人教版九年級上冊數(shù)學(xué)舉一反三24.9弧長和扇形的面積【十四大題型】(學(xué)生版+解析)

專題24.9弧長和扇形的面積【十四大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求弧長】 1【題型2利用弧長及扇形面積公式求半徑】 3【題型3利用弧長及扇形面積公式求圓心角】 4【題型4求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度】 4【題型5直接求扇形面積】 5【題型6求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】 6【題型7求弓形面積】 8【題型8求其他不規(guī)則圖形的面積】 9【題型9求圓錐側(cè)面積】 11【題型10求圓錐底面半徑】 12【題型11求圓錐的高】 13【題型12求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】 15【題型13圓錐的實(shí)際問題】 15【題型14圓錐側(cè)面上最短路徑問題】 17【知識點(diǎn)弧長和扇形的面積】設(shè)⊙O的半徑為R，n°圓心角所對弧長為l，弧長公式：l=nπR扇形面積公式：S母線的概念：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周任意一點(diǎn)的線段。圓錐體表面積公式：S=πR2+πRl【題型1求弧長】【例1】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是DC延長線上一點(diǎn)，如果⊙O的半徑為6，∠BCE=60°，那么BCD的長為（

）

A．6π B．12π C．2π D．4π【變式1-1】（2023·四川成都·?？既＃办巢瞧趼菪€”（也稱“黃金螺旋”）是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，人類耳朵的形狀也符合這種螺旋形狀，這種形狀的構(gòu)造幫助人類可以更好地接收聲波，從而增強(qiáng)聽覺．現(xiàn)依次取邊長為1，1，2，3，5……的正方形按如圖所示方式拼接，分別以每個(gè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑作圓弧，連接形成的螺旋曲線即為“斐波那契螺旋線”．那么前五個(gè)正方形內(nèi)形成的曲線ABCDEF的長度是．

【變式1-2】（2023春·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，以AB為直徑的⊙O與AD相交于點(diǎn)E，與BD相交于點(diǎn)F，DF=BF，已知AB=2，∠C=40°，則FB的長為（

）

A．π3 B．2π3 C．π9【變式1-3】（2023·河南濮陽·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形AOB中，圓心角∠AOB=60°，AO=2，分別以O(shè)A，OB的中點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心12

【題型2利用弧長及扇形面積公式求半徑】【例2】（2023春·山西·九年級專題練習(xí)）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，M是“不倒翁”與水平面的接觸點(diǎn)，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點(diǎn)A，B．將“不倒翁”向右作無滑動(dòng)滾動(dòng)，使點(diǎn)B與水平面接觸，如圖3.若∠P=60°，水平面上點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離為4π，則AMB所在圓的半徑是（

）A．3 B．6 C．9 D．12【變式2-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）若弧長為4πcm的扇形的面積為8πcm2，則該扇形的半徑為【變式2-2】（2023春·湖北黃石·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=60°，BC的長是4π3，則⊙O的半徑是【變式2-3】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C，交AD于點(diǎn)E，若CE的長為2π，則⊙A的半徑為．【題型3利用弧長及扇形面積公式求圓心角】【例3】（2023春·云南紅河·九年級?？茧A段練習(xí)）將一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積之比為2:3:4，則這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)為（

）A．80°、120°、160° B．60°、120°、180°C．50°、100°、150° D．30°、60°、90°【變式3-1】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框ABC，按圖2方式變形成以A為圓心，AB長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形ABC的圓心角的度數(shù)是（

）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考二模）如圖1，點(diǎn)C是半圓AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C從點(diǎn)A開始向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，AC的弧長l與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至5秒時(shí)，∠AOC的度數(shù)為（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【變式3-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個(gè)扇形的面積為10π，弧長為10π3，則該扇形的圓心角的度數(shù)為【題型4求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度】【例4】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，OA⊥OB，C，D分別是射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，CD的長始終為8，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長為

【變式4-1】（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合（AB=6），其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時(shí)針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第20秒時(shí)點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長是．

【變式4-2】（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，把一個(gè)含30°角的直角三角板ABC在桌面上沿著直線l無滑動(dòng)的翻滾一周，若BC=1，∠A=30°，則點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑長是．

【變式4-3】（2023春·四川廣元·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點(diǎn)E、F是以斜邊AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是EF上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為．【題型5直接求扇形面積】【例5】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，其半徑為1，作OF⊥BC交⊙O于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為（

）

A．π3 B．2π5 C．3π10【變式5-1】（2023·吉林·九年級校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△OAB是等邊三角形，AB=4，分別以點(diǎn)B，D為圓心，AO長為半徑畫弧，與該矩形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）

【變式5-2】（2023春·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知半徑為1的⊙O上有三點(diǎn)A、B、C，OC與AB交于點(diǎn)D，∠ADO=85°，∠CAB=20°，則陰影部分的扇形OAC面積是．

【變式5-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是長方形，以BC為直徑的半圓與AD邊只有一個(gè)交點(diǎn)，且AB=x，則陰影部分的面積為．

【題型6求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】【例6】（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知A、D是⊙O上任意兩點(diǎn)，且AD=6，以AD為邊作正方形ABCD，若AD邊繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，則BC邊掃過的面積為．

【變式6-1】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=1，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點(diǎn)A2；將OA2繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥OA3交y【變式6-2】（2023春·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示．（每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形）

(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的△A(2)將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△A2BC2【變式6-3】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在平面內(nèi)，將小棒AB經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，使它調(diào)轉(zhuǎn)方向(調(diào)轉(zhuǎn)前后的小棒不一定在同一條直線上)，那么小棒掃過區(qū)域的面積如何盡可能地小呢？已知小棒長度為4，寬度不計(jì)．方案1：將小棒繞AB中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°到B'A'方案2：將小棒先繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AC，再繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到CB，最后繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到B'A'

