進(jìn)而可以求△【詳解】解：（1）對于①等邊三角形，三邊相等，設(shè)邊長為a，則a2＋a2＝2a2，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：等邊三角形一定是“方倍三角形”；對于②直角三角形，三邊滿足關(guān)系式：a2＋b2＝c2，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故答案為：A；（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，則滿足a2＋b2＝3，根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2＋3＝2b2，聯(lián)立解得a=1b=則Rt△ABC的面積為：22故答案為：22（3）由題意可知：△ABP≌△DBP，∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，∴AD＝AB＝BD，∴△ABD為等邊三角形，∠BAD＝60°，∴∠ABP＝∠DBP＝30°，∴∠PBC＝90°，∵∠CPB＝45°，∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，∴∠DPC＝90°，∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，∴∠BAC＝15°，∴∠CAD＝45°，∴△APD為等腰直角三角形，∴AP＝DP＝2，∴AD＝2，延長BP交AD于點E，如圖，∵∠ABP＝∠PBD，∴BE⊥AD，PE＝12AD＝AE∴BE＝AB∴PB＝BE﹣PE＝3﹣1，∵∠CPB＝∠PCB＝45°，∴△PBC為等腰直角三角形，∴PC＝2PB＝6?∴S△PDC＝12×PC?PD＝12×（6?【點睛】本題考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．【變式3-2】（2023春·浙江·八年級期末）如圖1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC邊上的高線長．(2)點E是BC邊上的動點，點D在邊AB上，且AD＝4，連結(jié)DE．①如圖2，當(dāng)點E是BC中點時，求△BDE的面積．②如圖3，沿DE將△BDE折疊得到△FDE，當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時，求BE的長．【答案】(1)8(2)①14.4；②307或2或【分析】（1）如圖，過A作AT⊥BC于T,再求解BT=CT=6,再利用勾股定理求解高線長即可；（2）①如圖，連接AE,利用等腰三角形的三線合一證明AE⊥BC,BE=CE=6,求解AE=8,可得S△ABE=12AE·BE=24,證明S△BDES△ADE=64=3【詳解】（1）解：如圖，過A作AT⊥BC于T,∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BT=CT=6,AT=10所以BC邊上的高線長為8.（2）解：①如圖，連接AE,∵AB=AC=10,BC=12,E為BC的中點，∴AE⊥BC,BE=CE=6,由（1）得：AE=8,∴S∵AD=4,則BD=10?4=6,∴S∴S②當(dāng)DF⊥AB時，由對折可得：∠BDE=∠FDE=45°,過A作AT⊥BC于T,連接DT,過D作DK⊥BC于K,過E作EN⊥AB于N,由①得：S∴12×6×DK=14.4,∵EN⊥BD,∠BDE=45°,設(shè)DN=x,則EN=DN=x,由12∴BE=5∴BN=(54∴34x=6?x,∴BE=5當(dāng)DF⊥BC于K時，則DK=4.8,∴BK=6過E作EN⊥BD于N,由對折可得∠BDE=∠FDE,∴EN=EK,∴S∴BE∴BE=5當(dāng)DF⊥AC時，如圖，則∠FTM=90°,由對折可得∠B=∠F,而AB=AC=10,則∠B=∠C,∴∠C=∠F,而∠FMT=∠CME,∴∠MEC=∠MTE=90°,結(jié)合對折可得：∠DEK=∠DEF=45°,過D作DK⊥BC于K,同理可得：DK=EK=4.8,∴BK=6∴BE=3.6+4.8=8.4,綜上：當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時，BE的長為307或2或8.4【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，清晰的分類討論，等面積法是應(yīng)用等都是解本題的關(guān)鍵.【變式3-3】（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b(1)對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是___．A.①一定是“方倍三角形”

B.②一定是“方倍三角形”C.①②都一定是“方倍三角形”

