人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三專題11.4三角形的外角【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題11.4三角形的外角【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1外角的定義】 1【題型2求三角形外角的度數(shù)】 2【題型3由三角形的外角性質(zhì)求角度】 3【題型4三角形的外角性質(zhì)與翻折的綜合運(yùn)用】 4【題型5三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合運(yùn)用】 5【題型6三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合運(yùn)用】 7【題型7三角形的外角性質(zhì)與垂線的綜合運(yùn)用】 8【題型8由三角形的外角性質(zhì)確定角度之間的關(guān)系】 9【題型9與三角形的外角性質(zhì)有關(guān)的規(guī)律探究】 10【題型10三角形的外角性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 11知識(shí)點(diǎn)1：三角形的外角（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．（2）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（3）三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角．【題型1外角的定義】【例1】（23-24八年級(jí)·福建廈門·期末）如圖，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)B作射線BF交AC于點(diǎn)E，則下列是△ABE的外角的是（

）

A．∠ACD B．∠AEB C．∠AEF D．∠CEF【變式1-1】（23-24八年級(jí)·河北廊坊·期中）下圖中∠1是三角形一個(gè)外角的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-2】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，∠ADB是△和△的外角；以AC為一邊長(zhǎng)的三角形有個(gè)．

【變式1-3】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期中）我們都知道三角形有三個(gè)內(nèi)角，其實(shí)三角形除了內(nèi)角，還有外角，三角形的外角是三角形的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角．請(qǐng)同學(xué)們畫出三角形的一個(gè)外角，并證明：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．已知：__________________求證：__________________證明：【題型2求三角形外角的度數(shù)】【例2】（23-24八年級(jí)·四川瀘州·階段練習(xí)）在△ABC中，若3(∠A+∠B)=2∠C，則∠C的外角的度數(shù)為（

）A．36° B．72° C．108° D．144°【變式2-1】（23-24八年級(jí)·浙江杭州·階段練習(xí)）△ABC的一個(gè)內(nèi)角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是(

)A．80°或140° B．80°或100° C．100°或140° D．140°【變式2-2】（23-24八年級(jí)·四川達(dá)州·期末）如圖，直線a∥b，一塊有60°的直角三角尺如圖放置，∠1=135°，則∠2=．

【變式2-3】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，在△ABC中，∠A=38°，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為B'，當(dāng)B'D∥AC時(shí)，則∠CDB【題型3由三角形的外角性質(zhì)求角度】【例3】（23-24八年級(jí)·江蘇泰州·階段練習(xí)）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”【問題解決】（1）在△ABC中，∠A=70°，∠B=45°，若∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDA=______；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰CB三分線，且∠A=60°，求∠P的度數(shù)；【延伸推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A=m°，∠B=n°，且m>n，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）【變式3-1】（23-24·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)含45°角和一個(gè)含30°角的直角三角形按如圖所示的方式放置，若點(diǎn)D在線段AB上，BC=BD，則∠CFE的度數(shù)為．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·福建福州·期末）如圖，將線段AB平移得到線段CD，點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上，點(diǎn)Q在射線OB上，∠PCD、∠QBA的角平分線所在直線相交于點(diǎn)E，若∠OAB=α，∠OBA=β，則∠CEB=．（用α，β表示）【變式3-3】（23-24八年級(jí)·四川內(nèi)江·期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（

）A．120° B．130° C．150° D．180°【題型4三角形的外角性質(zhì)與翻折的綜合運(yùn)用】【例4】（23-24八年級(jí)·北京朝陽(yáng)·期中）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB=AC．將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為（

）A．60° B．72° C．36° D．90°【變式4-1】（23-24八年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在圖中的A'處，若∠A=28°，∠BDA'=90°，則【變式4-2】（23-24八年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）如圖，在△ABC中、∠B=50°，∠C=30°，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿著AD折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處、若AB1∥BC，則

【變式4-3】（23-24八年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，點(diǎn)D在BC邊上，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE和邊AC重合時(shí)結(jié)束，邊AE交邊BC于點(diǎn)F．若折疊過程中，△DEF中有兩個(gè)角相等，則此時(shí)∠BAD的度數(shù)為．【題型5三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合運(yùn)用】【例5】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，△ABC的外角∠MBC與∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線段BP，QC交于點(diǎn)E．在△BQE中，若存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，則∠A的度數(shù)為．

【變式5-1】（23-24八年級(jí)·河南漯河·階段練習(xí)）△ABC中，內(nèi)角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分線交于點(diǎn)P，AP交BC于D．過B作BG⊥AP于G．若∠GBP=58°，求∠ACB的度數(shù)．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在射線BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=78°，則∠E的度數(shù)為．