(1)①S1=______，S2②比較S1與S2的大?。?參考數(shù)據(jù)：π≈3.14，(2)方案2可優(yōu)化為方案3：首次旋轉(zhuǎn)后，將小棒先沿著小棒所在的直線平移再分別進(jìn)行第2、3次旋轉(zhuǎn)，三次旋轉(zhuǎn)掃過的面積會重疊更多，最終小棒掃過的區(qū)域是一個(gè)等邊三角形．①補(bǔ)全方案3的示意圖；②設(shè)方案3中小棒掃過區(qū)域的面積為S3，求S(3)設(shè)計(jì)方案4，使小棒掃過區(qū)域的面積S4小于S【題型7求弓形面積】【例7】（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，BD⊥CE于點(diǎn)D，BC平分∠ABD．(1)求證：直線CE是⊙O的切線；(2)若∠ABC=30°,⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【變式7-1】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，若CD=23，CB＝2，則陰影部分的面積是【變式7-2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將半徑為5cm的扇形OAB沿西北方向平移2cm，得到扇形O'A'B'【變式7-3】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，已知⊙O的半徑為1，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB=150°，則弓形ACB（陰影部分）的面積為．（結(jié)果保留π或根號）【題型8求其他不規(guī)則圖形的面積】【例8】（2023·山西長治·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，CA=CB，AB=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點(diǎn)E、F、G、H，若點(diǎn)E、F是線段AC的三等分點(diǎn)時(shí)，圖中陰影部分的面積為（

）

A．82?2π B．162?4π【變式8-1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,BC=6，將四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至AB'C'D

【變式8-2】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，扇形OAB的半徑OA=2cm，∠AOB=120°，則以AB為直徑的半圓與AB圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積是cm

【變式8-3】（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于點(diǎn)D，E是邊BC的中點(diǎn)，連接DE．若AD，AB的長是方程x2?6x+8=0

A．83?4π3 B．43?【題型9求圓錐側(cè)面積】【例9】（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為1，以陰影部分為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，從剩余部分剪出一個(gè)圓作為圓錐底面，則圓錐的全面積為．【變式9-1】（2023·福建南平·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無底的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長為10πcm,扇形的圓心角的度數(shù)是120°，則圓錐的側(cè)面積為（結(jié)果保留π

【變式9-2】（2023·河北廊坊·統(tǒng)考一模）如圖1，冰激凌的外殼（不計(jì)厚度）可近似的看作圓錐，其母線長為12cm，底面圓直徑長為8（1）這個(gè)冰激凌外殼的側(cè)面展開圖的形狀是；（2）當(dāng)冰激凌被吃掉一部分后，其外殼仍可近似的看作圓錐，如圖2，其母線長為9cm，則此時(shí)冰激凌外殼的側(cè)面積為cm2．（結(jié)果保留【變式9-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖是一張直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝2cm，DB＝4cm，DE⊥AB．若將該卡片繞直線DE旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體的表面積為cm2．

【題型10求圓錐底面半徑】【例10】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

【變式10-1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖漏斗，圓錐形內(nèi)壁的母線OB長為6cm，開口直徑為6cm．（1）因直管部分堵塞，漏斗內(nèi)灌滿了水，則水深cm；（2）若將貼在內(nèi)壁的濾紙（忽略漏斗管口處）展開，則展開濾紙的圓心角為．【變式10-2】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

【變式10-3】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，請?jiān)诰W(wǎng)格中進(jìn)行下列操作：(1)請?jiān)趫D中確定該圓弧所在圓心D點(diǎn)的位置，D點(diǎn)坐標(biāo)為______；(2)連接AD、CD，則⊙D的半徑為______；扇形DAC的圓心角度數(shù)為______；(3)若扇形DAC是某一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面半徑．【題型11求圓錐的高】【例11】（2023春·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，正六邊形ABCDEF的邊長為12，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫弧CE，得扇形ACE，將扇形ACE圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（

）

A．35 B．63 C．105 【變式11-1】（2023春·云南·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形紙片ABCD中，AD=12cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則該圓錐的高為cm【變式11-2】（2023春·九年級課前預(yù)習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫圓，用圖中陰影部分圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則該圓錐的高為（

）A．4 B．32 C．42 【變式11-3】（2023春·貴州貴陽·九年級貴陽市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF紙片中，AB=6，分別以B、E為圓心，以6為半徑畫AC、DF．小欣把扇形BAC與扇形EDF剪下，并把它們粘貼為一個(gè)大扇形（B與E重合，F(xiàn)與A重合），她接著用這個(gè)大扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為．【題型12求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】【例12】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）圓錐的底面半徑為40cm，母線長80cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是（A．180° B．150° C．120° D．90°【變式12-1】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）圓錐的底面積是側(cè)面積的18，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是【變式12-2】（2023春·云南昆明·九年級?？计谥校┤鐖D，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長為20πcm，側(cè)面積為240πcm2，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是（）度．A．120° B．135° C．150° D．160°【變式12-3】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）圓錐的高為22，母線長為3，沿一條母線將其側(cè)面展開，展開圖（扇形）的圓心角是度，該圓錐的側(cè)面積是（結(jié)果用含π【題型13圓錐的實(shí)際問題】【例13】（2023·安徽·校聯(lián)考二模）《九章算術(shù)》中有如下問題：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有斛．

【變式13-1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝雷要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC，將扇形EAF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合，已知圓錐的底面圓直徑ED=6cm，母線長AD=12cm．(1)求這種加工材料的頂角∠BAC的大小．(2)求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）【變式13-2】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，錨標(biāo)浮筒是打撈作業(yè)中用來標(biāo)記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：mm），電鍍時(shí)，如果每平方米用鋅0.11kg【變式13-3】（2023春·江西南昌·九年級期末）如圖1所示，有一種單層絨布料子的臺燈燈罩，燈罩的上下都是空的把這個(gè)燈罩抽象成一個(gè)幾何體時(shí)，我們稱之為圓臺，它可以理解為把大的圓錐沿著平行于底面⊙O2的圓面⊙O1裁切掉上面的小圓錐得到的，如圖2所示現(xiàn)在要制作這種燈罩，若已知⊙O1的直徑AB=12cm，⊙O2的直徑CD=32cm，點(diǎn)O、O1

