人教版數(shù)學(xué)九年級上冊21.2.2公式法

21.2.2公式法第一課時（王鵬鵬）

一、教學(xué)目標

（一）學(xué)習(xí)目標

1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程.

2.掌握公式結(jié)構(gòu)，知道使用公式前先將方程化為一般形式，通過判別式判斷根的

情況.

（二）學(xué)習(xí)重點

掌握一元二次方程的根的判別式.

（三）學(xué)習(xí)難點

理解求根公式的推導(dǎo)過程及判別公式的應(yīng)用.

二、教學(xué)設(shè)計

（-）課前設(shè)計

預(yù)習(xí)任務(wù)

求根公式解方程的一般步驟：

1、把方程化成一般形式,并寫出a,Ac的值.

2、求出-4近的值.

3、代入求根公式：x=—~—~~色L,（a#0,扶-4acN0）

2a

4、寫出方程的解：石=土工1三2,七二土正三還

2a-2a

預(yù)習(xí)自測

1.一般地，對于一元二次方程加+灰+。=0（存0）,當b2-4ac>0時,它的根是,

當b2-4ac<0時，方程.

【知識點】求根公式

【解題過程】當廿-4。叱0時，4-"'"二4竺,當匕2_4改<0時，無實數(shù)根

2a

【思路點撥】一元二次方程的求根公式.

rAA-eta'?-b^yb~-4<2C

【答案】4-----------------,無實數(shù)根

2a

2.方程ax2+hx+c=O（爾0）有兩個相等的實數(shù)根，則有,若有兩個不相

等的實數(shù)根，則有，若方程無解，則有.

【知識點】一元二次方程的根的情況.

【解題過程】b2-4ac=0,b2-4ac>0,b2-4ac<0

【思路點撥】一元二次方程的求根公式適用條件.

【答案】b2-4ac=Q,b2-4ac>Q,b2-4ac<0

3.不解方程，判定2?-3=4x的根的情況是（填“兩個不等實根”或“兩個相

等實根或沒有實根”）

【知識點】一元二次方程的求根公式.

【解題過程】原方程可化為

2X2-4X-3=0

a=2,b=-4,c=-3

A=/>2-4ac>0

.?有兩個不等實根

【思路點撥】一元二次方程的求根公式

【答案】有兩個不等實根

4.下列一元二次方程沒有實數(shù)根的是（）

A.x2+2x+1=0B.x2+x+2=0C.x2-1=0D.x2-2x-1=0

【知識點】根的判別式.

【解題過程】解：A.A=22-4xlxl=0,方程有兩個相等實數(shù)根，此選項錯誤；

B.A=12-4x1x2=-7<0,方程沒有實數(shù)根，此選項正確；

C.A=0-4xlx（-1）=4>0,方程有兩個不等的實數(shù)根，此選項錯誤；

D.A=（-2）2-4X]X（-1）=8>0,方程有兩個不等的實數(shù)根，此選項錯誤；

【思路點撥】求出每個方程的根的判別式，然后根據(jù)判別式的正負情況即可作出

判斷.

【答案】B.

（二）課堂設(shè)計

1.知識回顧

用配方法解一元二次方程的步驟是：

(1)化二次項系數(shù)為1——兩邊同除以二次項的系數(shù)；

(2)移項——將含有x的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；

(3)方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；

(4)將原方程變成(x+m)2=〃的形式；

(5)判斷右邊代數(shù)式的符號，若〃NO,可以直接開方求解；若〃<0原方程無

解.

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶配方法解一元二次方程的基本思路及基本步驟，為本節(jié)課的學(xué)

習(xí)做好鋪墊.

2.問題探究

探究一探索一元二次方程的求根公式

?活動①復(fù)習(xí)舊知

用配方法解下列方程：

(l)x2=4

(2)/=0

⑶_?=-4

(4)6x2-7x+l=0

解:

(I)%!=2,X2=—2

(2)玉=X2=Q

⑶方程無實數(shù)根(解)

(4)移項得到6x2-Jx=-1,

二次項系數(shù)化為1,得到

66

配方得到^--X+(-1)2=-1+(2_)2

612612

寫成(X+〃2)2=〃形式得到(心二)2=巨，

12144

直接開平方，得到42=土巨，

1212

,1

%=1，々=-

O

教師問：為什么有的方程有兩個不等的實數(shù)根？有的方程有兩個相等的實數(shù)根,

有的方程沒有實數(shù)根呢？

學(xué)生答：當被開方數(shù)大于0的時候有兩個不等的實數(shù)根;

當被開方數(shù)等于0的時候有兩個相等的實數(shù)根；

當被開方數(shù)小于0的時候沒有實數(shù)根.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在用配方法的基礎(chǔ)上解一元二次方程，探索出方程的根的情

況.

