人教版(2024)七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題2.1有理數(shù)的加法【八大題型】(學(xué)生版+解析)

專題2.1有理數(shù)的加法【八大題型】【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1有理數(shù)的加法概念理解】 1【題型2有理數(shù)的加法運(yùn)算】 2【題型3有理數(shù)的加法運(yùn)算律】 3【題型4巧用拆項(xiàng)法進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算】 3【題型5有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】 4【題型6有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用】 4【題型7利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】 5【題型8有理數(shù)加法中的新定義問題】 7知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)的加法1.定義：把兩個(gè)（或多個(gè)）有理數(shù)相加的過程叫有理數(shù)的加法。（兩個(gè)有理數(shù)相加，和是一個(gè)有理數(shù)）。2.法則：（1）同號(hào)兩數(shù)相加，和取相同的符號(hào)，且和的絕對(duì)值等于加數(shù)的絕對(duì)值的和；（2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，和取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，且和的絕對(duì)值等于加數(shù)中絕對(duì)值較大者與較小者的差；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．注意：1）有理數(shù)的運(yùn)算分兩步走，第一步，確定符號(hào)，第二步，確定絕對(duì)值；2）計(jì)算的時(shí)候要看清符號(hào)，同時(shí)要熟練掌握計(jì)算法則.【題型1有理數(shù)的加法概念理解】【例1】（23-24七年級(jí)·河南周口·階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．兩數(shù)之和可能小于其中的一個(gè)加數(shù) B．兩數(shù)相加就是它們的絕對(duì)值相加C．兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，和取負(fù)號(hào)，絕對(duì)值相加 D．兩個(gè)數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零【變式1-1】（23-24七年級(jí)·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．兩數(shù)之和必大于任何一個(gè)加數(shù)B．同號(hào)兩數(shù)相加，符號(hào)不變，并把絕對(duì)值相加C．兩負(fù)數(shù)相加和為負(fù)數(shù)，并把絕對(duì)值相減D．異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加【變式1-2】（23-24七年級(jí)·山東德州·階段練習(xí)）若有理數(shù)a+b+c<0，則（

）A．三個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)負(fù)數(shù) B．三個(gè)數(shù)中有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)C．三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)負(fù)數(shù) D．三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)是正數(shù)或兩個(gè)是負(fù)數(shù)【變式1-3】（23-24七年級(jí)·湖北宜昌·期中）如果a+b+c=0，且c>b>a．則下列說法中A．a(chǎn)、b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù) B．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為負(fù)數(shù) C．b、c為正數(shù)，a為負(fù)數(shù) D．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為0【題型2有理數(shù)的加法運(yùn)算】【例2】（23-24七年級(jí)·河北廊坊·階段練習(xí)）要使等式3○+5=?2成立，“○”中應(yīng)填的運(yùn)算符號(hào)為（A．+ B．? C．× D．÷【變式2-1】（23-24七年級(jí)·吉林·期末）比?5大8的數(shù)是．【變式2-2】（23-24七年級(jí)·山西臨汾·階段練習(xí)）下面是小亮同學(xué)做的4道題，①?100+?8=?2；②0+?20=?20；③+A．1道 B．2道 C．3道 D．4道【變式2-3】（23-24七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）中國人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)，如圖，根據(jù)劉徽的這種表示法，圖1可列式計(jì)算為+1+?1=0A．+1 B．+7 C．?1 D．?7知識(shí)點(diǎn)2：運(yùn)算律1）加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；即a+b＝b+a。2）加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變；即(a+b)+c＝a+(b+c)。注意：1）利用加法交換律、結(jié)合律，可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化，認(rèn)識(shí)運(yùn)算律對(duì)于理解運(yùn)算有很重要的意義。2）注意兩種運(yùn)算律的正用和反用，以及混合運(yùn)用。【題型3有理數(shù)的加法運(yùn)算律】【例3】（23-24七年級(jí)·廣東中山·期中）下列變形，運(yùn)用加法運(yùn)算律正確的是（

