2024屆河南省頂級名校高三下學期高考考前全真模擬演練數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3河南省頂級名校2024屆高三下學期高考考前全真模擬演練數(shù)學試題一?選擇題1.樣本數(shù)據(jù)45，50，51，53，53，57，60的下四分位數(shù)為（）A.50 B.53 C.57 D.45〖答案〗A〖解析〗由這組數(shù)據(jù)共7個，則，所以這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為第2個數(shù)據(jù)50.故選：A．2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以.故選：B．3.過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，若中點的橫坐標為4，則（）A.16 B.12 C.10 D.8〖答案〗B〖解析〗設，由題設有，由拋物線的焦半徑公式有：而故選：B.4.直線，圓.則直線被圓所截得的弦長為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓的標準方程為，由此可知圓的半徑為，圓心坐標為，所以圓心到直線距離為，所以直線被圓截得的弦長為.故選：D.5.的展開式中的系數(shù)為（）A.208 B. C.217 D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)二項式定理可得，的展開式中，含的項為.所以，的展開式中的系數(shù)為.故選：B.6.已知，，則的最小值為（

）A8 B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，可得，則則，當，得時，等號成立，所以的最小值為8.故選：A7.在中，，且交于點，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，而為銳角，則，在中，由余弦定理得，所以.故選：B.8.已知為橢圓上一點，分別為其左、右焦點，為坐標原點，，且，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，顯然點不在x軸上，，則，由余弦定理得，因此，而，于是，整理得，則，所以的離心率為.故選：C.二?多選題9.數(shù)列滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C. D.〖答案〗AC〖解析〗由，當，解得，故A正確；當，可得，所以，所以，即，而，故C正確，B不正確；因，故D錯誤.故選：AC.10.已知的部分圖象如圖所示，則（）A.B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.在區(qū)間的值域為D.在區(qū)間有3個極值點〖答案〗AD〖解析〗由圖像得，，解得，故，故此時有，將代入函數(shù)〖解析〗式，得，故，解得，而，故，此時，顯然成立，故A正確，易知，，而，，又，故在區(qū)間上并非單調(diào)遞減，故B錯誤，易知，，故在區(qū)間的值域不可能為，故C錯誤，當時，，，當時，取得極值，可得在區(qū)間有3個極值點，故D正確.故選：AD.11.如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的動點（不含端點），過三點的平面將正方體分為兩個部分，則下列說法錯誤的是（）A.正方體被平面所截得的截面形狀為梯形B.存在一點，使得點和點到平面的距離相等C.若是的中點，則三棱錐外接球的表面積是D.當正方體被平面所截得的上部分的幾何體的體積為時，是的中點〖答案〗BCD〖解析〗選項A：設過三點的平面與交點為，連接，因為平面平面，且平面平面，平面平面，所以，由正方體性質(zhì)可知，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，即，所以正方體被平面所截得截面形狀為梯形，故A正確.選項B：由點和點到平面的距離相等，若點和點到平面的距離相等，必有平面，又由，可得平面，與平面矛盾，故錯誤；選項C：取的中點，由正方體的性質(zhì)，可知三棱錐的外接球的球心在上，設為，設外接球的半徑為,則可得，解得，，所以三棱錐外接球的表面積是，故C錯誤；選項D：如圖：在上取點，使得，連接，設，因為，正方體被平面所截得的上部分的幾何體的體積為：，解得，故D錯誤.故選：BCD.三?填空題12.已知，，則在的方向上的投影向量是________．(結(jié)果寫坐標)〖答案〗〖解析〗因為，，所以在的方向上的投影向量是，故〖答案〗為：.13.已知集合.若，則實數(shù)的取值范圍為_________.〖答案〗〖解析〗已知集合，且，當時，，解得，符合題意；當時，則，解得，綜上：實數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：14.已知函數(shù)的定義域為，若，且，則__________.〖答案〗〖解析〗令，得，再令，得，所以，因為，所以，令，得，所以，即，若，則代入中，，由，所以，即，且，令，得，由，，所以，所以為偶函數(shù)，所以，，令，得，所以，即，因為，所以，所以為周期函數(shù)，周期為4，所以，，所以故〖答案〗為：.四?解答題15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求角A的大小；（2）若為邊上的中線，且，求b+2c的最大值.解：（1）由正弦定理得，又，所以，所以，即.因為，，所以，即.（2）由余弦定理得，即，所以，即.所以，所以當且僅當時，等號成立.所以的最大值為816.已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且時，，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）的導數(shù)為，可得的圖象在處的切線斜率為，由切線與直線平行，可得，即，，，由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減．