2022-2023學(xué)年浙江省衢溫5+1聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE11浙江省衢溫5+1聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有〖答案〗必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，解得：，所以,，即，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，且，所以，即，，解得，則.故選：.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗記函數(shù)，定義域?yàn)镽，，則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除AC，又，排除D.故選∶B.4.隨著杭州亞運(yùn)會(huì)的臨近，吉祥物“琮琮、蓮蓮、宸宸”開(kāi)始走俏國(guó)內(nèi)外.現(xiàn)有個(gè)完全相同的“宸宸”，甲、乙、丙位體育愛(ài)好者要與這個(gè)“宸宸”站成一排拍照留念，則有且只有個(gè)“宸宸”相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗先將位體育愛(ài)好者進(jìn)行排序，共有種排法，因?yàn)閭€(gè)“宸宸”完全相同，將其中兩個(gè)“宸宸”捆綁，形成一個(gè)“大元素”，再將“大元素”與另外一個(gè)“宸宸”插入位體育愛(ài)好者所形成的空位中（包括兩端），由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排隊(duì)方法種數(shù)為種.故選：C.5.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，點(diǎn)到底面的距離，所以，，，因?yàn)槠矫?，平面，所?且，，平面，平面，所以平面，且平面，所以，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則，即.故選：A6.如圖所示的是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著的一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為榮的發(fā)現(xiàn).設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A. B. C.15 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)球的半徑為，則球的體積為，圓柱的底面積為，高為，故圓柱的體積為，故，球的表面積為，圓柱的表面積為，故，故，展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故選：C7.已知圓和點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由可得，整理得，∴點(diǎn)在圓上，且圓心為,半徑為，又∵點(diǎn)在圓上，∴圓與圓有公共點(diǎn)，∴，且,∴，則的最大值為，故選：.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先比較和，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，所以，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，即，故，排除和;再比較和，令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最小值，故（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，故.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（）A.B.是等腰直角三角形C.與平行的單位向量的坐標(biāo)為或D.在方向上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，，選項(xiàng)A正確；計(jì)算可得，三條邊不相等，選項(xiàng)B不正確；與平行的單位向量為：選項(xiàng)C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在處的切線方程是B.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C.函數(shù)有唯一的零點(diǎn)D.函數(shù)的最大值為3〖答案〗BC〖解析〗，則，所以函數(shù)在處的切線方程是，即，故A錯(cuò)誤；令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故B正確，D錯(cuò)誤；，等價(jià)于，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，即函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，故C正確；故選：BC11.《九章算術(shù)》中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是該正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且平面，，分別是棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線不可能垂直B.三棱錐的體積為定值C.直線與平面所成角的正弦值的最大值為D.陽(yáng)馬的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為〖答案〗BCD〖解析〗以為原點(diǎn)，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,取，則，因?yàn)辄c(diǎn)是該正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以設(shè)點(diǎn)，其中，則，對(duì)于A：因?yàn)槠矫妫?，即，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即直線與直線垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積為，又因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又因?yàn)闉槎ㄖ?，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)于C：由上述結(jié)論得，，平面一個(gè)法向量為，直線與平面所成角的正弦值為，因?yàn)?，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故C正確；對(duì)于D：易得陽(yáng)馬的外接球的直徑為，所以外接球半徑，易得，，，，，由等體積法得即，解得，所以，故D正確，故選：BCD．