）A．3+?2=2+3 C．5+?2+4=5+【變式3-1】（23-24七年級(jí)·江西南昌·期中）計(jì)算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)時(shí)，運(yùn)用了加法（

）A．交換律 B．結(jié)合律 C．分配律 D．交換律與結(jié)合律【變式3-2】（23-24七年級(jí)·全國·課堂例題）計(jì)算：1+2+3+?+2023+?1【變式3-3】（23-24七年級(jí)·全國·課堂例題）計(jì)算?5.13??4.62+?8.47??2.38時(shí)，先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運(yùn)算律將算式轉(zhuǎn)化為=【題型4巧用拆項(xiàng)法進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算】【例4】（23-24七年級(jí)·河南鄭州·期中）閱讀下面文字：對(duì)于?33原式==?3=0+______=______．上面這種方法叫拆項(xiàng)法．(1)請(qǐng)補(bǔ)全以上計(jì)算過程；(2)類比上面的方法計(jì)算：?20242【變式4-1】計(jì)算：?2019【變式4-2】（23-24七年級(jí)·四川成都·階段練習(xí)）(1)計(jì)算：?172(2)計(jì)算?20005【變式4-3】（23-24七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）計(jì)算：?20227【題型5有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】【例5】（23-24七年級(jí)·江西上饒·期中）把所有正整數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：（1），(2，3，4)，(5，6，7，8，9)，(10，11，12，13，14，15，16)，…，現(xiàn)用等式AM=(i，j)表示正整數(shù)M是第i組第j個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3，4)，則A2020=()A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)【變式5-1】（23-24七年級(jí)·全國·專題練習(xí)）小明同學(xué)在上樓梯時(shí)發(fā)現(xiàn)，若只有一個(gè)臺(tái)階時(shí)，有一種走法；若有兩個(gè)臺(tái)階時(shí)，可以一階一階地上，或者一步上兩個(gè)臺(tái)階，共有2種走法；如果他一步只能上一個(gè)或者兩個(gè)臺(tái)階，根據(jù)上述規(guī)律，有三個(gè)臺(tái)階時(shí)，他有3種走法，那么有四個(gè)臺(tái)階時(shí)，共有走法（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【變式5-2】（23-24七年級(jí)·山東日照·階段練習(xí)）一跳蚤在一直線上從O點(diǎn)開始，第1次向右跳1個(gè)單位，緊接著第2次向左跳2個(gè)單位，第3次向右跳3個(gè)單位，第4次向左跳4個(gè)單位…，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)它跳第2000次落下時(shí)，落點(diǎn)處位于O點(diǎn)的（

）A．右側(cè)500個(gè)單位 B．左側(cè)500個(gè)單位C．右側(cè)1000個(gè)單位 D．左側(cè)1000個(gè)單位【變式5-3】（23-24七年級(jí)·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）觀察下面的幾個(gè)算式：1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5．根據(jù)上面幾道題的規(guī)律，計(jì)算下面的題：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值為【題型6有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用】【例6】（23-24七年級(jí)·北京·期中）德勝中學(xué)在勞動(dòng)節(jié)中組織學(xué)生進(jìn)行農(nóng)作物種植實(shí)踐活動(dòng)．已知某種農(nóng)作物種植完成共需A、B、C、D、E、F、G七個(gè)步驟，種植要求如下：①步驟C、D須在步驟A完成后進(jìn)行，步驟E須在步驟B、D都完成后進(jìn)行，步驟F須在步驟C、D都完成后進(jìn)行；②一個(gè)步驟只能由一名學(xué)生完成，此步驟完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他步驟；③各個(gè)步驟所需時(shí)間如下表所示：步驟ABCDEFG所需時(shí)間t分鐘10108108114在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨(dú)完成此種農(nóng)作物種植，則需要分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此種農(nóng)作物種植，則最少需要分鐘．【變式6-1】（23-24七年級(jí)·貴州貴陽·期末）張燁同學(xué)每天從家到學(xué)校要走1.5km，他的家與學(xué)校、超市在一條東西走向的大街上，且張燁家在學(xué)校和超市的正中間．若把張燁家、學(xué)校、超市分別看成一個(gè)點(diǎn)，大街看成一條直線．一天早上，張燁從家出發(fā)，先去超市買筆記本，再到學(xué)校，他一共走的路程為（

