北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列7.10期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專項訓(xùn)練(北師大版)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題7.10期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專項訓(xùn)練【北師大版】考點1考點1三角形的證明解答期末真題壓軸題1．（2022春·廣東佛山·八年級校考期末）如圖，Rt△AOB在直角坐標(biāo)系中，OB在x軸上，∠A=90°，∠AOB=45°，OB=82，動點Q從點B出發(fā)沿折線BA?AO以每秒1個單位長度的速度向終點O運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒，同時動點P從點O向x軸正半軸以相同的速度運(yùn)動，當(dāng)點Q到達(dá)點O時P、(1)填空：AB=___，點A的坐標(biāo)為___；(2)當(dāng)點Q在△AOB內(nèi)角平分線上時（點Q不與點B和點O重合），求出t的值；(3)當(dāng)點Q在線段AB上且△QPB為等腰三角形時，直接寫出所有滿足條件的t的值．2．（2022秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）在等腰△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，點O、點P分別在射線AD、BA上運(yùn)動，且保證∠OCP=60°，連接OP．(1)當(dāng)點O運(yùn)動到D點時，如圖1，求AP的長度；(2)當(dāng)點O運(yùn)動到D點時，如圖1，試判斷△OPC的形狀并證明；(3)當(dāng)點O在射線AD其它地方運(yùn)動時，△OPC還滿足2的結(jié)論嗎？請用圖2說明理由．3．（2022秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，射線AD⊥BC于點D．

(1)如圖1，求∠BAD的度數(shù)；(2)若點E，F(xiàn)分別是射線AD，邊AC上的動點，AE=CF，連接BE，BF．①如圖2，連接EF，當(dāng)EF∥BC時，求②如圖3，當(dāng)BE+BF最小時，求證：∠ABF=∠DBE．4．（2022秋·貴州遵義·八年級?？计谀?）如圖1，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE=AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是______；（2）如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF>EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF=12∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF5．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：如圖，小明為測量河流寬度，在河岸的一側(cè)選定點B，河的對岸垂直于河岸的方向選定觀測目標(biāo)點A．小明沿點B所在河岸水平向右選取任意點P，繼續(xù)前行至與BP距離相等處選取點C，再沿與河岸垂直方向行走至點D，使得點D、P、A在同一直線時，測量CD的長即為河流的寬度．分析：該問題也可以理解為根據(jù)BP=CP，即P為BC的中點，過點C作CD//AB交AP于點D，從而構(gòu)造了△CDP與△BAP全等，這樣的思想是抓住線段的中點，再過線段的一端作平行線，利用平行構(gòu)造三角形全等，從而解決線段相等問題，也稱構(gòu)造“X”型全等．請運(yùn)用以上模型思想解決以下問題：等邊三角形ABC中，AB=4，點D在BC邊上，過點D作DF⊥BC，交射線BA于點F，則(1)如圖①，若DF與AC相交于點E，當(dāng)EF=ED時，AF與CD有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(2)如圖②，點G是AB邊上的中點，連接CG，交DF于點E，EF=ED，求CD的長．6．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）央視科教頻道播放的《被數(shù)學(xué)選中的人》節(jié)目中說到，“數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科最主要的特征是抽象與推理”．幾何學(xué)習(xí)尤其需要我們從復(fù)雜的問題中進(jìn)行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進(jìn)行再探究、推理，以解決新的問題．(1)【模型探究】如圖1，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE連接BE，CD．這一圖形稱“手拉手模型”．求證△ABE?△ACD，請你完善下列過程．證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠1=∠DAE?∠1（

）①即∠2=∠3在△ABE和△ACD中AB=AC∴△ABE?△ACD（

）④(2)【模型指引】如圖2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，以B為端點引一條與腰AC相交的射線，在射線上取點D，使∠ADB=∠ACB，求：∠BDC的度數(shù)．小亮同學(xué)通過觀察，聯(lián)想到手拉手模型，在BD上找一點E，使AE=AD，最后使問題得到解決．請你幫他寫出解答過程．(3)【拓展延伸】如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC為任意角度，若射線BD不與腰AC相交，而是從端點B向右下方延伸．仍在射線上取點D，使∠ADB=∠ACB，試判斷∠BAC與∠BDC有何數(shù)量關(guān)系？并寫出簡要過程．7．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有點A（0，6），B（6，0），點D為線段OB上一個動點（點D不與點O、B重合），點C在AB的延長線且CD＝AD，點C關(guān)于x軸的對稱點為M，連接DM．（1）求證：∠OAD＝∠CDB；（2）點D為OB的中點時，求點M的坐標(biāo)；（3）點D在運(yùn)動的過程中，∠ADM的值是否發(fā)生變化？如果變化，請求出∠ADM的度數(shù)的取值范圍；如果不變，請求出∠ADM的度數(shù)．8．（2022春·福建福州·八年級福建省福州第十九中學(xué)校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1:y=kx+b與x軸交于點A，與y軸交于點B．當(dāng)x>3時，y<0；當(dāng)x<3(1)求k，b的關(guān)系式（用含b的代數(shù)式表示k）；(2)若∠ABO=60°．①求直線l1②若直線l2:y=mx+m與直線l1相交，且兩條直線所夾的銳角為45°9．（2022秋·福建廈門·八年級廈門一中?？计谀?）如圖1，在△ABC中．點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，∠B=∠FDE=∠C，（2）如圖2．在△ABC中．BA=BC，∠B=45°．點D，F(xiàn)分別是邊BC、AB上的動點．且AF=2BD．以DF為腰向右作等腰△DEF．使得DE=DF，∠EDF=45°．連接①試猜想線段DC，②如圖3．已知AC=3，點G是AC的中點，連接EA，EG．求考點2考點2一元一次不等式與一元一次不等式組解答期末真題壓軸題1．（2022春·福建廈門·八年級廈門市松柏中學(xué)?？计谀┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，設(shè)一次函數(shù)y=3a+1x+5b?2的圖象是直線(1)如果直線l經(jīng)過點1，?1，求a與(2)當(dāng)直線l過點Mm?2，5b+6和點Nm+2，(3)若坐標(biāo)平面內(nèi)有點Pn?2，2n+1，不論n取何值，點P均不在直線l上，求a2．（2022春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）一條筆直跑道上的A，B兩處相距500米，甲從A處，乙從B處，兩人同時相向勻速而跑，直到乙到達(dá)A處時停止，且甲的速度比乙大．甲、乙到A處的距離y（米）與跑動時間x（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖14所示．（1）若點M的坐標(biāo)（100，0），求乙從B處跑到A處的過程中y與x的函數(shù)解析式；（2）若兩人之間的距離不超過200米的時間持續(xù)了40秒．①當(dāng)x=x1時，兩人相距200米，請在圖14中畫出P（②請判斷起跑后113．（2022春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀思考】閱讀下列材料：已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：解：∵x﹣y＝2，∴x＝y(tǒng)+2又∵x＞1∴y+2＞1∴y＞﹣1又∵y＜0∴﹣1＜y＜0①同理1＜x＜2②由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2【啟發(fā)應(yīng)用】請按照上述方法，完成下列問題：已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，則x+y的取值范圍是；【拓展推廣】請按照上述方法，完成下列問題：已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，試確定x﹣y的取值范圍．