2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常見(jiàn)幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題01 圓中的重要模型之圓中的全等三角形模型（原卷版）

專題01圓中的重要模型之圓中的全等三角形模型知識(shí)儲(chǔ)備：垂徑定理及推理、圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系等。圓中常見(jiàn)全等模型：切線長(zhǎng)模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型、對(duì)角互補(bǔ)模型、半角模型。模型1、切線長(zhǎng)模型1）切線長(zhǎng)模型（標(biāo)準(zhǔn)類）條件：P為外一點(diǎn)，PA，PB是的切線，切點(diǎn)分別為A，B。結(jié)論：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；2）切線長(zhǎng)模型（拓展類）條件：AD，CD，BC是的切線，切點(diǎn)分別為A，E，B。結(jié)論：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；例1．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將量角器和含角的一塊直角三角板緊靠著放在同一平面內(nèi)，使、、在一條直線上，且，過(guò)點(diǎn)作量角器圓弧所在圓的切線，切點(diǎn)為，則點(diǎn)在量角器上所對(duì)應(yīng)的銳角度數(shù)是（

）A． B． C． D．例2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，內(nèi)切于四邊形，，分別連接．下列結(jié)論正確的是（

）

A． B． C． D．A，O，C三點(diǎn)共線例3．（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”，它的完美來(lái)自對(duì)稱，其中切弦（chordofcontact）亦稱切點(diǎn)弦，是一條特殊弦，從圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線，連接這兩個(gè)切點(diǎn)的弦稱為切弦．此時(shí)，圓心與已知點(diǎn)的連線垂直平分切弦．(1)任務(wù)一：為了說(shuō)明切弦性質(zhì)的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過(guò)程．已知：如圖1，P是外一點(diǎn)，__________________________________________．求證：__________________________________________．證明：(2)任務(wù)二：如圖2，在任務(wù)一的條件下，CD是的直徑，連接AD、BC，若，，，求OP的長(zhǎng)．模型2.燕尾模型條件：OA，OB是的半徑，OC=OD。結(jié)論：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；例1．（2023·重慶九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以O(shè)為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的半徑分別交小圓于點(diǎn)C，D，連結(jié)，下列選項(xiàng)中不一定正確的是（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·福建龍巖·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并回答問(wèn)題．[材料]自從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》實(shí)施以來(lái)，九年級(jí)的龍老師增加了一個(gè)習(xí)慣，就是在每個(gè)新章節(jié)備課時(shí)都會(huì)查閱新課標(biāo)，了解該章知識(shí)的新舊課標(biāo)的變化，并在上課時(shí)告訴學(xué)生．他通過(guò)查閱新課標(biāo)獲悉：切線長(zhǎng)定理由“選學(xué)”改為“必學(xué)”，并新增“會(huì)過(guò)圓外的一個(gè)點(diǎn)作圓的切線”．在學(xué)習(xí)完《切線的性質(zhì)與判定》后，龍老師布置了一道課外思考題：“已知：如圖，及外一點(diǎn)．求作：直線，使與相切于點(diǎn)”．班上小巖同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)探索，給出了如下的一種作圖方法：（1）連接，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作大圓；（2）若交小圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作小圓的切線與大圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方）；（3）連接交小圓于，連接，則是小圓的切線．[問(wèn)題](1)請(qǐng)問(wèn)小巖同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組提供的作圖方法是否正確？請(qǐng)你按照步驟完成作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡），并說(shuō)明理由．(2)延長(zhǎng)交大圓于，連接，若，，求的長(zhǎng)．例3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD，連結(jié)AC．(1)△ACD為等邊三角形；(2)請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn)；(3)若AB＝8，求CD的長(zhǎng)．模型3.蝴蝶模型條件：OA，OE是的半徑，AD⊥OE，EB⊥OA。結(jié)論：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；例1．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在以為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點(diǎn)．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長(zhǎng)為______．(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點(diǎn)，若，求證．例2．（2023·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，和分別是⊙上的兩條弦，圓心到它們的距離分別是和．如果，求證：．例3．（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）學(xué)習(xí)過(guò)“圓內(nèi)接四邊形”后，劉老師布置了課后閱讀“認(rèn)識(shí)托勒密”，小明讀了托勒密的生平、貢獻(xiàn)，對(duì)“托勒密定理”很感興趣，并進(jìn)行了下列的研究，請(qǐng)完成他的研究．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．已知：如圖1，______．求證：______．證明：如圖2，作，交BD于點(diǎn)E，……∴∽，∴，……∴∽，∴，∴．(1)請(qǐng)幫小明寫出已知和求證，并完成證明過(guò)程；(2)如圖3，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于，，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．模型4.手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構(gòu)造出來(lái)的（常用旋轉(zhuǎn)或截長(zhǎng)補(bǔ)短法）。條件：是△ABD的外接圓，且AD=BD，∠ADB=，C為圓O上一點(diǎn)。結(jié)論：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；特別地，當(dāng)=60°時(shí)，CD=CA+CB；當(dāng)=90°時(shí)，CD=CA+CB；例1．（2023春·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，為直徑，若四邊形的面積是，的長(zhǎng)是，則與之間的數(shù)關(guān)系式是（