A．1.5km B．3km C．4.5km【變式6-2】（23-24七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）一個(gè)實(shí)驗(yàn)室里有10個(gè)柜子．分別用10把不同的鎖鎖著，但10把鑰匙很相像，管理員又忘了鑰匙編號(hào)（1把鑰匙只能開1把鎖，不能混用）．從最壞的情況考慮，至多要試開幾次才能把10把鎖都打開？【變式6-3】（23-24七年級(jí)·全國·競(jìng)賽）希希、望望、貝貝三個(gè)人在火車上斗地主，地主贏一局積2分，輸一局積負(fù)2分，農(nóng)民贏一局積1分，輸一局積負(fù)1分．10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和為．（提示：地主贏則兩個(gè)農(nóng)民都輸；農(nóng)民贏則兩個(gè)農(nóng)民都贏，地主輸．）【題型7利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】【例7】（23-24七年級(jí)·遼寧阜新·期末）把夏禹時(shí)代的“洛書”用數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來就是一個(gè)三階幻方，它的每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和均相等，則幻方中a?b的值是．【變式7-1】（23-24七年級(jí)·山東青島·期中）如圖是根據(jù)幻方改編的“幻圓”游戲，將?3，2，?1，0，1，?2，3，?4分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫行、豎列以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等．已知圖中a，b，c，d分別表示一個(gè)數(shù)，則a+b的值是（）A．?4 B．1 C．?2或3 D．?2【變式7-2】（23-24七年級(jí)·全國·課后作業(yè)）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國古代夏禹時(shí)期的“洛書”（圖1所示），是世界上最早的矩陣，又稱“幻方”，用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，“洛書”就是一個(gè)三階“幻方”（圖2所示）．【規(guī)律總結(jié)】觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是；若圖3是一個(gè)“幻方”，則b=．【變式7-3】（23-24七年級(jí)·江蘇無錫·期中）中國古代數(shù)學(xué)書《數(shù)術(shù)拾遺》是最早記載有關(guān)幻方的文字．如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的幻方模型，將?1，?2，?3，1，2，

【題型8有理數(shù)加法中的新定義問題】【例8】（23-24七年級(jí)·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）定義一種新運(yùn)算“△”滿足：8△3=8+9+10=27，7△4=7+8+9+10=34，6△5=6+7+8+9+10=40，求1△10．【變式8-1】（23-24七年級(jí)·山東青島·期中）定義一種運(yùn)算，設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù)，例如2.25=2，?1.5=?2，據(jù)此規(guī)定計(jì)算A．?3 B．?2 C．?1 D．4【變式8-2】（23-24七年級(jí)·甘肅定西·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：a*b=a+1b，如：1【變式8-3】（23-24七年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目：對(duì)非零數(shù)定義一種新的運(yùn)算，叫※（宏）運(yùn)算．下列是一些按照※（宏）運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式；+5※+2=+7；?3※?5(1)我們?cè)谘芯坑欣頂?shù)的加法運(yùn)算時(shí)，既要考慮符號(hào)，又要考慮絕對(duì)值．請(qǐng)你類比有理數(shù)加法的運(yùn)算法則，歸納※（宏）運(yùn)算的運(yùn)算法則；同號(hào)兩數(shù)進(jìn)行※（宏）運(yùn)算時(shí)，異號(hào)兩數(shù)進(jìn)行※（宏）運(yùn)算時(shí)．(2)計(jì)算：?3※+1(3)我們知道加法有交換律和結(jié)合律，請(qǐng)你判斷交換律和結(jié)合律在※（宏）運(yùn)算中是否適用，如果適用只需作出判斷，如果不適用，舉反例說明．（舉一個(gè)例子即可）專題2.1有理數(shù)的加法【八大題型】【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1有理數(shù)的加法概念理解】 1【題型2有理數(shù)的加法運(yùn)算】 3【題型3有理數(shù)的加法運(yùn)算律】 5【題型4巧用拆項(xiàng)法進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算】 6【題型5有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】 9【題型6有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用】 11【題型7利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】 13【題型8有理數(shù)加法中的新定義問題】 17知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)的加法1.定義：把兩個(gè)（或多個(gè)）有理數(shù)相加的過程叫有理數(shù)的加法。（兩個(gè)有理數(shù)相加，和是一個(gè)有理數(shù)）。2.法則：（1）同號(hào)兩數(shù)相加，和取相同的符號(hào)，且和的絕對(duì)值等于加數(shù)的絕對(duì)值的和；（2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，和取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，且和的絕對(duì)值等于加數(shù)中絕對(duì)值較大者與較小者的差；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．注意：1）有理數(shù)的運(yùn)算分兩步走，第一步，確定符號(hào)，第二步，確定絕對(duì)值；2）計(jì)算的時(shí)候要看清符號(hào)，同時(shí)要熟練掌握計(jì)算法則.【題型1有理數(shù)的加法概念理解】【例1】（23-24七年級(jí)·河南周口·階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．兩數(shù)之和可能小于其中的一個(gè)加數(shù) B．兩數(shù)相加就是它們的絕對(duì)值相加C．兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，和取負(fù)號(hào)，絕對(duì)值相加 D．