?活動②以舊引新

問題1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程O?+云+c=0(存0)轉(zhuǎn)化為

(x+m)2=n的形式嗎？

說明：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的過程，讓學(xué)

生分組討論交流，達成共識，最后化成(葉2)2=匕當

2a4a2

?.Z/),方程兩邊都除以a,得f+2x+￡=()

aa

移項，得紇=-￡

aa

配方，得f+2x+(2)2=-￡+(2)2

a2aa2a

問題2：當〃-4acK),且a邦時，C二竺大于等于零嗎？

4a

教師讓學(xué)生思考，分析，發(fā)表意見，得出結(jié)論：當廬.4。企0時，因為好0,

說以4a2>0,從而得出匕二把NO

問題3：在問題2的條件下直接開平方，你得到了什么？

讓學(xué)生討論可得x+—=±\?-4訛

laVla

,b-4〃cy/b2-4ac

說明：若有必要可讓學(xué)生討論V4/2a為什么成立.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在配方法的基礎(chǔ)上解一元二次方程，進而探索出配方法.并

學(xué)生探索出公式法的使用條件.

探究二證明一元二次方程的求根公式.O

?活動①大膽猜想，探究新知

由問題1,問題2,問題3,你能得出什么結(jié)論？

讓學(xué)生討論，交流，從中得出結(jié)論，當/_4℃加時，一般形式的一元二次方

程a?+^+c=O（a/O）的根為x+2=±也三四，即產(chǎn)一匕士"？"竺

2a2a2a

由以上研究結(jié)果得到了一元二次方程加+次+c=0（存0）的求根公式：

戶士企二處（。2-4澗？0）,這個公式就稱為“求根公式利用它解一元二

2a

次方程的方法叫做公式法.

（1）求根公式x=-b±Jb〈4ac（扶一而史。）是專指一元二次方程的求根公式，

2a

〃-4acK）是一元二次方程加+法+c=0（a/0）求根公式的重要條件.

（2）用公式法（求根公式）解一元二次方程，實際上就是給出a、b.c的數(shù)值

（或表示式），然后對代數(shù)式一"而-4",進行求值，由于這樣的計算比較復(fù)雜,

2a

所以提醒學(xué)生計算時注意a、b、c的符號.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生建立用公式法解一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的建

模思想.

?活動②集思廣益，探究一元二次方程解的情況

老師問：當。2_4acK），方程才有實數(shù)根，那么什么時候有兩個相等實數(shù)根？什么

時候有兩個不等實數(shù)根？什么時候沒有實數(shù)根呢？

b2-4ac=0,有兩個相等實數(shù)根；

b2-4ac>0,有兩個不等實數(shù)根；

b2-4ac<0,沒有實數(shù)根.

一般的，式子〃一4ac,叫做一元二次方程0?+笈+。=0根的判別式，通常用希臘

字母△表示它，即A=〃一4ac

【設(shè)計意圖】將公式法的公式進行拓展，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和知識遷移能力.

探究三利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況.O

?活動①用根的判別式判斷方程解的個數(shù)

例1.下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）

A.4X2-5x+2=0B.x2-6x+9=0C.5X2-4x-1=0D.3x2-4x+l=0

【知識點】根的判別式.

【解題過程】解：A：A=25-4x2x4=-7<0,...方程沒有實數(shù)根，故本選項正

確；

B：A=36-4xlx9=0,...方程有兩個相等的實數(shù)根，故本選項錯誤；

CVA=16-4x5x（-1）=36>0,...方程有兩個不等的實數(shù)根，故本選項錯誤;

DVA=16-4xlx3=4>0,二方程有兩個不等的實數(shù)根，故本選項錯誤；

【思路點撥】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:

（1）△>（）=方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）△=（）=方程有兩個相等的實數(shù)根；

（3）△<（）=方程沒有實數(shù)根.

