2023-2024學年九年級數(shù)學下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題01 圓中的重要模型之圓中的全等三角形模型（原卷版）

專題01圓中的重要模型之圓中的全等三角形模型知識儲備：垂徑定理及推理、圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系等。圓中常見全等模型：切線長模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型、對角互補模型、半角模型。模型1、切線長模型1）切線長模型（標準類）條件：P為外一點，PA，PB是的切線，切點分別為A，B。結(jié)論：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；2）切線長模型（拓展類）條件：AD，CD，BC是的切線，切點分別為A，E，B。結(jié)論：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；例1．（2023秋·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將量角器和含角的一塊直角三角板緊靠著放在同一平面內(nèi)，使、、在一條直線上，且，過點作量角器圓弧所在圓的切線，切點為，則點在量角器上所對應的銳角度數(shù)是（

）A． B． C． D．例2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，內(nèi)切于四邊形，，分別連接．下列結(jié)論正確的是（

）

A． B． C． D．A，O，C三點共線例3．（2022·河南南陽·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，完成相應任務：古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”，它的完美來自對稱，其中切弦（chordofcontact）亦稱切點弦，是一條特殊弦，從圓外一點向圓引兩條切線，連接這兩個切點的弦稱為切弦．此時，圓心與已知點的連線垂直平分切弦．(1)任務一：為了說明切弦性質(zhì)的正確性，需要對其進行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖1，P是外一點，__________________________________________．求證：__________________________________________．證明：(2)任務二：如圖2，在任務一的條件下，CD是的直徑，連接AD、BC，若，，，求OP的長．模型2.燕尾模型條件：OA，OB是的半徑，OC=OD。結(jié)論：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；例1．（2023·重慶九年級課時練習）如圖，以O(shè)為圓心的兩個圓中，大圓的半徑分別交小圓于點C，D，連結(jié)，下列選項中不一定正確的是（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·福建龍巖·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并回答問題．[材料]自從《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》實施以來，九年級的龍老師增加了一個習慣，就是在每個新章節(jié)備課時都會查閱新課標，了解該章知識的新舊課標的變化，并在上課時告訴學生．他通過查閱新課標獲悉：切線長定理由“選學”改為“必學”，并新增“會過圓外的一個點作圓的切線”．在學習完《切線的性質(zhì)與判定》后，龍老師布置了一道課外思考題：“已知：如圖，及外一點．求作：直線，使與相切于點”．班上小巖同學所在的學習小組經(jīng)過探索，給出了如下的一種作圖方法：（1）連接，以為圓心，長為半徑作大圓；（2）若交小圓于點，過點作小圓的切線與大圓交于兩點（點在點的上方）；（3）連接交小圓于，連接，則是小圓的切線．[問題](1)請問小巖同學所在的學習小組提供的作圖方法是否正確？請你按照步驟完成作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡），并說明理由．(2)延長交大圓于，連接，若，，求的長．例3．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD，連結(jié)AC．(1)△ACD為等邊三角形；(2)請證明：E是OB的中點；(3)若AB＝8，求CD的長．模型3.蝴蝶模型條件：OA，OE是的半徑，AD⊥OE，EB⊥OA。結(jié)論：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；例1．（2023秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）在以為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長為______．(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點，若，求證．例2．（2023·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，和分別是⊙上的兩條弦，圓心到它們的距離分別是和．如果，求證：．例3．（2022·河南南陽·統(tǒng)考一模）學習過“圓內(nèi)接四邊形”后，劉老師布置了課后閱讀“認識托勒密”，小明讀了托勒密的生平、貢獻，對“托勒密定理”很感興趣，并進行了下列的研究，請完成他的研究．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知：如圖1，______．求證：______．證明：如圖2，作，交BD于點E，……∴∽，∴，……∴∽，∴，∴．(1)請幫小明寫出已知和求證，并完成證明過程；(2)如圖3，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于，，求對角線BD的長．模型4.手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構(gòu)造出來的（常用旋轉(zhuǎn)或截長補短法）。條件：是△ABD的外接圓，且AD=BD，∠ADB=，C為圓O上一點。結(jié)論：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；特別地，當=60°時，CD=CA+CB；當=90°時，CD=CA+CB；例1．（2023春·浙江·九年級階段練習）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，為直徑，若四邊形的面積是，的長是，則與之間的數(shù)關(guān)系式是（

）A． B． C． D．例2．（2022·山東德州·統(tǒng)考一模）△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點P是⊙O上一點，且點P與點A在BC的兩側(cè)，連接PA，PB，PC．(1)如圖①，若△ABC是等邊三角形，則線段PA，PB，PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖②，把（1）中的△ABC改為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他條件不變，三條線段PA，PB，PC還有以上的數(shù)量關(guān)系嗎？說明理由．(3)如圖③，把（1）中△ABC改為任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a時，其他條件不變，則PA，PB，PC三條線段的數(shù)量關(guān)系為_________（直接寫結(jié)果）(4)由以上你能發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的四條邊和對角線有什么關(guān)系？例3．（2022秋·浙江紹興·九年級?？计谥校┤鐖D1，在中，弦平分圓周角，我們將圓中以A為公共點的三條弦構(gòu)成的圖形稱為圓中“爪形A”，如圖2，四邊形內(nèi)接于圓，，(1)證明：圓中存在“爪形D”；(2)若，求證：課后專項訓練1．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，點A是優(yōu)弧的中點，過點B作的垂線交于點E，與圓交于點D．若，且，則圓的半徑為（