兩個(gè)數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則，相反數(shù)的定義，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、兩數(shù)之和可能小于其中的一個(gè)加數(shù)，異號(hào)相加，和小于原來的正數(shù)，選項(xiàng)正確，不符合題意；B、兩數(shù)相加就是它們的絕對(duì)值相加，異號(hào)相加，取絕對(duì)值大的符號(hào)，再用大絕對(duì)值減去小絕對(duì)值，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，和取負(fù)號(hào)，絕對(duì)值相加，選項(xiàng)正確，不符合題意；D、互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，所以兩個(gè)數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零，選項(xiàng)正確，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法法則．熟練掌握有理數(shù)的加法法則：“同號(hào)相加，取相同符號(hào)，再把絕對(duì)值相加；異號(hào)相加，取絕對(duì)值大的符號(hào)，再用大絕對(duì)值減去小絕對(duì)值．”是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（23-24七年級(jí)·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．兩數(shù)之和必大于任何一個(gè)加數(shù)B．同號(hào)兩數(shù)相加，符號(hào)不變，并把絕對(duì)值相加C．兩負(fù)數(shù)相加和為負(fù)數(shù)，并把絕對(duì)值相減D．異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算法則，有理數(shù)的加法運(yùn)算法則對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】A．兩數(shù)之和必大于任何一個(gè)加數(shù)，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．同號(hào)兩數(shù)相加，符號(hào)不變，并把絕對(duì)值相加，正確，故本選項(xiàng)正確；C．應(yīng)為兩負(fù)數(shù)相加和為負(fù)數(shù)，并把絕對(duì)值相加，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．應(yīng)為異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并把用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的減法、有理數(shù)的加法以及絕對(duì)值的概念，掌握有理數(shù)的加減運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（23-24七年級(jí)·山東德州·階段練習(xí)）若有理數(shù)a+b+c<0，則（

）A．三個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)負(fù)數(shù) B．三個(gè)數(shù)中有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)C．三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)負(fù)數(shù) D．三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)是正數(shù)或兩個(gè)是負(fù)數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則，即可求解．【詳解】解：∵a+b+c<0，∴a<?b+cb+c則有大于等于0和小于0兩種情況：當(dāng)b+c≥0時(shí)，則a<0，且b和c當(dāng)中至少有一個(gè)正數(shù)，當(dāng)b+c<0時(shí)，則b<?c，此時(shí)b和c至少有一個(gè)負(fù)數(shù)，綜上所述，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)．故答案為：C【點(diǎn)睛】此題考查的是有理數(shù)的加法問題．有理數(shù)的加法法則：（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；（2）絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；（3）互為相反的兩個(gè)數(shù)相加得0；（4）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．【變式1-3】（23-24七年級(jí)·湖北宜昌·期中）如果a+b+c=0，且c>b>a．則下列說法中A．a(chǎn)、b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù) B．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為負(fù)數(shù) C．b、c為正數(shù)，a為負(fù)數(shù) D．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為0【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法，一對(duì)相反數(shù)的和為0，可得a、b、c中至少有一個(gè)為正數(shù)，至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，又c>b>【詳解】解：∵a+b+c=0，∴a、b、c中至少有一個(gè)為正數(shù)，至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，∵c>∴c=∴可能a、b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù)；也可能a、b為負(fù)數(shù)，c為正數(shù)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是有理數(shù)的加法，絕對(duì)值的意義，掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．