4．（2022春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）單位組織員工自駕游，并打算在一家租車公司租用同一品牌同款的5座或7座越野車組成一個車隊．該租車公司同品牌同款的7座越野車的日租金比5座的多300元．已知該單位參加自駕游的員工共有40人，其中10人可以擔(dān)任司機(jī)，但這10人中至少需要留出3人做為機(jī)動司機(jī)，以備輪換替代．（1）有人建議租8輛5座的越野車，剛好可以載40人．他的建議合理嗎？請說明理由；（2）請為該單位設(shè)計一種租車方案，使車隊租車的日租金最少，并說明理由5．（2022春·甘肅蘭州·八年級?？计谀┤绻辉淮畏匠痰慕馐且辉淮尾坏仁浇M的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，如：方程x?1=0就是不等式組x+1>0x?2<0(1)方程①3x+2=0，②x?3x?1=?4是不等式是(2)若關(guān)于x的方程2x+k=1（k為整數(shù)）是不等式組x?1<12x?2≥?3x?1(3)若方程9?x=2x，9+x=2x+52都是關(guān)于x的不等式組x+m<2x6．（2022秋·安徽阜陽·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知直線y=?43x+4分別與x，y軸交于點A、B，與直線y=kx相交于點C(2,n)，點P(1)求n和k的值；(2)若點P在射線CA上，且SΔPOC=2(3)觀察函數(shù)圖象，請直接寫出不等式?47．（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y1=ax+b的圖象分別交x軸和y軸于B，D兩點，另一個一次函數(shù)y2=bx+a的圖象分別交x軸和y軸于C，(1)當(dāng)a，b為何值時，y1與y(2)當(dāng)DE=2時，求△ABC的面積；(3)當(dāng)0<a<4，且使得x<1時，始終有y1>y8．（2022秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如果關(guān)于x的不等式|x﹣2|+|x+3|≥a對于x取任意數(shù)都成立，則a的取值范圍是多少？并說明理由．9．（2022春·北京東城·八年級北京二中校考期末）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象交x軸于點A，OA=4，與正比例函數(shù)y=3x的圖象交于點B，B點的橫坐標(biāo)為1．(1)求一次函數(shù)y=kx+b的解析式；(2)請直接寫出kx+b<3x時自變量x的取值范圍；(3)若點P在y軸上，且滿足△APB的面積是△AOB面積的一半，求點P的坐標(biāo)．考點3考點3圖形的平移與旋轉(zhuǎn)解答期末真題壓軸題1．（2022春·山東濟(jì)南·八年級校考期末）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，△ABC的頂點均在格點上，在建立平面直角坐標(biāo)系后，點C的坐標(biāo)為(4,?1)．(1)將△ABC向左平移6個單位得到△A1B(2)以原點O為對稱中心，畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A(3)若點P為y軸上存一動點，則PA+PC的最小值為；2．（2022春·河南鄭州·八年級校聯(lián)考期末）將一副直角三角板如圖1，擺放在直線MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不動，將三角板ABC繞點C以每秒5°的速度，順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)AC與射線CN重合時停止旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，當(dāng)AC為∠DCE的角平分線時，求此時t的值；(2)當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)至∠DCE的內(nèi)部時，求∠DCA與∠ECB的數(shù)量關(guān)系；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板ABC的其中一邊平行于三角板EDC的某一邊時，求此時t等于（直接寫出答案即可）．3．（2022春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）【背景】如圖1-1所示，點B在線段AC上，分別以AB，CB為一邊，在線段AC的上方作等邊三角形ABD和等邊三角形CBE，連接AE，CD，它們交于點F，容易判斷，AE與CD的數(shù)量關(guān)系為______，它們所夾銳角∠AFD的大小為______度．【探究】把圖1-1中的等邊三角形CBE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，變成圖1-2，線段AE的延長線與CD交于點F．請你判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系及∠AFD的大小，并給出證明過程．【應(yīng)用】如圖1-3所示，點P在線段AN上，PA=3，PN=2，在AN的上方作等邊三角形PQT（△PQT的大小和位置可以改變），連接AQ，NT．請直接寫出AQ+NT的最小值，不用表述理由．4．（2022春·陜西西安·八年級西安市曲江第一中學(xué)?？计谀┤鐖D1，△ABC為等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°．(1)如圖1，點D為斜邊AC上一動點（點D不與線段AC兩端點重合），將BD繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)90°到BE，連接AE、EC、ED．求證：∠BCE=∠BAD．(2)問題遷移：在（1）的條件下，若AC2=50，請直接寫出AE+BE(3)問題解決：如圖2，點D為等腰直角三角形斜邊AC上一點，若AD=2，CD=6，求BD的長．5．（2022春·廣東佛山·八年級期末）已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是射線BC上的動點，將線段AD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接CE．(1)如圖1，求證：CE=BD；(2)當(dāng)BD等于多少時，∠DEC=30°；(3)點D在運(yùn)動過程中，△DEC的周長是否存在最小值？若存在．試求出△DEC的周長（直接寫出結(jié)果）6．（2022春·廣東佛山·八年級佛山市順德區(qū)梁開初級中學(xué)校聯(lián)考期末）綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，點D在等邊△ABC的邊BC上，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE．試猜想BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(1)獨立思考：請解答老師提出的問題；(2)實踐探究：希望小組受到啟發(fā)，如圖2，點D為等邊△ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE，若BD的延長線經(jīng)過點E，求∠BEC的度數(shù)．(3)問題解決：智慧小組突發(fā)奇想，如圖3，點D為等邊△ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE，BD的延長線與CE交于點F，連接FA．智慧小組對該圖形進(jìn)行探究，得出結(jié)論：∠BFC=∠AFB=∠AFE．智慧小組的結(jié)論是否正確？若正確，請給出證明；若不正確，請說明理由．7．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）（1）將一次函數(shù)y=?2x+4的圖像沿著y軸向下平移3個單位長度，所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；[進(jìn)一步思考]（2）將一次函數(shù)y=?2x+4的圖像沿著x軸向左平移3個單位長度，求所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．?dāng)?shù)學(xué)活動小組發(fā)現(xiàn)，圖像的平移就是點的平移，因此，只需要在圖像上任取兩點A0，4，B2，0，將它們沿著x軸向左平移3個單位長度，得到點A'、點B'的坐標(biāo)分別為、[深度思考]（3）我們知道，平移、翻折、旋轉(zhuǎn)是3種基本的圖形運(yùn)動．你能求出將直線對稱、旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式嗎？①將一次函數(shù)y=?2x+4的圖像關(guān)于x軸對稱，求所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（寫出解答過程）；②如圖①，若一次函數(shù)y=?2x+4的圖像與y軸的交點為點A，則將直線y=?2x+4繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；③如圖②，若一次函數(shù)y=?2x+4的圖像與y軸的交點為點A，則將直線y=?2x+4繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．