【變式5-3】（23-24八年級(jí)·廣東廣州·期中）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，記∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，則以下結(jié)論①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③∠BOC=90°+∠1；④【題型6三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合運(yùn)用】【例6】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，∠BCD=∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分線交AB于點(diǎn)E，∠ABD的平分線與CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，∠F=75°，則∠A=．

【變式6-1】（23-24·河北滄州·二模）如圖，直線l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之間，兩三角板斜邊在同一直線上，含30°角的三角板的一直角邊在

A．8° B．10° C．12° D．15°【變式6-2】（23-24·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖，將一塊含30°角的三角尺和一把直尺疊放在一起．若∠1=72°，則∠2的度數(shù)為．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·期中）如圖，已知AM∥BN，∠A=x°．點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于點(diǎn)C，D，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí)，∠ADB的度數(shù)為（用含有

【題型7三角形的外角性質(zhì)與垂線的綜合運(yùn)用】【例7】（23-24八年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB<∠A，BD是角平分線，BE是邊AC上的高，延長(zhǎng)BD與外角∠ACF的平分線交于點(diǎn)G．以下四個(gè)結(jié)論：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=12∠A；④∠A?∠ACB=2∠EBDA．1 B．2 C．3 D．4【變式7-1】（23-24八年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期末）將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線，過點(diǎn)E作EF垂直BC，垂足為點(diǎn)F．

(1)∠ABE=15°，∠BAD=25(2)若△ABC的面積為30，EF=5，求CD．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．如圖，B、C為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l外，且∠ABC=50°，若P是l上一點(diǎn)，且△ABP是“準(zhǔn)直角三角形”，則∠APB=．【題型8由三角形的外角性質(zhì)確定角度之間的關(guān)系】【例8】（23-24八年級(jí)·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分別是∠ABD和∠ACE的角平分線，延長(zhǎng)FB和GC交于點(diǎn)H．設(shè)∠A=α，∠H=β，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系為．【變式8-1】（23-24上·福建莆田·八年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，D、E在邊AB上，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·甘肅張掖·期末）如圖，∠A、∠DOE和∠BEC的大小關(guān)系是(

).

A．∠A>∠DOE>∠BEC B．∠DOE>∠A>∠BECC．∠BEC>∠DOE>∠A D．∠DOE>∠BEC>∠A【變式8-3】（23-24八年級(jí)·河南商丘·期末）如圖所示，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D，連接PC．(1)∠1、∠2、∠A的大小關(guān)系是：＞＞；(2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想求∠1的度數(shù)，請(qǐng)你從下面兩種思路中任選一種幫助嘉嘉完成求解．思路一先利用三角形內(nèi)角和求出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和求出∠1的度數(shù)．思路二先利用三角形外角求出∠2的度數(shù)．再利用三角形外角求出∠1的度數(shù)．【題型9與三角形的外角性質(zhì)有關(guān)的規(guī)律探究】【例9】（23-24八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，已知△ABC的內(nèi)角∠A=α，分別作內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線，兩條平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得【變式9-1】（23-24八年級(jí)·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，已知AB=A1B，A1C=A．10° B．20° C．30° D．40°【變式9-2】（23-24·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知∠AOB=7°，一條光線從點(diǎn)A出發(fā)后射向OB邊．若光線與OB邊垂直，則光線沿原路返回到點(diǎn)A，此時(shí)∠A=90°?7°=83°．當(dāng)∠A<83°時(shí)，光線射到OB邊上的點(diǎn)A1后，經(jīng)OB反射到線段AO上的點(diǎn)A2，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光線又會(huì)沿A2→A【變式9-3】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·期中）如圖，在△ABC中，∠A=20°,∠EBC,∠DCB為△ABC的外角，∠EBC與∠DCB的平分線交于點(diǎn)A1,∠EBA1與∠DCA1的平分線交于點(diǎn)A2,…【題型10三角形的外角性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】【例10】（23-24八年級(jí)·江西南昌·期中）如圖是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)——“抖空竹”．在“抖空竹”的一個(gè)瞬間如圖①所示，若將圖①抽象成圖②的數(shù)學(xué)問題：AB∥CD，∠EAB=70°，∠ECD=110°，則∠E的大小是【變式10-1】（23-24·河南·三模）如圖所示的是一輛自動(dòng)變速自行車的實(shí)物圖，圖2是抽象出來的部分示意圖，已知直線EF與BD相交于點(diǎn)P，AB∥CD，∠P=10°，∠CFP=105°，則∠ABP的大小為（