12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，過(guò)，作的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若點(diǎn)為，且直線與傾斜角互補(bǔ)，則C.點(diǎn)在定直線上 D.設(shè)點(diǎn)為，則的最小值為3〖答案〗ABC〖解析〗A.設(shè)，，聯(lián)立，得，，，，故A正確；B.因?yàn)?，直線與傾斜角互補(bǔ)，所以，，得，且，即，且解得：，故B正確；C.設(shè)點(diǎn)在軸上方，在軸下方，，，軸上方的拋物線方程為，軸下方的拋物線方程為，此時(shí)在點(diǎn)處的切線的斜率，點(diǎn)處的切線的斜率，所以點(diǎn)處的切線方程為，點(diǎn)處的切線方程為，方程化簡(jiǎn)為，，兩式相除化簡(jiǎn)得，故C正確；D.設(shè)，,，當(dāng)時(shí)，最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13.在三次獨(dú)立重復(fù)射擊中，若至少有一次擊中目標(biāo)的概率為，則每次射擊擊中目標(biāo)的概率是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，則，即，所以，所以；故〖答案〗為：14.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，，因此，.故〖答案〗為：.15.若，則______.〖答案〗〖解析〗∵，∴，∴，兩邊平方得，∴.故〖答案〗為：.16.已知橢圓的左右頂點(diǎn)為，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，若的外接圓的面積的最小值為，則該橢圓的離心率為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗若為外接圓的圓心，半徑為，則，故，由外接圓圓心為各邊中垂線的交點(diǎn)知：必在軸上（不妨令其在軸上方），所以，故，則.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.解：（1）對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，可得，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，故其公比為，所以，，解得，所以，.（2），因此，.18.在2023年3月10日，十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議在北京召開(kāi).中共中央、國(guó)家主席、中央軍委主席在十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議閉幕會(huì)上發(fā)表重要講話.出席全國(guó)兩會(huì)的代表委員和全國(guó)各地干部群眾紛紛表示，這一重要講話堅(jiān)定歷史自信、飽含人民情懷、彰顯使命擔(dān)當(dāng)、指引前進(jìn)方向，必將激勵(lì)我們?cè)谛抡鞒躺蠄F(tuán)結(jié)奮斗，開(kāi)拓創(chuàng)新，堅(jiān)定信心，勇毅前行，作出無(wú)負(fù)時(shí)代、無(wú)負(fù)歷史、無(wú)負(fù)人民的業(yè)績(jī)，為推進(jìn)強(qiáng)國(guó)建設(shè)、民族復(fù)興作出應(yīng)有貢獻(xiàn).某社區(qū)為調(diào)查社區(qū)居民對(duì)這次會(huì)議的關(guān)注度，隨機(jī)抽取了60名年齡在的社區(qū)居民，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求選取的社區(qū)居民平均年齡及選取的社區(qū)居民年齡的中位數(shù)；（2）現(xiàn)若樣本中和年齡段的所有居民都觀看了會(huì)議講話，社區(qū)計(jì)劃從樣本里這兩個(gè)年齡段的居民中抽取3人分享此次觀看會(huì)議的感受，設(shè)表示年齡段在的人數(shù)，求的分布列及期望.解：（1）選取的社區(qū)居民平均年齡，因?yàn)?，，所以中位?shù)落于區(qū)間之間，中位數(shù)為；（2）因?yàn)樯鐓^(qū)居民年齡在）內(nèi)的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為6人，所以的可能取值為0,1,2,3,則，，，，故的分布列為0123期望為.19.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.若為銳角三角形，且滿足.（1）證明：；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).解：（1）由題意可得：所以展開(kāi)整理得∵為銳角三角形∴∴∴.（2）∵∴∵整理得，∴∴，∴，∵，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為.20.如圖，在三棱錐中，已知側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，，若直線與平面所成角的正切值為，求的值.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，∵，∴，∵，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）解法1：取的中點(diǎn)，連接，則，由已知，在，中，∵，，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，∴平面，∴為平面的法向量，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，為空間直角坐標(biāo)系的，軸，以垂直于平面的直線為軸，則，，，在直角三角形中，，，，所以，，∴，，，設(shè)，則，∵直線與平面所成角的正切值為，∴直線與平面所成角的正弦值為，∴，解得，而，即，得，所以.解法2：取的中點(diǎn)，連接，則，由已知，在，中，∵，，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，∴平面，如圖，作，連接，∴平面，直線與平面所成的角就是，由已知得直線與平面所成角，設(shè)，則在三角形和中，由得，同理得，所以，在直角三角形中，，所以在直角三角形中有，即解得，而，所以.21.設(shè)函數(shù)，.（1）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以在有兩個(gè)不等實(shí)根，所以且，解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）方法一：（分類(lèi)討論）令，則，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，又，所以恒成立，即，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，①若，對(duì)恒成立，在單調(diào)遞增，，符合題意；②若，則（ⅰ）當(dāng)，，恒成立，在單調(diào)遞減，只需，所以；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，恒成立，在單調(diào)遞增，只需，所以均符合題意；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，而當(dāng)時(shí)，，均成立，所以符合題意.