【題型14圓錐側(cè)面上最短路徑問題】【例14】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長為6，D為PB的中點(diǎn)．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)D，則螞蟻爬行的最短路程為（）A．3 B．23 C．33【變式14-1】（2023春·九年級校考期中）如圖1，一只螞蟻從圓錐底端點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)A，將圓錐沿母線OA剪開，其側(cè)面展開圖如圖2所示，若∠AOA'=120°，OA=23，則螞蟻爬行的最短距離是【變式14-2】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長SA為4，若小蟲P從點(diǎn)A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點(diǎn)C，則小蟲爬行的最短距離為．【變式14-3】（2023春·遼寧鐵嶺·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，等腰三角形ABC中，當(dāng)頂角∠A的大小確定時(shí)，它的對邊（即底邊BC）與鄰邊（即腰AB或AC）的比值也就確定了，我們把這個(gè)比值記作TA，即TA=∠A的對邊(1)T90°=，T120°=，(2)如圖2，圓錐的母線長為18，底面直徑PQ=14，一只螞蟻從點(diǎn)P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)Q，求螞蟻爬行的最短路徑長．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：T140°≈0.53，T專題24.9弧長和扇形的面積【十四大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求弧長】 1【題型2利用弧長及扇形面積公式求半徑】 5【題型3利用弧長及扇形面積公式求圓心角】 8【題型4求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度】 11【題型5直接求扇形面積】 15【題型6求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】 18【題型7求弓形面積】 24【題型8求其他不規(guī)則圖形的面積】 29【題型9求圓錐側(cè)面積】 34【題型10求圓錐底面半徑】 37【題型11求圓錐的高】 41【題型12求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】 44【題型13圓錐的實(shí)際問題】 47【題型14圓錐側(cè)面上最短路徑問題】 51【知識點(diǎn)弧長和扇形的面積】設(shè)⊙O的半徑為R，n°圓心角所對弧長為l，弧長公式：l=nπR扇形面積公式：S母線的概念：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周任意一點(diǎn)的線段。圓錐體表面積公式：S=πR2+πRl【題型1求弧長】【例1】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是DC延長線上一點(diǎn)，如果⊙O的半徑為6，∠BCE=60°，那么BCD的長為（

）

A．6π B．12π C．2π D．4π【答案】D【分析】連接OB、OD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A=∠BCE=60°，由圓周角定理得出∠【詳解】解∶連接OB、OD，如圖所示∶

∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A=∴∠BOD=2∴BCD的長=120π×6故選∶D．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、弧長公式；熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·四川成都·?？既＃办巢瞧趼菪€”（也稱“黃金螺旋”）是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，人類耳朵的形狀也符合這種螺旋形狀，這種形狀的構(gòu)造幫助人類可以更好地接收聲波，從而增強(qiáng)聽覺．現(xiàn)依次取邊長為1，1，2，3，5……的正方形按如圖所示方式拼接，分別以每個(gè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑作圓弧，連接形成的螺旋曲線即為“斐波那契螺旋線”．那么前五個(gè)正方形內(nèi)形成的曲線ABCDEF的長度是．

【答案】6【分析】觀察圖形可知，螺旋曲線的每一段都是以正方形的邊長為半徑的14【詳解】解：由圖可知，正方形的邊長依次為：1，1，2，3，5……，螺旋曲線的每一段都是以正方形的邊長為半徑的14故前五個(gè)正方形內(nèi)形成的曲線ABCDEF的長度是：14故答案為：6π【點(diǎn)睛】本題考查弧長的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是觀察圖形得出每一段圓弧對應(yīng)的正方形的邊長．【變式1-2】（2023春·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，以AB為直徑的⊙O與AD相交于點(diǎn)E，與BD相交于點(diǎn)F，DF=BF，已知AB=2，∠C=40°，則FB的長為（

）

A．π3 B．2π3 C．π9【答案】D【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式計(jì)算即可．【詳解】如圖，連接AF,OF，

∵AB為⊙O的直徑，∴AF⊥BD，∵DF=BF，∴∠DAF=∠BAF=1∵平行四邊形ABCD，∠C=40°，∴∠DAF=∠BAF=1∴∠BOF=2∠BAF=40°，∵AB=2，∴OB=1∴FB=故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握弧長公式，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·河南濮陽·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形AOB中，圓心角∠AOB=60°，AO=2，分別以O(shè)A，OB的中點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心12

【答案】2π【分析】如圖所示，連接CE，CF，證明四邊形OECF是菱形，得到∠OEC=120°，再利用弧長公式求出【詳解】解：如圖所示，連接CE，由題意得，OE=CE=CF=OF=1∴四邊形OECF是菱形，∴∠OEC=180°?∠EOF=120°，∴CF=同理CE=∴圖中陰影部分的周長為1+1+π故答案為：2π3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求弧長，菱形的性質(zhì)與判定，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型2利用弧長及扇形面積公式求半徑】【例2】（2023春·山西·九年級專題練習(xí)）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，M是“不倒翁”與水平面的接觸點(diǎn)，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點(diǎn)A，B．將“不倒翁”向右作無滑動(dòng)滾動(dòng)，使點(diǎn)B與水平面接觸，如圖3.若∠P=60°，水平面上點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離為4π，則AMB所在圓的半徑是（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】如圖：過A、B作PA,PB的垂線交于點(diǎn)O，O即為圓心；再根據(jù)題意可得∠AOB的度數(shù)，然后可得得到優(yōu)弧AMB對應(yīng)的圓心角，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖：過A、B作PA,PB的垂線交于點(diǎn)O，設(shè)圓的半徑為r∵PA，PB分別與AMB所在圓相切于點(diǎn)A，B，∴O為圓心，∵∠P=60°，∴∠AOB=120°，∴∠MOB=120°，∵水平面上點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離為4π，∴MB∴120°×2πr360°解得：r=6．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長的計(jì)算、切線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是求出優(yōu)弧MB的圓心角．【變式2-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）若弧長為4πcm的扇形的面積為8πcm2，則該扇形的半徑為【答案】4【分析】由一個(gè)扇形的弧長是4πcm，扇形的面積為8πcm2，根據(jù)扇形的面積等于弧長與半徑積的一半，即可求得答案．【詳解】設(shè)半徑是rcm，∵一個(gè)扇形的弧長是4πcm，扇形的面積為8πcm2，∴8π=12解得r=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積公式．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是熟記扇形的公式．【變式2-2】（2023春·湖北黃石·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=60°，BC的長是4π3，則⊙O的半徑是【答案】2【分析】連接OB、OC，利用弧長公式轉(zhuǎn)化為方程求解即可；【詳解】連接OB、OC．∵∠BOC=2∠BAC=120°，BC的長是4π3∴120?π?r180=4π∴r=2．故答案為2．

．【點(diǎn)睛】考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，弧長的計(jì)算等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式．【變式2-3】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C，交AD于點(diǎn)E，若CE的長為2π，則⊙A的半徑為．【答案】8【分析】連接AC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，求出∠DAC=45°，根據(jù)弧長公式求出即可．【詳解】連接AC，∵CD切⊙A于C，∴AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠ACD=90°，∠DAC=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°=∠DAC，∵CE的長為2π，∴45π×AC180解得：AC=8，即⊙A的半徑是8，故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，弧長公式等知識點(diǎn)，能求出∠DAC的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．【題型3利用弧長及扇形面積公式求圓心角】【例3】（2023春·云南紅河·九年級校考階段練習(xí)）將一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積之比為2:3:4，則這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)為（