【答案】A

練習(xí)1.下列方程有實數(shù)根的是（）

A.x2-x-1=0B.J^+X+1=0C.x2-6x+10=0D.x2-V2x+l=0

【知識點】根的判別式

【解題過程】解：A、△="-4?c=（-l）2-4xlx（-1）=5>0,則方程有實數(shù)根.故

正確；

B、A=1-4x1x1=-3<0,則方程無實數(shù)根，故錯誤；

C、A=36-4x1x10=-4<0,則方程無實數(shù)根，故錯誤；

D、A=2-4x1x1=-2<0,則方程無實數(shù)根，故錯誤.

故選A.

【思路點拔】判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式2白~^aC的值的符

號就可以了.一元二次方程有實數(shù)根即判別式大于或等于0.

總一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：

（1）△>（）=方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）ARo方程有兩個相等的實數(shù)根；

（3）△<（）=方程沒有實數(shù)根.

【答案】A

例2.一元二次方程》2-以+4=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有一個實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【知識點】根的判別式

【解題過程】解:Va=\,b=-4,c=4,

.?.△=16-16=0,

方程有兩個相等的實數(shù)根.

故選C.

【思路點撥】要判斷方程尤2-4X+4=0的根的情況就要求出方程的根的判別式，

然后根據(jù)判別式的正負情況即可作出判斷.

【答案】C

練習(xí)2.已知關(guān)于x的一元二次方程3f+4x-5=0,下列說法正確的是（）

A.方程有兩個相等的實數(shù)根B.方程有兩個不相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法確定

【知識點】根的判別式

【解題過程】解：VA=42-4x3x（-5）=76>0,

.?.方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【思路點撥】先求出△的值，再判斷出其符號即可

【答案】B

【設(shè)計意圖】根的判別式的應(yīng)用：判斷方程的解的個數(shù).

?活動②用根的判別式根據(jù)方程解的個數(shù)判斷系數(shù)

例3.已知關(guān)于x的一元二次方程/+（2機-l）x+,”2=o,不論〃z為何實數(shù)，方程總

有兩個不相等的實數(shù)根，求〃2的取值范圍.

【知識點】根的判別式

【解題過程】解：由題意有公=（2m-1）2-4療20,

解得加V」，

4

，實數(shù)m的取值范圍是加W工.

4

【思路點撥】若一元二次方程有兩實數(shù)根，則根的判別式△=/一4公20,建立關(guān)

于加的不等式，求出m的取值范圍.

【答案】m<-

4

練習(xí)3.(1)若關(guān)于x的方程f+x-a+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的

4

取值范圍是()

A.a>2B.a<2C.a>2D.a<2

【知識點】根的判別式

【解題過程】解：根據(jù)題意得公=12-4(-?+-)>0,

4

解得a>2.

【思路點撥】根據(jù)判別式的意義得到A=12-4(-?+-)>0,然后解一元一次

4

不等式即可.

【答案】C

練習(xí)3.(2)若關(guān)于x的方程V-3&x-1=0有實數(shù)根，則％的取值范圍為()

44

A.^>0B.k>0C.K>一一D.k>——

99

【知識點】根的判別式

【解題過程】解：???關(guān)于x的方程爐―3&x-1=0有實數(shù)根，

-4ac=(-3〃)2+4=%+4沙，

4

解得：—>

又方程中含有4

：.k>0,

故本題選A.

【思路點撥】若一元二次方程有實數(shù)根，則根的判別式AN?-4。叱0,建立關(guān)于

攵的不等式，求出左的取值范圍.還要根據(jù)二次根式的意義可知后0,然后確定

最后左的取值范圍.

【答案】A

例4.一元二次方程(1-A)f-2%-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范

圍是()

A.k>2B.ZV2且厚1C.k<2D.%>2且摩1

【知識點】根的判別式

【解題過程】解：??Z=l-k,b=-2,c=-1,一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)

根，

.?.△=廿-4ac=22-4x(1-jl)x(-1)>0,解得k<2,

V(1-k)是二次項系數(shù)，不能為0,

.?.后1且k<2.

故選B.