）A． B． C． D．例2．（2022·山東德州·統(tǒng)考一模）△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A在BC的兩側(cè)，連接PA，PB，PC．(1)如圖①，若△ABC是等邊三角形，則線段PA，PB，PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖②，把（1）中的△ABC改為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他條件不變，三條線段PA，PB，PC還有以上的數(shù)量關(guān)系嗎？說(shuō)明理由．(3)如圖③，把（1）中△ABC改為任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a時(shí)，其他條件不變，則PA，PB，PC三條線段的數(shù)量關(guān)系為_________（直接寫結(jié)果）(4)由以上你能發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的四條邊和對(duì)角線有什么關(guān)系？例3．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，在中，弦平分圓周角，我們將圓中以A為公共點(diǎn)的三條弦構(gòu)成的圖形稱為圓中“爪形A”，如圖2，四邊形內(nèi)接于圓，，(1)證明：圓中存在“爪形D”；(2)若，求證：課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A是優(yōu)弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作的垂線交于點(diǎn)E，與圓交于點(diǎn)D．若，且，則圓的半徑為（

）

A． B．3 C． D．2．（2023·浙江杭州·?？既＃┤鐖D，，分別與半徑為3的相切于點(diǎn)A，B，直線分別交，于點(diǎn)C，D，并切于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為．

3．（2022秋·浙江九年級(jí)期中）如圖所示，點(diǎn)為外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，，點(diǎn)，為切點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)已知，，則的長(zhǎng)為．