（2）因為，若，由，即有恒成立，設，所以在為增函數(shù)，即有對恒成立，可得在恒成立，由的導數(shù)為，當，可得，在遞減，在遞增，即有在處取得極小值，且為最小值可得，解得則實數(shù)m的取值范圍是．17.已知橢圓C：的左?右焦點分別為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形，點在橢圓上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，與直線交于點.設，證明：為定值.（1）解：由題意得：解得，橢圓的標準方程是.（2）證明：由（1）知，由條件可知的斜率存在且不為0，設的方程為，則，令可得.聯(lián)立方程得，設，則，由可得，則有，解得，同理.，故為定值.18.如圖，在三棱錐中，，，的中點分別為，點在上，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）求二面角的大小.（1）證明：連接、，設，則，，因為，，則，，解得，則為的中點，由分別為的中點，所以且，且，即且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）證明：由（1）可知，則，，所以，因此，則，有，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）解：因為，過點作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，在中，，在中，，即，設，所以由，可得，解得，所以，則，，設平面的法向量為，則，得，令，則，所以，又平面的一個法向量為，設二面角，顯然為鈍角，所以，所以二面角的大小為.19.某種植物感染病毒極易死亡，當?shù)厣镅芯克鶠榇搜邪l(fā)出了一種抗病毒的制劑.現(xiàn)對20株感染了病毒的該植株樣本進行噴霧試驗測試藥效.測試結(jié)果分“植株死亡”和“植株存活”兩個結(jié)果進行統(tǒng)計，并對植株吸收制劑的量（單位：毫克）進行統(tǒng)計.規(guī)定植株吸收在6毫克及以上為“足量”，否則為“不足量”.現(xiàn)對該20株植株樣本進行統(tǒng)計，其中“植株存活”的13株，對制劑吸收量統(tǒng)計得下表.已知“植株存活”但“制劑吸收不足量”的植株共1株.編號12345678910吸收量（毫克）6838956627編號11121314151617181920吸收量（毫克）75106788469（1）補全列聯(lián)表中的空缺部分，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關？吸收足量吸收不足量合計植株存活植株死亡合計（2）現(xiàn)假設該植物感染病毒后的存活日數(shù)為隨機變量（可取任意正整數(shù)）.研究人員統(tǒng)計大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)：對于任意的，存活日數(shù)為的樣本在存活日數(shù)超過的樣本里的數(shù)量占比與存活日數(shù)為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于0.1，這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”.試推導的表達式，并求該植物感染病毒后存活日數(shù)的期望的值.附：，其中；當足夠大時，.0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1）填寫列聯(lián)表如下：吸收足量吸收不足量合計植株存活12113植株死亡347合計15520零假設為：“植株的存活”與“制劑吸收足量”無關聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到：，依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為“植株的存活”與“制劑吸收足量”無關.（2）由題意得.又，故.把換成，則.兩式相減，得，即.又，故對任意都成立，從而是首項為0.1，公比為0.9的等比數(shù)列，因此.由定義可知，而，下面先求.，，作差得.所以，當足夠大時，，，故，可認為.河南省頂級名校2024屆高三下學期高考考前全真模擬演練數(shù)學試題一?選擇題1.樣本數(shù)據(jù)45，50，51，53，53，57，60的下四分位數(shù)為（）A.50 B.53 C.57 D.45〖答案〗A〖解析〗由這組數(shù)據(jù)共7個，則，所以這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為第2個數(shù)據(jù)50.故選：A．2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以.故選：B．3.過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，若中點的橫坐標為4，則（）A.16 B.12 C.10 D.8〖答案〗B〖解析〗設，由題設有，由拋物線的焦半徑公式有：而故選：B.4.直線，圓.則直線被圓所截得的弦長為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓的標準方程為，由此可知圓的半徑為，圓心坐標為，所以圓心到直線距離為，所以直線被圓截得的弦長為.故選：D.5.的展開式中的系數(shù)為（）A.208 B. C.217 D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)二項式定理可得，的展開式中，含的項為.所以，的展開式中的系數(shù)為.故選：B.6.已知，，則的最小值為（