【題型2有理數(shù)的加法運(yùn)算】【例2】（23-24七年級(jí)·河北廊坊·階段練習(xí)）要使等式3○+5=?2成立，“○”中應(yīng)填的運(yùn)算符號(hào)為（A．+ B．? C．× D．÷【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)減法運(yùn)算，能根據(jù)結(jié)果判斷出是減法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：3?+5故選：B．【變式2-1】（23-24七年級(jí)·吉林·期末）比?5大8的數(shù)是．【答案】3【分析】本題考查了有理數(shù)加法運(yùn)算，計(jì)算?5+8即可求解．【詳解】解：比?5大8的數(shù)是：?5+8=3，故答案為：3．【變式2-2】（23-24七年級(jí)·山西臨汾·階段練習(xí)）下面是小亮同學(xué)做的4道題，①?100+?8=?2；②0+?20=?20；③+A．1道 B．2道 C．3道 D．4道【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)加法運(yùn)算法則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：①?100+②0+?20③+?2023④?2023++23所以，答對(duì)的有2道．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加法運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）中國人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)，如圖，根據(jù)劉徽的這種表示法，圖1可列式計(jì)算為+1+?1=0A．+1 B．+7 C．?1 D．?7【答案】C【分析】根據(jù)圖示得出兩個(gè)數(shù)，然后再進(jìn)行求和得出答案．本題主要考查的是有理數(shù)的加法與閱讀理解型，屬于基礎(chǔ)題型．理解題意是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：+4+故選：C．知識(shí)點(diǎn)2：運(yùn)算律1）加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；即a+b＝b+a。2）加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變；即(a+b)+c＝a+(b+c)。注意：1）利用加法交換律、結(jié)合律，可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化，認(rèn)識(shí)運(yùn)算律對(duì)于理解運(yùn)算有很重要的意義。2）注意兩種運(yùn)算律的正用和反用，以及混合運(yùn)用?！绢}型3有理數(shù)的加法運(yùn)算律】【例3】（23-24七年級(jí)·廣東中山·期中）下列變形，運(yùn)用加法運(yùn)算律正確的是（

）A．3+?2=2+3 C．5+?2+4=5+【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A．3+?2B．4+?6C．5+?2D．16+?1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算律，熟練掌握有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24七年級(jí)·江西南昌·期中）計(jì)算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)時(shí)，運(yùn)用了加法（

）A．交換律 B．結(jié)合律 C．分配律 D．交換律與結(jié)合律【答案】D【分析】計(jì)算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)，先運(yùn)用加法交換律把6和10的位置-4和-8與交換，然后根據(jù)加法結(jié)合律把正數(shù)和負(fù)數(shù)分別結(jié)合在一起．【詳解】解：2?4+6?8+10=2+6+10?4?8（加法交換律）=(2+6+10)+(?4?8)（加法結(jié)合律）故選：D．【點(diǎn)睛】本題是考查加法交換律與結(jié)合律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識(shí)，要掌握．【變式3-2】（23-24七年級(jí)·全國·課堂例題）計(jì)算：1+2+3+?+2023+?1【答案】?2024【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：原式==0+0+0+?+0+=?2024．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24七年級(jí)·全國·課堂例題）計(jì)算?5.13??4.62+?8.47??2.38時(shí)，先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運(yùn)算律將算式轉(zhuǎn)化為=【答案】?5.13++4.62+?8.47++2.38【分析】先把有理數(shù)加減混合運(yùn)算統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算，再利用有理數(shù)加法運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：計(jì)算?5.13?先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得?5.13+觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運(yùn)算律將算式轉(zhuǎn)化為?5.13+故答案為：①?5.13++4.62+?8.47++2.38，②【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加法運(yùn)算以及加法運(yùn)算律的知識(shí)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題關(guān)鍵．【題型4巧用拆項(xiàng)法進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算】【例4】（23-24七年級(jí)·河南鄭州·期中）閱讀下面文字：對(duì)于?33原式==?3=0+______=______．上面這種方法叫拆項(xiàng)法．