）

A． B．3 C． D．2．（2023·浙江杭州·校考三模）如圖，，分別與半徑為3的相切于點A，B，直線分別交，于點C，D，并切于點E，當時，的周長為．

3．（2022秋·浙江九年級期中）如圖所示，點為外一點，過點作的切線，，點，為切點，連接并延長，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點已知，，則的長為．

4．（2022·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知ABC，AB＝AC，∠A＝70°．O，D分別為BC，AB的中點，以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，與AB的另一個交點為E，與AC交于點G，F(xiàn)，則∠DOE+∠FOG的度數(shù)是．5．（2023·江西宜春·統(tǒng)考模擬預測）如圖，四邊形的頂點、、在上，頂點在外，連接，點是邊上的中點，和是的切線，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡跡）．(1)如圖，在上找一點，使得為等腰三角形；(2)如圖，在上找一點，使得為等腰三角形．6．（2022秋·遼寧盤錦·九年級?？计谥校┤鐖D，是的直徑，和是它的兩條切線，切于點E，交于點D，交于點C．(1)求證：；(2)如果，，F(xiàn)為的中點，連接，求．7．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考二模）如圖，已知△OAB中，OA=OB，⊙O與AB切于點C，與OA、OB分別交于點E、G，與AO的延長線交于點D，連接BD、DG，延長DG交AB于點F，已知BD=BC．(1)判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AE=2，求圖中陰影部分的面積．8．（2022·四川德陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BM切⊙O于點B，點P是⊙O上的一個動點（點P不與A，B兩點重合），連接AP，過點O作OQAP交BM于點Q，過點P作PE⊥AB于點C，交QO的延長線于點E，連接PQ，OP．(1)求證：△BOQ≌△POQ；(2)若直徑AB的長為12．當PE＝時，四邊形AEOP為菱形，并說明理由．9．（2022·浙江杭州·九年級期末）如圖，已知是的直徑，點、為圓上兩點，且弧弧，于點，的延長線于點．（1）試說明：；（2）若，，求的面積．10．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，為圓內(nèi)接四邊形的對角線，且點D為的中點；(1)如圖1，若、直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2、若、平分，，求的長度．11．（2022·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，弦和相交于點，點為中點，，求證：．12．（2022秋·浙江·九年級專題練習）如圖1，在圓O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，點E在劣弧AC上運動，連接EC、BE，交AC于點F．(1)求∠E的度數(shù)；(2)當點E運動到使BE⊥AC時，如圖2，連接AO并延長，交BE于點G，交BC于點D，交圓O于點M，求證：D為GM中點．13．（2022·浙江杭州·模擬預測）如圖，已知圓內(nèi)接四邊形的邊長分別為，，，求四邊形的面積．

14．（2022·綿陽市·九年級專題練習）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．（1）證明：點E是OB的中點；（2）若AB=8，求CD的長．15．（2022·吉林松原·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點D，且BD∥OC，連接AC．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AB=OC=4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和π）16．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）數(shù)學綜合實踐課上，李老師在黑板上布置了一道尺規(guī)作圖題如下：利用尺規(guī)過圓外一點作圓的切線．已知：如圖（1），為⊙的切線，切點為A．求作：圓的另一條切線，切點為B．

下面是各個數(shù)學小組進行的一系列探究，請你根據(jù)探究內(nèi)容解決問題．(1)進步小組的作法：以點P為圓心，長為半徑作弧，交⊙于點B（非點A），作直線，則直線即為所求作的切線．問題：①請你在圖（2）中補全進步小組的作圖痕跡．②進步小組通過連接，，證明，他們證明兩個三角形全等的依據(jù)為______（填“”“”或“”）．(2)希望小組的作法：如圖（3），連接，作的垂直平分線m交于點M，以點M為圓心，長為半徑作圓，交于點B（非點A），作直線，則直線即為所求作的切線．問題：該組的小華根據(jù)作圖方案給出如下證明過程．證明：連接，由作圖知，是的※，∴，（理由：◎）即又是的半徑，∴為的切線．在上述證明過程中，※處應該填寫______；◎處應該填寫______（填序號）①一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；②90°的圓周角所對的弦是直徑③直徑所對的圓周角是直角；④同弧所對的圓周角相等(3)拓展小組的作法：如圖（4），連接交于點C，過點C作的垂線n，以點O為圓心，長為半徑作弧，交直線n于點D，連接交于點B，作直線，則直線即為所求作的切線．問題：請你結(jié)合該組作圖方案給出證明過程．17．（2023·福建·九年級?？茧A段練習）如圖，點P是等邊三角形中邊上的動點（），作的外接圓交于點D．點E是圓上一點，且，連接交于點F．(1)求證：(2)當點P運動變化時，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求的度數(shù)．(3)探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》是風向標，梅老師通過查閱新課標獲悉：切線長定理由“選學”改為“必學”，并新增“會過圓外的一個點作圓的切線”．在《切線的性質(zhì)與判定》學習完畢后，遂命制一題：“已知：如圖，及外一點P．求作：直線，使與相切于點B”．李華同學經(jīng)過探索，想出了兩種作法．具