）A．105° B．100° C．95° D．85°【變式10-2】（23-24·河北·中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應(yīng)（填“增加”或“減少”）度．【變式10-3】（23-24八年級(jí)·浙江金華·期中）如圖1是一個(gè)消防云梯，其示意圖如圖2所示，此消防云梯由救援臺(tái)AB，延展臂BC（B在C的左側(cè)），伸展主臂CD，支撐臂EF構(gòu)成．在操作過程中，救援臺(tái)AB，車身GH及地面MN三者始終保持平行．（1）當(dāng)∠EFH=56°，BC∥EF時(shí)，∠ABC=度；（2）如圖3為了參與另一項(xiàng)高空救援工作，需要進(jìn)行調(diào)整，使得延展臂BC與支撐臂EF所在直線互相垂直，且∠EFH=70°，此時(shí)∠ABC=度．專題11.4三角形的外角【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1外角的定義】 1【題型2求三角形外角的度數(shù)】 4【題型3由三角形的外角性質(zhì)求角度】 6【題型4三角形的外角性質(zhì)與翻折的綜合運(yùn)用】 13【題型5三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合運(yùn)用】 16【題型6三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合運(yùn)用】 20【題型7三角形的外角性質(zhì)與垂線的綜合運(yùn)用】 23【題型8由三角形的外角性質(zhì)確定角度之間的關(guān)系】 28【題型9與三角形的外角性質(zhì)有關(guān)的規(guī)律探究】 31【題型10三角形的外角性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 35知識(shí)點(diǎn)1：三角形的外角（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．（2）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（3）三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角．【題型1外角的定義】【例1】（23-24八年級(jí)·福建廈門·期末）如圖，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)B作射線BF交AC于點(diǎn)E，則下列是△ABE的外角的是（

）

A．∠ACD B．∠AEB C．∠AEF D．∠CEF【答案】C【分析】本題考查了三角形外角的定義：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角，據(jù)此即可求解．【詳解】解：根據(jù)三角形外角的定義可知：∠AEF是△ABE的外角，故選：C．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·河北廊坊·期中）下圖中∠1是三角形一個(gè)外角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形的外角是三角形的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由三角形外角的定義，可知，D選項(xiàng)中的∠1是三角形一個(gè)外角，其他的都不符合題意；故選D．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，∠ADB是△和△的外角；以AC為一邊長(zhǎng)的三角形有個(gè)．

【答案】ADCDFC4【分析】本題考查了三角形的認(rèn)識(shí)及三角形外角的定義，熟記三角形的定義：“三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形”及三角形外角的定義：“三角形的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做三角形的外角”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)圖形可得：∠ADB是△ADC和△DFC的外角；以AC為一邊長(zhǎng)的三角形有：△ACF，△ADC，△ACB，△ACE，共4個(gè)；故答案為：ADC；DFC；4．【變式1-3】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期中）我們都知道三角形有三個(gè)內(nèi)角，其實(shí)三角形除了內(nèi)角，還有外角，三角形的外角是三角形的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角．請(qǐng)同學(xué)們畫出三角形的一個(gè)外角，并證明：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．已知：__________________求證：__________________證明：【答案】三角形的內(nèi)角和是180°；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；證明過程見解析【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和，結(jié)合平角的定義，利用等量代換即可求證．【詳解】解：

∵∠A+∠B+∠ACB=180°∠ACD+∠ACB=180°∴∠ACD=∠A+∠B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的定義及性質(zhì)證明．掌握三角形的內(nèi)角和及平角的定義是解題關(guān)鍵．【題型2求三角形外角的度數(shù)】【例2】（23-24八年級(jí)·四川瀘州·階段練習(xí)）在△ABC中，若3(∠A+∠B)=2∠C，則∠C的外角的度數(shù)為（

）A．36° B．72° C．108° D．144°【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及外角定義，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠A+∠B=180°?∠C，再結(jié)合已知條件3(∠A+∠B)=2∠C，得3(180°?∠C)=2∠C，即可得出∠C的度數(shù)，再根據(jù)∠C的外角的度數(shù)等于180°?∠C即可得出答案，解題關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理．【詳解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B=180°?∠C，∵3(∠A+∠B)=2∠C，∴3(180°?∠C)=2∠C，∴∠C=108°，∴∠C的外角的度數(shù)為180°?∠C=72°，故選：B．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·浙江杭州·階段練習(xí)）△ABC的一個(gè)內(nèi)角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是(

)A．80°或140° B．80°或100° C．100°或140° D．140°【答案】A【詳解】試題分析：由題意得，如果∠A=∠B=40°，則∠C的外角的大小是80°，如果∠C=40°，則∠C的外角的大小是140°.考點(diǎn)：三角形的外角點(diǎn)評(píng)：該題主要考查學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角及外角之間的關(guān)系，對(duì)于該中題型，學(xué)生要考慮全面．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·四川達(dá)州·期末）如圖，直線a∥b，一塊有60°的直角三角尺如圖放置，∠1=135°，則∠2=．