(1)請(qǐng)補(bǔ)全以上計(jì)算過程；(2)類比上面的方法計(jì)算：?20242【答案】(1)?(2)?217【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算法則．（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算；（2）參照（1）的解題思路解題即可．【詳解】（1）解：?33原式=?3+==0+=故答案為：?（2）解：?2024===?2+=?2【變式4-1】計(jì)算：?2019【答案】?31【分析】將各帶分?jǐn)?shù)依據(jù)已知題的拆分方法分別拆分，再將整數(shù)部分、分?jǐn)?shù)部分分別相加，根據(jù)有理數(shù)的加法法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：原式＝(?2019)+(?＝[(－2019)＋(－2018)＋4036＋(－1)]＋(?＝(－2)＋(?＝?31【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加法法則，利用拆分法進(jìn)行計(jì)算，正確理解已知中的解題方法并正確解題是關(guān)鍵.【變式4-2】（23-24七年級(jí)·四川成都·階段練習(xí)）(1)計(jì)算：?172(2)計(jì)算?20005【答案】(1)?183(2)?4【分析】（1）先將各帶分?jǐn)?shù)拆分成一個(gè)整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和，再利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）先將各帶分?jǐn)?shù)拆分成一個(gè)整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和，再利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可得；本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：?17=[(?17)+16+=?18+?=?183（2）解：?2000=[(?2000)+=0+?=?4【變式4-3】（23-24七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）計(jì)算：?20227【答案】?1【分析】此題考查了有理數(shù)的加法計(jì)算，先將帶分?jǐn)?shù)拆分，利用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：?2022===0+=?11【題型5有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】【例5】（23-24七年級(jí)·江西上饒·期中）把所有正整數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：（1），(2，3，4)，(5，6，7，8，9)，(10，11，12，13，14，15，16)，…，現(xiàn)用等式AM=(i，j)表示正整數(shù)M是第i組第j個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3，4)，則A2020=()A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)【答案】D【分析】根據(jù)排列規(guī)律，先判斷2020在第幾組，再判斷是這一組的第幾個(gè)數(shù)即可求解；【詳解】設(shè)2020在第n組，組與組之間的數(shù)字個(gè)數(shù)規(guī)律可以表示為：2n-1則1+3+5+7+???+(2n-1)=12×2n×n=n當(dāng)n=44時(shí)，n2當(dāng)n=45時(shí)，n2∴2020在第45組，且2020-1936=84，即2020為第45組的第84個(gè)數(shù)；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類的規(guī)律探究、有理數(shù)的加法運(yùn)算，善用聯(lián)想探究數(shù)字規(guī)律是解決此類問題的常用方法.【變式5-1】（23-24七年級(jí)·全國·專題練習(xí)）小明同學(xué)在上樓梯時(shí)發(fā)現(xiàn)，若只有一個(gè)臺(tái)階時(shí)，有一種走法；若有兩個(gè)臺(tái)階時(shí)，可以一階一階地上，或者一步上兩個(gè)臺(tái)階，共有2種走法；如果他一步只能上一個(gè)或者兩個(gè)臺(tái)階，根據(jù)上述規(guī)律，有三個(gè)臺(tái)階時(shí)，他有3種走法，那么有四個(gè)臺(tái)階時(shí)，共有走法（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】C【分析】根據(jù)題意可知：當(dāng)有四個(gè)臺(tái)階時(shí)，可分情況討論：①逐級(jí)上，那么有一種走法；②上一個(gè)臺(tái)階和上二個(gè)臺(tái)階合用，那么有共三種走法；③一步走兩個(gè)臺(tái)階，只有一種走法；所以可求得有五種走法．注意分類討論思想的應(yīng)用．【詳解】當(dāng)有四個(gè)臺(tái)階時(shí)，可分情況討論：①逐級(jí)上，那么有一種走法；②上一個(gè)臺(tái)階和上二個(gè)臺(tái)階合用，那么有：1、1、2；1、2、1；2、1、1；共三種走法；③一步走兩個(gè)臺(tái)階，只有一種走法：2、2；綜上可知：共5種走法．故選C．【點(diǎn)睛】本題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件，列舉出可能走的方法解答．【變式5-2】（23-24七年級(jí)·山東日照·階段練習(xí)）一跳蚤在一直線上從O點(diǎn)開始，第1次向右跳1個(gè)單位，緊接著第2次向左跳2個(gè)單位，第3次向右跳3個(gè)單位，第4次向左跳4個(gè)單位…，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)它跳第2000次落下時(shí)，落點(diǎn)處位于O點(diǎn)的（