）A．80°、120°、160° B．60°、120°、180°C．50°、100°、150° D．30°、60°、90°【答案】A【分析】根據(jù)一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積之比為2:3:4，可得這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之比為2:3:4，可設(shè)這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)分別為2x,3x,4x，從而得到2x+3x+4x=360°，即可求解．【詳解】解：∵一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積之比為2:3:4，∴這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之比為2:3:4，設(shè)這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)分別為2x,3x,4x，根據(jù)題意得：2x+3x+4x=360°，解得：x=40°，∴這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)分別為80°,120°,160°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形的圓心角，根據(jù)題意得到這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之比為2:3:4是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框ABC，按圖2方式變形成以A為圓心，AB長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形ABC的圓心角的度數(shù)是（

）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°【答案】D【分析】根據(jù)題意BC的長就是邊BC的長，由弧長公式nπR180【詳解】解：設(shè)AB=BC=x，∴C∴nπx解得：n=180∴圓心角的度數(shù)為：180°故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式的應(yīng)用，掌握公式和理解圖形變化前后對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考二模）如圖1，點(diǎn)C是半圓AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C從點(diǎn)A開始向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，AC的弧長l與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至5秒時(shí)，∠AOC的度數(shù)為（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)圖像可知半圓的周長為10π進(jìn)而得到半圓的半徑為10，再根據(jù)題意得到弧長l與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式及弧長公式即可解答．【詳解】解：設(shè)半圓的半徑為R，∠AOC=n，根據(jù)圖像可知半圓的周長為10π，∴πR=10π，∴R=10，設(shè)弧長l與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式：l=ktk≠0∵圖像經(jīng)過20，10π，∴k=π∴弧長l與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式為l=π∴當(dāng)x=5秒時(shí)，l=5π∴根據(jù)弧長公式可知：nπ×10180∴n=45°,故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形關(guān)系，弧長公式，一次函數(shù)圖像與性質(zhì)，掌握一次函數(shù)與幾何圖形關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個(gè)扇形的面積為10π，弧長為10π3，則該扇形的圓心角的度數(shù)為【答案】100°/100度【分析】根據(jù)弧長和扇形面積關(guān)系可得S=12lR【詳解】∵一個(gè)扇形的弧長是10π3，面積是10π∴S=12lR，即10π=∴S=10π=nπ×62故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算；弧長的計(jì)算．熟記公式，理解公式間的關(guān)系是關(guān)鍵.【題型4求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度】【例4】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，OA⊥OB，C，D分別是射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，CD的長始終為8，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長為

【答案】2π【分析】根據(jù)垂直的定義可知△AOB是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知OE=CE=DE=1【詳解】解：連接OC，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴△AOB是直角三角形，∵CD=8，∴OE=CE=DE=1∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長為弧GD，∴弧GD的長度：90°×π×4180°故答案為2π．

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的性質(zhì)，弧長公式，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合（AB=6），其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時(shí)針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第20秒時(shí)點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長是．

【答案】2π【分析】首先連接OE，由∠ACB=90°，易得點(diǎn)E，A，B，C共圓，然后由圓周角定理，求得點(diǎn)E【詳解】解：連接OE，

∵∠ACB=90°∴A，B，C在以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓上，∴點(diǎn)E，A，B，C共圓，∵∠ACE=3×20°=60°∴∠AOE=2∴點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長=120π·3180故答案為：2π．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式4-2】（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，把一個(gè)含30°角的直角三角板ABC在桌面上沿著直線l無滑動(dòng)的翻滾一周，若BC=1，∠A=30°，則點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑長是．

【答案】8+3【分析】根據(jù)題意，可知點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑為AD和A'D，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的特點(diǎn)求出【詳解】解：根據(jù)題意，可知點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑為AD和A'D，∠ACD=90在Rt△ABC中∴AC=CD=3，D∴點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑長為90180故答案為：8+33

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，確定出點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·四川廣元·九年級校考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點(diǎn)E、F是以斜邊AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是EF上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為．【答案】23π【分析】令A(yù)B、AC、BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)O、G、H，連接OP、OC、OG、OH、OM，易證△COP為等腰三角形，根據(jù)三線合一可得，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為以GH中點(diǎn)為圓心，以12GH為半徑，圓心角為【詳解】解：令A(yù)B、AC、BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)O、G、H，連接OP、OC、OG、OH、OM，∵AB為⊙O直徑，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，∴OA=OP，∵∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，∴OC=1∴△COP為等腰三角形，∵點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，∴OM⊥PC，則∠OMC=90°，∵點(diǎn)E、F是以斜邊AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為以GH中點(diǎn)為圓心，以12GH為半徑，圓心角為∵點(diǎn)G、O、H、分別為AC、BC、AB中點(diǎn)，AC=BC=4，∴GO∥BC，GO=1∵∠ACB=90°，∴四邊形GCHO為正方形，GH=2∴OC=GH,∠GOH=90°，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長為60180故答案為：23【點(diǎn)睛】本題主要考查了求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及圓周角確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為以GH為直徑的半圓．【題型5直接求扇形面積】【例5】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，其半徑為1，作OF⊥BC交⊙O于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為（

）

A．π3 B．2π5 C．3π10【答案】C【分析】連接OA、OB、OC，求出∠AOF，再利用扇形公式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：連接OA、OB、OC，∵正五邊形ABCDE，∴∠AOB=∠BOC=360°÷5=72°，OB=OC，∵OF⊥BC，∴∠BOF=1∴∠AOF=108°，∴S=108°×π

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握扇形面積公式和求出AC所對的圓心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·吉林·九年級校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△OAB是等邊三角形，AB=4，分別以點(diǎn)B，D為圓心，AO長為半徑畫弧，與該矩形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）

【答案】8【分析】由矩形ABCD，△OAB是等邊三角形，AB=4，可得∠ABC=90°，∠ABO=60°，OB=AB=4，則∠OBC=30°，根據(jù)S陰影【詳解】解：∵矩形ABCD，△OAB是等邊三角形，AB=4，∴∠ABC=90°，∠ABO=60°，OB=AB=4，∴∠OBC=30°，∴S陰影故答案為：83【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，扇形面積．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式5-2】（2023春·江蘇連云港·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知半徑為1的⊙O上有三點(diǎn)A、B、C，OC與AB交于點(diǎn)D，∠ADO=85°，∠CAB=20°，則陰影部分的扇形OAC面積是．