D.①②都一定不是“方倍三角形”(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB=3(3)如圖，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P為AC邊上一點，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點A落在點D處，連結(jié)CD，AD，若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝【答案】(1)A(2)2(3)3【分析】(1)直接利用“方倍三角形”的定義對等邊三角形和直角三角形分別判斷即可；(2)根據(jù)勾股定理和“方倍三角形”的定義求得直角三角形的三邊長，即可求得直角三角形的面積；(3)根據(jù)題意可得△ABP≌△DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可得△ABD為等邊三角形，從而證明△APD為等腰直角三角形，可得AP＝DP＝2，延長BP交AD于點E，根據(jù)勾股定理求出BE的長，根據(jù)△PBC為等腰直角三角形，即可求得結(jié)論．【詳解】（1）對于①等邊三角形，三邊相等，設(shè)邊長為a，則a2根據(jù)“方倍三角形”定義可知：等邊三角形一定是“方倍三角形”；對于②直角三角形，三邊滿足關(guān)系式：a2根據(jù)“方倍三角形”定義可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故選：A故答案為：A；（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，則滿足a2根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2聯(lián)立解得a=1b=則Rt△ABC的面積為：22故答案為：22（3）由題意可知：△ABP?△DBP，∴BA=BD,∠ABP=∠DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：BA∴AD=AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∠BAD=60∴∠ABP=∠DBP=30∴∠PBC=90∵∠CPB=45∴∠APB=180∴∠DPC=90∵∠ABC=120∴∠BAC=15∴∠CAD=45∴△APD為等腰直角三角形，∴AP=DP=2∴AD=2．延長BP交AD于點E，如圖，∵∠ABP=∠PBD，∴BE⊥AD，PE=1∴BE=A∴PB=BE?PE=3∵∠CPB=∠PCB=45∴△PBC為等腰直角三角形，∴PC=BC=3【點睛】本題考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．【題型4以弦圖為背景的計算】【例4】（2023春·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）在認(rèn)識了勾股定理的趙爽弦圖后，一位同學(xué)嘗試將5個全等的小正方形嵌入長方形ABCD內(nèi)部，其中點M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB=7，BC=8，則小正方形的邊長為（

）A．5 B．6 C．7 D．2【答案】A【分析】根據(jù)趙爽弦圖，將小正方形分成4個全等的直角三角形，和一個最小的正方形，設(shè)直角三角形的短直角邊長為a，長直角邊為b，則正方形的水平寬度與垂直高度為2b?b?a=b+a，根據(jù)平移的性質(zhì)，分別表示出【詳解】解：如圖所示，根據(jù)趙爽弦圖，將小正方形分成4個全等的直角三角形，和一個最小的正方形，設(shè)直角三角形的短直角邊長為a，長直角邊為b，則正方形的水平寬度與垂直高度為b+a，依題意，2解得：a=1∴小正方形的邊長為：a2故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理，掌握弦圖的計算是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·安徽合肥·八年級合肥市第四十二中學(xué)校考期中）如圖，它是由弦圖變化得到的，是由八個全等的直角三角形拼接而成的，將圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別記為S1、S2、（1）若S1=25，S3=1（2）若S1+S2【答案】138【分析】（1）首先結(jié)合題意求得正方形ABCD的邊長AB=5，正方形MNKT的邊長TM=1，由全等的直角三角的性質(zhì)可得AE=FM=BF=ET，AF=ME，設(shè)AE=FM=BF=ET=x，則AF=5?x，EM=x+1，然后可求得AE=2，AF=3，在Rt△AEF中，由勾股定理可得E（2）設(shè)每一個直角三角形面積為m，則S1=S2+4m【詳解】解：（1）當(dāng)S1=25，正方形ABCD的邊長AB=25=5，正方形MNKT的邊長根據(jù)題意，該圖形由八個全等的直角三角形拼接而成，由全等的直角三角的性質(zhì)可得AE=FM=BF=ET，AF=ME，設(shè)AE=FM=BF=ET=x，則AF=AB?BF=5?x，EM=ET+TM=x+1，∴5?x=x+1，解得x=2，∴AE=2，AF=5?2=3，∴在Rt△AEF中，E∴正方形EFGH的面積S2故答案為：13；（2）設(shè)每一個直角三角形面積為m，∴則S1=S∵S1∴S2解得S2故答案為：8．【點睛】本題考查了正方形的面積、勾股定理等知識，解決本題的關(guān)鍵是隨著正方形的邊長的變化表示面積．【變式4-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面積為80．連接ACAC，交BE于點P，交DG于點Q，連接FQ．則圖中陰影部分的面積之和為．【答案】16【分析】設(shè)AE=x，BE=3x，根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理可求得x2=8，再根據(jù)題意和三角形的面積公式可推導(dǎo)出S△FGQ【詳解】解：由題意，∠AEP=∠CGQ=∠CFP=90°，AE=CG=BF，BE=CF，∴AE∥CF，BE∥∴∠EAP=∠GCQ，∴△AEP≌△CGQASA∴EP=GQ，S△AEP∵BE:AE=3:1，∴設(shè)AE=x，則AE=CG=BF=x，BE=CF=3x，∴EF=GF=CF?CG=2x，∴S△FGQ∴陰影部分的面積之和為S====2x∵正方形ABCD的面積為80，∴AE2+B∴x2∴陰影部分的面積之和為16．故答案為：16．【點睛】本題考查勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、梯形的面積、三角形的面積，解答的關(guān)鍵是理解題意，找尋圖形中線段間的關(guān)系，然后利用勾股定理和梯形的面積公式以及轉(zhuǎn)化的思想方法求解．【變式4-3】（2023春·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面積分別為S1，S2，S3，若S1+【答案】15【分析】由八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNPQ為正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根據(jù)三個正方形的面積公式列式相加：S1+S【詳解】解：∵八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNPQ為正方形，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S=C=GFS2S=N∴S1∴GF∴S2故答案為：15．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識點是勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出3GF【題型5勾股定理的證明方法】【例5】（2023春·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．(1)證明勾股定理取4個與Rt△ABC（圖1）全等的三角形，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，把它們拼成邊長為a+b