綜上所述，.方法二：（分離參數(shù)）恒成立，設(shè)，，則，由在單調(diào)遞增，得，即，所以在單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，只需.設(shè)，，則設(shè)，，則，所以在單調(diào)遞減，所以，（或者由）,從而得，故在單調(diào)遞增，所以，所以.22.已知離心率為2的雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，，頂點(diǎn)到漸近線的距離為.過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于，（異于點(diǎn)，）兩點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記，，的面積分別為，，，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）若直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，取一條漸近線為，又，則由題意可得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線，，.聯(lián)立，消去整理得，當(dāng)時(shí)，，則，.當(dāng)與雙曲線交于兩支時(shí)，，，，不合題意；當(dāng)與雙曲線交于一支時(shí)，，，則，得，故；（3）直線的方程為，令，得，則.直線方程為，令，得，則.因?yàn)?，所以，，故，即，故為定?浙江省衢溫5+1聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有〖答案〗必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，解得：，所以,，即，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，且，所以，即，，解得，則.故選：.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗記函數(shù)，定義域?yàn)镽，，則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除AC，又，排除D.故選∶B.4.隨著杭州亞運(yùn)會(huì)的臨近，吉祥物“琮琮、蓮蓮、宸宸”開(kāi)始走俏國(guó)內(nèi)外.現(xiàn)有個(gè)完全相同的“宸宸”，甲、乙、丙位體育愛(ài)好者要與這個(gè)“宸宸”站成一排拍照留念，則有且只有個(gè)“宸宸”相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗先將位體育愛(ài)好者進(jìn)行排序，共有種排法，因?yàn)閭€(gè)“宸宸”完全相同，將其中兩個(gè)“宸宸”捆綁，形成一個(gè)“大元素”，再將“大元素”與另外一個(gè)“宸宸”插入位體育愛(ài)好者所形成的空位中（包括兩端），由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排隊(duì)方法種數(shù)為種.故選：C.5.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，點(diǎn)到底面的距離，所以，，，因?yàn)槠矫?，平面，所?且，，平面，平面，所以平面，且平面，所以，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則，即.故選：A6.如圖所示的是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著的一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為榮的發(fā)現(xiàn).設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A. B. C.15 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)球的半徑為，則球的體積為，圓柱的底面積為，高為，故圓柱的體積為，故，球的表面積為，圓柱的表面積為，故，故，展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故選：C7.已知圓和點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由可得，整理得，∴點(diǎn)在圓上，且圓心為,半徑為，又∵點(diǎn)在圓上，∴圓與圓有公共點(diǎn)，∴，且,∴，則的最大值為，故選：.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先比較和，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，所以，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，即，故，排除和;再比較和，令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最小值，故（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，故.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（）A.B.是等腰直角三角形C.與平行的單位向量的坐標(biāo)為或D.在方向上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，，選項(xiàng)A正確；計(jì)算可得，三條邊不相等，選項(xiàng)B不正確；與平行的單位向量為：選項(xiàng)C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在處的切線方程是B.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C.函數(shù)有唯一的零點(diǎn)D.函數(shù)的最大值為3〖答案〗BC〖解析〗，則，所以函數(shù)在處的切線方程是，即，故A錯(cuò)誤；令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故B正確，D錯(cuò)誤；，等價(jià)于，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，即函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，故C正確；故選：BC11.《九章算術(shù)》中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是該正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且平面，，分別是棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線不可能垂直B.