專題08一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（1個(gè)知識點(diǎn)6種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)2種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級上冊

【關(guān)注公眾號：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料專題08一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（1個(gè)知識點(diǎn)6種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)2種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及字母系數(shù)的值題型2：利用根與系數(shù)的關(guān)系式求代數(shù)式的值題型3：已知用方程兩根表示的代數(shù)式的值，求字母系數(shù)的值題型4：根據(jù)一元二次方程的兩根確定一元二次方程題型5：根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合題型6：有關(guān)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的創(chuàng)新題【方法三】差異對比法易錯(cuò)點(diǎn)：沒有判斷一元二次方程根的情況，直接用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系?！痉椒ㄋ摹糠抡鎸?shí)戰(zhàn)法考法1：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的直接應(yīng)用考法2：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用【方法五】成果評定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，能利用根與系數(shù)的關(guān)系求一元二次方程的兩根之和、兩根之積及與兩根有關(guān)的代數(shù)式的值。2.能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程一個(gè)根求另一個(gè)根或由一元二次方程的根確定一元二次方程?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（難點(diǎn)）韋達(dá)定理：如果是一元二次方程的兩個(gè)根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．【例1】如果，是方程的兩個(gè)根，那么=_____________；=_______________．【答案】；．【解析】由韋達(dá)定理，可得：，．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的應(yīng)用．【變式1】（2023春·廣東揭陽·九年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為和，則（）A． B．2 C． D．3【答案】D【詳解】，∴，，【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）若一元二次方程的兩根分別為，，則代數(shù)式________．【答案】2【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求則可．若，是關(guān)于x的一元二次方程（，a，b，c為常數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【詳解】∵，這里，，∴．【方法二】實(shí)例探索法題型1：已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及字母系數(shù)的值1.若方程：的一個(gè)根為，則k=________；另一個(gè)根為________．【答案】；．【解析】將代入方程，可得：，再由韋達(dá)定理可得：，得另一根為．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的應(yīng)用．2．（2023·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)校考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別記為，若，則______．【答案】【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為，，，，，，，，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，掌握，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）已知一元二次方程的一個(gè)根為2，則它的另一個(gè)根為________．【答案】【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，根據(jù)題意得：，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為，則．題型2：利用根與系數(shù)的關(guān)系式求代數(shù)式的值4.已知是方程的兩根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）．【解析】解：由韋達(dá)定理，得：，．原式=；原式；原式=；原式．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的靈活應(yīng)用．5.已知的值．【答案】．【解析】由，可得：，整理得：，又由于，所以可知、是方程的兩根，由韋達(dá)定理，可得：．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的靈活應(yīng)用，而且還考查了一元二次方程的根的靈活應(yīng)用，要注意觀察．6.已知是方程：的兩根，求代數(shù)式的值．【答案】．【解析】由題及韋達(dá)定理可得：，，得：．=====．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的靈活應(yīng)用，運(yùn)用了降次等的思想方法．題型3：已知用方程兩根表示的代數(shù)式的值，求字母系數(shù)的值7．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，滿足，則______．【答案】2【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可得，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：得到，即可求解．【詳解】解：關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，，，，，或（不合題意，舍去），8．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，若，則m的值為______．【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，求出，，再根據(jù)，列出方程求解即可．【詳解】解：∵，∴，，∵，∴，即，解得：，題型4：根據(jù)一元二次方程的兩根確定一元二次方程9.寫出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是，．【答案】．【解析】由，，可得方程為：．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的應(yīng)用．題型5：根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合10．