）A．右側(cè)500個(gè)單位 B．左側(cè)500個(gè)單位C．右側(cè)1000個(gè)單位 D．左側(cè)1000個(gè)單位【答案】D【分析】設(shè)從點(diǎn)O向右為正，向左為負(fù)．根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義列出式子計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)從點(diǎn)O向右為正，向左為負(fù)，由題意得最后的位置標(biāo)示的數(shù)即為：1+?2觀察可以發(fā)現(xiàn)，1+?2=?1，3+?4∴1+?2∴此時(shí)跳蚤在原點(diǎn)左側(cè)1000個(gè)單位，故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查有理數(shù)加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)用正負(fù)數(shù)來表示一對(duì)具有相反意義的量．同時(shí)在計(jì)算的過程中，能正確找到規(guī)律．【變式5-3】（23-24七年級(jí)·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）觀察下面的幾個(gè)算式：1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5．根據(jù)上面幾道題的規(guī)律，計(jì)算下面的題：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值為【答案】81【分析】先找題上幾個(gè)算式的規(guī)律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加數(shù)最中間是2，則答案是2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加數(shù)最中間是3，則答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加數(shù)最中間是4，則答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加數(shù)最中間是5，則答案是5×5；由此推出規(guī)律計(jì)算即可.【詳解】先找題上幾個(gè)算式的規(guī)律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加數(shù)最中間是2，則答案是2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加數(shù)最中間是3，則答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加數(shù)最中間是4，則答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加數(shù)最中間是5，則答案是5×5；則1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，最中間加數(shù)是9，則答案是9×9=81，故答案為81.【點(diǎn)睛】本題主要是對(duì)有理數(shù)規(guī)律問題的考查，準(zhǔn)確找到規(guī)律并計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.【題型6有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用】【例6】（23-24七年級(jí)·北京·期中）德勝中學(xué)在勞動(dòng)節(jié)中組織學(xué)生進(jìn)行農(nóng)作物種植實(shí)踐活動(dòng)．已知某種農(nóng)作物種植完成共需A、B、C、D、E、F、G七個(gè)步驟，種植要求如下：①步驟C、D須在步驟A完成后進(jìn)行，步驟E須在步驟B、D都完成后進(jìn)行，步驟F須在步驟C、D都完成后進(jìn)行；②一個(gè)步驟只能由一名學(xué)生完成，此步驟完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他步驟；③各個(gè)步驟所需時(shí)間如下表所示：步驟ABCDEFG所需時(shí)間t分鐘10108108114在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨(dú)完成此種農(nóng)作物種植，則需要分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此種農(nóng)作物種植，則最少需要分鐘．【答案】6131【分析】本題考查了邏輯推理與時(shí)間統(tǒng)籌，根據(jù)種植要求得出種植步驟是解題的關(guān)鍵．將所有步驟需要的時(shí)間相加即可得出由一名學(xué)生單獨(dú)完成需要的時(shí)間；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，根據(jù)加工要求可知甲學(xué)生做步驟A，乙學(xué)生同時(shí)做步驟B；然后甲學(xué)生做步驟D，乙學(xué)生同時(shí)做步驟C，乙學(xué)生步驟C完成后接著做步驟G；最后甲學(xué)生做步驟F，乙學(xué)生同時(shí)做步驟E，然后可得答案．【詳解】解：由題意，得：10+10+8+10+8+11+4=61(分鐘)，即：一名學(xué)生單獨(dú)完成需要61分鐘，假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，∵步驟C，D須在步驟A完成后進(jìn)行，步驟E須在步驟B，D都完成后進(jìn)行，且步驟A，B都需要10分鐘完成，∴甲學(xué)生做步驟A，乙學(xué)生同時(shí)做步驟B，需要10分鐘，然后甲學(xué)生做步驟D，乙學(xué)生同時(shí)做步驟C，乙學(xué)生步驟C完成后接著做步驟G，需要12分鐘，但此時(shí)甲同學(xué)后面多兩分鐘剩余，最后甲學(xué)生做步驟F，乙學(xué)生同時(shí)做步驟E，還需要9分鐘(減去前面剩余2分鐘)，如下圖所示：∴若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要10+12+9=31(分鐘)，故答案為：61，31．【變式6-1】（23-24七年級(jí)·貴州貴陽·期末）張燁同學(xué)每天從家到學(xué)校要走1.5km，他的家與學(xué)校、超市在一條東西走向的大街上，且張燁家在學(xué)校和超市的正中間．若把張燁家、學(xué)校、超市分別看成一個(gè)點(diǎn)，大街看成一條直線．一天早上，張燁從家出發(fā)，先去超市買筆記本，再到學(xué)校，他一共走的路程為（