(2)應(yīng)用勾股定理

①應(yīng)用場景1：在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點．如圖3，在數(shù)軸上找出表示1的點D和表示4的點A，過點A作直線l垂直于DA，在l上取點B，使AB=2，以點D為圓心，DB為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點C表示的數(shù)是______．②應(yīng)用場景2：解決實際問題．如圖4，某公園有一秋千，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=0.5m，將它往前推至C處時，水平距離CD=2m，踏板離地的垂直高度CF=1.5m【答案】(1)驗證見解析(2)①1±13；②繩索AC的長為【分析】（1）用含a、b的式子用兩種方法表示正方形的面積，然后整理即可證明結(jié)論；（2）①根據(jù)勾股定理求出DB，根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸解答即可．②設(shè)秋千的繩索長為xm，根據(jù)題意可得AD=x?1m【詳解】（1）解：證明勾股定理：

由題意得，S正方形DEFG=a+bS∴a2∴a2（2）解：①在Rt△DBA∵DB=D∴DC=13∴點C表示的數(shù)是13+1故答案為：13+1②∵CF=1.5m，BE=0.5∴DB=1m設(shè)秋千的繩索長為xm，根據(jù)題意可得AD=利用勾股定理可得22解得：x=2.5．答：繩索AC的長為2.5m【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方以及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）計算圖1的面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是a+b2，如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為a2+2ab+(1)如圖2，正方形ABCD是由四個邊長分別是a，b的長方形和中間一個小正方形組成的，用不同的方法對圖2的面積進(jìn)行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______（用a，b表示）(2)已知：兩數(shù)x，y滿足x+y=14，xy=24，求x?y的值．(3)如圖3，正方形ABCD的邊長是c，它由四個直角邊長分別是a，b的直角三角形和中間一個小正方形組成的，對圖3的面積進(jìn)行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______．（用a，b，c表示，結(jié)果化到最簡）【答案】(1)a+b(2)±10(3)a【分析】（1）根據(jù)正方形ABCD的面積=(a+b)2，正方形ABCD的面積(a?b)2（2）根據(jù)（1）中等式，整體代入計算；（3）根據(jù)正方形ABCD的面積=c2，正方形ABCD的面積(a?b)2【詳解】（1）解：如圖2，正方形ABCD的面積=(a+b)正方形ABCD的面積(a?b)2∴(a+b)（2）∵(x+y)2=(x?y)2∴14即(x?y)2∴x?y的值為±10．（3）如圖3，正方形ABCD的面積=c正方形ABCD的面積(a?b)2∴c即a2【點睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用面積法得出完全平方公式：(a+b)2【變式5-2】（2023春·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即12ab×4+b?a2【方法運(yùn)用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形△ABC和△DEA如圖2放置，其三邊長分別為a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，顯然BC⊥AD．(1)請用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AB邊上的高為______．(3)如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x，求x的值．【答案】(1)見解析(2)6(3)x=【分析】（1）表示出三個圖形的面積進(jìn)行加減計算可證a2（2）計算出△ABC的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得AB邊上的高；（3）運(yùn)用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD【詳解】（1）證明：∵S四邊形ABCD=12S∴1∴1∴a（2）S△ABCAB=2∵S∵?