【答案】5π36【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠C=∠ADO?∠CAB=65°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AOC=50°，由扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ADO=85°，∠CAB=20°，∴∠C=∠ADO?∠CAB=65°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=65°，∴∠AOC=50°，∴陰影部分的扇形OAC面積=50故答案為：5π【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和求出∠AOC=50°是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是長方形，以BC為直徑的半圓與AD邊只有一個(gè)交點(diǎn)，且AB=x，則陰影部分的面積為．

【答案】π【分析】作OF⊥AD，則三角形BOP與三角形DEP全等，那么陰影部分的面積=扇形BOF的面積．依此根據(jù)面積公式計(jì)算．【詳解】解：作OF⊥AD

∵OB=DF∠FDB=∠OBD∠FPD=∠BPO∴△DFP≌△BOP∴根據(jù)扇形面積公式得：陰影部分面積=90π×故答案為：πx【點(diǎn)睛】本體考查了求不規(guī)則圖形的面積，解題的關(guān)鍵是看出陰影部分的面積是由哪幾部分組成的．然后根據(jù)面積公式計(jì)算．【題型6求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】【例6】（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知A、D是⊙O上任意兩點(diǎn)，且AD=6，以AD為邊作正方形ABCD，若AD邊繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，則BC邊掃過的面積為．

【答案】9π【分析】如圖所示，連接OD、OC，過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，延長OE交BC于點(diǎn)F．則BC邊掃過的面積為以O(shè)C為外圓半徑、OF為內(nèi)圓半徑的圓環(huán)面積，利用垂徑定理即可得出DE=AE=3，進(jìn)而可得出CF=DE=3，再根據(jù)圓環(huán)的面積公式結(jié)合勾股定理即可得出BC邊掃過的面積．【詳解】解：如圖所示，連接OD、OC，過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，延長OE交BC于點(diǎn)F．

∵AD為弦，OE⊥AD，∴由垂徑定理可得DE=AE=1∵四邊形ABCD為正方形，∴BC∥AD，AD=BC=6，∴∠CFO=∠DEO=90°，∴四邊形DEFC為矩形，CF=DE=3．∵AD邊繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，則BC邊掃過的圖形為以O(shè)C為外圓半徑，OF為內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，∴圓環(huán)面積為S=π?OC故答案為：9π．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及圓環(huán)的面積公式，結(jié)合AD邊的旋轉(zhuǎn)，找出BC邊旋轉(zhuǎn)過程中掃過的區(qū)域的形狀是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=1，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點(diǎn)A2；將OA2繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥OA3交y【答案】2【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出扇形的半徑，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律S【詳解】由題意△A1OA2、△∴OA2=2，OA∴S1=45π×12360=18∴Sn∴S2022故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及扇形的面積，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律Sn【變式6-2】（2023春·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示．（每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形）

(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的△A(2)將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△A2BC2【答案】(1)見詳解(2)見詳解，13【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)對稱的對稱點(diǎn)，再順次連接可得；（2）分別作出點(diǎn)A、C繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接可得△A【詳解】（1）解：如下圖，△A

（2）如圖，△A由圖可知，AB=3則線段BA掃過的區(qū)域的面積為S=90°【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖﹣中心對稱變換和旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理以及扇形面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中心對稱和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出變換后的對應(yīng)點(diǎn)．【變式6-3】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在平面內(nèi)，將小棒AB經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，使它調(diào)轉(zhuǎn)方向(調(diào)轉(zhuǎn)前后的小棒不一定在同一條直線上)，那么小棒掃過區(qū)域的面積如何盡可能地小呢？已知小棒長度為4，寬度不計(jì)．方案1：將小棒繞AB中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°到B'A'方案2：將小棒先繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AC，再繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到CB，最后繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到B'A'

(1)①S1=______，S2②比較S1與S2的大?。?參考數(shù)據(jù)：π≈3.14，(2)方案2可優(yōu)化為方案3：首次旋轉(zhuǎn)后，將小棒先沿著小棒所在的直線平移再分別進(jìn)行第2、3次旋轉(zhuǎn)，三次旋轉(zhuǎn)掃過的面積會重疊更多，最終小棒掃過的區(qū)域是一個(gè)等邊三角形．①補(bǔ)全方案3的示意圖；②設(shè)方案3中小棒掃過區(qū)域的面積為S3，求S(3)設(shè)計(jì)方案4，使小棒掃過區(qū)域的面積S4小于S【答案】(1)①4π，8π?83；②(2)①見解析；②S(3)見解析【分析】（1）①利用圓的面積公式計(jì)算S1，利用方案2掃過區(qū)域?yàn)槿齻€(gè)圓心角為60°且半徑為4的扇形面積減去兩倍△ABC的面積計(jì)算S②利用參考數(shù)據(jù)計(jì)算近似值再比較即可；（2）①依題意補(bǔ)全方案3的示意圖即可；②利用等邊三角形的高是4，計(jì)算出底邊，再利用面積公式計(jì)算即可；（3）作等邊△ABC，首先讓點(diǎn)B在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在CB的延長線上，運(yùn)動(dòng)，使得AB的長度保持不變，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，由此AB邊調(diào)轉(zhuǎn)到ACA'B'邊，接著兩次同樣的方式旋轉(zhuǎn)到BCA【詳解】（1）解：①由依題意得：AB=2r=4，∴r=2，∴S又依題意得：方案2掃過區(qū)域?yàn)槿齻€(gè)圓心角為60°且半徑為4的扇形面積減去兩倍△ABC的面積．等邊三角形的面積公式：S=34a∴S故答案是：4π，8π?83②∵S1=4π≈4×3.14=12.56，S2∴S1（2）①依題意補(bǔ)全方案3的示意圖如下：

②連接EM，M為切點(diǎn)，則AA'

設(shè)AM=x，則AE=2x，由勾股定理得：AM2+E解得：x=4∴AA∴S3（3）設(shè)計(jì)方案4：如下圖，△ABC是等邊三角形，首先讓點(diǎn)B在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在CB的延長線上運(yùn)動(dòng)，使得AB的長度保持不變，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，由此AB邊調(diào)轉(zhuǎn)到ACA'B'邊，接著兩次同樣的方式旋轉(zhuǎn)到