【答案】105°/105度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠3=135°，再根據(jù)三角形外角的定義，得出∠4=105°，最后利用對(duì)頂角相等，即可求出∠2的度數(shù)．【詳解】解：∵a∥b∴∠1=∠3=135°∵∠A=30°∠3=∠A+∠4∴∠4=∠3?∠A=105°∵∠2=∠4∴∠2=105°故答案為：105°．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角尺的特征，平行線的性質(zhì)，三角形外角的定義，對(duì)頂角，解題關(guān)家是掌握兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，在△ABC中，∠A=38°，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為B'，當(dāng)B'D∥AC時(shí)，則∠CDB【答案】109°【分析】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖：連接B'C，由平行線的性質(zhì)可得∠ADB'=∠A=38°，再軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠CDB=∠CDB'【詳解】解：如圖：連接B'∵B'∴∠ADB∵點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為B'∴∠CDB=∠CDB∵∠CDB=∠A+∠ACD,∠CDB∴∠ACD=∠CDA，∴∠ACD=180°?∠A∴∠CDB=∠ACD+∠A=109°．故答案為：109°【題型3由三角形的外角性質(zhì)求角度】【例3】（23-24八年級(jí)·江蘇泰州·階段練習(xí)）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”【問題解決】（1）在△ABC中，∠A=70°，∠B=45°，若∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDA=______；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰CB三分線，且∠A=60°，求∠P的度數(shù)；【延伸推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A=m°，∠B=n°，且m>n，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）【答案】（1）95°或80°（2）∠P的度數(shù)是140°（3）23m°或13m°【分析】（1）分BD是“鄰AB三分線”，“鄰BC三分線”，兩種情況討論，求出∠ABD的度數(shù)，在△ABD中，應(yīng)用內(nèi)角和定理，即可求解，（2）根據(jù)已知，得到∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，在△ABC中，求出（3）分四種情況進(jìn)行討論，根據(jù)三角形外角定理，用含m、n的代數(shù)式，表示出∠BPC，即可求解，本題考查了角分線的新定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理，解題的關(guān)鍵是：分情況討論．【詳解】（1）解：當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時(shí)，∵∠A=70°，∠B=45°，∴∠ABD=1在△ABD中，∠BDA=180°?∠A?∠ABD=180°?70°?15°=95°，當(dāng)BD是“鄰BC三分線”時(shí)，∵∠A=70°，∠B=45°，∴∠ABD=2在△ABD中，∠BDA=180°?∠A?∠ABD=180°?70°?30°=80°，故答案為：95°或80°，（2）解：∵BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰CB三分線，∴∠PBC=13∠ABC在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?60°=120°，在△ABC中，∠PBC+∠PCB=1∠APB=180°?∠PBC+∠PCB即：∠P的度數(shù)是140°，（3）解：分四種情況進(jìn)行討論：情況一：當(dāng)BP是“鄰AB三分線”，CP是“鄰AC三分線”，∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n∴∠PBC=23∠ABC=∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，∴23∴∠BPC=2情況二：BP是“鄰BC三分線”，CP是“鄰CD三分線”，∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n∴∠PBC=13∠ABC=∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，∴13∴∠BPC=1情況三：當(dāng)BP是“鄰AB三分線”，CP是“鄰CD三分線”，∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n∴∠PBC=23∠ABC=∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，∴23∴∠BPC=1情況四：當(dāng)BP是“鄰BC三分線”，CP是“鄰AC三分線”，∵∠ACD=∠A+∠ABC=m+n∴∠PBC=13∠ABC=∵∠PBC+∠BPC=∠PCD，∴13∴∠BPC=2即：23m°或13m°或【變式3-1】（23-24·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)含45°角和一個(gè)含30°角的直角三角形按如圖所示的方式放置，若點(diǎn)D在線段AB上，BC=BD，則∠CFE的度數(shù)為．【答案】82.5°【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：一個(gè)含45°角和一個(gè)含30°角的直角三角形如圖所示，∴∠B=∠A=45°，∠CDF=60°，∠BCA=90°，∵BC=BD，∴∠BCD=1∵∠BCA=90°，∴∠DCA=90°?∠BCA=90°?67.5°=22.5°，∴∠EFC=∠EDC+∠DCA=60°+22.5°=82.5°．故答案為：82.5°．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·福建福州·期末）如圖，將線段AB平移得到線段CD，點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上，點(diǎn)Q在射線OB上，∠PCD、∠QBA的角平分線所在直線相交于點(diǎn)E，若∠OAB=α，∠OBA=β，則∠CEB=．（用α，β表示）【答案】α+β2或【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)；對(duì)點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左側(cè)和右側(cè)進(jìn)行分類，再畫出相應(yīng)的示意圖，結(jié)合所畫圖形即可解決問題，能根據(jù)題意畫出示意圖及熟知圖形平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖所示，由平移可知，CD∥∴∠OCD=∠OAB=α，∴∠PCD=180°?α，∵CN平分∠PCD，∴∠PCN=1∴∠ECM=∠PCN=90∵BE平分∠QBA，∴∠ABE=1∴∠AMB=180∴∠CEB=∠AMB?∠ECM=90當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖所示，同理可得，∠ECH=90°?由平移可知，CD∥∴∠CHE=∠ABH=90∴∠CEB=180綜上所述，∠CEB的度數(shù)為：α+β2或90故答案為：α+β2或90【變式3-3】（23-24八年級(jí)·四川內(nèi)江·期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（