【思路點拔】在與一元二次方程有關(guān)的求值問題中，必須滿足下列條件：

(1)二次項系數(shù)不為零；

(2)在有不相等的實數(shù)時下必須滿足A=02_4</c>0.

【答案】B

練習(xí)4.已知關(guān)于x的方程kx1-3x+2=0有兩個實數(shù)根,則k的取值范圍為()

QQQ9

A.k<-B.k<-C.kV二月.后0D.ZW—且后0

8888

【知識點】根的判別式

【解題過程】解：由題意得：9-4ZX2K)；原0,

9

任.，且原0,

故選D.

【思路點拔】讓-4ac>0,且二次項的系數(shù)不為0保證此方程為一元二次方

程.

【答案】D

【設(shè)計意圖】根的判別式的應(yīng)用：根據(jù)判斷方程的解的個數(shù)判斷系數(shù)大小.

?活動③根的判別式的綜合應(yīng)用

例5.已知關(guān)于x的一元二次方程f+2(k-1)x+3-1=0有兩個不相等的實數(shù)

根.

(1)求實數(shù)攵的取值范圍；

(2)0可能是方程的一個根嗎？若是，請求出它的另一個根；若不是，請說明

理由.

【知識點】根的判別式，解一元二次方程

【解答】解:(1)VA=[2(斤-1)產(chǎn)-4(R-1)

=4標-8-4-4/+4=-8R+8,

又?；原方程有兩個不相等的實數(shù)根，

二-8、+8>0,

解得k<l,

即實數(shù)k的取值范圍是ZV1；

(2)假設(shè)0是方程的一個根，

則代入原方程得02+2(%-1)?0+嚴-1=0,

解得仁7或后1(舍去)，

即當上-1時，0就為原方程的一個根，

此時原方程變?yōu)閤1-4x=0,

解得xi=0,及=4,

所以它的另一個根是4.

【思路點撥】(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根，必須滿足△=廬-4公>0,由此

可以得到關(guān)于k的不等式，然后解不等式即可求出實數(shù)k的取值范圍；

(2)利用假設(shè)的方法，求出它的另一個根.

【答案】(1)ZV1；(2)0是該方程的根，它的另一個根為4.

練習(xí)5.閱讀材料并回答問題.

求一元二次方程加+fer+c=0(a/0)的根(用配方法).

解：ax2+bx+c=0,

Va/0,.,.^+―x+—=0?第一步

aa

移項得：x2+-x=-第二步

aa

兩邊同時加上(2)2,得/+2*+(±)2=_￡+(A)2,第三步

2aa2aa2a

整理得：(x+2)2=七二竺，直接開方得X+_L=±JEZ1E,第四步

2a4a22aV4a2

.-b±\lb2-4ac

..x=------------

2a

.—b+yb~-4oc—b—yjb~—46?c/丁止

?>X\=-------------，X2=-------------,弟士L步

2a2a

上述解題過程是否有錯誤？若有，說明在第幾步，指明產(chǎn)生錯誤的原因，寫出正

確的過程；若沒有，請說明上述解題過程所用的方法.

【知識點】解一元二次方程-公式法.

【解題過程】解：有錯誤，在第四步.

錯誤的原因是在開方時對b2-4ac的值是否是非負數(shù)沒有進行討論.

正確步驟為：(X+2)2=匕二竺，

2a4a2

①當b2-4ac>0時,

h,lb2—4ac

九+一=±J---L，

2aV46r

h,"2-4ac

%+—=±--------，

2a2a

-b±y]b2-4ac

x=-------------,

2a

.-b+b2-4ac-b7b2-4ac

??X\~,X2~?

2a2a

②當〃-4acV0時，原方程無解.

【思路點拔】①檢查原題中的解題過程是否有誤：在第四步時，在開方時對b2

-4ac的值是否是非負數(shù)沒有進行討論；②更正：分類討論b2-4ac>0和b2-4ac

<0時，原方程根的情況.

【答案】①當序-4。侖0時，:.x尸土也三連,工2=一"一'"一4竺.

2a2a

②當〃-4acV0時，原方程無解.

例6.設(shè)m為整數(shù)，且4</77<40,方程X2-2(2/72-3)x+Anv-14m+8=0有兩

個不相等的整數(shù)根，求〃2的值及方程的根.

【知識點】解一元二次方程-公式法.