對于第一次旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)AB旋轉(zhuǎn)到DH時(shí)，此時(shí)DH⊥BC，又作DE平行AB依題意得：陰影部分比等邊三角形ABC多三塊全等的圖形，記每塊面積為a，則有a<S△ADF，F(xiàn)為∵S△ADF∴S△ADF∴a<S∴S4【題型7求弓形面積】【例7】（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，BD⊥CE于點(diǎn)D，BC平分∠ABD．(1)求證：直線CE是⊙O的切線；(2)若∠ABC=30°,⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接OC，根據(jù)OB=OC，以及BC平分∠ABD推導(dǎo)出∠OCB=∠DCB，即可得出BD∥OC，從而推出（2）過點(diǎn)O作OF⊥CB于F，利用S陰影【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DCB，∴∠OCB=∠DCB，∴BD∥∵BD⊥CE于點(diǎn)D，∴OC⊥DE，∴直線CE是⊙O的切線；（2）過點(diǎn)O作OF⊥CB于F，如圖，∵∠ABC=30°，OB=2，∴OF=1，BF=OB?cos∴BC=2BF=23∴S△OBC∵∠BOF=90°?30°=60°，∴∠BOC=2∠BOF=120°，∴S扇形∴S陰影【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，包括垂徑定理，圓的切線，扇形的面積公式等，熟練掌握以上性質(zhì)并正確作出輔助線是本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，若CD=23，CB＝2，則陰影部分的面積是【答案】2π【分析】連接OC，設(shè)CD與AB的交點(diǎn)為E，利用垂徑定理、勾股定理判定△OBC是等邊三角形，運(yùn)用扇形的面積減去△OBC的面積即可．【詳解】連接OC，設(shè)CD與AB的交點(diǎn)為E，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，CD=23，CB∴CE=3，BE=∴∠ECB=30°，∠CBE=60°，∵CO=BO，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=2，∴S=2π3故答案為：2π3【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將半徑為5cm的扇形OAB沿西北方向平移2cm，得到扇形O'A'B'【答案】25π+10【分析】設(shè)AB分別與O'A'、O'B'交于F、E，延長【詳解】解：設(shè)AB分別與O'A'、O'B'交于F、由題意得O'E=O∴S陰影故答案為：25π+102【點(diǎn)睛】本題主要考查了求不規(guī)則圖形的面積，平移的性質(zhì)，正確理解題意得到S陰影【變式7-3】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，已知⊙O的半徑為1，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB=150°，則弓形ACB（陰影部分）的面積為．（結(jié)果保留π或根號）【答案】π【分析】在弦AB把⊙O分成的優(yōu)弧上取一點(diǎn)D，連接OA，OB，AD，BD，過點(diǎn)O作OE⊥AB于E．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理確定∠AOB=60°，進(jìn)而求出扇形OAB的面積，根據(jù)等邊三角形的判定定理和性質(zhì)求出AB的長度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出OE的長度，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求出△OAB的面積，最后用扇形OAB的面積減去△OAB的面積即可求出弓形OAB的面積．【詳解】解：如下圖所示，在弦AB把⊙O分成的優(yōu)弧上取一點(diǎn)D，連接OA，OB，AD，BD，過點(diǎn)O作OE⊥AB于E．∵四邊形ACBD內(nèi)接于⊙O，∴∠ACB+∠ADB=180°．∵∠ACB=150°，∴∠ADB=180°-∠ACB=30°．∵∠AOB和∠ADB分別是AB所對的圓心角和圓周角，∴∠AOB=2∠ADB=60°．∵⊙O的半徑是1，∴OA=OB=1．∴△OAB是等邊三角形，S扇形OAB=60×π×∴AB=OA=1．∵OE⊥AB，∴AE=BE．∴AE=1∴OE=O∴S△OAB∴S弓形OAB=S扇形OAB?S故答案為：π6【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定定理和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，扇形面積公式，綜合應(yīng)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【題型8求其他不規(guī)則圖形的面積】【例8】（2023·山西長治·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，CA=CB，AB=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點(diǎn)E、F、G、H，若點(diǎn)E、F是線段AC的三等分點(diǎn)時(shí)，圖中陰影部分的面積為（

）

A．82?2π B．162?4π【答案】A【分析】連接CD，由等腰三角形的性質(zhì)可得CD⊥AB，AD=BD=2，由題意可得AC=BC=3AD=6，由勾股定理可得CD=42，再由S【詳解】解：如圖，連接CD，

，∵CA=CB，AB=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，AD=BD=2，∵分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點(diǎn)E、F、G、H，點(diǎn)E、F是線段AC的三等分點(diǎn)，∴AC=BC=3AD=6，∴CD=A∴=1==8=82故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形面積的計(jì)算，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,BC=6，將四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至AB'C'D

【答案】3π【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AN及AB的長，再由三角形的面積公式求出△ABC的面積，由扇形的面積公式得出扇形BAB及扇形CAC'的面積，由【詳解】解：連接AC∵在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,BC=6，∠BAC=30°，∴AC=12，AB=122?∴BAB∴S1∵S△AB'∴S2∴S陰影故答案為：3π．

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，扇形OAB的半徑OA=2cm，∠AOB=120°，則以AB為直徑的半圓與AB圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積是cm

【答案】π+6【分析】根據(jù)垂直的定義及直角三角形的性質(zhì)可知OP=12OA=1【詳解】解：過點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，∴AP=BP，∵OA=OB，OA=2cm∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠OAP=30°，∴OP=1在Rt△AOP中，由勾股定理得：AP=∴AB=2AP=23∴S△AOB∴S半圓∵扇形OAB的半徑OA=2cm，∠AOB=120°∴S△OAB∴S陰影===π+6∴陰影部分的面積是π+63故答案為：π+63

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積，掌握垂直的定義及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于點(diǎn)D，E是邊BC的中點(diǎn)，連接DE．若AD，AB的長是方程x2?6x+8=0

A．83?4π3 B．43?【答案】B【分析】連接OD，BD，OE．根據(jù)直徑所對的圓周角為90°得出∠ADB=90°，根據(jù)因式分解法解方程求出AD=2，AB=4，并判定△AOD為等邊三角形，再根據(jù)扇形的面積公式即可求出S扇形BOD=4π3，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出BC=43，然后利用【詳解】解：連接OD，BD，OE．

∵AB是直徑，∴∠ADB=90°．∵AD，AB的長是方程x2?6x+8=0的兩個(gè)根，解得x1∴AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．∵AO=DO，∴∠AOD=60°，∴∠BOD=120°，△AOD為等邊三角形∴OB=OA=AD=2∴S扇形∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°．在Rt△ADB中，由勾股定理得BD=∴BC=43，CD=6∵E是BC的中點(diǎn)，∴DE=BE=BD=23在△ODE和△OBE中OD=OB∴△ODE≌△OBESSS∴S陰影=2×=43故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、扇形的面積公式、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定及性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，數(shù)量掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【題型9求圓錐側(cè)面積】【例9】（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為1，以陰影部分為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，從剩余部分剪出一個(gè)圓作為圓錐底面，則圓錐的全面積為．【答案】49π【分析】先求出陰影部分的面積和AC的長，再求出所圍圓錐的底面半徑，求出底面積即可．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°．∴∠AOC=120°，∴S扇形OAC=設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr=2π∴r=1∴圓錐的底面積=π×1∴圓錐的全面積=1故答案為：49【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．【變式9-1】（2023·福建南平·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無底的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長為10πcm,扇形的圓心角的度數(shù)是120°，則圓錐的側(cè)面積為（結(jié)果保留π

