第六章立體幾何初步練習(xí)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第六章立體幾何初步一、選擇題1．若棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4,16,高為3,則該棱臺(tái)的體積為()A.26 B.28 C.30 D.322．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且，則此棱錐的體積為()A. B. C. D.3．已知兩條不同的直線m,n和平面,且,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．《九章算術(shù)》涉及算術(shù)、代數(shù)、幾何等諸多領(lǐng)域，書中有如下問(wèn)題：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，問(wèn)積幾何？”其意思為：“有一個(gè)圓臺(tái)，下底周長(zhǎng)為3丈，上底周長(zhǎng)為2丈，高為2丈，那么該圓臺(tái)的體積是多少？”已知1丈等于10尺，圓周率約為3，估算出這個(gè)圓臺(tái)體積約有()A.立方尺 B.立方尺 C.立方尺 D.立方尺5．如圖1,球面被平面截得的一部分叫做球冠,截得的圓面是底,圓的半徑記為R,垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高,記為H,則球冠的曲面面積.球O是棱長(zhǎng)為1的正方體的棱切球,則球O在正方體外面部分曲面的面積為()A. B. C. D.6．已知某圓臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為、，高為6，則該圓臺(tái)的體積為()A. B. C. D.7．用斜二測(cè)畫法得到一個(gè)水平放置的四邊形的直觀圖為如圖所示的直角梯形,已知,,,四邊形的面積為,則()A.1 B. C. D.8．已知兩條不同的直線a，b及兩個(gè)不同的平面，，則下列說(shuō)法正確的是()A.若，，，則B.若，，，則a與b是異面直線C.若，，，則a與b平行或異面D.若，，則a與一定相交二、多項(xiàng)選擇題9．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側(cè)面PAD為正三角形，且平面平面ABCD，則下列說(shuō)法正確的有()A.在線段AD上存在一點(diǎn)M，使平面PMBB.異面直線AD與PB所成的角為C.二面角的大小為D.平面PAC10．下列說(shuō)法中不正確的是()A.棱柱的側(cè)面可以是三角形 B.正方體和長(zhǎng)方體都是特殊的四棱柱C.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形 D.棱柱的各條棱都相等11．在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取4個(gè)不同的頂點(diǎn)，則這4個(gè)頂點(diǎn)可能構(gòu)成()A.矩形B.每個(gè)面都是等邊三角形的四面體C.每個(gè)面都是直角三角形的四面體D.有三個(gè)面是直角三角形、一個(gè)面是等邊三角形的四面體三、填空題12．底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為____________.13．已知水平放置的四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖為矩形,已知,,則四邊形ABCD的面積為________.14．水平放置的的直觀圖如圖所示,已知,,則AB邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為________.四、解答題15．如圖，在三棱錐中，平面平面，，O為BD的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.16．正四棱臺(tái)的高是17cm,兩底面的邊長(zhǎng)分別是4cm和16cm,求這個(gè)棱臺(tái)側(cè)棱的長(zhǎng)和斜高.17．如圖,在四棱錐中,底面ABCD是平行四邊形,,,,,M,N分別為BC,PC的中點(diǎn),,.（1）證明:;（2）求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.18．如圖，已知平面、，且，設(shè)梯形ABCD中，，且，，求證：AB，CD，l共點(diǎn).19．如圖，在正三棱柱中，，，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到頂點(diǎn)的最短路線與棱的交點(diǎn)記為M，求：（1）三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)；（2）該最短路線的長(zhǎng)及的值；（3）平面與平面ABC所成二面角（銳角）的大小.