）A．120° B．130° C．150° D．180°【答案】D【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把這七個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°解答即可．【詳解】解：如圖，設(shè)BF與CG交于點(diǎn)O，AD與CG交于點(diǎn)P，CG與BE交于點(diǎn)M，AD與BE交于點(diǎn)N，∴∠PNM=∠A+∠E，∠MPN=∠D+∠G，∠BOM=∠C+∠F，∠PMN=∠B+∠BOM．∵∠PNM+∠MPN+∠PMN=180°，∴∠PNM+∠MPN+∠PMN=∠A+∠E+∠D+∠G+∠B+∠BOM=∠A+∠E+∠D+∠G+∠B+∠C+∠F=180°．故選D．【題型4三角形的外角性質(zhì)與翻折的綜合運(yùn)用】【例4】（23-24八年級(jí)·北京朝陽(yáng)·期中）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB=AC．將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為（

）A．60° B．72° C．36° D．90°【答案】B【分析】設(shè)∠A=x，由折疊的性質(zhì)得到∠EDA=∠A=x，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠C=2x，再利用三角形內(nèi)角和定理求出x，即可求出答案．【詳解】解：設(shè)∠A=x，由折疊得：∠EDA=∠A=x，∠C=∠BED=∠A+∠EDA=2x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠ABC=2x=72°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在圖中的A'處，若∠A=28°，∠BDA'=90°，則【答案】34°/34度【分析】利用折疊性質(zhì)得∠ADE=∠A'DE=45°，∠AED=∠A'ED，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠CED=74°，利用鄰補(bǔ)角得到【詳解】解：∵∠BDA∴∠ADA∵△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在圖中的A'∴∠ADE=∠A'DE=45°∵∠CED=∠A+∠ADE=28°+45°=73°，∴∠AED=107°，∴∠A∴∠A故答案為：34°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，理解題意，熟練掌握綜合運(yùn)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）如圖，在△ABC中、∠B=50°，∠C=30°，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿著AD折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處、若AB1∥BC，則

【答案】35【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出∠B1=∠B=50°，∠ADB1【詳解】解：由折疊可得：∠B1=∠B=50°∵AB∴∠CDB∵∠CDB∴∠ADB=1∵∠ADB=∠C+∠CAD，∴∠CAD=∠ADB?∠C=65°?30°=35°．故答案為：35．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，點(diǎn)D在BC邊上，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE和邊AC重合時(shí)結(jié)束，邊AE交邊BC于點(diǎn)F．若折疊過程中，△DEF中有兩個(gè)角相等，則此時(shí)∠BAD的度數(shù)為．【答案】45°或22.5°【分析】設(shè)∠BAD=x°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠ADF=30°+x°，求得∠ADB=150°?x°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠ADE=∠ADB=150°?x°，∠B=∠E=30°，求得∠FDE=120°?2x°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠DFE=2x°+30°，分∠FDE=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三種情況，列方程解答即可求解．【詳解】解：設(shè)∠BAD=x°，∵∠BAC=90°，∠C=2∠B，∴∠B+∠C=3∠B=90°，∴∠B=30°，∴∠ADF=∠B+∠BAD=30°+x°，∴∠ADB=180°?∠ADF=150°?x°，∵折疊，∴∠ADE=∠ADB=150°?x°，∠B=∠E=30°，∴∠FDE=∠ADE?∠ADF=120°?2x°，∴∠DFE=180°?∠FDE?∠E=2x°+30°，當(dāng)△DEF中有兩個(gè)角相等，分三種情況：當(dāng)∠DFE=∠E時(shí)，則30°=2x°+30°，x=0（舍去）；當(dāng)∠FDE=∠E時(shí)，則30°=120°?2x°，x=45；當(dāng)∠DFE=∠FDE時(shí)，則120°?2x°=2x°+30°，x=22.5；故答案為：45°或22.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型5三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合運(yùn)用】【例5】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，△ABC的外角∠MBC與∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線段BP，QC交于點(diǎn)E．在△BQE中，若存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，則∠A的度數(shù)為．

【答案】60°或120°或45°或135°【分析】首先利用角平分線定義和三角形外角的性質(zhì)證明∠A=2∠E，然后求出∠E+∠Q=90°，再分4種情況討論，求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BC至F，

∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF=2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=1∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=1∴∠E+∠Q=90°，如果在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況：若∠EBQ=3∠E=90°，則∠E=30°，∴∠A=2∠E=60°；若∠EBQ=3∠Q=90°，則∠Q=30°，∴∠E=60°，∴∠A=2∠E=120°；若∠Q=3∠E，則∠E=90°×1∴∠A=2∠E=45°；若∠E=3∠Q，則∠E=90°×3∴∠A=2∠E=135°；綜上所述，∠A的度數(shù)是60°或120°或45°或135°，故答案為：60°或120°或45°或135°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)；靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·河南漯河·階段練習(xí)）△ABC中，內(nèi)角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分線交于點(diǎn)P，AP交BC于D．過B作BG⊥AP于G．若∠GBP=58°，求∠ACB的度數(shù)．【答案】64°【分析】本題主要考查了角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)；由∠GBP=58°，∠BGP=90°，得到∠BPG=32°，根據(jù)角平分線的定義得到∠EBP=∠CBP，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+32°，由∠ACB=∠EBC?∠BAC=2∠EBP?2∠BAP，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠GBP=58°，∠BGP=90°，∴∠BPG=32°，∵BP平分∠CBE，∴∠EBP=∠CBP，∵∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+32°，∵AP平分∠BAC，∵∠ACB=∠EBC?∠BAC=2∠EBP?2∠BAP=2(∠BAP+32°?∠BAP)=64°．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在射線BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=78°，則∠E的度數(shù)為．

【答案】31°/31度【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由三角形外角的性質(zhì)求出∠BAC的度數(shù)，由角平分線定義求出∠BAD的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，即可求出∠E的度數(shù)．【詳解】解：∵∠ACE=∠B+∠BAC，∠B=40°，∠ACE=78°，∴∠BAC=∠ACE?∠B=78°?40°=38°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=1∴∠ADC=∠B+∠DAB=40°+19°=59°，∵EF⊥AD于F，∴∠EFD=90°，∴∠E=90°?∠ADC=90°?59°=31°，故答案為：31°．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·廣東廣州·期中）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，記∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，則以下結(jié)論①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③∠BOC=90°+∠1；④【答案】①④/④①【分析】本題考查了角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解并能靈活運(yùn)用相關(guān)概念得到角之間的關(guān)系．先利用角平分線的定義得到∠ABC=2∠EBC，∠ACD=2∠ECD，∠ACB=2∠ACO，再利用三角形的外角的性質(zhì)轉(zhuǎn)化各角之間的關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵BO平分∠ABC，CE為外角∠ACD的平分線，∴∠ABC=2∠EBC，∠ACD=2∠ECD，∴∠1=∠ACD?∠ABC=2∠ECD?∠EBC∵CO平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACO，∴∠OCE=∠ACE+∠ACO=1∴∠BOC=∠2+90°，故④正確；∵∠2不一定是45°，故②不正確；由于∠1=2∠2，∴∠BOC=1故答案為：①④．【題型6三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合運(yùn)用】【例6】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，∠BCD=∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分線交AB于點(diǎn)E，∠ABD的平分線與CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，∠F=75°，則∠A=．

【答案】150°/150度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角，平行得到∠ADC+∠BCD=180°，角平分線結(jié)合∠BCD=∠BDC，得到∠EDB=90°，進(jìn)而求出∠FGD=15°，外角的性質(zhì)，求出∠FBD+∠EDB=15°，進(jìn)而得到∠ABD+∠ADB=30°，再利用三角形的內(nèi)角和求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)BF,DE交于點(diǎn)G，

∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DE平分∠ADB，∠BCD=∠BDC，∴∠BDE=1∴∠EDB+∠BDC=1∴∠EDC=90°，∴∠FGD=90°?∠F=15°，∵∠FGD=∠EDB+∠FBD，∴∠EDB+∠FBD=15°，∵∠ADB的平分線交AB于點(diǎn)E，∠ABD的平分線與CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，∴∠ABD=2∠FBD,∠ADB=2∠EDB，∴∠ABD+∠ADB=2∴∠A=180°?∠ABD+∠ADB故答案為：150°．【變式6-1】（23-24·河北滄州·二模）如圖，直線l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之間，兩三角板斜邊在同一直線上，含30°角的三角板的一直角邊在

A．8° B．10° C．12° D．15°【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠1=∠2=30°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得出∠3=∠α+∠2，從而求出∠α的度數(shù)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，