【解題過程】解：解方程f-2(2〃L3)X+4m2-14〃Z+8=0,得

2(2m-3)±J-2(2m_3)丁-4xlx(4/??2-14/W+8)_____

x=----------------------------=--(2-/n-3)±一+1,

2

???原方程有兩個不相等的整數(shù)根,

：.2m+｝為完全平方數(shù)，

又為整數(shù)，且4VmV40,2〃計1為奇數(shù)完全平方數(shù),

2m+1=25或49，解得m=12或24.

二當〃?=12時，x=24-3±72x12+1=21±5,xi=26,及=16；

當〃尸24時，x=48—3±j2x24+l=45±7,玉=52,9=38.

【思路點拔】根據(jù)求根公式可知：A土業(yè)二±￡=(2m-3)土石不，根據(jù)

2a

4</7/<40可知m的值為12或24,再把m值代入求解即可.

【答案】加的值為12或24；當機=12時，xi=26,Q=24,當〃z=24時，xi=52,

元2=38.

練習(xí)6.已知關(guān)于x的一元二次方程爐+(2zn-1)x+m2=O有兩個實數(shù)根Xi和X2.

(1)求實數(shù)機的取值范圍；

(2)當婷一一二。時，求機的值.

【知識點】根的判別式、解一元二次方程-公式法.

【解題過程】解：(1)由題意有4=(2m-1)2-4/7/2>0,

解得加

4

實數(shù)〃2的取值范圍是加4,；

4

(2)由兩根關(guān)系，得ii+x2=-(2m-1),xi*X2=m2,

由XI2-X22=0得(X1+X2)(XI-X2)=0,

若11+犬2=0,即-(2m-1)=0,解得機=,，

2

24

m=-不合題意，舍去，

2

若XI-X2=0,B[JX\=X2

A=0,解得m=—,由(1)知加《工，

44

故當尤J-尤22=0時，m-—.

4

【思路點撥】(1)若一元二次方程有兩實數(shù)根，則根的判別式-4就涉，建

立關(guān)于加的不等式，求出機的取值范圍；

(2)由婷-方二。得Xl+X2=0或XI-X2=0；當Xl+X2=0時，運用兩根關(guān)系可以得

到-2〃L1=0或方程有兩個相等的實根，△=(),據(jù)此即可求得機的值.

【答案】(1)m<~.(2)m=-

44

【設(shè)計意圖】根的判別式的綜合應(yīng)用.

3.課堂總結(jié)

知識梳理

1.本節(jié)課通過配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程

的求根公式，并按照公式法的步驟解一元二次方程.

2.求根公式是一元二次方程的專用公式，只有在確定方程是一元二次方程時才

能使用，同時，求根公式也適用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二

次方程的萬能求根公式.

重難點歸納

(1)用求根公式解方程的一般步驟：

1、把方程化成一般形式，并寫出c的值.

2、求出b2-4ac的值.

3、代入求根公式：x=—~-——九￡(a/0,b2-4ac>0)

2a

4、寫出方程的解：X尸?，X2=?

(2)公式法解一元二次方程的前提：b2-4ac>0

(3)△=〃-4ac=0,有兩個相等實數(shù)根；

△=〃-4ac>0,有兩個不等實數(shù)根；

△=〃_4ac<o,沒有實數(shù)根.

(三)課后作業(yè)

基礎(chǔ)型自主突破

1.下列一元二次方程中有兩個相等實數(shù)根的是()

A.2x2-6JC+1=0B.3X2-x-5=0C./+x=0D.x1-4x+4=0

【知識點】根的判別式.

【解題過程】解：A、VA=&2-4?C=(-6)2-4x2xl=28>0,

該方程有兩個不相等的實數(shù)根；

B、VA=Z?2-4ac=(-1)2-4x3x(-5)=61>0,

,該方程有兩個不相等的實數(shù)根；

C、VA=/72-4?c=l2-4xlx0=l>0,

該方程有兩個不相等的實數(shù)根；

D、A=/?2-4ac=(-4)2-4x1x4=0,

...該方程有兩個相等的實數(shù)根.

【思路點撥】由根的判別式為△="一4訛，挨個計算四個選項中的△值，由此即

可得出結(jié)論.

【答案】D

2.一元二次方程2x2-3x+l=0的根的情況是()

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【知識點】根的判別式.