4．（2022·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知ABC，AB＝AC，∠A＝70°．O，D分別為BC，AB的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E，與AC交于點(diǎn)G，F(xiàn)，則∠DOE+∠FOG的度數(shù)是．5．（2023·江西宜春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形的頂點(diǎn)、、在上，頂點(diǎn)在外，連接，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，和是的切線，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡跡）．(1)如圖，在上找一點(diǎn)，使得為等腰三角形；(2)如圖，在上找一點(diǎn)，使得為等腰三角形．6．（2022秋·遼寧盤錦·九年級(jí)校考期中）如圖，是的直徑，和是它的兩條切線，切于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)C．(1)求證：；(2)如果，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，求．7．（2022·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，已知△OAB中，OA=OB，⊙O與AB切于點(diǎn)C，與OA、OB分別交于點(diǎn)E、G，與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接BD、DG，延長(zhǎng)DG交AB于點(diǎn)F，已知BD=BC．(1)判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若AE=2，求圖中陰影部分的面積．8．（2022·四川德陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BM切⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），連接AP，過(guò)點(diǎn)O作OQAP交BM于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)C，交QO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接PQ，OP．(1)求證：△BOQ≌△POQ；(2)若直徑AB的長(zhǎng)為12．當(dāng)PE＝時(shí)，四邊形AEOP為菱形，并說(shuō)明理由．9．（2022·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)、為圓上兩點(diǎn)，且弧弧，于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）試說(shuō)明：；（2）若，，求的面積．10．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，為圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，且點(diǎn)D為的中點(diǎn)；(1)如圖1，若、直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2、若、平分，，求的長(zhǎng)度．11．（2022·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，弦和相交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，，求證：．12．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在圓O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，點(diǎn)E在劣弧AC上運(yùn)動(dòng)，連接EC、BE，交AC于點(diǎn)F．(1)求∠E的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到使BE⊥AC時(shí)，如圖2，連接AO并延長(zhǎng)，交BE于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)D，交圓O于點(diǎn)M，求證：D為GM中點(diǎn)．13．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓內(nèi)接四邊形的邊長(zhǎng)分別為，，，求四邊形的面積．

14．（2022·綿陽(yáng)市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．（1）證明：點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)；（2）若AB=8，求CD的長(zhǎng)．15．（2022·吉林松原·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點(diǎn)D，且BD∥OC，連接AC．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AB=OC=4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號(hào)和π）16．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，李老師在黑板上布置了一道尺規(guī)作圖題如下：利用尺規(guī)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線．已知：如圖（1），為⊙的切線，切點(diǎn)為A．求作：圓的另一條切線，切點(diǎn)為B．

下面是各個(gè)數(shù)學(xué)小組進(jìn)行的一系列探究，請(qǐng)你根據(jù)探究?jī)?nèi)容解決問(wèn)題．(1)進(jìn)步小組的作法：以點(diǎn)P為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交⊙于點(diǎn)B（非點(diǎn)A），作直線，則直線即為所求作的切線．問(wèn)題：①請(qǐng)你在圖（2）中補(bǔ)全進(jìn)步小組的作圖痕跡．②進(jìn)步小組通過(guò)連接，，證明，他們證明兩個(gè)三角形全等的依據(jù)為______（填“”“”或“”）．(2)希望小組的作法：如圖（3），連接，作的垂直平分線m交于點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交于點(diǎn)B（非點(diǎn)A），作直線，則直線即為所求作的切線．問(wèn)題：該組的小華根據(jù)作圖方案給出如下證明過(guò)程．證明：連接，由作圖知，是的※，∴，（理由：◎）即又是的半徑，∴為的切線．在上述證明過(guò)程中，※處應(yīng)該填寫______；◎處應(yīng)該填寫______（填序號(hào)）①一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；②90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑③直徑所對(duì)的圓周角是直角；④同弧所對(duì)的圓周角相等(3)拓展小組的作法：如圖（4），連接交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作的垂線n，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交直線n于點(diǎn)D，連接交于點(diǎn)B，作直線，則直線即為所求作的切線．問(wèn)題：請(qǐng)你結(jié)合該組作圖方案給出證明過(guò)程．17．（2023·福建·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形中邊上的動(dòng)點(diǎn)（），作的外接圓交于點(diǎn)D．點(diǎn)E是圓上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)F．(1)求證：(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求的度數(shù)．(3)探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》是風(fēng)向標(biāo)，梅老師通過(guò)查閱新課標(biāo)獲悉：切線長(zhǎng)定理由“選學(xué)”改為“必學(xué)”，并新增“會(huì)過(guò)圓外的一個(gè)點(diǎn)作圓的切線”．在《切線的性質(zhì)與判定》學(xué)習(xí)完畢后，遂命制一題：“已知：如圖，及外一點(diǎn)P．求作：直線，使與相切于點(diǎn)B”．李華同學(xué)經(jīng)過(guò)探索，想出了兩種作法．具