∵直線l1∥∴∠1=∠2=30°，∵∠3=∠α+∠2，且∠3=45°，∴∠α=45°?30°=15°，故選：D．【變式6-2】（23-24·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖，將一塊含30°角的三角尺和一把直尺疊放在一起．若∠1=72°，則∠2的度數(shù)為．【答案】132°/132度【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖，∵M(jìn)N∥GH，∴∠AGH=∠1=72°，∵∠A=60°，∠2=∠A+∠AGH，∴∠2=132°，故答案為：132°．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·期中）如圖，已知AM∥BN，∠A=x°．點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于點(diǎn)C，D，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí)，∠ADB的度數(shù)為（用含有

【答案】45?【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABN=180°?x°，再結(jié)合角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)可證明∠ABC=∠CBP=∠PBD=∠DBN，即可得到∠ABC的度數(shù)．【詳解】解：∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠ABN=180°?x°，∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，∴∠ABC=∠CBP，∠DBP=∠DBN，∵∠ACB=∠ABD，∠ACB=∠ADB+∠DBC，∠ABD=∠ABC+∠DBC，∴∠ABC=∠ADB，∵AM∥∴∠ADB=∠DBN，∴∠ABC=∠CBP=∠PBD=∠DBN，∴∠ABC=1故答案為：45?1【題型7三角形的外角性質(zhì)與垂線的綜合運(yùn)用】【例7】（23-24八年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB<∠A，BD是角平分線，BE是邊AC上的高，延長(zhǎng)BD與外角∠ACF的平分線交于點(diǎn)G．以下四個(gè)結(jié)論：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=12∠A；④∠A?∠ACB=2∠EBDA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的角平分線與高的含義，三角形的外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的外角的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．由三角形的角平分線的含義可判斷①，由三角形的高的含義可判斷②，證明∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，從而可得出∠G=12∠A，可判斷③，由2∠EBD=290°?∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，可得【詳解】解：∵BD是△ABC角平分線，∴∠ABD=∠CBD，故①正確；∵BE是邊AC上的高，∴∠ABE+∠A=90°，故②正確；∵BD是△ABC角平分線，CG平分∠ACF，∴∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，∴2∠GCF=2∠GBC+∠A，∴∠G=1∵2∠DBE=290°?∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB∴2∠DBE=180°?=180°?(∠ABC+2∠ACB)=180°?(180°?∠A+∠ACB)=∠A?∠ACB，故④正確；∴正確的有①②③④共4個(gè)，故選：D．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期末）將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是．【答案】105°/105度【分析】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．先求出∠BCD=45°，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵∠ACB=90°，∠ACD=45°，∴∠BCD=∠ACB?∠ACD=45°，∴∠α故答案為：105°．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線，過點(diǎn)E作EF垂直BC，垂足為點(diǎn)F．

(1)∠ABE=15°，∠BAD=25(2)若△ABC的面積為30，EF=5，求CD．【答案】(1)40(2)3【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角性質(zhì)解答即可．（2）根據(jù)三角形的中線將三角形分成兩個(gè)三角形得到S△BDE=【詳解】（1）解：∠BED是△ABE的一個(gè)外角，∵∠ABE=15°，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15（2）解：∵AD是△ABC的中線，∴S∵S∴S∵BE為△ABD的中線，∴S∵EF⊥BC，EF=5，∴S∴1∴BD=3，∴CD=BD=3．【點(diǎn)睛】本題主要涉及三角形外角性質(zhì)及三角形的面積公式，同時(shí)考查了三角形的中線將三角形分成兩個(gè)三角形，它們的面積等于原三角形面積的一半．本題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維．熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．如圖，B、C為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l外，且∠ABC=50°，若P是l上一點(diǎn)，且△ABP是“準(zhǔn)直角三角形”，則∠APB=．【答案】10°或20°或40°或110°【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用、新定義問題的求解等知識(shí)與方法．分為四種情況，畫出圖形，分別求出∠AP1B、∠AP2【詳解】解：如圖，若點(diǎn)P1在點(diǎn)B左側(cè)，△ABP1