8．（2022秋·福建泉州·八年級校聯(lián)考期末）在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α0°<a<90°，得到線段CD，連接(1)如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB=________°；(2)如圖2，將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r，①求證：∠ADB=45°；②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連接BE，如圖3.用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.9．（2022秋·北京·八年級?？计谀τ谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中的點P和圖形W，給出如下定義：圖形W關(guān)于經(jīng)過點m,0且垂直于x軸的直線的對稱圖形為W'，若點P恰好在圖形W'上，則稱點P是圖形W關(guān)于點(1)若點P是點Q3,2關(guān)于原點的“關(guān)聯(lián)點”，則點P(2)如圖，在△ABC中，A1,1，B6,0，①點C關(guān)于x軸的對稱點為C'，將線段BC'沿x軸向左平移dd>0個單位長度得到線段EF（E，F(xiàn)分別是點B，C'的對應(yīng)點），若線段EF上存在兩個△ABC②已知點Mm+1,0和點Nm+3,0，若線段MN上存在△ABC關(guān)于點m,0的“關(guān)聯(lián)點”，則10．（2022秋·上海虹口·八年級?？计谀┬⑼瑢W(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖1、圖2．圖1中，∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm；圖2中，∠D=90°，∠E=45°，DE=3圖3是小劉同學(xué)所做的一個實驗：他將ΔDEF的直角邊DE與ΔABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF的直角邊DE與ΔABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上（移動開始時點D(1)在△DEF沿AC方向移動的過程中，小劉同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸；（填“不變”、“變大”或“變小”)(2)小劉同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步研究，編制了如下問題：問題①：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平行？問題②：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？請你分別完成上述兩個問題的解答過程．考點4考點4因式分解解答期末真題壓軸題1．（2022春·廣東佛山·八年級佛山市華英學(xué)校?？计谀┎牧希簩σ粋€圖形通過兩種不同的方法計算它的面積或體積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．(1)如圖1，將一個邊長為a的正方形紙片剪去-一個邊長為b的小正方形，根據(jù)剩下部分的面積，可得一個關(guān)于a，b的等式：__________．請類比上述探究過程，解答下列問題：(2)如圖2，將一個棱長為a的正方體木塊挖去一個棱長為b的小正方體，根據(jù)剩下部分的體積，可以得到等式：a3?b(3)根據(jù)以上探究的結(jié)果，①如圖3所示，拼疊的正方形邊長是從1開始的連續(xù)奇數(shù)．．．，按此規(guī)律拼疊到正方形ABCD，其邊長為19，求陰影部分的面積．②計算：2112．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）有足夠多的長方形和正方形卡片（如圖1），分別記為1號，2號，3號卡片．(1)如果選取4張3號卡片，拼成如圖2所示的一個正方形，請用2種不同的方法表示陰影部分的面積（用含m，n的式子表示）．方法1：__________________________________________________．方法2：__________________________________________________．(2)若a+b?6+ab?4=0(3)如圖3，選取1張1號卡片，2張2號卡片，3張3號卡片，可拼成一個長方形（無縫隙不重疊），根技圖形的面積關(guān)系，因式分解：m23．（2022秋·重慶大足·八年級統(tǒng)考期末）已知一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)M=abcda>c，以它的百位數(shù)字作為十位，個位數(shù)字作為個位，組成一個新的兩位數(shù)s，若s等于M的千位數(shù)字與十位數(shù)字的平方差，則稱這個數(shù)M為“平方差數(shù)”，將它的百位數(shù)字和千位數(shù)字組成兩位數(shù)ba，個位數(shù)字和十位數(shù)字組成兩位數(shù)dc，并記例如：6237是“平方差數(shù)”，因為62此時T6237又如：5135不是“平方差數(shù)”，因為52(1)判斷7425是否是“平方差數(shù)”？并說明理由；(2)若M=abcd是“平方差數(shù)”，且TM比M的個位數(shù)字的9倍大30，求所有滿足條件的“平方差數(shù)”4．（2022秋·河北邯鄲·八年級校考期末）閱讀材料：我們把多項式a2+2ab+b2及a2?2ab+b2叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：x2+2x?3=x2+2x+1?4=(x+1)根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：a2(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2?4a+b(3)當(dāng)x、y為何值時，多項式?x5．（2022春·重慶大渡口·八年級?？计谀┤粢粋€正整數(shù)a可以表示為a=b+1b?2，其中b為大于2的正整數(shù)，則稱a為“十字?jǐn)?shù)”，b為a的“十字點”．例如(1)“十字點”為7的“十字?jǐn)?shù)”為；130的“十字點”為(2)若b是a的“十字點”，且a能被7整除，其中b為大于2且小于15的正整數(shù)，求a的值．(3)m的“十字點”為p，n的“十字點”為q，當(dāng)m?n=18時，求p+q的值．6．（2022春·重慶南岸·八年級重慶市第十一中學(xué)校校考期末）若一個正整數(shù)m是兩個連續(xù)奇數(shù)或連續(xù)偶數(shù)的乘積，即m=nn+2，其中n為正整數(shù)，則稱m為“半平分?jǐn)?shù)”，n為m的“半平分點”．例如，35=5×7(1)k是80的“半平分點”，則k=______；a的“半平分?jǐn)?shù)”“半平分點”為1，則a=______；當(dāng)kx+a為正整數(shù)時，整數(shù)x=(2)把“半平分?jǐn)?shù)”x與“半平分?jǐn)?shù)”y的差記為Ex,y，其中x>y，Ex,y>0，例如，24=4×6，15=3×5，則E24,15=24?15=9．若“半平分?jǐn)?shù)”x的“半平分?jǐn)?shù)”為s，“半平分?jǐn)?shù)”y的“半平分點”為t7．（2022秋·遼寧大連·八年級校考期末）做一做計算：探究歸納，如圖甲、圖乙是兩個長和寬都相等的長方形，其中長為(x+a)，寬為(x+b)．(1)根據(jù)圖甲、圖乙的特征用不同的方法計算長方形的面積，得到關(guān)于字母x的系數(shù)是1的兩個一次式相乘的計算規(guī)律，用數(shù)學(xué)式表達(dá)式為．嘗試運(yùn)用，利用因式分解與整式乘法的關(guān)系，我們可以利用上述表達(dá)式得到一些二次三項式的因式分解．(2)若x2?7x+m=(x?9)(x+2)，則m=(3)若x2+px?4可以分解成關(guān)于x的兩個一次式乘積的形式，則整數(shù)p的值一定是(4)若x2?4x+q可以分解成關(guān)于x的兩個一次式乘積的形式，則整數(shù)q的值一定是A．4

B．0

C．有限個

D．有無數(shù)個8．（2022秋·福建泉州·八年級校聯(lián)考期末）先閱讀理解下面例題，再按要求解答下列問題：例：解不等式x2解：∵x2∴原不等式可化為(x+3)(x?3)<0．由有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，異號得負(fù)，得：①x+3>0x?3<0