【答案】75π．【分析】由題意可知圓錐展開后的側(cè)面扇形的弧長為10πcm，設(shè)扇形的半徑為r，根據(jù)扇形的弧長公式可得r=15【詳解】解：∵圓錐的底面圓周長為10πcm∴圓錐展開后的側(cè)面扇形的弧長為10π設(shè)扇形的半徑為r，由題意可得：120°×2πr360°=10π，解得：則扇形的面積為：120°×π×15故答案為75π．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·河北廊坊·統(tǒng)考一模）如圖1，冰激凌的外殼（不計(jì)厚度）可近似的看作圓錐，其母線長為12cm，底面圓直徑長為8（1）這個(gè)冰激凌外殼的側(cè)面展開圖的形狀是；（2）當(dāng)冰激凌被吃掉一部分后，其外殼仍可近似的看作圓錐，如圖2，其母線長為9cm，則此時(shí)冰激凌外殼的側(cè)面積為cm2．（結(jié)果保留【答案】扇形27π【分析】（1）由圓錐的性質(zhì)可知其展開圖是扇形；（2）根據(jù)圓錐側(cè)面積計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：（1）有圓錐的性質(zhì)可知其展開圖是扇形；（2）圖1圓錐展開圖對應(yīng)扇形所對圓心角與半徑12cm的圓的圓心角比為：8π母線長為9cm，則此時(shí)冰激凌外殼的側(cè)面積為：9故答案為：扇形；27π．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的性質(zhì)及圓錐側(cè)面積的求解，掌握相關(guān)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖是一張直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝2cm，DB＝4cm，DE⊥AB．若將該卡片繞直線DE旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體的表面積為cm2．

【答案】16π＋162π．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到若將該卡片繞直線DE旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體是一個(gè)以BD為底面圓半徑的圓臺，上面去掉一個(gè)以CF為底面，高為EF的圓錐，利用圓的面積公式，圓錐側(cè)面的面積公式計(jì)算即可.【詳解】∵AD＝2cm，DB＝4cm，∴AB=6cm，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CH=3cm，過點(diǎn)C作CF⊥直線DE于F，作CH⊥AB于H，則四邊形CFDH是矩形，∴DF=CH=3cm，∵DE⊥AB，∴DE=AD=2cm，∠CEF=∠AED=45°，∴CF=EF=DF-DE=1cm，∵若將該卡片繞直線DE旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體是一個(gè)以BD為底面圓半徑的圓臺，上面去掉一個(gè)以CF為底面，高為EF的圓錐，如圖，底面圓的面積=π?4外側(cè)面積=π×4×42上面圓錐側(cè)面面積=π×1×2∴形成的幾何體的表面積為16π+15故答案為：16π+162

【點(diǎn)睛】此題考查平面圖形旋轉(zhuǎn)得到幾何體，考查空間想象能力，考查了圓的面積公式，圓錐的側(cè)面面積公式，此題能根據(jù)圖形利用空間想象能力得到旋轉(zhuǎn)后的幾何體為上面去掉一個(gè)圓錐的圓臺由此進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.【題型10求圓錐底面半徑】【例10】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

【答案】2【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用圓錐的底面圓周長是扇形的弧長計(jì)算即可．【詳解】解：∵正六邊形的外角和為360°，∴每一個(gè)外角的度數(shù)為360°÷6=60°，∴正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180°?60°=120°，設(shè)這個(gè)圓錐底面圓的半徑是r，根據(jù)題意得，2πr=120π×2解得r=2故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓及圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是求得正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)，并理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．【變式10-1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖漏斗，圓錐形內(nèi)壁的母線OB長為6cm，開口直徑為6cm．（1）因直管部分堵塞，漏斗內(nèi)灌滿了水，則水深cm；（2）若將貼在內(nèi)壁的濾紙（忽略漏斗管口處）展開，則展開濾紙的圓心角為．【答案】33180°【分析】（1）勾股定理求出圓錐的高即可；（1）利用圓錐底面周長等于扇形的弧長，列式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）由題意，得，圓錐的底面半徑為62∴圓錐的高為62即：水深33故答案為：33（2）由題意，得：nπ180∴n=180，∴展開濾紙的圓心角為180°；故答案為：180°．【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐的高，以及求扇形的圓心角．熟練掌握扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

【答案】2【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用圓錐的底面圓周長是扇形的弧長計(jì)算即可．【詳解】解：∵正六邊形的外角和為360°，∴每一個(gè)外角的度數(shù)為360°÷6=60°，∴正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180°?60°=120°，設(shè)這個(gè)圓錐底面圓的半徑是r，根據(jù)題意得，2πr=120π×2解得r=2故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓及圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是求得正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)，并理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．【變式10-3】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，請?jiān)诰W(wǎng)格中進(jìn)行下列操作：(1)請?jiān)趫D中確定該圓弧所在圓心D點(diǎn)的位置，D點(diǎn)坐標(biāo)為______；(2)連接AD、CD，則⊙D的半徑為______；扇形DAC的圓心角度數(shù)為______；(3)若扇形DAC是某一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面半徑．【答案】(1)畫圖見解析，2(2)25，(3)5【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分線的交點(diǎn)D，設(shè)D2，y（2）利用勾股定理求出AD，AC得長，即可得到圓的半徑長，再根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ADC是直角三角形，即∠ADC=90°，則扇形DAC的圓心角度數(shù)為（3）先求得扇形弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑．【詳解】（1）解：作AB、BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D．設(shè)D2∵AD=CD，∴22解得：y=0，∴D2（2）解：如圖所示，連接AC，由（1）得AD=A∴⊙D的半徑為25∵AC=6?0∴AD∴△ADC是直角三角形，即∠ADC=90°，∴扇形DAC的圓心角度數(shù)為90°，故答案為：25，90°（3）解：由題意得，該圓錐的底面半徑為90×π×25【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論以及圓錐的有關(guān)計(jì)算，勾股定理和勾股定理得逆定理．用到的知識點(diǎn)為：非直徑的弦的垂直平分線經(jīng)過圓心；圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面圓周長．【題型11求圓錐的高】【例11】（2023春·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，正六邊形ABCDEF的邊長為12，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫弧CE，得扇形ACE，將扇形ACE圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（