∵∠BAP∴∠BAP∴∠BAP∴∠AP若點(diǎn)P2在點(diǎn)B左側(cè)，△ABP2∵∠AP∴∠AP∴∠AP若點(diǎn)P3在點(diǎn)B右側(cè)，△ABP3∵∠ABP∴2∠BAP∴∠BAP∴∠AP若點(diǎn)P4在點(diǎn)B右側(cè)，△ABP4∵∠ABP∴2∠AP∴∠AP綜上所述，∠APB的度數(shù)為10°或20°或40°或110°故答案為：10°或20°或40°或110°．【題型8由三角形的外角性質(zhì)確定角度之間的關(guān)系】【例8】（23-24八年級(jí)·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分別是∠ABD和∠ACE的角平分線，延長(zhǎng)FB和GC交于點(diǎn)H．設(shè)∠A=α，∠H=β，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】90°?【分析】本題考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由三角形外角性質(zhì)可得∠ABD=α+∠ACB，∠ACE=α+∠ABC，由角平分線定義得∠DBF=12∠ABD=12α+∠ACB，∠ECG=12∠ACE=【詳解】解：由三角形外角性質(zhì)可得，∠ABD=α+∠ACB，∠ACE=α+∠ABC，∵BF和CG分別是∠ABD和∠ACE的角平分線，∴∠DBF=12∠ABD=∴∠CBH=∠DBF=12α+∠ACB∵∠CBH+∠BCH+∠H=180°，∴12∴α+β+1∴α+β+1即β=90°?1故答案為：90°?1【變式8-1】（23-24上·福建莆田·八年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，D、E在邊AB上，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是．【答案】∠2>∠1>∠A【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：∵∠2是△DEC的一個(gè)外角，∴∠2>∠1，∵∠1是△ADC的一個(gè)外角，∴∠1>∠A，∴∠2>∠1>∠A，故答案為：∠2>∠1>∠A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·甘肅張掖·期末）如圖，∠A、∠DOE和∠BEC的大小關(guān)系是(

).

A．∠A>∠DOE>∠BEC B．∠DOE>∠A>∠BECC．∠BEC>∠DOE>∠A D．∠DOE>∠BEC>∠A【答案】D【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可．【詳解】解：在△ABE中，∠BEC=∠A+∠B，∴∠BEC>∠A，在△COE中，∠DOE=∠BEC+∠C，∴∠DOE>∠BEC，∴∠DOE>∠BEC>∠A，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（23-24八年級(jí)·河南商丘·期末）如圖所示，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D，連接PC．(1)∠1、∠2、∠A的大小關(guān)系是：＞＞；(2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想求∠1的度數(shù)，請(qǐng)你從下面兩種思路中任選一種幫助嘉嘉完成求解．思路一先利用三角形內(nèi)角和求出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和求出∠1的度數(shù)．思路二先利用三角形外角求出∠2的度數(shù)．再利用三角形外角求出∠1的度數(shù)．【答案】(1)∠1；∠2；∠A(2)∠1=132°【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠2=∠3+∠A，∠1=∠2+∠4，然后可得答案；（2）思路一：先在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理求出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再在△PBC中利用三角形內(nèi)角和定理求出∠1的度數(shù)；思路二：先利用三角形外角的性質(zhì)求出∠2的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求出∠1的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵∠2是△ABD的外角，∠1是△CDP的外角，∴∠2=∠3+∠A，∠1=∠2+∠4，∴∠2>∠A，∠1>∠2∴∠1>∠2>∠A，故答案為：∠1；∠2；∠A；（2）思路一：在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4=180°，∴∠PBC+∠PCB=180°?∠A?∠3?∠4=180°?67°?25°?40°=48°，在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°，∴∠1=180°?∠PBC+∠PCB思路二：∵∠2是△ABD的外角，∴∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°．【題型9與三角形的外角性質(zhì)有關(guān)的規(guī)律探究】【例9】（23-24八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，已知△ABC的內(nèi)角∠A=α，分別作內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線，兩條平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得【答案】122024【分析】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，熟知三角形的外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12【詳解】解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1∴∠A1BC=又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A∴12∴∠A∵∠A=α，∴∠A同理可得∠A2=12∴∠A∴∠A故答案為：α2【變式9-1】（23-24八年級(jí)·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，已知AB=A1B，A1C=A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【分析】由∠B=20°根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可求得∠AA1B的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)找∠A【詳解】解：∵AB=A1B∴∠A=∠AA∵A1∴∠CA2A=12∴∠A∴∠A故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及規(guī)律的探索，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（23-24·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知∠AOB=7°，一條光線從點(diǎn)A出發(fā)后射向OB邊．若光線與OB邊垂直，則光線沿原路返回到點(diǎn)A，此時(shí)∠A=90°?7°=83°．當(dāng)∠A<83°時(shí)，光線射到OB邊上的點(diǎn)A1后，經(jīng)OB反射到線段AO上的點(diǎn)A2，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光線又會(huì)沿A2→A【答案】766【分析】根據(jù)入射角等于反射角得出∠1=∠2=90°?7°=83°，再由∠1是△AA1O的外角即可得∠A度數(shù)；如圖，當(dāng)MN⊥OA時(shí)，光線沿原路返回，分別根據(jù)入射角等于反射角和外角性質(zhì)求出【詳解】解：∵A1A∴∠∴∠如圖：當(dāng)MN⊥OA時(shí)，光線沿原路返回，∴∠∴∠∴∠∴∠由以上規(guī)律可知，∠A=90°?2n?7°當(dāng)n=6時(shí)，∠A取得最小值，最小度數(shù)為6°，故答案為：76，6．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)及入射角等于反射角，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)及入射角等于反射角得出與∠A具有相同位置的角的度數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·期