北師大版2019選擇性必修第一冊專題5.6計數原理(能力提升卷)(原卷版+解析)

專題5.6計數原理（能力提升卷）考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，細分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎，提能力！選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2022秋·全國·高二專題練習）已知a>0，若x+9x26與x2A．1 B．3 C．6 D．92．（2022·全國·高三專題練習）某高中政治組準備組織學生進行一場辯論賽，需要從6位老師中選出3位組成評審委員會，則組成該評審委員會不同方式的種數為（

）A．15 B．20 C．30 D．1203．（2022秋·湖北·高二校聯考階段練習）在楊輝三角中，每一個數都是它“肩上”兩個數的和，它開頭幾行如圖所示．那么在楊輝三角中出現三個相鄰的數，其比為3：4：5的行數為（

）A．58 B．62 C．63 D．644．（2022·高二課時練習）為響應國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．12種5．（2023·全國·高三專題練習）有4位同學參加某智力競賽，競賽規(guī)定:每人均從甲、乙兩類題中隨機選一題作答，且甲類題目答對得3分，答錯扣3分，乙類題目答對得1分，答錯扣1分．若每位同學答對與答錯相互獨立，且概率均為12，那么這4位同學得分之和為0的概率為（

A．1164 B．34 C．386．（2022秋·全國·高二期末）某快遞公司將一個快件從寄件人甲處攬收開始直至送達收件人乙，需要經過6個轉運環(huán)節(jié)，其中第1，6個環(huán)節(jié)有a，b兩種運輸方式，第2，3，5個環(huán)節(jié)有b，c兩種運輸方式，第4個環(huán)節(jié)有c，d，e，f四種運輸方式，則快件從甲送到乙有4種運輸方式的運輸順序共有不同的方法種數是（

）A．58 B．60 C．77 D．787．（2022·全國·高三專題練習）如圖，用五種不同的顏色給圖中的O，A，B，C，D，E六個點涂色（五種顏色不一定用完），要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂法種數是（

）A．480 B．720 C．1080 D．12008．（2022·全國·高三專題練習）已知3?xn=a0+a1A．32 B．64 C．128 D．256多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（2022·高二課時練習）已知2x+1xnA．二項展開式中各項系數之和為3B．二項展開式中二項式系數最大的項為160C．二項展開式中無常數項D．二項展開式中系數最大的項為9010．（2022秋·高二單元測試）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某校計劃在社會實踐中開設“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數”六門體驗課程，每天開設一門，連續(xù)開設6天，則下列結論正確的是（

）A．從六門課程中選兩門的不同選法共有20種B．課程“數”不排在最后一天的不同排法共有600種C．課程“禮”、“書”排在相鄰兩天的不同排法共有240種D．課程“樂”、“射”、“御”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種11．（2022春·江西·高二校聯考階段練習）我國古代著名的數學著作中，《周碑算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《孫丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《級術》和《糾古算經》，稱為“算經十書”，某老師將其中的《周碑算經》、《九章算術》、《孫子算經）、《五經算術》、《綴術》和《緝古算經》6本書分給5名數學愛好者，其中每人至少一本，則不同的分配方法的種數為（

）A．C51C62A44 12．（2022·全國·高三專題練習）若1?2x2020=aA．aB．aC．aD．a填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（2022秋·福建廈門·高二廈門雙十中學校考階段練習）如圖所示，在A，B間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路.則電路不通，則因為焊接點脫落而導致電路不通情況有___________種.14．（2021春·安徽蚌埠·高三統考開學考試）若二項式x+12n15．（2018秋·浙江紹興·高二統考期末）將5名同學排成一行，要求其中的小張、小王必須排在小李的兩側（不一定相鄰），則不同的排列方案有________種（用數字作答）.16．（2022秋·江西上饒·高二鉛山縣第一中學?？奸_學考試）在1?x+1解答題（共6小題，滿分70分）17．（2022·全國·高三專題練習）已知x+3x(1)求n的值；(2)求展開式的所有有理項(指數為整數)，并指明是第幾項．18．（2022·高二課時練習）有5對夫婦和A，B共12人參加一場婚宴，他們被安排在一張有12個座位的圓桌上就餐（旋轉之后算相同坐法）．（1）若5對夫婦都相鄰而坐，A，B相鄰而坐，共有多少種坐法？（2）5對夫婦都相鄰而坐，其中甲、乙二人的太太是閨蜜要相鄰而坐，A，B不相鄰，共有多少種坐法？19．（2022秋·重慶萬州·高二?？计谥校┮阎瘮礷n(x)=(1+λx)(1)若λ=?2,n=2018，求a0(2)若n=8,a7=102420．（2022秋·浙江紹興·高二?？茧A段練習）已知2x?15(1)a5(2)a0(3)a0(4)a121．（2023·全國·高三專題練習）在二項式6x(1)求n的值；(2)求展開式中所有有理項的系數之和；(3)把展開式中的項重新排列，求有理項互不相鄰的排法種數．22．（2022·高二課時練習）某醫(yī)院呼吸內科有3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；感染科有2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任．現在院方決定從兩科室中選4人參加培訓．(1)若至多有1名主任參加，則有多少種派法？(2)若呼吸內科至少有2名醫(yī)生參加，則有多少種派法？(3)若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，則有多少種派法？專題5.6計數原理（能力提升卷）考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，細分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎，提能力！選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2022秋·全國·高二專題練習）已知a>0，若x+9x26與x2A．1 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】根據二項展開式的通項公式即可求出．【詳解】x+9x26的展開式中的常數項為C62x49x2故選：B．2．（2022·全國·高三專題練習）某高中政治組準備組織學生進行一場辯論賽，需要從6位老師中選出3位組成評審委員會，則組成該評審委員會不同方式的種數為（