（2023·湖北荊門·統(tǒng)考一模）已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，∴，解得：，（2）∵，即：∴，又∵，∴，∴解得：或（舍去）【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．11．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）實(shí)數(shù)使關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值；(3)給出的兩個(gè)值，使方程的根是整數(shù)．【答案】(1)，(2)，或(3)見解析【詳解】（1）解：原方程整理為．．由，得．（2）解：由根系關(guān)系，得，，∵，∴，∴，∴，整理，得，解得，或．均符合．（3）解：取，原方程為．解得，，根為整數(shù)．取，原方程為．解得，，根為整數(shù)．（答案不唯一）題型6：有關(guān)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的創(chuàng)新題12.已知一個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角邊的長恰好是方程：兩個(gè)根，求這個(gè)直角三角形的周長．【答案】．【解析】解：設(shè)直角三角形的三邊長為，，，且是斜邊長，由題知，，，由勾股定理，可得：，所以，所以直角三角形的周長．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的靈活應(yīng)用，并且考查了直角三角形的性質(zhì)，即勾股定理的應(yīng)用．13.已知關(guān)于x的方程有兩根，其中且，求m的取值范圍．【答案】．【解析】因?yàn)榉匠逃袃筛?，所以，即；由韋達(dá)定理，可得：，，因?yàn)榍遥?，，即，解得：．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理的應(yīng)用和一元二次方程的概念以及解不等式的應(yīng)用．14.已知方程：的一個(gè)根大于3，另一個(gè)根小于3，求a的取值范圍．【答案】．【解析】解：設(shè)方程的兩根為，，由，，可得：，即，而由韋達(dá)定理可得，，所以，即．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的靈活應(yīng)用．15．（2023春·湖北黃石·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀材料：材料1：若一元二次方程的兩個(gè)根為，則，．材料2：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．解：由題知，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)材料1得，，所以根據(jù)上述材料解決以下問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則___________，____________．(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)、分別滿足，，且．求的值．【答案】(1)；；(2)；(3)-1【分析】（1）直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得答案；（2）由題意得出、可看作方程，據(jù)此知，，將其代入計(jì)算可得；（3）把變形為，據(jù)此可得實(shí)數(shù)和可看作方程的兩根，繼而知，，進(jìn)一步代入計(jì)算可得．【詳解】（1），；故答案為；；（2），，且，、可看作方程，，，；（3）把變形為，實(shí)數(shù)和可看作方程的兩根，，，．16．（2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，．材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求的值．解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴，，則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則___________，___________．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足，，且，求的值．【答案】(1)3，(2)(3)或【詳解】（1）解：∵一元二次方程的兩個(gè)根為，，∴，．故答案為：，；（2）∵一元二次方程的兩根分別為m、n，∴，，∴；（3）∵實(shí)數(shù)s、t滿足，，∴s、t可以看作方程的兩個(gè)根，∴，，∵∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上分析可知，的值為或．17．（2023春·福建南平·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為（其中），若y是m的函數(shù)，且，求這個(gè)函數(shù)的解析式．(3)若m為正整數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，a與分別是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根．求代數(shù)式的值．【答案】(1)見解析(2)(3)24【詳解】（1）解：由題意可知，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：由（1）可知，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，，．．（3）解：a與分別是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根．，，與是整數(shù)，與同為整數(shù)，是正整數(shù)，，方程為，，，將代入原式．18．（2023春·湖北十堰·九年級專題練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論：設(shè)其中一根為t，則另一個(gè)根為2t，因此，所以有；我們記“”即時(shí)，方程為倍根方程；下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：(1)若是倍根方程，求的值；(2)關(guān)于x的一元二次方程是倍根方程，且點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，求此倍根方程的表達(dá)式．【答案】(1)0(2)【詳解】（1）整理得：，∵是倍根方程，∴，∴．（2）∵是倍根方程，∴，整理得：．∵在一次函數(shù)的圖像上，∴，∴，，∴此方程的表達(dá)式為19．（2023春·湖北十堰·九年級專題練習(xí)）定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，且，則稱這個(gè)方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．【答案】(1)此方程為“限根方程”，理由見解析(2)k的值為2(3)m的取值范圍為或【詳解】（1）解：，，∴或，∴．∵，，∴此方程為“限根方程”；（2）∵方程的兩個(gè)根分比為，∴，．∵，∴，解得：，．分類討論：①當(dāng)時(shí)，原方程為，∴，，∴，，∴此時(shí)方程是“限根方程”，∴符合題意；②當(dāng)時(shí)，原方程為，∴，，∴，，∴此時(shí)方程不是“限根方程”，∴不符合題意．綜上可知k的值為2；（3），，∴或，∴或．∵此方程為“限根方程”，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，且，∴，即，∴且．分類討論：①當(dāng)時(shí)，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，∴，∵，∴，解得：．綜上所述，m的取值范圍為或．20．（2023春·湖北黃石·九年級?？茧A段練習(xí)）（1）是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，且，求的值．