【解題過程】解:VA=Z?2-4ac=(-3)2-4x2xl=l>0,

該方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選B.

【思路點撥】代入數(shù)據(jù)求出根的判別式△=/-4ac的值，根據(jù)△的正負即可得

出結(jié)論.

【答案】B

3.一元二次方程x2-4x+4=0的根的情況是()

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.無法確定

【知識點】根的判別式.

【解題過程】解：在方程九2-4x+4=0中,

A=(-4)2-4x1x4=0,

...該方程有兩個相等的實數(shù)根.

故選B.

【思路點撥】將方程的系數(shù)代入根的判別式中，得出△=(),由此即可得知該方程

有兩個相等的實數(shù)根.

【答案】B.

4.關(guān)于工的方程"2_標-4=0有實數(shù)根，則攵的取值范圍是

3

【知識點】根的判別式；一元一次方程的解

71

【解題過程】解：當仁0時，-4x--=0,解得

36

當厚0時，方程"2一4元-4=0是一元二次方程，

3

?

根據(jù)題意可得：A=16-4Ax(--)>0,

3

解得泛-6,七0,

綜上k>-6,

故答案為k>-6.

【思路點撥】由于左的取值不確定，故應(yīng)分后0(此時方程化簡為一元一次方程)

和后0(此時方程為二元一次方程)兩種情況進行解答.

【答案】心-6

5.試證明：不論機為何值，方程2。-(4〃L1)x-機2-〃2=0總有兩個不相等的

實數(shù)根.

【知識點】根的判別式

【解題過程】證明：VA=[-(4根-1)]2-4x2x(-〃，-團)=24w2+l>0

,有兩個不相等的實數(shù)根.

【思路點撥】利用根的判別式列出關(guān)于方程系數(shù)的代數(shù)式，通過配方法化為完全

平方式來判斷△的正負，從而證明方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【答案】見解題過程.

6.己知一元二次方程x2-3x+m-1=0.

(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根，求此時方程的根.

【知識點】根的判別式.

【解題過程】解：（-3）2-4（m-1）,

（1）???方程有兩個不相等的實數(shù)根，

13

.*.A>0,解得m

4

（2）方程有兩個相等的實數(shù)根，

/.A=0,即9-4（m-1）=0

13

解得m=—

4

，方程的根是：X\=X2=^^-=—.

22

【思路點撥】（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，即△>（）,即可求得關(guān)于〃，的不

等式，從而得機的范圍；

（2）方程有兩個相等的實數(shù)根，當△=（）時，即可得到一個關(guān)于機的方程求得〃z

的值.

【答案】m<—.xi=X2=—

42

能力型師生共研

7.若〃>0,關(guān)于x的方程％2-（機-2〃）有兩個相等的正實數(shù)根，求”

4n

的值.

【知識點】根的判別式.

【解題過程】解：根據(jù)題意知△=（）,即（〃「2〃）2-mn=0,

整理得-5機〃+4〃2=0,

即（機-〃）（771-4/1）=0,

解得m=n或〃?=4〃，

當機=〃時，n>0,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：原方程的兩個解xi+X2=m-2〃=-〃V0,

不合題意原方程兩個相等的正實數(shù)根，故〃?=〃舍去；

當〃?=4〃時，，.,〃>（）,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：原方程的兩個解xi+X2=m-2〃=2〃>0,符合題意，

.,.-=4.

n

答：%的值是4.

n

【思路點撥】由方程有兩相等的正實數(shù)根知△=(),列出關(guān)于加，〃的方程，用求

根公式將n代替m代入生求出它的值.

n

【答案】4

8.已知a是一元二次方程x2-x-l=O較大的根，則下面對a的估計正確的是

()

A.OVaVIB.l<a<1,5C.1.5<a<2D.2<a<3

【知識點】解一元二次方程-公式法；估算無理數(shù)的大小

【解題過程】解：解方程f-x-1=0得：戶生6,

2

,：a是方程x2-x-1=0較大的根，

.1土布

■.a=-----,

2

V2<V5<3,

/.3<1+V5<4,

.3.1±V5—

22

【思路點撥】先求出方程的解，再求出逃的范圍，最后即可得出答案

【答案】C

探究型多維突破

9.已知：關(guān)于x的方程/+23:+>-1=0

(1)不解方程，判別方程根的情況；

(2)若方程有一個根為3,求的值.