）A．15 B．20 C．30 D．120【答案】B【分析】根據組合數計算即可【詳解】由題意，組成該評審委員會不同方式的種數為C6故選：B3．（2022秋·湖北·高二校聯考階段練習）在楊輝三角中，每一個數都是它“肩上”兩個數的和，它開頭幾行如圖所示．那么在楊輝三角中出現三個相鄰的數，其比為3：4：5的行數為（

）A．58 B．62 C．63 D．64【答案】B【分析】所求的行數為n，則存在正整數k，使得連續(xù)三項Cnk?1，Cn【詳解】根據題意，設所求的行數為n，則存在正整數k，使得連續(xù)三項Cnk?1，Cnk，Cn化簡得kn?k+1=34且k+1n?k故第62行會出現滿足條件的三個相鄰的數，故選：B．4．（2022·高二課時練習）為響應國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．12種【答案】B【解析】利用分步計數原理，分3步即可求出【詳解】解：由題意可知，分三步完成：第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；第三步，從6種葷菜中任選一種有6種選法，根據分步計數原理，共有2×3×6=36不同的選取方法，故選：B5．（2023·全國·高三專題練習）有4位同學參加某智力競賽，競賽規(guī)定:每人均從甲、乙兩類題中隨機選一題作答，且甲類題目答對得3分，答錯扣3分，乙類題目答對得1分，答錯扣1分．若每位同學答對與答錯相互獨立，且概率均為12，那么這4位同學得分之和為0的概率為（

A．1164 B．34 C．38【答案】A【分析】總的得分情況有44=256（種），他們得分之和為0分四類，計算可得【詳解】每人的得分情況均有4種可能，因而總的得分情況有44若他們得分之和為0，則分四類：4人全選乙類題且兩對兩錯，有C44人中1人選甲類題且答對，另3人選乙類題且全錯，或4人中1人選甲類題且答錯，另3人選乙類題且全對，共有2C4人中2人選甲類題一對一錯，另2人選乙類題一對一錯，有C44人全選甲類題且兩對兩錯，有C4共有C4因而所求概率為P=44【點睛】本題考查了分類加法計數原理，考查了簡單的組合問題，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題.6．（2022秋·全國·高二期末）某快遞公司將一個快件從寄件人甲處攬收開始直至送達收件人乙，需要經過6個轉運環(huán)節(jié)，其中第1，6個環(huán)節(jié)有a，b兩種運輸方式，第2，3，5個環(huán)節(jié)有b，c兩種運輸方式，第4個環(huán)節(jié)有c，d，e，f四種運輸方式，則快件從甲送到乙有4種運輸方式的運輸順序共有不同的方法種數是（

）A．58 B．60 C．77 D．78【答案】B【分析】結合條件利用分步加法計數原理和分步乘法計數原理解決.【詳解】若第4環(huán)節(jié)使用c運輸方式，由條件可得快件從甲送到乙至多使用3種運輸方式，故第四環(huán)節(jié)必須使用d，e，f三種運輸方式中的1種，若第1,6兩個環(huán)節(jié)都使用b運輸方式，從快件甲送到乙至多會使用3種運輸方式，故從甲送到乙要使用4種運輸方式，則滿足條件的運輸方法可分為2類，第一類：第一和第六環(huán)節(jié)都用a運輸方式的運輸順序，若第一和第六環(huán)節(jié)都用a，則第2,3,5環(huán)節(jié)必須使用兩種不同的運輸方式，第4環(huán)節(jié)必須使用d，e，f中的一種運輸方式，故滿足條件的運輸方式有1×(8?2)×3種，第二類：第一和第六環(huán)節(jié)運輸方式不相同的運輸順序，若第1,6環(huán)節(jié)的運輸方式不同，則第2,3,5環(huán)節(jié)只需至少一個環(huán)節(jié)使用c運輸方式，第4環(huán)節(jié)必須使用d，e，f中的一種運輸方式，故滿足條件的運輸方式有2×(8?1)×3種，由分類加法計數原理可得滿足條件的運輸方式有18+42種，即60種.故選：B.7．（2022·全國·高三專題練習）如圖，用五種不同的顏色給圖中的O，A，B，C，D，E六個點涂色（五種顏色不一定用完），要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂法種數是（

