專題10二次函數(shù)與一元二次方程（3個(gè)知識點(diǎn)5種題型）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級上冊

專題10二次函數(shù)與一元二次方程（3個(gè)知識點(diǎn)5種題型）【目錄】倍速學(xué)習(xí)三種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（重點(diǎn)）知識點(diǎn)2.二次函數(shù)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷（重點(diǎn)）知識點(diǎn)3.利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.用列表法求一元二次方程的近似根題型2.二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題型3.函數(shù)與方程關(guān)系的綜合應(yīng)用題型4.閱讀理解題題型5.探究題【方法三】成果評定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。能根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系確定二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。能運(yùn)用二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系判斷二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。會利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次方程的根的近似值。重點(diǎn)：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的理解。難點(diǎn)：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的應(yīng)用?！颈端賹W(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（重點(diǎn)）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．【例1】．（2023?泰州）二次函數(shù)y＝x2+3x+n的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)在y軸右側(cè)，則n的值可以是.（填一個(gè)值即可）【變式】．（2023?杜爾伯特縣一模）|x2﹣3|＝a有四個(gè)解，則a的取值范圍是．知識點(diǎn)2.二次函數(shù)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷（重點(diǎn)）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．【例2】．（2023?郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m＝．【變式】．（2023春?江都區(qū)月考）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6及一次函數(shù)y＝﹣2x+m，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新函數(shù)（如圖所示），當(dāng)直線y＝﹣2x+m與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是．知識點(diǎn)3.利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根（難點(diǎn)）利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；（2）由圖象與y＝h的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．【例3】（2023春?蕭山區(qū)期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，y與x的部分對應(yīng)值為：x…﹣2﹣1012…y…﹣1232？…關(guān)于此函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（）A．當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象從左到右上升 B．拋物線開口向上 C．方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根在﹣2與﹣1之間 D．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1【方法二】實(shí)例探索法題型1.用列表法求一元二次方程的近似根3．（2022秋?嘉興期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣101234…y…m﹣4.5m﹣2m﹣0.5mm﹣0.5m﹣2m﹣4.5…若1＜m＜1.5，則下面敘述正確的是（）A．該函數(shù)圖象開口向上 B．該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方 C．對稱軸是直線x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正數(shù)解，則2＜x1＜3題型2.二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用6．（2022秋?確山縣期中）某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)；y＝﹣x2+2|x|+3的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請補(bǔ)充完整．（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣101234…y…﹣503434m0﹣5…其中，m＝3．（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，直接畫出該函數(shù)的圖象．（3）觀察函數(shù)圖象，寫出一條該函數(shù)的性質(zhì)．（4）已知函數(shù)y＝﹣x+4的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象．直接寫出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2）題型3.函數(shù)與方程關(guān)系的綜合應(yīng)用6．（2023?黑龍江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)．交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型4.閱讀理解題7．（2023?云南）數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個(gè)方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性，形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．?dāng)?shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系．?dāng)?shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題．同學(xué)們，請你結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)解決下列問題．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱這樣的點(diǎn)為整點(diǎn)．設(shè)函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實(shí)數(shù)a為常數(shù)）的圖象為圖象T．（1）求證：無論a取什么實(shí)數(shù)，圖象T與x軸總有公共點(diǎn)；（2）是否存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在，求所有整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．題型5.探究題4．（2023·山西大同·校聯(lián)考三模）綜合與探究：如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，連接．

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積的時(shí)，求m的值；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動點(diǎn)，試探究是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【方法三】成果評定法一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?澤州縣期末）如圖，拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是A． B． C．或 D．或2．（2023秋?南開區(qū)期末）已知，二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)所在的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2022秋?上虞區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，連結(jié)并延長交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)．連結(jié)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且，則的長為A． B． C．4 D．4．（2022秋?嘉禾縣期末）如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，有下列結(jié)論：①；②一元二次方程的正實(shí)數(shù)根在2和3之間；③；④點(diǎn)，在拋物線上，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．4 B．3 C．2 D．15．（2023秋?杜爾伯特縣期末）關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是A．圖象的對稱軸是直線 B．圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn) C．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大 D．當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為36．（2023秋?西豐縣期末）將拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A．， B．， C．， D．，7．（2023秋?西山區(qū)校級月考）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是A．頂點(diǎn)坐標(biāo)是 B．對稱軸是直線 C．拋物線有最高點(diǎn) D．拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)8．（2023秋?明光市期中）下表給出了二次函數(shù)與自變量的部分對應(yīng)值：0125652則關(guān)于的一元二次方程的解為A．， B．， C．， D．，9．（2023秋?明光市期中）拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則的值可能為A． B．1 C．3 D．410．（2023秋?通榆縣期末）如圖，拋物線的對稱軸為，點(diǎn)、點(diǎn)是拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．二．填空題（共8小題）11．（2023秋?吉林期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則關(guān)于的方程的解為．12．（2023秋?西城區(qū)校級月考）拋物線與軸交于兩點(diǎn)，分別是是，，則的值為．13．（2023秋?西城區(qū)校級月考）若拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為．14．（2023秋?長春期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時(shí)，的取值范圍是．15．（2022秋?撫松縣期末）如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)為的圖象相交于，兩點(diǎn)，則不等式的解為．16．（2023秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，，．拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，直線經(jīng)過，．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．17．（2023?郴州）已知拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則．18．（2022秋?澤州縣期末）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)．三．解答題（共6小題）19．（2023秋?徐匯區(qū)期末）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為．（1）求此拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)、，求的余弦值．20．（2023秋?日喀則市期末）如圖，頂點(diǎn)為的拋物線，與軸交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求直線的解析式．21．（2023秋?吉林期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)、，是拋物線的頂點(diǎn)，的頂點(diǎn)在軸上．（1）求的值；（2）若拋物線沿其對稱軸向上平移后恰好經(jīng)過點(diǎn)，求平移后拋物線的解析式．22．（2023秋?杜爾伯特縣期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題．（1）寫出方程的兩個(gè)根：；（2）寫出不等式的解集：；（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍；（4）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直接寫出的取值范圍：．23．（2023秋?杜爾伯特縣期末）已知二