=即AB邊上的高是6（3）解：在Rt△ABDA∵BD+CD=BC=6，∴CD=BC?BD=6?x在Rt△ACDA∴16?x∴x=【點睛】此題主要考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，是解本題的關(guān)鍵．構(gòu)造出直角三角形DEF是解本題的難點．【變式5-3】（2023春·全國·八年級期中）如圖（1），是兩個全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）（1）用這樣的兩個三角形構(gòu)造成如圖（2）的圖形，利用這個圖形，證明：a2+b2＝c2；（2）用這樣的兩個三角形構(gòu)造圖3的圖形，你能利用這個圖形證明出題（1）的結(jié)論嗎？如果能，請寫出證明過程；（3）當(dāng)a＝3，b＝4時，將其中一個直角三角形放入平面直角坐標(biāo)系中，使直角頂點與原點重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合（如圖4中Rt△AOB的位置）．點C為線段OA上一點，將△ABC沿著直線BC翻折，點A恰好落在x軸上的D處．①請寫出C、D兩點的坐標(biāo)；②若△CMD為等腰三角形，點M在x軸上，請直接寫出符合條件的所有點M的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）能，見解析；（3）①C、D兩點的坐標(biāo)為C（0，32），D（2，0）；②符合條件的所有點M的坐標(biāo)為：（716，0）、（92【分析】（1）根據(jù)梯形的面積的兩種表示方法即可證明；（2）根據(jù)四邊形ABCD的面積的兩種表示方法即可證明；（3）①根據(jù)翻折的性質(zhì)和勾股定理即可求解；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分四種情況求解即可．【詳解】解：（1）∵S梯形ABCD=2×S梯形ABCD=1∴2×∴2ab+∴c（2）連接BD，如圖：S四邊形ABCD=12S四邊形ABCD=12∴12∴c（3）①設(shè)OC=a，則AC=4?a，又AB=5，根據(jù)翻折可知：BD=AB=5，CD=AC=4?a，OD=BD?OB=5?3=2．在RtΔ(4?a)2解得a=3∴C(0,32)答：C、D兩點的坐標(biāo)為C(0,32)②如圖：當(dāng)點M在x軸正半軸上時，CM=DM，設(shè)CM=DM=x，則x2=(2?x)∴2?x=7∴M(716，CD=MD，=4?32=∴M(92，當(dāng)點M在x軸負(fù)半軸上時，CM=CD，∵OM=OD=2，∴M(?2,0)；DC=DM，=4?3∴OM=5∴M(?12，∴符合條件的所有點M的坐標(biāo)為：(716，0)、(92，0)、(?2,0)、【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，是三角形的綜合題，解決本題的關(guān)鍵是分情況討論思想的運(yùn)用．【題型6勾股定理與全等綜合】【例6】（2023春·安徽滁州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，AD為底邊BC上的高線，E是AC上一點，連接BE交AD于點F，且∠CBE=45°．

(1)求證：AB(2)如圖1，若AB=6.5，BC=5，求AF的長；(3)如圖2，若AF=BC，以BF，EF和AE為邊，能圍成直角三角形嗎？請判斷，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)AF的長為3.5(3)以BF，EF和AE為邊，能圍成直角三角形，理由見解析【分析】（1）在△ABC中，由AB=AC，AD⊥BC，可得BD=CD，由勾股定理得AB2?A（2）由（1）可知BD=CD=12BC=2.5，由勾股定理得，AD=AB2?BD2=6，在（3）如圖，在BF上取一點H，使BH=EF，連接CF，CH，由∠CBE=45°，AD⊥BC，可得∠BFD=45°，∠AFE=∠BFD=45°，證明△CHB≌△AEFSAS，則AE=CH，∠AEF=∠CHB，由∠CEF+∠AEF=180°=∠CHF+∠CHB，可得∠CEF=∠CHF，CE=CH，由BD=CD，F(xiàn)D⊥BC，可得CF=BF，∠CFD=∠BFD=45°，則∠CFB=∠CFD+∠BFD=90°，即CF⊥EH，由CE=CH，可得EF=FH，由勾股定理，得CF2+FH2=CH2【詳解】（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，由勾股定理得AB∴AB（2）解：由（1）可知BD=CD=1在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD=∵在Rt△BDF中，∠CBE=45°∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF=BD=2.5，∴AF=AD?DF=6?2.5=3.5，∴AF的長為3.5；（3）解：能圍成直角三角形，理由如下：如圖，在BF上取一點H，使BH=EF，連接CF，CH，