A．1.5km B．3km C．4.5km【答案】C【分析】此題考查了有理數(shù)加法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式求解即可．【詳解】根據(jù)題意得，1.5+1.5+1.5=4.5km∴他一共走的路程為4.5km故選：C．【變式6-2】（23-24七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）一個(gè)實(shí)驗(yàn)室里有10個(gè)柜子．分別用10把不同的鎖鎖著，但10把鑰匙很相像，管理員又忘了鑰匙編號(hào)（1把鑰匙只能開1把鎖，不能混用）．從最壞的情況考慮，至多要試開幾次才能把10把鎖都打開？【答案】55【分析】本題考查有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用，最多試幾次，就是要從最壞的情況來考慮，開第一把鎖，從最壞的情況考慮，試了9次還沒成功，第10次一定能打開這把鎖，要開10把不同的鎖的嘗試的次數(shù)相加即可．【詳解】解：第1把鎖最多試開10次一定能打開，第2把鎖最多試開9次一定能打開……第10把鎖只要試開1次就能打開．所以只需試開1+2+3+???+9+10=55（次）．答：至多要試開55次才能把10把鎖都打開．【變式6-3】（23-24七年級(jí)·全國·競(jìng)賽）希希、望望、貝貝三個(gè)人在火車上斗地主，地主贏一局積2分，輸一局積負(fù)2分，農(nóng)民贏一局積1分，輸一局積負(fù)1分．10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和為．（提示：地主贏則兩個(gè)農(nóng)民都輸；農(nóng)民贏則兩個(gè)農(nóng)民都贏，地主輸．）【答案】0/0分【分析】本題考查數(shù)的運(yùn)算，計(jì)算出每一局的積分和，從而求得10局積分總和．【詳解】解：由題意，每一局地主贏則兩個(gè)農(nóng)民都輸，此時(shí)三人得分總和為2+?1每一局農(nóng)民贏則兩個(gè)農(nóng)民都贏，地主輸，此時(shí)三人得分總和為2+?1∴10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和為0分，故答案為：0．【題型7利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】【例7】（23-24七年級(jí)·遼寧阜新·期末）把夏禹時(shí)代的“洛書”用數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來就是一個(gè)三階幻方，它的每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和均相等，則幻方中a?b的值是．【答案】?3【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法，解決此題的關(guān)鍵利用中心數(shù)求幻和，再由幻和與已知數(shù)求得a、b，最后是有理數(shù)的加法．根據(jù)三階幻方的特點(diǎn)，三階幻方的中心數(shù)，可得三階幻方的和，根據(jù)三階幻方的和，可得a、b的值，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得答案．【詳解】解：根據(jù)幻方的性質(zhì)，則a+9=8+5，所以a=4，而a+8=5+b，則b=7，故a?b=4?7=?3，故答案為：?3．【變式7-1】（23-24七年級(jí)·山東青島·期中）如圖是根據(jù)幻方改編的“幻圓”游戲，將?3，2，?1，0，1，?2，3，?4分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫行、豎列以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等．已知圖中a，b，c，d分別表示一個(gè)數(shù)，則a+b的值是（）A．?4 B．1 C．?2或3 D．?2【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的加法，根據(jù)題意利用有理數(shù)的加法法則進(jìn)行計(jì)算即可．掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：?3+2?1+0+1?2+3?4=?4，所以內(nèi)外兩圈上以及橫、豎上的4個(gè)數(shù)字之和都為?2，所以a=?2?(3?2?4)=1，所以d=?2?(?2+0+1)=?1，故b=?3或2，所以a+b=?2或3．故選：C．【變式7-2】（23-24七年級(jí)·全國·課后作業(yè)）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國古代夏禹時(shí)期的“洛書”（圖1所示），是世界上最早的矩陣，又稱“幻方”，用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，“洛書”就是一個(gè)三階“幻方”（圖2所示）．【規(guī)律總結(jié)】觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是；若圖3是一個(gè)“幻方”，則b=．【答案】每一行、每一列和每條對(duì)角線上各個(gè)數(shù)之和都相等0【分析】計(jì)算每橫行、每豎行、每條對(duì)角線上的三數(shù)和，便可回答結(jié)果；根據(jù)題意確定出“幻方”需要的條件，即可確定出b的值．【詳解】解：觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是：每一行、每一列和每條對(duì)角線上各個(gè)數(shù)之和都相等；因?yàn)??1)+1+3=3，所以b+5+(?2)=3，所以b=0．故答案為：每一行、每一列和每條對(duì)角線上各個(gè)數(shù)之和都相等，0【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加法，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24七年級(jí)·江蘇無錫·期中）中國古代數(shù)學(xué)書《數(shù)術(shù)拾遺》是最早記載有關(guān)幻方的文字．如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的幻方模型，將?1，?2，?3，1，2，

【答案】2【分析】先設(shè)d左邊的圓圈內(nèi)數(shù)字為e，另一個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)字為f，根據(jù)每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都與中間正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等，可先求出b，再根據(jù)e+d?1=c+d+2=e+f?3=a?1，求出d和e，最后求出a和c，即可求出