參考答案1．答案：B解析：所求棱臺(tái)的體積為故選：B.2．答案：A解析：在中，，，，所以；同理，，過(guò)A點(diǎn)作SC的垂線交SC于D點(diǎn)，連接DB，因?yàn)?，故，故平面ABD，且為等腰三角形.因?yàn)椋?，則的面積為，則三棱錐的體積為.3．答案：D解析：如圖,取平面為平面,直線為n,不妨取直線為m,顯然有,此時(shí),即推不出,不妨取直線為直線m,顯然有,此時(shí),即推不出,故選：D.4．答案：D解析：如圖所示，設(shè)圓臺(tái)上底半徑為，下底半徑為，則，，解得：，，即：下底半徑為5尺，上底半徑為尺，設(shè)，分別為上下底面面積，所以圓臺(tái)的體積為：立方尺.故選：D.5．答案：D解析：如圖1,正方體與正方體的棱切球形成六個(gè)球冠,且,,所以所求曲面的面積為:,故選D,6．答案：C解析：該圓臺(tái)的體積為.7．答案：D解析：如圖所示,根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則,得到原四邊形,設(shè),則,則,,且為原圖形中梯形的高,故,解得,故,故選：D.8．答案：C解析：若，，，則直線a，b沒(méi)有交點(diǎn)，故a與b平行或異面，故A，B錯(cuò)誤，C正確；若，，當(dāng)時(shí)，a與平行，故D錯(cuò)誤.故選C.9．答案：ABC解析：對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，BM，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O.側(cè)面PAD為正三角形，.又底面ABCD是菱形，，是等邊三角形，.又，平面，平面PMB，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，平面，平面，，即異面直線AD與PB所成的角為，故B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，平面.平面，，.又平面平面，是二面角的平面角.設(shè)，則，.在中，，即，故二面角的大小為，故C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，易得，與PA不垂直，與平面PAC不垂直，故D錯(cuò)誤.故選ABC.10．答案：ACD解析：棱柱的側(cè)面都是四邊形，A不正確；正方體和長(zhǎng)方體都是特殊的四棱柱，B正確；不是所有幾何體的表面都能展開成平面圖形，球不能展開成平面圖形，C不正確；棱柱的各條棱并不是都相等，應(yīng)該為棱柱的側(cè)棱都相等，D不正確.故選ACD.11．答案：ABCD解析：對(duì)于A，如圖四邊形為矩形，所以A正確，對(duì)于B，四面體的每個(gè)面都是等邊三角形，所以B正確，對(duì)于C，如圖四面體的每個(gè)面都是直角三角形，所以C正確，對(duì)于D，如圖四面體的三個(gè)面是直角三角形、一個(gè)面是等邊三角形，所以D正確，故選：ABCD.12．答案：28解析：方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以原正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺(tái)的體積為.方法二：由方法一可知，棱臺(tái)的體積為.故答案為28.13．答案：解析：14．答案：解析：根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則,由直觀圖知,原平面圖形為直角三角形,且,,,所以,所以,故AB邊上中線長(zhǎng)為.故答案為:.

15、（1）答案：證明見解析解析：因?yàn)椋琌為BD的中點(diǎn)，所以，又平面平面BCD，且平面平面，平面ABD，所以平面BCD，又平面BCD，所以.（2）答案：解析：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為1的正三角形，且O為BD的中點(diǎn)，所以，所以是直角三角形，且，，所以.如圖，過(guò)點(diǎn)E作，交BD于F，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為G，連接EG.因?yàn)槠矫鍮CD，所以平面BCD.又平面BCD，所以.又，且，平面EFG，所以平面EFG，則為二面角的平面角，所以，則.因?yàn)椋裕?，所?因?yàn)椋?，所以，則，所以.所以，所以，所以.16．答案：棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm,斜高為解析：如圖所示,設(shè)棱臺(tái)的兩底面的中心分別是和O,和BC的中點(diǎn)分別是和E,連接,,,OB,,OE,則四邊形和都是直角梯形.,,,,,.,.,.即棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm,斜高為.17．答案：證明見解析;（2）解析：（1）由題意知,,,易得.又,且,平面PDM,所以平面PDM.因?yàn)?所以平面PDM.又平面PDM,所以.（2）由（1）知平面PDM,所以為直線AN與平面PDM所成角的余角.連接AM,因?yàn)?,所以平面ABCD,所以.因?yàn)?,,所以由余弦定理得,又,所以,所以,連接BN,結(jié)合余弦定理得.連接AC,則由余弦定理得,在中,結(jié)合余弦定理得,所以.所以在中,.設(shè)直線AN與平面PDM所成的角為,則.18．答案：證明見解析解析：證明如圖，在梯形ABCD中，，與CD所在的直線必交于一點(diǎn)，設(shè)兩直線交于點(diǎn)M，則直線AB，直線CD.，，，，又，，直線AB，CD，l共點(diǎn).19．答案：（1）（2）最短路線的長(zhǎng)為，此時(shí)（3）解析：（1）正三棱柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)為6，寬為2的矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為.（2）如圖，將側(cè)面繞棱順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面在