）

A．35 B．63 C．105 【答案】D【分析】求得弧CE的長即為圓錐的底面周長，求得底面半徑再由勾股定理解答即可．【詳解】解：過B作BP⊥AC于點(diǎn)P，連接CE，

∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是120°，每條邊都相等，∴∠ABP=60°，AC=AE=CE∴AC=2AP=2AB?sin60°=123∴∠CAE=60°，∵CE的圓心角為60°，∴CE的長為60π∴圓錐底面半徑r=4∴圓錐高為AC故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)，弧長公式，勾股定理，圓錐的側(cè)面展開：如果把圓錐的側(cè)面沿著它的一條母線剪開，那么它的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐底面圓的周長，圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積．【變式11-1】（2023春·云南·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形紙片ABCD中，AD=12cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則該圓錐的高為cm【答案】2【分析】根據(jù)題意可得AF的長度與⊙O的周長相等，設(shè)BF=x，則CF=12?x，列出方程求解，再根據(jù)BF為圓錐的母線，圓錐的母線，圓錐的高，圓錐的底面半徑構(gòu)成直角三角形，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)BF=x，則CF=12?x，12?xπ=解得：x=8，∴CF=12?8=4cm∴圓錐的底面半徑為4×12根據(jù)勾股定理可得：該圓錐的高為=8故答案為：215【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐、矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于理解圓錐的側(cè)面展開圖與圓錐底面圓之間的關(guān)系，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．【變式11-2】（2023春·九年級課前預(yù)習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫圓，用圖中陰影部分圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則該圓錐的高為（

）A．4 B．32 C．42 【答案】C【分析】先計(jì)算出扇形的弧長，即圓錐的底面周長，從而得到圓錐的底面半徑，然后利用勾股定理求出圓錐的高．【詳解】解：∵正六邊形的外角和為360°，∴正六邊形的每個(gè)外角的度數(shù)為360°÷6=60°，∴正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180°?60°=120°，設(shè)該圓錐的底面半徑為r，則2πr=120解得r=2，∴該圓錐的高為62故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓及圓錐的相關(guān)計(jì)算，以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握扇形與扇形所圍圓錐側(cè)面之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式11-3】（2023春·貴州貴陽·九年級貴陽市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF紙片中，AB=6，分別以B、E為圓心，以6為半徑畫AC、DF．小欣把扇形BAC與扇形EDF剪下，并把它們粘貼為一個(gè)大扇形（B與E重合，F(xiàn)與A重合），她接著用這個(gè)大扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為．【答案】2【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和弧長的公式即可得到結(jié)論?！驹斀狻空呅蜛BCDEF紙片中，∠ABC=∠DEF=120°，lAC圓錐的底面半徑為8π圓錐的高為62故答案為25【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，勾股定理，弧長的計(jì)算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【題型12求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】【例12】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）圓錐的底面半徑為40cm，母線長80cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是（A．180° B．150° C．120° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑求得圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長，再利用已知的母線長求得圓錐的側(cè)面展開扇形的面積，再利用扇形的另一種面積的計(jì)算方法求得圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角即可.【詳解】∵圓錐的底面半徑為40∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為2πr=2×40π∵母線長80∴圓錐的側(cè)面展開扇形的面積為1∴nπ×解得，n∴側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為180°故答案選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的底面半徑，側(cè)面積，明確圓錐的側(cè)面展開扇形與圓錐的側(cè)面關(guān)系解題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）圓錐的底面積是側(cè)面積的18，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是【答案】45【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為n°，先根據(jù)扇形的面積公式和已知得到πr2=18×1【詳解】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為n°，根據(jù)題意得πr解得l=8r，因?yàn)?πr=n即2πr=n解得n=45，即該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為45°．故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，熟練掌握圓錐的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式12-2】（2023春·云南昆明·九年級校考期中）如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長為20πcm，側(cè)面積為240πcm2，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是（）度．A．120° B．135° C．150° D．160°【答案】C【分析】先設(shè)圓錐的母線長為lcm,由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據(jù)扇形的面積公式得到12×20π×l=240π，解得l=24，然后設(shè)這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是n°，利用弧長公式得到20π=【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為lcm，則12×20π×l＝240π解得l＝24，設(shè)這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是n°，根據(jù)題意得20π=n×π×24解得n＝150，即這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是150°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了弧長公式．【變式12-3】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）圓錐的高為22，母線長為3，沿一條母線將其側(cè)面展開，展開圖（扇形）的圓心角是度，該圓錐的側(cè)面積是（結(jié)果用含π【答案】1203π【分析】根據(jù)勾股定理，先求出圓錐底面半徑，進(jìn)而得出底面周長，即圓錐展開圖的弧長，根據(jù)圓錐母線為圓錐的側(cè)面展開圖的半徑，結(jié)合扇形弧長公式和面積公式，即可求解．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：圓錐底面半徑=3∴該圓錐底面周長=2π，∵圓錐母線長為3，∴該圓錐的側(cè)面展開圖的半徑為3，∴nπ×3180=2π，解得：即展開圖（扇形）的圓心角是120度，圓錐的側(cè)面積=1故答案為：120，3π．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐地面半徑，扇形面積公式和弧長公式，解題的關(guān)鍵是掌握弧長l=nπr180，扇形面積【題型13圓錐的實(shí)際問題】【例13】（2023·安徽·校聯(lián)考二模）《九章算術(shù)》中有如下問題：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有斛．

【答案】22【分析】根據(jù)米堆的底部的弧度即底面圓周的四分之一為8尺，可求出圓錐的底面半徑，從而計(jì)算出米堆的體積，用體積除以每斛的體積即可求得斛數(shù)．【詳解】解：設(shè)米堆所在圓錐的底面半徑為r尺，由題意，得：14∴r=16∴米堆的體積為：14∴米堆的斛數(shù)為：35.561.62故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算及弧長的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出圓錐的知識，難度不大．【變式13-1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝雷要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC，將扇形EAF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合，已知圓錐的底面圓直徑ED=6cm，母線長AD=12cm．(1)求這種加工材料的頂角∠BAC的大?。?2)求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）【答案】(1)∠BAC=90°(2)144?36【分析】（1）設(shè)∠BAC=n，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的扇形面積公式，即可求解；（2）分別求得△ABC和扇形AEF的面積，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解