，或②x+3<0解不等式組①得?3<x<3，解不等式組②無解，∴原不等式x2?9<0的解集為請你模仿例題的解法，解決下列問題：(1)不等式x2?4>0解集為(2)不等式x2+3x≤0解集為(3)拓展延伸：解不等式x?5x+39．（2022春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．例1用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴當(dāng)a＝b＝1時，M有最小值1．請根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a+1，則M的最小值為________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，則a＋b＋c的值為________；10．（2022秋·全國·八年級期末）我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定；Fn=pq，例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12?1>6?2>4?3，所以(1)求F24(2)如果一個正整數(shù)mm>1只有1與m本身兩個正因數(shù)，則m稱為質(zhì)數(shù)．若質(zhì)數(shù)m滿足Fm+4=1(3)是否存在正整數(shù)n滿足Fn=Fn+12考點5考點5分式與分式方程解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇·八年級期末）我們定義：形如x+mnx=m+n（m，n不為零），且兩個解分別為x例如x+6x=5為十字分式方程，可化為x+2×3x再如x+7x=?8為十字分式方程，可化為x+?1×應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：(1)若x+12x=?7為十字分式方程，則x(2)若十字分式方程x?6x=?5的兩個解分別為x1=a(3)若關(guān)于x的十字分式方程x?2023k?2022k2x?1=2023k?2022的兩個解分別為x1，x22．（2022春·江蘇·八年級期末）某廠家接到定制5400套防護(hù)服任務(wù)，可以選擇甲、乙兩條流水線中的一條承擔(dān)此任務(wù)，已知乙流水線每天比甲流水線多加工90套防護(hù)服，甲流水線加工這批防護(hù)服所花的時間比乙流水線多10天，且甲、乙兩條流水線每天的生產(chǎn)成本分別為0.6萬元與0.8萬元，問廠家選擇哪條流水線可使生產(chǎn)成本較?。繛槭裁?？3．（2022秋·福建福州·八年級福州三牧中學(xué)校考期末）閱讀：在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”，例如：x?1x+1，x2x+2這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”，例如：1x+1，x2x2請根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)填空：①分式2x+2②把下列假分式化成一個整式與一個真分式的和（差）的形式：x2(2)把分式x2+2x?13x?3(3)一個三位數(shù)m，個位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍．另一個兩位數(shù)n，十位數(shù)字與m的百位數(shù)字相同，個位數(shù)字與m的十位數(shù)字相同．若這個三位數(shù)的平方能被這個兩位數(shù)整除，求滿足條件的兩位數(shù)n．4．（2022春·江蘇·八年級期末）如果兩個分式M與N的和為常數(shù)k，且k正整數(shù)，則稱M與N互為“和整分式”，常數(shù)k稱為“和整值”．如分式M=xx+1，N=1x+1，M+N=x+1x+1=1(1)已知分式A=x?7x?2，B=x2+6x+9x2(2)已知分式C=3x?4x?2，D=Gx2?4，C與D互為“和整分式”，且“和整值”k=3，若①求G所代表的代數(shù)式；②求x的值；(3)在（2）的條件下，已知分式P=3x?5x?3，Q=mx?33?x，且P+Q=t，若該關(guān)于5．（2022秋·湖北武漢·八年級校考期末）杭州絲綢歷史悠久，質(zhì)地輕軟，色彩綺麗，早在漢代，就已通過“絲綢之路”遠(yuǎn)銷國外．小汪在網(wǎng)上開設(shè)杭州絲綢專賣店，專賣絲巾、旗袍等，發(fā)現(xiàn)一張進(jìn)貨單上的一個信息是：A款絲巾的進(jìn)貨單價比B款絲巾多40元，花960元購進(jìn)A款絲巾的數(shù)量與花720元購進(jìn)B款絲巾的數(shù)量相同．(1)問A，B款絲巾的進(jìn)貨單價分別是多少元？(2)小汪在銷售單上記錄了兩天的數(shù)據(jù)，如下表所示：日期A款絲巾（條）B款絲巾（條）銷售總額（元）12月10日46216012月11日683040問：兩款絲巾的銷售單價分別是多少？(3)根據(jù)（1）（2）所給的信息，小汪要花費(fèi)1400元購進(jìn)A，B兩款絲巾若干條，問：有哪幾種進(jìn)貨方案？根據(jù)計算說明哪種進(jìn)貨方案的總利潤最高．6．（2022秋·北京東城·八年級北京市第五中學(xué)分校?？计谀τ趦蓚€不相等的非零實數(shù)m、n，分式(x?m)(x?n)x的值為零，則x=m或x=n，又因為(x?m)(x?n)x=x2?(m+n)x+mnx=x+mn(1)方程x+6x=7有兩個解，分別為x(2)關(guān)于x的方程x+m?nmnx=m+4mn?n2mn的兩個解分別為x1，x2，若x1與(3)關(guān)于x的方程3x+n2?n3x?1=2n的兩個解分別為x1，7．（2022春·吉林長春·八年級?？计谀╅喿x理解：材料1：已知x+1x=3解：活用倒數(shù)，∵x2∴xx材料2：將分式x2解：由分母x+1，可設(shè)x2?x+3=(x+1)(x+a)+b，則∵對于任意x上述等式成立，∴a+1=?1,a+b=3.解得∴x2根據(jù)材料，解答下面問題：(1)已知a+1a=5，則分式a(2)已知b?1b=?3(3)已知x+1x?2=?738．（2022春·江蘇·八年級期末）如果一個自然數(shù)M各個數(shù)位均不為0，且能分解成A×B，其中A和B都是兩位數(shù)，且A十位比B的十位數(shù)字大1，A和B的個位數(shù)字之和為9，則稱M為“九九歸一數(shù)”，把M分解成A×B的過程稱為“九九歸一分解”．例如：∵368=23×16，2?1=1，3+6=9，∴368是“九九歸一數(shù)”；∵1632=57×32，5?3≠1，2+7=9，∴1632不是“九九歸一數(shù)”．(1)判斷378和297是否是“九九歸一數(shù)”？并說明理由；(2)把一個“九九歸一數(shù)”M進(jìn)行“九九歸一數(shù)分解”，即為M=A×B，A的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的和記為SM；A的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的差記TM．且S(M)T(M)9．（2022秋·湖南懷化·八年級?？计谀┨骄款}：觀察下列各式的變化規(guī)律，然后解答下列問題：1(1)計算：若n為正整數(shù)，猜想1n(2)1(3)若ab?2+b?1=010．（2022秋·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）某同學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中，遇到這樣的問題：求A=24×1先看一般情形：1a再看特殊情形：當(dāng)a=3時，12當(dāng)a=4時，12老師講解到這里時，該同學(xué)說：“老師我知道怎么做了．”(1)請你通過化簡，說明一般情形12(2)請你完成該同學(xué)的解答．考點6考點6平行四邊形解答期末真題壓軸題1．（2022春·北京·八年級校聯(lián)考期末）已知?ABCD中，AE⊥BC于點E，AE=AD．(1)如圖1，若DF平分∠ADC交線段AE于點F．①當(dāng)BE=2，∠ADC=60°時，CD=______，AF=______；②如圖2，若0°<∠ADC<90°，且∠ADC≠60°，試探究線段CD，AF，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)如圖3，若點P為線段AD上一動點，EP⊥PM，EP=PM．連接AM，點Q是AM中點，且AD=2，當(dāng)點P從A點運(yùn)動到D點時，點Q的運(yùn)動路徑長為______．（直接寫出答案）2．（2022春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）平行四邊形ABCD中，點C關(guān)于AD的對稱點為E，連接DE，BE，BE交AD于點F．(1)如圖1，若∠ADC=90°，試說明點F為BE的中點；(2)如圖2，若∠ABC=α(0°<α<90°)．①試判斷點F是否為BE的中點？并說明理由；②若∠ABC=45°，延長BA，DE交于點H，求3．（2022春·甘肅天水·八年級天水市逸夫?qū)嶒炛袑W(xué)?？计谀┮阎叫兴倪呅蜛BCD中，一動點P在AD邊上，以每秒1cm的速度從點A向點D(1)如圖①，運(yùn)動過程中，若CP平分∠BCD，且滿足CD=CP，求∠ABC的度數(shù)．(2)如圖②，在（1）問的條件下，連接BP并延長，與CD的延長線交于點F，連接AF，若△PCD的面積等于S，求△APF的面積．（用含S的式子表示）(3)如圖③，另一動點Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在BC間往返運(yùn)動，兩個點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點D時停止運(yùn)動（同時Q點也停止），若AD=12cm，則t為何值時，以P，D，Q，4．（2022春·貴州黔東南·八年級校聯(lián)考期末）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形的經(jīng)驗，對平行四邊形進(jìn)行了拓展探究．