）A8 B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，可得，則則，當，得時，等號成立，所以的最小值為8.故選：A7.在中，，且交于點，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，而為銳角，則，在中，由余弦定理得，所以.故選：B.8.已知為橢圓上一點，分別為其左、右焦點，為坐標原點，，且，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，顯然點不在x軸上，，則，由余弦定理得，因此，而，于是，整理得，則，所以的離心率為.故選：C.二?多選題9.數(shù)列滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C. D.〖答案〗AC〖解析〗由，當，解得，故A正確；當，可得，所以，所以，即，而，故C正確，B不正確；因，故D錯誤.故選：AC.10.已知的部分圖象如圖所示，則（）A.B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.在區(qū)間的值域為D.在區(qū)間有3個極值點〖答案〗AD〖解析〗由圖像得，，解得，故，故此時有，將代入函數(shù)〖解析〗式，得，故，解得，而，故，此時，顯然成立，故A正確，易知，，而，，又，故在區(qū)間上并非單調(diào)遞減，故B錯誤，易知，，故在區(qū)間的值域不可能為，故C錯誤，當時，，，當時，取得極值，可得在區(qū)間有3個極值點，故D正確.故選：AD.11.如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的動點（不含端點），過三點的平面將正方體分為兩個部分，則下列說法錯誤的是（）A.正方體被平面所截得的截面形狀為梯形B.存在一點，使得點和點到平面的距離相等C.若是的中點，則三棱錐外接球的表面積是D.當正方體被平面所截得的上部分的幾何體的體積為時，是的中點〖答案〗BCD〖解析〗選項A：設過三點的平面與交點為，連接，因為平面平面，且平面平面，平面平面，所以，由正方體性質(zhì)可知，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，即，所以正方體被平面所截得截面形狀為梯形，故A正確.選項B：由點和點到平面的距離相等，若點和點到平面的距離相等，必有平面，又由，可得平面，與平面矛盾，故錯誤；選項C：取的中點，由正方體的性質(zhì)，可知三棱錐的外接球的球心在上，設為，設外接球的半徑為,則可得，解得，，所以三棱錐外接球的表面積是，故C錯誤；選項D：如圖：在上取點，使得，連接，設，因為，正方體被平面所截得的上部分的幾何體的體積為：，解得，故D錯誤.故選：BCD.三?填空題12.已知，，則在的方向上的投影向量是________．(結(jié)果寫坐標)〖答案〗〖解析〗因為，，所以在的方向上的投影向量是，故〖答案〗為：.13.已知集合.若，則實數(shù)的取值范圍為_________.〖答案〗〖解析〗已知集合，且，當時，，解得，符合題意；當時，則，解得，綜上：實數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：14.已知函數(shù)的定義域為，若，且，則__________.〖答案〗〖解析〗令，得，再令，得，所以，因為，所以，令，得，所以，即，若，則代入中，，由，所以，即，且，令，得，由，，所以，所以為偶函數(shù)，所以，，令，得，所以，即，因為，所以，所以為周期函數(shù)，周期為4，所以，，所以故〖答案〗為：.四?解答題15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求角A的大?。唬?）若為邊上的中線，且，求b+2c的最大值.解：（1）由正弦定理得，又，所以，所以，即.因為，，所以，即.（2）由余弦定理得，即，所以，即.所以，所以當且僅當時，等號成立.所以的最大值為816.已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且時，，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）的導數(shù)為，可得的圖象在處的切線斜率為，由切線與直線平行，可得，即，，，由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減．（2）因為，若，由，即有恒成立，設，所以在為增函數(shù)，即有對恒成立，可得在恒成立，由的導數(shù)為，當，可得，在遞減，在遞增，即有在處取得極小值，且為最小值可得，解得則實數(shù)m的取值范圍是．17.已知橢圓C：的左?右焦點分別為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形，點在橢圓上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，與直線交于點.設，證明：為定值.（1）解：由題意得：解得，橢圓的標準方程是.（2）證明：由（1）知，由條件可知的斜率存在且不為0，設的方程為，則，令可得.聯(lián)立方程得，設，則，由可得，則有，解得，同理.，故為定值.18.如圖，在三棱錐中，，，的中點分別為，點在上，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）求二面角的大小.（1）證明：連接、，設，則，，因為，，則，，解得，則為的中點，由分別為的中點，所以且，且，即且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）證明：由（1）可知，則，，所以，因此，則，有，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）解：因為，過點作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，在中，，在中，，即，設，所以由，可得，解得，所以，則，，設平面的法向量為，則，得，令，則，所以，又平面的一個法向量為，設二面角，顯然為鈍角，所以，所以二面角的大小為.19.某種植物感染病毒極易死亡，當?shù)厣镅芯克鶠榇搜邪l(fā)出了一種抗病毒的制劑.現(xiàn)對20株感染了病毒的該植株樣本進行噴霧試驗測試藥效.測試結(jié)果分“植株死亡”和“植株存活”兩個結(jié)果進行統(tǒng)計，并對植