）A．480 B．720 C．1080 D．1200【答案】D【分析】分類討論按照O，A，B，C，D，E的順序按題意要求去依次涂色即可解決.【詳解】先給O涂色，有C51種方法，接著給A涂色，有C41種方法，接著給①若C與A同色，則有1種涂色方法，接著給D涂色，有3種涂色方法，最后E有2種涂色方法；②若C與A不同色，則有2種涂色方法，接著給D涂色，若D與A同色，則有1種涂色方法，最后E有3種涂色方法；若D與A不同色，則有2種涂色方法，最后E有2種涂色方法.綜上，涂色方法總數為C51C故選：D8．（2022·全國·高三專題練習）已知3?xn=a0+a1A．32 B．64 C．128 D．256【答案】D【分析】由題可得Cn【詳解】由題意可得Cn∴n=4．令x=?1，得3+14∴a0故選：D.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（2022·高二課時練習）已知2x+1xnA．二項展開式中各項系數之和為3B．二項展開式中二項式系數最大的項為160C．二項展開式中無常數項D．二項展開式中系數最大的項為90【答案】AB【分析】根據二項式定理的相關性質逐項驗證即可得出答案.【詳解】因為2x+1xn的二項展開式中二項式系數之和為64，所以2所以題中二項式為2x+1x6對于選項A，令x=1，可得二項展開式中各項系數之和為36，所以選項A對于選項B，第4項的二項式系數最大，此時r=3，則二項展開式中二項式系數最大的項為T4=C對于選項C，令6?32r=0，則r=4，所以二項展開式中的常數項為C對于選項D，令第r+1項的系數最大，則C6r2因為r∈N?，所以T3=C故選：AB.10．（2022秋·高二單元測試）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某校計劃在社會實踐中開設“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數”六門體驗課程，每天開設一門，連續(xù)開設6天，則下列結論正確的是（

）A．從六門課程中選兩門的不同選法共有20種B．課程“數”不排在最后一天的不同排法共有600種C．課程“禮”、“書”排在相鄰兩天的不同排法共有240種D．課程“樂”、“射”、“御”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種【答案】BC【分析】根據給定條件利用排列、組合知識，逐項分析計算判斷作答.【詳解】對于A，從六門課程中選兩門的不同選法有C6對于B，前5天中任取1天排“數”，再排其它五門體驗課程共有5A對于C，“禮”、“書”排在相鄰兩天，可將“禮”、“書”視為一個元素，不同排法共有2A對于D，先排“禮”、“書”、“數”，再用插空法排“樂”、“射”、“御”，不同排法共有A3故選：BC11．（2022春·江西·高二校聯考階段練習）我國古代著名的數學著作中，《周碑算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《孫丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《級術》和《糾古算經》，稱為“算經十書”，某老師將其中的《周碑算經》、《九章算術》、《孫子算經）、《五經算術》、《綴術》和《緝古算經》6本書分給5名數學愛好者，其中每人至少一本，則不同的分配方法的種數為（