∵∠CBE=45°，AD⊥BC，∴∠BFD=45°，∴∠AFE=∠BFD=45°，∵BH=FE，∠CBH=∠AFE=45°，BC=AF，∴△CHB≌△AEFSAS∴AE=CH，∠AEF=∠CHB，∵∠CEF+∠AEF=180°=∠CHF+∠CHB，∴∠CEF=∠CHF，∴CE=CH，∵BD=CD，F(xiàn)D⊥BC，∴CF=BF，∠CFD=∠BFD=45°，∴∠CFB=∠CFD+∠BFD=90°，即CF⊥EH，又∵CE=CH，∴EF=FH，在Rt△CFH中，由勾股定理，得C∴BF∴以BF，EF和AE為邊，能圍成直角三角形．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式6-1】（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期中）如圖，把一張矩形紙片沿對角線BD折疊，若BC=9，CD=3，那么AF的長為．【答案】4【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得△ABF≌△EDF(AAS)，設(shè)EF=AF=x，則BF=BE?EF=9?x，在【詳解】解：矩形紙片沿對角線BD折疊，∴CD=ED=AB=3，BC=AD=BE=9，∠A=∠E=90°，且∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF(AAS∴EF=AF，BF=DF，設(shè)EF=AF=x，則BF=BE?EF=9?x，在Rt△ABF中，B∴(9?x)2=3∴AF=4，故答案為：4．【點睛】本題主要考查矩形的折疊，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·湖北襄陽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG=CH=8，BG=DH=6，連接GH，則線段GH的長為（

）

A．538 B．22 C．14【答案】B【分析】延長BG交CH于點E，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABG?△CDHSSS，求出∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，再證明△ABG?△BCEASA，求出GE=2，HE=2，由勾股定理可得【詳解】解：如圖，延長BG交CH于點E，

∵AB=CD=10，BG=DH=6，AG=CH=8，∴AG2+B∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，AB=CDAG=CH∴△ABG?△CDHSSS∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG和△BCE中，∠1=∠3AB=BC∴△ABG?△BCEASA∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE?BG=8?6=2，同理可得HE=2，在Rt△GHE中，GH=故選：B．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用，通過證明三角形全等得出GE=2，HE=2是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=62，D是射線CB上的動點，過點A作AF⊥AD（AF始終在AD上方），且AF=AD，連接(1)如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，判斷BF與DC的關(guān)系，并說明理由．

(2)如圖2，若點D、E為線段BC上的兩個動點，且∠DAE=45°，連接EF，DC=3，求ED的長．

(3)若在點D的運(yùn)動過程中，BD=3，則AF=___．(4)如圖3，若M為AB中點，連接MF，在點D的運(yùn)動過程中，當(dāng)BD=__時，MF的長最?。孔钚≈凳莀__．