【知識點】根的判別式；一元二次方程的解

2

【解題過程】解：(1)由題意得，a-\,b=2mfc=m-l,

A=Z?2-4ac=(2加2-4xlx(m2-1)=4>0,

...方程/+2〃a+〃/-1=0有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)x2+2mx+i?r-1=0W—^根是3,

.,.32+2m'x3+nr-1=0,

解得,m=-4或m=-2.

【思路點撥】(1)找出方程。，。及c的值，計算出根的判別式的值，根據(jù)其值

的正負即可作出判斷；

(2)將x=3代入已知方程中，列出關(guān)于系數(shù)機的新方程，通過解新方程即可求

得m的值.

【答案](1)有兩個不相等的實數(shù)根；⑵〃尸-4或加=-2

10.關(guān)于X的方程加2+%-加+]=0,有以下三個結(jié)論：①當〃?=0時，方程只有一

個實數(shù)解；②當加刑時，方程有兩個不等的實數(shù)解；③無論相取何值，方程都

有一個負數(shù)解，其中正確的是(填序號).

【知識點】根的判別式；一元一次方程的解.

【解題過程】解：當"2=0時，X=-l,方程只有一個解，①正確；

當加加時，方程mx2+x-m+l=0是一元二次方程，A=1-4/n(1-m)=l-4-m+4/n2=

(2/77-1)2>0,方程有兩個實數(shù)解，②錯誤；

把-加+1=0分解為(x+1)(nix-m+1)=0,

當x=-1時，/”-1-m+l=0,即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正確；

故答案為①③.

【思路點撥】分別討論"?=0和"/0時方程nvc2+x??m+1=0根的情況，進而填空

【答案】①③

自助餐

1.當相為何值時，關(guān)于光的一元二次方程9-4X+〃L,=0有兩個相等的實數(shù)根？

2

此時這兩個實數(shù)根是多少？

【知識點】根的判別式；解一元二次方程

【解題過程】解：由題意知，△=(-4)2-4(/?--)=0,

2

BP16-4/77+2=0,

a

解得：m=-.

2

Q

當〃尸一時，方程化為：x2-4x+4=0,

2

/.(x-2)2=0,

???方程有兩個相等的實數(shù)根X『2=2.

【思路點撥】方程有兩個相等的實數(shù)根，必須滿足-4公=0,從而求出實數(shù)

m的值及方程的兩個實數(shù)根

【答案】當〃2=2時，X]=X2=2

2

2已知關(guān)于無的方程X?-2(m+1)x+m2=0

(1)當機取值范圍是多少時，方程有兩個實數(shù)根；

(2)為機選取一個合適的整數(shù)，使方程有兩個不相等的實數(shù)根，并求出這兩個

實數(shù)根.

【知識點】根的判別式

【解題過程】解：(1)由題意知：A=Z?2-4ac=[-2(m+l)]2-4m2=[-2(m+1)

+2/7?][-2(777+I)-2汨=-2(-4m-2)=8m+4>0,

解得〃左-L.

2

...當加之-,時，方程有兩個實數(shù)根.

2

(2)選取機=0.(答案不唯一，注意開放性)

方程為x2-2x=0,

解得xi=0,X2=2.

【思路點撥】(1)方程有兩個實數(shù)根，必須滿足△="?-4acX),從而建立關(guān)于〃?

的不等式，求出實數(shù)機的取值范圍.

(2)答案不唯一，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即△>(),可以解得〃2>-工，

2

在加〉的范圍內(nèi)選取一個合適的整數(shù)求解就可以

2

【答案】(1)"左一，.Q)〃?=0時，汨=0,X2-2

2

3.已知關(guān)于光的方程/+(2k+l)x+/+2=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷直線產(chǎn)

(2左-3)X-4Z+12能否通過點A(-2,4),并說明理由.

【知識點】根的判別式；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

【解題過程】解：.??f+(2A+1)尤+3+2=0有兩個相等的實數(shù)根

A=Z?2-4ac=0

，(2H1)2-4(3+2)=0,即46-7=0,

.,7

??K——,

4

*7*7

：.2k-3=2x--3=L，-4k+12=-4x