）A．C51C62A44 【答案】AD【解析】先選出一個人分得兩本書，剩余四人各分得一本書，再利用分步乘法計數原理相乘即得結果.【詳解】依題意，6本書分給5名數學愛好者，其中一人至少一本，則有一人分得兩本書，剩余四人各分得一本書，方法一：分三步完成，第一步：選擇一個人，有C5第二步：為這個人選兩本書，有C6第三步:剩余四人各分得一本書，有A4故由乘法原理知，不同的分配方法的種數為C5方法二：分兩步完成，第一步：先分組，選擇兩本書，將書分成“2+1+1+1+1”的五組，有C6第二步：將五組分配給五個人，有A5故由乘法原理知，不同的分配方法的種數為C6故選：AD.12．（2022·全國·高三專題練習）若1?2x2020=aA．aB．aC．aD．a【答案】ACD【分析】設fx【詳解】設fx對于A選項，a0對于BC選項，f1所以，a1a0對于D選項，a=f1故選：ACD.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（2022秋·福建廈門·高二廈門雙十中學?？茧A段練習）如圖所示，在A，B間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路.則電路不通，則因為焊接點脫落而導致電路不通情況有___________種.【答案】13【分析】分類討論，列舉出脫落1個，2個，3個，4個焊接點導致電路不通的情況，求出答案.【詳解】若脫落1個，則有（1），（4）兩種情況，若脫落2個，則有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況，若脫落3個，則有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4種情況.若脫落4個，則有（1，2，3，4）共1種情況，綜上共有2+6+4+1=13種情況.故答案為：13.14．（2021春·安徽蚌埠·高三統考開學考試）若二項式x+12n【答案】4【分析】結合二項式的展開式的通項公式得到不等式組，解不等式組即可求出結果.【詳解】因為二項式x+12由題意可得Cn3123≥Cn212故答案為：4.15．（2018秋·浙江紹興·高二統考期末）將5名同學排成一行，要求其中的小張、小王必須排在小李的兩側（不一定相鄰），則不同的排列方案有________種（用數字作答）.【答案】40【分析】根據題意，設5名同學中除小張、小王、小李之外的兩人為甲、乙，分3步進行分析，首先將小張、小王安排在小李的兩側，將甲乙兩人依次插入到空位中，由分步計數原理計算可得答案.【詳解】根據題意，設5名同學中除小張、小王、小李之外的兩人為甲、乙，分3步進行分析：①，首先將小張、小王安排在小李的兩側，有A2②，三人排好后，有4個空位可用，將4個空位中任選1個，安排甲，有4種情況；③，四人排好后，有5個空位可用，將5個空位中任選1個，安排乙，有5種情況；則不同的排列方案有2×4×5=40種.故答案為：40.16．（2022秋·江西上饒·高二鉛山縣第一中學?？奸_學考試）在1?x+1【答案】70【分析】1?x+1x108=1x【詳解】1?x通項公式：Tr+1依題意，只需考慮r=8時，即只需1?x8中其展開式中通項Ak+1令k2=2，解得∴C故答案為：70．解答題（共6小題，滿分70分）17．（2022·全國·高三專題練習）已知x+3x(1)求n的值；(2)求展開式的所有有理項(指數為整數)，并指明是第幾項．【答案】(1)n=10(2)T【分析】（1）由二項式系數和公式可得答案；（2）求出x+3x【詳解】（1）x+3x所以n=10.（2）Tr+1因此r=0,6時，有理項為T1有理項是第一項和第七項.18．（2022·高二課時練習）有5對夫婦和A，B共12人參加一場婚宴，他們被安排在一張有12個座位的圓桌上就餐（旋轉之后算相同坐法）．（1）若5對夫婦都相鄰而坐，A，B相鄰而坐，共有多少種坐法？（2）5對夫婦都相鄰而坐，其中甲、乙二人的太太是閨蜜要相鄰而坐，A，B不相鄰，共有多少種坐法？【答案】（1）7680種；（2）1152種.【分析】(1)將一對夫婦視為一組，A，B視為一組，先將6組人圓排列，再對每一組內的兩人調整位置，然后用分步乘法計數原理計算即得；(2)先排甲、乙二人的太太及這兩對夫婦，再排余下3對夫婦，最后用插空法排A，B，借助分步乘法計數原理計算即得.【詳解】（1）若5對夫婦都相鄰，A，B相鄰，可將每對夫婦劃分為1組，A，B劃分為1組，再將這6組人圍坐成一圈，共有A5由于每一組內兩人還有順序問題，所以共有A5（2）分成三步來完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2種坐法，甲、乙二人的座位也隨之確定，第二步，排其余3對夫婦的座位，有23第三步，排A，B二人的座位，有A4根據分步乘法計數原理，共有2×219．（2022秋·重慶萬州·高二?？计谥校┮阎瘮礷n(x)=(1+λx)(1)若λ=?2,n=2018，求a0(2)若n=8,a7=1024【答案】(1)32018(2)1792【分析】（1）代入λ=?2,n=2018，通過賦值法令x=1，x=?1，再相加即可求解；（2）由展開式的通項以及a7=1024求出(1)λ=?2,n=2018時，f2018(x)=(1?2x)2018=令x=?1可得(1+2)2018=a則a0(2)n=8時，f8(x)=(1+λx)8的展開式的通項為Tr+1=C即展開式的通項為Tr+1=C8r2r則T6=C20．（2022秋·浙江紹興·高二?？茧A段練習）已知2x?15(1)a5(2)a0(3)a0(4)a1【答案】(1)?1；(2)1；(3)243；(4)?121【分析】（1）賦值法令x＝0，即得解；（2）賦值法令x＝1，即得解；（3）利用通項分析可得a1，a3，a5為負值，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，令x＝－1即得解；（4）由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35聯立即得解.(1)令x=0，得?1∴

a5(2)令x＝1，得2×1?1∴

a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(3)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通項Tk＋1＝C5k(－1)k·25－k·x5－知a1，a3，a5為負值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.(4)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，