【問題探究】如圖1，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：(1)在網(wǎng)格中找一點D，畫線段CD∥BA且使CD=BA，連接(2)在括號內(nèi)填寫根據(jù)：∵CD∥BA且CD＝∴四邊形ABCD是平行四邊形（____________）【拓展延伸】(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=8厘米，AD=9厘米，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以2厘米/秒的速度由點A向點D運(yùn)動，點Q以1厘米/秒的速度由點C向點B運(yùn)動．當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運(yùn)動．請問：經(jīng)過幾秒，直線PQ將四邊形5．（2022春·廣東深圳·八年級深圳實驗學(xué)校中學(xué)部?？计谀┤鐖D，?ABCD中，∠A=45°，∠ABD=90°，點F為平行四邊形外一點，連接CF、BF，且BF⊥CF于點F．(1)如圖1，若S?ABCD=169(2)如圖2，延長BF、DC交于點E，過點D作DG⊥DF交FC的延長線于點G，若C為DE的中點，求證：CG=CF+EF．6．（2022春·浙江舟山·八年級校聯(lián)考期末）已知在平行四邊形ABCD中，E是邊AD的中點，F(xiàn)是邊AB上一動點．(1)如圖1，連接FE并延長交CD的延長線于點G，求證：E是FG的中點；(2)如圖2，若CF⊥AB，AD=2AB，求證：∠DEF=3∠AFE；(3)如圖3，若CF⊥AB，AD=2AB=4，∠B=60°時，K是射線CD上一個動點，將EK逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EM，連接FM，求FM的最小值．7．（2022春·全國·八年級期末）如圖①所示，?ABCD是某公園的平面示意圖，A、B、C、D分別是該公園的四個入口，兩條主干道AC、BD交于點O，請你幫助公園的管理人員解決以下問題：(1)若AB=1km，AC=2.4km，BD=2km，公園的面積為(2)在（1）的條件下，如圖②，公園管理人員在參觀了武漢東湖綠道后，為提升游客游覽的體驗感，準(zhǔn)備修建三條綠道AN、MN、CM，其中點M在OB上，點N在OD上，且BM=ON（點M與點O、B不重合），并計劃在ΔAON與Δ(3)若將公園擴(kuò)大，此時AB=2km，AC=4km，8．（2022秋·全國·八年級期末）閱讀材料：(1)如圖1，BD，CE是等邊△ABC的角平分線，BD，CE相交于點F，連接AF，易得：AF平分∠EFD，EF+DFAF（填“＞”，“＜”或“＝”）．(2)實踐操作：如圖2，四邊形ABDC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∠BDC＝120°．試確定BD，CD，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展探究：如圖3，四邊形ABDC中，AB＝AC，∠BAC+∠BDC＝180°，求證：AD平分∠BDC．9．（2022秋·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期末）四邊形ABCD中，∠BAD的平分線與邊BC交于點E；∠ADC的平專題7.10期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專項訓(xùn)練【北師大版】考點1考點1三角形的證明解答期末真題壓軸題1．（2022春·廣東佛山·八年級?？计谀┤鐖D，Rt△AOB在直角坐標(biāo)系中，OB在x軸上，∠A=90°，∠AOB=45°，OB=82，動點Q從點B出發(fā)沿折線BA?AO以每秒1個單位長度的速度向終點O運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒，同時動點P從點O向x軸正半軸以相同的速度運(yùn)動，當(dāng)點Q到達(dá)點O時P、(1)填空：AB=___，點A的坐標(biāo)為___；(2)當(dāng)點Q在△AOB內(nèi)角平分線上時（點Q不與點B和點O重合），求出t的值；(3)當(dāng)點Q在線段AB上且△QPB為等腰三角形時，直接寫出所有滿足條件的t的值．【答案】(1)8，4(2)16?82或8或(3)42或16?82【分析】(1)根據(jù)勾股定理，得到AB2+AO2(2)分點Q在∠AOB,∠OAB,∠ABO的角平分線上求解即可．(3)分PB=BQ,PQ=BQ,PB=PQ三種情形求解即可．【詳解】（1）∵∠A=90°，∠AOB=45°，OB=82∴AB=AO，AB∴AB解得AB=8,AB=?8（舍去）；過點A作AM⊥OB于點M，則OM=AM=MB=1∴A4故答案為：8，42（2）當(dāng)點Q位于∠AOB的角平分線上時，過點Q作QF⊥OB于點F，∵QF⊥OB，QA⊥OA，∴QA=QF，根據(jù)題意，得QB=t，∵∠AOB=45°，∴∠FQB=45°，∴FB=QF，∴QF解得QF=2∵QB+∴22解得t=16?82當(dāng)點Q位于∠OAB的角平分線上時，此時點A與點Q重合，∴t=8；當(dāng)點Q位于∠ABO的角平分線上時，過點Q作QH⊥OB于點H，∵QH⊥OB，QA⊥AB，∴QA=QH，∵∠AOB=45°，∴∠OQH=∠BOA=45°，OQ=16?t，∴HO=HQ，∴HO解得QH=2∵QO+∴22解得t=82綜上所述，當(dāng)t=82或t=16?82或t=8時，點Q在在（3）當(dāng)PB=BQ時，根據(jù)題意，得QB=PB=OP=t，∵OP+PB=OB，∴t+解得t=4當(dāng)PQ=PB時，根據(jù)題意，得OP=BQ=t，∵∠ABO=45°，∴∠PQB=45°，PQ=PB=82∵PQ∴BQ=2∴t=2解得t=162當(dāng)PQ=BQ時，根據(jù)題意，得OP=BQ=t，∵∠ABO=45°，∴∠QPB=45°，∠PQB=90°，PB=82∴QP∴PB=2∴2t=8解得t=16?82綜上所述，當(dāng)t=42或t=16?82或t=162【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，勾股定理，分類思想，角的平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）在等腰△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，點O、點P分別在射線AD、BA上運(yùn)動，且保證∠OCP=60°，連接OP．(1)當(dāng)點O運(yùn)動到D點時，如圖1，求AP的長度；(2)當(dāng)點O運(yùn)動到D點時，如圖1，試判斷△OPC的形狀并證明；(3)當(dāng)點O在射線AD其它地方運(yùn)動時，△OPC還滿足2的結(jié)論嗎？請用圖2說明理由．【答案】(1)2(2)等邊三角形，見詳解(3)滿足，見詳解【分析】（1）證明△ACD≌△ACP，得到AD=AP，然后求AD即可；（2）根據(jù)（1）可得：DC=CP=OC，即可得出為等邊三角形；（3）過C作CE⊥AP于E，證得∴△OCD≌△PCE，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵AB=AC=4，∠BAC=120°，∴∠B=∠ACB=30°，∵∠OCP=60°，∴∠ACP=30°，∵∠CAP=180°?∠BAC=60°，∵AD⊥BC，AB=AC，∴∠DAC=∠BAD=60°，在△ADC與△APC中，∠PAC=∠DACAC=AC∴△ACD≌△ACP(ASA∴AD=AP，∵AC=4，∠ACD=30°，∴AD=1∴AP=2；（2）解：△OPC是等邊三角形．證明：∴△ACD≌△ACP，∴DC=CP=OC，∵∠OCP=60°，∴△OPC是等邊三角形．（3）解：△OPC還滿足2的結(jié)論，理由：過C作CE⊥AP于E，∵∠CAD=∠EAC=60°，AD⊥CD，∴CD=CE，∴∠DCE=60°，∴∠OCE=∠PCE，在△OCD與△PCE中，∠PEC=∠ODC=90°∠OCD=∠PCE∴△OCD≌△PCE(AAS∴OC=OP，∴△OPC是等邊三角形．【點睛】本題考查了動點問題，相關(guān)知識點有：全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)與判定等，準(zhǔn)確找到全等三角形是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，射線AD⊥BC于點D．