（2）已知：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，，…，．根據(jù)根的定義，有，，將兩式相加，得，于是，得．根據(jù)以上信息，解答下列問題：①直接寫出，的值．②經(jīng)計(jì)算可得：，，，當(dāng)時(shí)，請猜想，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）1；（2）①，；②，證明見解析【詳解】解：（1）∵是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，∴，，∴，整理，得：，解得：，．當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)原方程沒有實(shí)數(shù)根，∴不符合題意；當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴符合題意，∴的值為1；（2）①∵，∴．∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，；②猜想：．證明：根據(jù)一元二次方程根的定義可得出，兩邊都乘以，得：①，同理可得：②，由①+②，得：，∵，，，∴，即．21．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）關(guān)于的一元二次方程中，、、是的三條邊，其中．(1)求證此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)根是、，且，求．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程去括號，整理為一般形式為：，，、、是的三條邊，其中，，，，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程的兩個(gè)根是、，，，，，即，，，，，，，，，．【方法三】差異對比法22.已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)正整數(shù)根，求整數(shù)k和p的值．【答案】．【解析】設(shè)是原方程的兩根，因?yàn)槭钦麛?shù)根，所以且都是正整數(shù)，由韋達(dá)定理，得：，所以是正整數(shù)，所以是正整數(shù)，即是正整數(shù)，所以，代入原方程可得：，方程的兩根為，所以．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用，結(jié)合正整數(shù)根，題目較綜合．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的直接應(yīng)用23．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個(gè)根，則_________．【答案】-3【詳解】解：∵是方程的兩個(gè)根，∴，24．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)是方程的兩根，則______．【答案】【詳解】解：實(shí)數(shù)是方程的兩根，25．（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根為x1、x2，則x1?x2＝_____．【答案】3【詳解】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根為x1、x2，∴x1?x2＝＝3．考法2：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用26．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為_____．【答案】【詳解】解：∵a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a(bǔ)、b看做是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a+b=4，ab=3，∴，27．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則的值為________．【答案】【詳解】解：∵是方程的根∴，∴∴k=-428．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且，則m=__________．【答案】【詳解】解：根據(jù)題意得x1+x2=-2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）2-2x1x2=，∴4m2-m=，∴m1=-，m2=，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞或m＜0時(shí)，∴m=不合題意，29．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_____．【答案】2【詳解】解：∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，當(dāng)k＝2時(shí)，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；當(dāng)k＝5時(shí)，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意；∴k＝2，30．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是______．【答案】1【詳解】解：一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得判別式，∴，解得：．【方法五】成功評定法一、單選題1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A． B．4 C． D．3【答案】D【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個(gè)根，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程（）的兩根時(shí)，，．2．（2023秋·湖南益陽·九年級?？计谀┰O(shè)方程的兩個(gè)根為與，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之積即可．【詳解】解：∵方程的兩個(gè)根為與，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，兩根之和是，兩根之積是．3．（2022秋·湖南衡陽·九年級統(tǒng)考期末）若方程的兩根為，，則的值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩根之和與之積，再根據(jù)即可求出答案．【詳解】解：由題意得：，，∴，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記：，．4．（2023春·廣西柳州·九年級統(tǒng)考期中）已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，根據(jù)一元二次方程根的定義得，由，整體代入求解即可．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值等知識．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．5．（2022秋·湖南永州·九年級?？计谥校┮阎辉畏匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根為，，下列說法：①若a，c異號，則方程一定有實(shí)數(shù)根；②若，則方程一定有實(shí)數(shù)根；③若，，，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】當(dāng)a、c異號時(shí)，，則根據(jù)根的判別式的意義可對①進(jìn)行判斷；當(dāng)時(shí)，則，則根據(jù)根的判別式的意義可對③進(jìn)行判斷；若，，，計(jì)算出，則可對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：，當(dāng)a、c異號時(shí)，，所以，所以此時(shí)方程一定有實(shí)數(shù)根，所以①正確；若時(shí)，，則方程一定有兩實(shí)數(shù)根，所以②正確；若，，，，所以方程沒有實(shí)數(shù)根，所以③錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．