三棱錐的體積為定值C.直線與平面所成角的正弦值的最大值為D.陽(yáng)馬的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為〖答案〗BCD〖解析〗以為原點(diǎn)，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,取，則，因?yàn)辄c(diǎn)是該正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以設(shè)點(diǎn)，其中，則，對(duì)于A：因?yàn)槠矫?，所以，即，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即直線與直線垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積為，又因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)到平面的距離為定值，又因?yàn)闉槎ㄖ?，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)于C：由上述結(jié)論得，，平面一個(gè)法向量為，直線與平面所成角的正弦值為，因?yàn)椋?，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故C正確；對(duì)于D：易得陽(yáng)馬的外接球的直徑為，所以外接球半徑，易得，，，，，由等體積法得即，解得，所以，故D正確，故選：BCD．12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，過(guò)，作的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若點(diǎn)為，且直線與傾斜角互補(bǔ)，則C.點(diǎn)在定直線上 D.設(shè)點(diǎn)為，則的最小值為3〖答案〗ABC〖解析〗A.設(shè)，，聯(lián)立，得，，，，故A正確；B.因?yàn)?，直線與傾斜角互補(bǔ)，所以，，得，且，即，且解得：，故B正確；C.設(shè)點(diǎn)在軸上方，在軸下方，，，軸上方的拋物線方程為，軸下方的拋物線方程為，此時(shí)在點(diǎn)處的切線的斜率，點(diǎn)處的切線的斜率，所以點(diǎn)處的切線方程為，點(diǎn)處的切線方程為，方程化簡(jiǎn)為，，兩式相除化簡(jiǎn)得，故C正確；D.設(shè)，,，當(dāng)時(shí)，最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13.在三次獨(dú)立重復(fù)射擊中，若至少有一次擊中目標(biāo)的概率為，則每次射擊擊中目標(biāo)的概率是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，則，即，所以，所以；故〖答案〗為：14.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，，因此，.故〖答案〗為：.15.若，則______.〖答案〗〖解析〗∵，∴，∴，兩邊平方得，∴.故〖答案〗為：.16.已知橢圓的左右頂點(diǎn)為，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，若的外接圓的面積的最小值為，則該橢圓的離心率為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗若為外接圓的圓心，半徑為，則，故，由外接圓圓心為各邊中垂線的交點(diǎn)知：必在軸上（不妨令其在軸上方），所以，故，則.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.解：（1）對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，可得，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，故其公比為，所以，，解得，所以，.（2），因此，.18.在2023年3月10日，十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議在北京召開(kāi).中共中央、國(guó)家主席、中央軍委主席在十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議閉幕會(huì)上發(fā)表重要講話.出席全國(guó)兩會(huì)的代表委員和全國(guó)各地干部群眾紛紛表示，這一重要講話堅(jiān)定歷史自信、飽含人民情懷、彰顯使命擔(dān)當(dāng)、指引前進(jìn)方向，必將激勵(lì)我們?cè)谛抡鞒躺蠄F(tuán)結(jié)奮斗，開(kāi)拓創(chuàng)新，堅(jiān)定信心，勇毅前行，作出無(wú)負(fù)時(shí)代、無(wú)負(fù)歷史、無(wú)負(fù)人民的業(yè)績(jī)，為推進(jìn)強(qiáng)國(guó)建設(shè)、民族復(fù)興作出應(yīng)有貢獻(xiàn).某社區(qū)為調(diào)查社區(qū)居民對(duì)這次會(huì)議的關(guān)注度，隨機(jī)抽取了60名年齡在的社區(qū)居民，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求選取的社區(qū)居民平均年齡及選取的社區(qū)居民年齡的中位數(shù)；（2）現(xiàn)若樣本中和年齡段的所有居民都觀看了會(huì)議講話，社區(qū)計(jì)劃從樣本里這兩個(gè)年齡段的居民中抽取3人分享此次觀看會(huì)議的感受，設(shè)表示年齡段在的人數(shù)，求的分布列及期望.解：（1）選取的社區(qū)居民平均年齡，因?yàn)椋?，所以中位?shù)落于區(qū)間之間，中位數(shù)為；（2）因?yàn)樯鐓^(qū)居民年齡在）內(nèi)的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為6人，所以的可能取值為0,1,2,3,則，，，，故的分布列為0123期望為.19.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.若為銳角三角形，且滿足.（1）證明：；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).解：（1）由題意可得：所以展開(kāi)整理得∵為銳角三角形∴∴∴.（2）∵∴∵整理得，∴∴，∴，∵，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為.20.如圖，在三棱錐中，已知側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，，若直線與平面所成角的正切值為，求的值.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，∵，∴，∵，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）解法1：取的中點(diǎn)，連接，則，由已知，在，中，∵，，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，∴