(1)如圖1，求∠BAD的度數(shù)；(2)若點E，F(xiàn)分別是射線AD，邊AC上的動點，AE=CF，連接BE，BF．①如圖2，連接EF，當(dāng)EF∥BC時，求②如圖3，當(dāng)BE+BF最小時，求證：∠ABF=∠DBE．【答案】(1)∠BAD=45°(2)①∠EBD=22.5°；②見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行解答即可；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出AG=AF，得出BG=CF，根據(jù)等腰三角形的判定得出AE=GE，即可證明BG=GE，得出∠GBE=∠GEB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠GEB=∠EBD，證明∠GBE=∠EBD，根據(jù)∠GBE+∠EBD=45°即可得出答案；②過點C作CM⊥BC，在CM上截取CG=AB，證明△ABE≌△CGF，得出BE=GF，從而得出BE+BF=BF+FG，B、F、G在同一直線上時，BF+FG最小，即BE+BF最小，連接BG交AC于一點，該點即為F，交AD于點H，證明∠HBE=∠HAF，得出∠HBE=45°，證明∠ABD=∠HBE，得出∠ABF+∠FBC=∠FBC+∠DBE，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠BAD=1（2）解：①延長FE交AB于點G，如圖所示：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=1∵EF∥∴∠AGF=∠ABC=45°，∠AFG=∠ACB=45°，∴∠AGF=∠AFG，∴AG=AF，∴AB?AG=AC?AF，∴BG=CF，∵∠AGE=∠GAE=45°，∴AE=GE，∵AE=CF，∴BG=GE，∴∠GBE=∠GEB，∵EF∥∴∠GEB=∠EBD，∴∠GBE=∠EBD，∵∠GBE+∠EBD=45°，∴∠EBD=22.5°；②過點C作CM⊥BC，在CM上截取CG=AB，如圖所示：∵∠BCG=90°，∠BCA=45°，∴∠ACG=45°，∵∠BAD=45°，∴∠ACG=∠BAD，∵AB=CG，AE=CF，∴△ABE≌△CGF，∴BE=GF，∴BE+BF=BF+FG，∴B、F、G在同一直線上時，BF+FG最小，即BE+BF最小，連接BG交AC于一點，該點即為F，交AD于點H，如圖所示：∵△ABE≌△CGF，∴∠AEB=∠CFG，∵∠AFH=∠CFG，∴∠AEB=∠AFH，∵∠BHE=∠AHF，又∵∠HBE+∠BEH+∠BHE=180°，∠AHF+∠AFH+∠HAF=180°，∴∠HBE=∠HAF，∵∠HAF=1∴∠HBE=45°，∵∠ABD=45°，∴∠ABD=∠HBE，∴∠ABF+∠FBC=∠FBC+∠DBE，∴∠ABF=∠DBE．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．4．（2022秋·貴州遵義·八年級?？计谀?）如圖1，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE=AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是______；（2）如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF>EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF=12∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF【答案】（1）1<AD<7；（2）見詳解（3）EF=AF+CE，證明見詳解【分析】（1）證明△BDA≌△CDE，推導(dǎo)EC=AB，在△ACE中利用三角形三邊關(guān)系確定AD的取值范圍；（2）延長ED到H，使得DH=DE，連接DH、FH，證明△BDE≌△CDH，推導(dǎo)BE=CH，再借助垂直平分線的性質(zhì)證明EF=HF，在△CFH中利用三角形三邊關(guān)系確定求證BE+CF>EF；（3）結(jié)論：EF=AF+CE．延長BC至H，使得CH=AF，連接DH，依次證明△DAF≌△DCH和△EDF≌△EDH，推導(dǎo)EF=EH，由EH=CE+CH=CE+AF即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，又∵DE=AD，∠BDA=∠CDE，∴△BDA≌△CDE(SAS)，∴EC=AB=6，∵AC?EC<AE<AC+EC，即8?6<2AD<8+6，∴1<AD<7．故答案為：1<AD<7；（2）如圖4，延長ED到H，使得DH=DE，連接DH、FH，∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴BE=CH，∵DE⊥DF，DH=DE，∴EF=HF，∵在△CFH中，CH+CF>HF，∴BE+CF>EF；（3）結(jié)論：EF=AF+CE．證明：如圖5，延長BC至H，使得CH=AF，連接DH，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCH=180°，∴∠A=∠DCH，∵AF=CH，DA=DC，∴△DAF≌△DCH(SAS)，∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，∵∠EDF=1∴∠EDF=1∴∠EDF=∠FDH，∵DE=DE，∴△EDF≌△EDH(SAS)，∴EF=EH，∵EH=CE+CH=CE+AF，∴EF=AF+CE．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，解題關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．5．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：如圖，小明為測量河流寬度，在河岸的一側(cè)選定點B，河的對岸垂直于河岸的方向選定觀測目標(biāo)點A．小明沿點B所在河岸水平向右選取任意點P，繼續(xù)前行至與BP距離相等處選取點C，再沿與河岸垂直方向行走至點D，使得點D、P、A在同一直線時，測量CD的長即為河流的寬度．分析：該問題也可以理解為根據(jù)BP=CP，即P為BC的中點，過點C作CD//AB交AP于點D，從而構(gòu)造了△CDP與△BAP全等，這樣的思想是抓住線段的中點，再過線段的一端作平行線，利用平行構(gòu)造三角形全等，從而解決線段相等問題，也稱構(gòu)造“X”型全等．請運(yùn)用以上模型思想解決以下問題：等邊三角形ABC中，AB=4，點D在BC邊上，過點D作DF⊥BC，交射線BA于點F，則(1)如圖①，若DF與AC相交于點E，當(dāng)EF=ED時，AF與CD有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(2)如圖②，點G是AB邊上的中點，連接CG，交DF于點E，EF=ED，求CD的長．【答案】(1)AF=CD，理由見解析(2)12【分析】（1）過點D作DG∥AB交AC于點G，可證△AEF≌△GED，得到AF=GD，從而△GDC是等邊三角形，GD=DC，即可得到結(jié)論；（2）過點D作DH∥AB交GC于點H，可證△FGE≌△DHE，得出GF=DH，設(shè)DH=GF=x，CD=2x，BD=12x+2，列得方程為（1）AF=CD．理由如下：過點D作DG∥AB交AC于點G，∴∠AFE=∠GDE，∠B=∠GDC，∠BAC=∠DGC,在△AEF和△GED中，∠AFE=∠GDE∴△AEF≌△GED（ASA），∴AF=GD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=∠BAC=60°，∴∠GDC=∠DGC=60°，∴△GDC是等邊三角形，∴GD=DC，∴AF=CD．（2）過點D作DH∥AB交GC于點H，∴∠BGH=∠DHC，∠GFE=∠EDH．同（1）得，△FGE≌△DHE（ASA），∴GF=DH．∵△ABC是等邊三角形，G為AB的中點，AB=4，∴CG⊥AB,AG=GB=12AB=2，∠BCG=12∠BCA=30°，AB=∴∠BGC=90°，設(shè)DH=GF=x，∵∠DHC=∠BGC=90°，∠BDF=90°，∠DCH=30°，∠BFD=30°，∴CD=2x，BD=12∵BD+CD=BC=4，∴2x+1∴x=6∴CD=2×6【點睛】本次考查了全等三角形、等邊三角形、30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做出輔助線構(gòu)造全等三角形．6．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）央視科教頻道播放的《被數(shù)學(xué)選中的人》節(jié)目中說到，“數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科最主要的特征是抽象與推理”．幾何學(xué)習(xí)尤其需要我們從復(fù)雜的問題中進(jìn)行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進(jìn)行再探究、推理，以解決新的問題．(1)【模型探究】如圖1，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE連接BE，CD．這一圖形稱“手拉手模型”．求證△ABE?△ACD，請你完善下列過程．證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠1=∠DAE?∠1（

）①即∠2=∠3在△ABE和△ACD中AB=AC∴△ABE?△ACD（