也考查了根的判別式．6．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，，代入即可得到答案．【詳解】解：∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的定義和根與系數(shù)關(guān)系，整體代入是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）已知是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)是方程的兩根，得出，，，然后對代數(shù)式變形，最后代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵是方程的兩根，∴，，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系以及整式的變形，根據(jù)需要對整式靈活變形成為解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知、為一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求得，，利用根的定義得到，，即可得到，，然后將其代入整理后的代數(shù)式求值即可．【詳解】解：、為一元二次方程的兩個(gè)根，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．9．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知m，n是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則的值為（）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】先根據(jù)方程根的定義和根與系數(shù)的關(guān)系可得，然后再對變形后整體代入即可解答．【詳解】解：∵m，n是關(guān)于x的方程的根，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義、根與系數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)，由題意得到是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023秋·九年級單元測試）下列給出的四個(gè)命題，真命題的有（

）個(gè)①若方程兩根為-1和2，則；②若，則；③若，則方程一定無解；④若方程的兩個(gè)實(shí)根中有且只有一個(gè)根為0，那么，．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可判斷；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判斷；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判斷；④利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．【詳解】①若方程兩根為-1和2，則，則，即；故此選項(xiàng)符合題意；②∵a2﹣5a+5＝0，∴a＝＞1或a＝＞1，∴1﹣a＜0，∴；此選項(xiàng)符合題意；③∵，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定無解，故此選項(xiàng)符合題意；④若方程x2+px+q＝0的兩個(gè)實(shí)根中有且只有一個(gè)根為0，∴兩根之積為0，那么p≠0，q＝0，故此選項(xiàng)符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等，熟記各計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程的一個(gè)根是3，則此方程的另一個(gè)根是．【答案】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出方程的另一個(gè)根．【詳解】設(shè)另一個(gè)根為，根據(jù)題意：，解得，，即另一個(gè)根為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系，在利用根與系數(shù)、來計(jì)算時(shí)，要弄清楚、、的意義．12．（2021春·廣東廣州·九年級?？计谥校┮阎欠匠痰囊粋€(gè)解，方程的另一個(gè)解為，則．【答案】【分析】利用要根的定義求得m的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一個(gè)解，代入數(shù)據(jù)即可求出答案．【詳解】解：∵是方程的一個(gè)解，∴，解得，∴，∵方程的另一個(gè)解為，且，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系．若是一元二次方程的兩根時(shí)，．13．（2022秋·湖北隨州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知方程的兩根為，則．【答案】13【分析】根據(jù)兩根之和，兩根之差的公式，代入計(jì)算即可解答．【詳解】根據(jù)題意得，，則．故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟記公式是解題的關(guān)鍵．14．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程．若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，且，則m的值為．【答案】1或【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出，，再由，求出，，進(jìn)而根據(jù)得出，解之即可得出的值．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，，，，，，，，，解得或．，∴無論m取何值，方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴的值為1或．故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．15．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）已知、，滿足等式：，則．【答案】【分析】根據(jù)題意可得出，為以為未知數(shù)的一元二次方程的兩根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵∴，∴∵滿足∴，為以為未知數(shù)的一元二次方程的兩根，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，，得出，為以為未知數(shù)的一元二次方程的兩根是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）若方程的兩根為，，則的值為．【答案】2023【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解的概念可得，，再代入進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：方程的兩根為，，，，，故答案為：2023．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解的概念，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．17．