【答案】(1)垂直且相等，理由見解析(2)5(3)313或(4)9，3【分析】（1）證明△FAB≌△DAC，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）證明△FAE≌△DAE，由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理即可得出答案；（3）分兩種情況畫出圖形，由勾股定理進(jìn)行計算即可得到答案；（4）當(dāng)MF⊥BF時，線段MF最短，證出△BFM為等腰直角三角形，可求出MF、BD的長．【詳解】（1）解：當(dāng)點D在線段BC上時，∵AD=AF，∠BAF=90°?∠BAD=∠DAC，AB=AC，∴△FAB≌△DACSAS∴BF=DC，∴∠FBC=90°，∴BF⊥DC；（2）解：AE=AE，∠EAF=90°?∠DAE=45°=∠EAD，∴△FAE≌△DAESAS∴ED=EF，∵∠BAC=90°，∴BC=12，∴BD=BC?CD=9，由（1）可知∠C=∠ABF=∠ABC=45°，CD=BF=3，∴∠FBE=90°，設(shè)DE=EF=x，∵BF∴3∴x=5，∴ED=5；（3）解：如圖1，當(dāng)點D在線段BC上，BD=3，設(shè)AG為BC邊上的高，G為垂足，，在等腰Rt△ABC中，G為BC的中點，AB=AC=6∴BC=A∴AG=BG=12BC=6∴AF=AD=A如圖2，點D在線段CB的延長線時，同理可得AG=BG=6，，∴DG=BD+BG=3+6=9，∴AD=A故答案為：35或3（4）解：點F運(yùn)動軌跡是過點B，且垂直于BC的射線，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，當(dāng)MF⊥BF時，線段MF最短，如圖3，，∵BC⊥BF，∠ABC=45°，∠FBD=90°，∴△BFM為等腰直角三角形，∴MF=BF=2由（1）知：BF=CD=3，∴BD=BC?DC=12?3=9，此時MF=3，故答案為：9，3．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型7由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】【例7】（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．若AB=3，BC=4，CC1A．74 B．310 C．89 【答案】A【分析】求出螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C1，以及螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1爬過的路徑的長是l1螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到爬過的路徑的長是l2l1>l故選A．【點睛】此題主要考查了長方體展開圖的對角線長度求法，這種題型經(jīng)常在中考中出現(xiàn)，也是易錯題型，希望能引起同學(xué)們的注意．【變式7-1】（2023春·安徽合肥·八年級合肥壽春中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一個圓柱形食品盒，它的高為10cm，底面圓的周長為(1)點A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對側(cè)中點B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是cm；(2)將左圖改為一個無蓋的圓柱形食品盒，點C距離下底面3cm，此時螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內(nèi)表面對側(cè)中點B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是cm【答案】28120【分析】（1）把圓柱側(cè)面展開，在Rt△ADB（2）將圓柱側(cè)面展開，得到矩形PQTA，作點B關(guān)于PQ的對稱點B'，構(gòu)造Rt△CDB【詳解】(1)如圖，把圓柱側(cè)面展開，在Rt△ADB∵AD=16cm∴AB=AD2故答案為：281．(2)如圖所示，點B與點B'關(guān)于PQ對稱，可得CD=16cm，則最短路程為CB'故答案為：20．【點睛】本題考查了勾股定理求線段最短距離，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·全國·八年級期中）愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：已知，如圖一個棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁BC的中點M，甲蟲所走的最短路程是cm【答案】16【分析】將正方形ABCD沿著CD翻折得到正方形A'B'CD，過點M在正方形ABCD內(nèi)部作MM'⊥BC，使MM'=3cm，連接QM，過M'作M'N⊥A'B'于點N，此時AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ【詳解】如圖，將正方形ABCD沿著CD翻折得到正方形A'B'CD，過點M在正方形ABCD內(nèi)部作MM'⊥BC，使MM'=3cm，連接QM，過M'作M'N⊥A'B'于點N，則四邊形MM'NB'是矩形，四邊形PQMM'∴M'N'=MB'，PM'=QM，B'N=MM'，∠A'NM'=90°，此時AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ最小，∵點M是BC中點，∴CM=1∴M'N=MB'=12cm，A'N=A'B'?B'N=5cm，在Rt△A'M'N中，A'M'=A'∴A'M'+PQ=16cm，故答案為：16．【點睛】本題考查最短路徑問題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，軸對稱性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是將立體圖形中的最短距離轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點之間線段長度進(jìn)行計算．【變式7-3】（2023春·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期末）初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運(yùn)用”，形成了空間幾何問題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解題策略．問題提出：如圖所示是放在桌面上的一個圓柱體，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，如何求最短路程呢？(1)問題分析：螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，可以有幾條路徑？在圖中畫出來；(2)問題探究：①若圓柱體的底面圓的周長為18cm，高為12cm，螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點②若圓柱體的底面圓的周長為24cm，高為4cm，螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點③若圓柱體的底面圓的半徑為r，高為?，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，求最短路程．【答案】(1)3條，圖形見解析(2)①15cm；②410【分析】（1）共有3條路徑，第一條先沿圓柱體的高爬行，再從上底面邊緣爬行；第二條先沿圓柱體的高爬行，再從上底面直徑爬行；第三條沿圓柱體側(cè)面爬行，即可；（2）①連接AB，利用兩點之間，線段最短，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，求出AB的長，即可求解；②利用兩點之間，線段最短，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，求出AB的長，即可求解；③利用兩點之間，線段最短，在Rt△ABC【詳解】（1）解：共有3條路徑，如下圖：（2）解：①如圖，連接AB，根據(jù)題意得：AC=12×18=9∴AB=A即螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，最短路