）④(2)【模型指引】如圖2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，以B為端點引一條與腰AC相交的射線，在射線上取點D，使∠ADB=∠ACB，求：∠BDC的度數(shù)．小亮同學(xué)通過觀察，聯(lián)想到手拉手模型，在BD上找一點E，使AE=AD，最后使問題得到解決．請你幫他寫出解答過程．(3)【拓展延伸】如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC為任意角度，若射線BD不與腰AC相交，而是從端點B向右下方延伸．仍在射線上取點D，使∠ADB=∠ACB，試判斷∠BAC與∠BDC有何數(shù)量關(guān)系？并寫出簡要過程．【答案】(1)等量代換，∠2=∠3，AE=AD，SAS(2)40°(3)∠BDC+∠BAC=180°【分析】（1）根據(jù)已知條件可知，采用“邊角邊”的方法證明△ABE?△ACD；（2）通過等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，先證∠BAE=∠CAD，再利用“邊角邊”證明△BAE?△CAD，推出∠ADC=∠AEB，即∠ADB+∠BDC=∠ADB+∠EAD，由此得出∠BDC=∠EAD=40°；（3）在DB的延長線上找一點E，使AE=AD，設(shè)∠BAC=a，同（2）證明△BAE?△CAD，推出∠ADC=∠4=90°?a2，∠BDC=∠3+∠ADC=180°?a，由此得出【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠1=∠DAE?∠1（等量代換）①即∠2=∠3，在△ABE和△ACD中AB=AC∴△ABE?△ACD（SAS）④故答案為：等量代換，∠2=∠3，AE=AD，SAS．（2）解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=180°?40°∴∠ADB=∠ACB=70°，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADB=70°，∴∠EAD=180°?∠AED?∠ADB=40°，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAD?∠EAC=∠BAC?∠EAC，∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中AB=AC∴△BAE?△CAD，∴∠ADC=∠AEB，∴∠ADB+∠BDC=∠ADB+∠EAD，∴∠BDC=∠EAD=40°．（3）解：如圖，在DB的延長線上找一點E，使AE=AD，設(shè)∠BAC=a，∵AB=AC，∴∠1=∠2=180°?a∴∠3=∠1=90°?a∵AE=AD，∴∠4=∠3=90°?a∴∠EAD=180°?∠3?∠4=a，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAD?∠BAD=∠BAC?∠BAD，∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中AB=AC∴△BAE?△CAD，∴∠ADC=∠4=90°?a∴∠BDC=∠3+∠ADC=2(90°?a∴∠BDC+∠BAC=180°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，屬于規(guī)律探究題，難度逐步加大，解題的關(guān)鍵是充分利用類比方法，參考上一問的方法步驟找到解題方向．7．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有點A（0，6），B（6，0），點D為線段OB上一個動點（點D不與點O、B重合），點C在AB的延長線且CD＝AD，點C關(guān)于x軸的對稱點為M，連接DM．（1）求證：∠OAD＝∠CDB；（2）點D為OB的中點時，求點M的坐標(biāo)；（3）點D在運(yùn)動的過程中，∠ADM的值是否發(fā)生變化？如果變化，請求出∠ADM的度數(shù)的取值范圍；如果不變，請求出∠ADM的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）M（9，3）；（3）∠ADM＝90°，不變，理由見解析．【分析】（1）證明∠OAB=∠OBA=45°，由DA=DC，推出∠DAB=∠DCA，再由∠ABO=∠CDB+∠DCB=45°，∠OAD+∠DAB=45°，推出∠OAD=∠CDB；（2）如圖，連接CM交x軸于點T．證明△AOD≌△DTC（AAS），求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性確定點M的坐標(biāo)；（3）證明∠MDB=∠OAD，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)證明∠ADM=∠AOD=90°即可．【詳解】（1）證明：∵A（0，6），B（6，0），∴OA＝OB＝6，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵DA＝DC，∴∠DAB＝∠DCA，∵∠ABO＝∠CDB+∠DCB＝45°，∠OAD+∠DAB＝45°，∴∠OAD＝∠CDB；（2）解：如圖，連接CM交x軸于點T．∵D是OB的中點，OB＝6，∴OD＝DB＝3，∵DC，DM關(guān)于x軸對稱，∴CM⊥x軸，在△AOD和△DTC中，∠AOD=∠DTC=90°∠OAD=∠CDT∴△AOD≌△DTC（AAS），∴OA＝DT＝6，OD＝CT＝3，∴OT＝OD+DT＝9，∴C（9，﹣3），∵C，M關(guān)于x軸對稱，∴M（9，3）．（3）解：結(jié)論：∠ADM＝90°，不變．理由：∵C，M關(guān)于x軸對稱，∴∠CDB＝∠MDB，∵∠OAD＝∠CDB，∴∠MDB＝∠OAD，∵∠ADB＝∠AOD+∠OAD＝∠ADM+∠MDB，∴∠ADM＝∠AOD＝90°．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2022春·福建福州·八年級福建省福州第十九中學(xué)校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1:y=kx+b與x軸交于點A，與y軸交于點B．當(dāng)x>3時，y<0；當(dāng)x<3(1)求k，b的關(guān)系式（用含b的代數(shù)式表示k）；(2)若∠ABO=60°．①求直線l1②若直線l2:y=mx+m與直線l1相交，且兩條直線所夾的銳角為45°【答案】(1)k=?(2)①y=?33x+3【分析】（1）根據(jù)當(dāng)x>3時，y<0；當(dāng)x<3時，y>0，即當(dāng)x=3時，y=0，即A(3,0)，問題隨之得解；（2）①先求出B(0,3)，用待定系數(shù)法即可得直線l1的解析式為y=?33x+3；②設(shè)直線l2與x軸交于D，連接BD，直線l1與直線l2交于C，當(dāng)C在y軸左側(cè)時，過C作CH⊥y軸于H，分兩種情況：當(dāng)C在y軸左側(cè)時，過C作CH⊥y軸于H，由y=mx+m可得D?1,0，即可得BD2+AB2=AD2，故∠ABD=90°=∠DBC，從而△BCD是等腰直角三角形，由∠CBH=∠ABO=60°，可得C(?3,3+1)，代入y=mx+m得m=?2?3【詳解】（1）解：∵當(dāng)x>3時，y<0；當(dāng)x<3時，y>0，∴當(dāng)x=3時，y=0，即A(3,0)，∴3k+b=0，∴k=?b∴k，b的關(guān)系式為k=?b（2）①如圖：由（1）知，A(3,0)，∵∠ABO=60°，∴∠BAO=30°，∴在Rt△BOA中，BO=即利用勾股定理可得：OB=3∴B(0,3把A(3,0)，B(0,3)，代入3k+b=0b=解得k=?3∴直線l1的解析式為y=?3②設(shè)直線l2與x軸交于D，連接BD，直線l1與直線l2當(dāng)C在y軸左側(cè)時，過C作CH⊥y軸于H，如圖：在y=mx+m中，令y=0得x=?1，∴D?1,0∵A(3,0)，B(0,3∴AD=4，AB=23，BD=2∴BD∴∠ABD=90°=∠DBC，∵∠ACD=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=BD=2，在Rt△BCH中，∠CBH=∠ABO=60°∴∠BCH=30°，∴BH=12BC=1∴C(?3把C(?3,3?3解得m=?2?3當(dāng)C在y軸右側(cè)時，過C作CK⊥x軸于K，如圖：∵∠BCD=45°，∠DBC=90°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC=BD=2，∵AB=23∴AC=AB?BC=23∵∠ABO=60°，∴∠BAO=30°，在Rt△ACKCK=1∴OK=OA?AK=3?(3?3∴C(3把C(3,33m+m=解得m=2?3綜上所述，兩條直線所夾的銳角為45°，m的值為?2?3或2?【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，含30°角的直角三角形三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．9．（2022秋·福建廈門·八年級廈門一中?？计谀?）如圖1，在△ABC中．點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，∠B=∠FDE=∠C，（2）如圖2．在△ABC中．BA=BC，∠B=45°．點D，F(xiàn)分別是邊BC、AB上的動點．且AF=2BD．以DF為腰向右作等腰△DEF．使得DE=DF，∠EDF=45°．連接①試猜想線段DC，②如圖3．已知AC=3，點G是AC的中點，連接EA，EG．求【答案】（1）證明見解析；（2）①BD+BF=DC，理由見解析；②3【分析】（1）證明△EBD≌△DCF，即可證明結(jié)論；（2）①根據(jù)BA=BC，得到：AF+BF=BD+CD，再根據(jù)AF=2BD，即可得解；②在CD上截取DM=BF，連接EM，作點G關(guān)于CE的對稱點N，連接CN，AN，證明△BDF≌△MED，利用對應(yīng)邊相等，和線段的轉(zhuǎn)化，得到：EM=CM，進(jìn)而得到∠ECM=∠MEC=22.5°，根據(jù)對稱得到：EA+EG=EA+EN≥AN，當(dāng)A、E、N三點共線時，EA+EG的值最小，最小值為AN，利用勾股定理求出AN即可得解．【詳解】（1）證明：∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED，∴∠FDC=∠BED．在△EBD和△DCF中，∠B=∠C∴△EBD≌△DCFASA∴DE=DF．（2）①BD+BF=DC．理由如下：∵AB=BC，∴AF+BF=BD+DC．∵AF=2BD，∴2BD+BF=BD+DC．∴BD+BF=DC．②在CD上截取DM=BF，連接EM，作點G關(guān)于CE的對稱點N，連接CN，AN，∵∠B=45°，∠EDF=45°，同（1）可得：∠BFD=∠EDM，∵DF=DE，∴△BDF≌△MEDSAS∴BD=EM，MD=BF，∠B=∠DME=45°，∵CD=BD+BF=DM+CM，∴CM=BD，∴EM=CM，∴∠MCE=∠MEC，∵∠EMD=45°，∴∠ECD=∠MEC=22.5°，∴E點在射線CE上運(yùn)動，∵G點與N的關(guān)于CE對稱，∴EG=EN，∴EA+EG=EA+EN≥AN，∴當(dāng)A、E、N三點共線時，EA+EG的值最小，最小值為AN，∵∠B=45°，AB=BC，∴∠ACB=67.5°，∴∠ACE=45°，由對稱性可知，∠ACE=∠ECN，∴∠ACN=90°，∵點G是AC的中點，AC=3，