（2022·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知不等式的解集是，其中，則不等式的解集．【答案】或【分析】由于不等式的解集為，其中，可得，是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，且，利用根與系數(shù)的關(guān)系可把不等式化為，解出即可．【詳解】解：不等式的解集為，則，是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，且，，其中，，，則不等式化為，，可化為，或，，，不等式的解集為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根之間的關(guān)系、一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．18．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）將兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個(gè)方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程（）與方程是“同源二次方程”，且方程（）有兩個(gè)根為、，則b－2c＝，的最大值是．【答案】4；-3【分析】利用（）與方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，進(jìn)而得出，設(shè)（），得，根據(jù)方程有正數(shù)解可知，求出t的取值范圍即可求出的最大值．【詳解】解：根據(jù)新的定義可知，方程（）可變形為，∴，展開，，可得，，∴；∵，，∴，∵方程（）有兩個(gè)根為、，∴，且，∴，設(shè)（），得，∵方程有正數(shù)解，∴，解得，即，∴．故答案為：4，-3．【點(diǎn)睛】本題考查新定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，由根與系數(shù)的關(guān)系得到是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2022秋·甘肅定西·九年級?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)a、b滿足，，求的值．【答案】或2【分析】分為兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，a，b可能是方程的同一個(gè)根，兩數(shù)相等；②當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，把代數(shù)式變形成與兩根之和和兩根之積有關(guān)的式子，代入兩根之和與兩根之積，求得代數(shù)式的值．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，．②當(dāng)時(shí)，可以把a(bǔ)，b看作是方程的兩根．由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，所以；綜上可知，的值為或2．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想的運(yùn)用．此題綜合性較強(qiáng)，特別注意不要漏掉“”的情況．20．（2023秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期末）已知，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，求m的值．【答案】【分析】先由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得，，再根據(jù)得，然后整體代入得，求解即可．【詳解】解∶由題意得∶，，∵，∴∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系．熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)且(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍；（2）假設(shè)存在，設(shè)方程的兩根分別為、，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，即可得出關(guān)于的方程，解之即可得出的值，再根據(jù)（1）的結(jié)論即可得出不存在實(shí)數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0．【詳解】（1）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得：且．（2）假設(shè)存在，設(shè)方程的兩根分別為、，則，．，．且，不符合題意，舍去．假設(shè)不成立，即不存在實(shí)數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△，找出關(guān)于的一元一次不等式組；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，列出關(guān)于的方程．22．（2022秋·湖北隨州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程．(1)當(dāng)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，求的取值范圍；(2)當(dāng)方程的兩個(gè)根滿足時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之，即可得出m的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，．結(jié)合，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可確定m的值．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得：，∴的取值范圍為；（2）∵關(guān)于的方程的兩個(gè)根分別為：，，∴，，∵，∴，即，整理得，∴，解得：，，∵，∴m的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是∶（1）牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，找出關(guān)于m的一元次方程．23．（2022秋·湖南懷化·九年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的方程．(1)求證：無論取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形的一邊長，另兩邊、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）運(yùn)用根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，平方數(shù)的非負(fù)性進(jìn)行判斷即可求證；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論，①當(dāng)時(shí)，即方程兩根相等；②當(dāng)或者時(shí)，即是原方程的一個(gè)根；根據(jù)根與方程的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：在關(guān)于的方程中，，，，∴∵∴無論取何值，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）解：是等腰三角形，一邊長，另外兩邊分別為，，且、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，①當(dāng)時(shí)，即方程兩根相等，∴，解得，方程可化為：，解得，∴三邊為長分別為，，，∵，不符合三角形三邊關(guān)系，不能構(gòu)成三角形，故舍去；②當(dāng)或者時(shí)，即是原方程的一個(gè)根，把代入得，，解得，，∴原方程可化為