∴CG=1.5，∴CN=1.5，在Rt△ANC中，AN=∴AE+EG的最小值為32∴∠ECD=22.5°，EA+EG的最小值為32【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及勾股定理，利用軸對稱解決線段和最小問題．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形全等，以及利用軸對稱解決線段和最小問題．考點2考點2一元一次不等式與一元一次不等式組解答期末真題壓軸題1．（2022春·福建廈門·八年級廈門市松柏中學(xué)校考期末）平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)一次函數(shù)y=3a+1x+5b?2的圖象是直線(1)如果直線l經(jīng)過點1，?1，求a與(2)當(dāng)直線l過點Mm?2，5b+6和點Nm+2，(3)若坐標(biāo)平面內(nèi)有點Pn?2，2n+1，不論n取何值，點P均不在直線l上，求a【答案】(1)b=?3(2)?43≤a≤(3)a，b滿足的條件為a=13且【分析】（1）將1，（2）將兩點坐標(biāo)代入解析式得出方程組，求出a、b的等量關(guān)系式，再根據(jù)b的取值范圍求出a的取值范圍；（3）先設(shè)點P坐標(biāo)為x，y，然后根據(jù)點P坐標(biāo)找出x、y之間關(guān)系式，利用兩直線無交點即平行（k相等，【詳解】（1）解：由題意可知，1，?1在直線∴?1=3a+1+5b?2，整理得，b=?3（2）解：由題意知，3a+1m?2兩式相減得，5b=?6a+2，∵?1≤b≤2，即?5≤5b≤10，∴?5≤?6a+2≤10，∴?4又∵3a+1≠0，∴a≠?1∴?43≤a≤（3）解：設(shè)點P坐標(biāo)為x，y，則∴y=2x+5，∵不論n取何值，點P均不在直線l：y=3a+1∴3a+1=25b?2≠5解得a=1∴a，b滿足的條件為a=13且【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法等相關(guān)知識，掌握基本的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）一條筆直跑道上的A，B兩處相距500米，甲從A處，乙從B處，兩人同時相向勻速而跑，直到乙到達(dá)A處時停止，且甲的速度比乙大．甲、乙到A處的距離y（米）與跑動時間x（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖14所示．（1）若點M的坐標(biāo)（100，0），求乙從B處跑到A處的過程中y與x的函數(shù)解析式；（2）若兩人之間的距離不超過200米的時間持續(xù)了40秒．①當(dāng)x=x1時，兩人相距200米，請在圖14中畫出P（②請判斷起跑后11【答案】（1）y=?5x+500(0≤x≤100)；（2）①見解析；②起跑后112分鐘，兩人之間的距離不能超過【分析】（1）設(shè)乙從B處跑到A處的過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，把（0，500）和（100，0）代入求出k，b的值即可，（2）①設(shè)A(x1,0)，兩直線相交于點G.過點A作x軸的垂線，交直線GM在射線GM上截取GC，使GC=GB;過點C作x軸的垂線，則垂足P即為所求點．②由兩人有相距200到相遇用時50秒，由a＞b，xM>100，起跑后112分鐘(即【詳解】（1）設(shè)y=kx+b(k≠0),把(0,500),M100,0分別代入，可求得∴解析式為y=?5x+500(0≤x≤100).（2）如圖：設(shè)A(x1,0)步驟為:．①過點A作x軸的垂線，交直線GM于點B②在射線GM上截取GC，使GC=GB;③過點C作x軸的垂線，則垂足P即為所求點．（3）起跑后112分鐘，兩人之間的距離不能超過理由如下：由題可設(shè)y∵兩人之間的距離不超過200米的時間持續(xù)了40秒，∴可設(shè)當(dāng)x=x1或x=x∴相遇前，當(dāng)x=x1時，y也即(k相遇后，當(dāng)x=x1即k也即(k把①代入②，可得300+40(解得k當(dāng)兩人相遇時，y甲=即(k∵甲的速度比乙大，所以500xM∴起跑后112分鐘(即90秒)，兩人處于相遇過后，但乙未到達(dá)∴兩人相距為y∵400<420，∴兩人之間的距離不能超過420米.【點睛】本題為一次函數(shù)圖象問題，考查了一次函數(shù)圖象性質(zhì)、方程和不等式有關(guān)知識，解答關(guān)鍵是根據(jù)條件構(gòu)造方程或不等式解決問題．3．（2022春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀思考】閱讀下列材料：已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：解：∵x﹣y＝2，∴x＝y(tǒng)+2又∵x＞1∴y+2＞1∴y＞﹣1又∵y＜0∴﹣1＜y＜0①同理1＜x＜2②由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2【啟發(fā)應(yīng)用】請按照上述方法，完成下列問題：已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，則x+y的取值范圍是；【拓展推廣】請按照上述方法，完成下列問題：已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，試確定x﹣y的取值范圍．【答案】（1）1＜x+y＜5；（2）0＜x﹣y＜10．【分析】（1）模仿材料的計算方法，即可求出答案；（2）根據(jù)已知算式求出y、x的范圍，再求出答案即可．【詳解】解：（1）∵x-y=3，∴x=y+3，∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞-1，又∵y＜1，∴-1＜y＜1①同理可得：2＜x＜4②由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，∴x+y的取值范圍是：1＜x+y＜5，故答案為：1＜x+y＜5；（2）∵x+y＝2，∴x＝2﹣y，又∵x＞1，∴2﹣y＞1，∴y＜1，又∵y＞﹣4，∴﹣4＜y＜1，∴﹣1＜﹣y＜4①，同理得：1＜x＜6②，由①+②得：0＜x﹣y＜10，∴x?y的取值范圍是：0＜x﹣y＜10．【點睛】本題考查了解一元一次不等式、列代數(shù)式等知識點，能分別求出x、y的范圍是解此題的關(guān)鍵，注意：求解過程類似．4．（2022春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）單位組織員工自駕游，并打算在一家租車公司租用同一品牌同款的5座或7座越野車組成一個車隊．該租車公司同品牌同款的7座越野車的日租金比5座的多300元．已知該單位參加自駕游的員工共有40人，其中10人可以擔(dān)任司機(jī)，但這10人中至少需要留出3人做為機(jī)動司機(jī)，以備輪換替代．（1）有人建議租8輛5座的越野車，剛好可以載40人．他的建議合理嗎？請說明理由；（2）請為該單位設(shè)計一種租車方案，使車隊租車的日租金最少，并說明理由【答案】（1）建議不合理，見解析；（2）租車方案是：租4輛5座越野車，3輛7座越野車；當(dāng)y1=y2即a=600時，日租金最少的方案是：租1輛5座越野車，5輛7座越野車，或租4輛5座越野車，3輛7座越野車；當(dāng)y1<y【分析】（1）根據(jù)10人可以擔(dān)任司機(jī)，但這10人中至少需要留出3人做為機(jī)動司機(jī)來判斷.（2）可設(shè)共租m（m為正整數(shù)）輛車，若全租5座，則m最大，若全租7座，則m最小，可求得m取值范圍，結(jié)合第一問求得m的取值范圍后分情況討論即可.【詳解】（1）建議不合理．理由如下：根據(jù)題意可知，10個司機(jī)中至少要留出3人做為機(jī)動司機(jī)，所以最多只能租7輛車．

（2）設(shè)共租m（m為正整數(shù)）輛車，依題意得557≤m≤8由（1）得，m≤7．所以6≤m≤7．即總租車數(shù)為6輛或7輛．

設(shè)車隊租的5座車有x（x為非負(fù)整數(shù)）輛，一輛5座車的日租金為a元，車隊日租金為y元，①當(dāng)總租車數(shù)為6輛時，y1=ax+(a+300)(6?x)=?300x+6a+1800由x≤6，且5x+7(6?x)≥40，可得x≤1．又因為x為非負(fù)整數(shù)，所以x=1．此時y1=6a+1500此時的租車方案是：租1輛5座越野車，5輛7座越野車．②當(dāng)總租車數(shù)為7輛時，y2=ax+(a+300)(7?x)=?300x+7a+2100由x≤7，且5x+7(7?x)≥40，可得x≤9又因為x為非負(fù)整數(shù)，所以x≤4．因為?300<0，所以y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=4時，y2有最小值7a+900．此時的租車方案是：租4輛5座越野車，3輛7座越野車．當(dāng)y1=y當(dāng)y1<y當(dāng)y1>y【點睛】本題考查的是不等式及一次函數(shù)，能從實際問題中抽象出數(shù)量之間的關(guān)系是關(guān)鍵.5．（2022春·甘肅蘭州·八年級?？计谀┤绻辉淮畏匠痰慕馐且辉淮尾坏仁浇M的解，則稱該一元一次方程為