2024年七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（滬教版）專題08鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角、垂線（11個(gè)考點(diǎn)+10種題型）（原卷版）

專題08鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角、垂線（11個(gè)考點(diǎn)+10種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)與題型分類聚焦考點(diǎn)一：平面上兩條不重合直線的位置關(guān)系考點(diǎn)二：鄰補(bǔ)角的意義考點(diǎn)三：鄰補(bǔ)角的性質(zhì)考點(diǎn)四：對(duì)頂角的意義考點(diǎn)五：對(duì)頂角的性質(zhì)考點(diǎn)六：垂線的意義考點(diǎn)七：垂直的符號(hào)考點(diǎn)八：垂直公理考點(diǎn)九：中垂線考點(diǎn)十：垂線段的性質(zhì)考點(diǎn)十一：點(diǎn)到直線的距離題型一：鄰補(bǔ)角的定義理解題型二：找鄰補(bǔ)角題型三：利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度題型四：對(duì)頂角的定義題型五：對(duì)頂角相等題型六：相交線題型七：垂線的定義理解題型八：畫垂線題型九：垂線段最短題型十：點(diǎn)到直線的距離考點(diǎn)一：平面上兩條不重合直線的位置關(guān)系 相交：兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)； 平行：兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)．考點(diǎn)二：鄰補(bǔ)角的意義 兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．考點(diǎn)三：鄰補(bǔ)角的性質(zhì) 互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．考點(diǎn)四：對(duì)頂角的意義 兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角．考點(diǎn)五：對(duì)頂角的性質(zhì) 對(duì)頂角相等．考點(diǎn)六：垂線的意義如果兩條直線的夾角為直角，那么就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．考點(diǎn)七：垂直的符號(hào)記作：“⊥”，讀作：“垂直于”，如：，讀作“AB垂直于CD”． 注：垂直是特殊的相交．考點(diǎn)八：垂直公理 在平面內(nèi)，過(guò)直線上或直線外的一點(diǎn)作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條．簡(jiǎn)記為：過(guò)一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線垂直考點(diǎn)九：中垂線 過(guò)線段中點(diǎn)且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡(jiǎn)稱中垂線．考點(diǎn)十：垂線段的性質(zhì) 聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．考點(diǎn)十一：點(diǎn)到直線的距離 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離．如果一個(gè)點(diǎn)在直線上，那么就說(shuō)這個(gè)點(diǎn)到直線的距離為零．題型一：鄰補(bǔ)角的定義理解【例1】．（2023下·福建泉州·七年級(jí)校考期中）下列圖形中，與是鄰補(bǔ)角的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1】．（2023下·江西新余·七年級(jí)新余四中?？计谥校┤鐖D，直線，，相交于點(diǎn)，則的鄰補(bǔ)角有個(gè)．

【變式2】．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）與互為鄰補(bǔ)角，且比的3倍還多，則的度數(shù)是°．題型二：找鄰補(bǔ)角【例2】．（2021上·黑龍江綏化·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圖中鄰補(bǔ)角有幾對(duì)（

）

A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．8對(duì)【變式1】．（2022上·福建福州·七年級(jí)校考期末）如圖，直線AB、MN相交于一點(diǎn)O，，則∠COM的鄰補(bǔ)角是（

）A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB【變式2】．（2022下·山東德州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，則的鄰補(bǔ)角是（

）A． B． C．和 D．和題型三：利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度【例3】．（2023下·上海·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，直線、相交于，，則直線與直線所夾的銳角是．【變式1】．（2023下·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，與互為鄰補(bǔ)角，且，那么為度【變式2】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝度．【變式3】．（2023下·上海嘉定·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知DE//BF，AC平分∠BAE，，那么∠ACF的度數(shù)是多少？（完成以下說(shuō)理過(guò)程）解：因?yàn)椋╛_______），（已知），所以∠BAE＝________（等式性質(zhì)）．又因?yàn)锳C平分∠BAE（已知），所以（_______），所以（等式性質(zhì)）．題型四：對(duì)頂角的定義【例1】．（2022下·上?！て吣昙?jí)校聯(lián)考期末）下列所示的四個(gè)圖形中，和是對(duì)頂角的圖形有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【變式1】．（2020下·七年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中：①對(duì)頂角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角；④若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等．不正確的有（

）A．①② B．②③ C．②④ D．④③【變式2】．（2021下·上海·七年級(jí)上海市文來(lái)中學(xué)?？计谥校?條不重合的直線相交于一點(diǎn)，構(gòu)成的對(duì)頂角共有對(duì)．題型五：對(duì)頂角相等【例5】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，若∠AOD＝150°，則∠BOC＝度．【變式1】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如果直線與直線交于點(diǎn)，且，，這兩條直線的夾角是度．【變式2】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AB、CD交于點(diǎn)O，若，射線OE平分∠AOC，那么∠EOD=度．【變式3】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）小明同學(xué)做一道幾何題時(shí)，不小心漏了一些內(nèi)容，請(qǐng)你把空缺之處填完整：題目如下：如圖，直線交于O，平分，求的度數(shù)．小徐的解答如下：解：∵，（已知）∴________（等式性質(zhì)）∵（

）∴__________________（等量代換）∵平分（已知）∴____________（角平分線的意義）∴（

）題型六：相交線【例6】．（2023上·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）平面上的三條直線最多可將平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【變式】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）觀察如圖圖形，并閱讀相關(guān)文字：那么10條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(

)A．10 B．20 C．36 D．45題型七：垂線的定義理解【例7】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，，垂足為，為過(guò)點(diǎn)的一條直線，若，則．【變式1】．（2023下·上海閔行·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，直線平分，則【變式2】．（2023下·上海徐匯·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，，，那么的度數(shù)是度．【變式3】．（2023下·上海寶山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與相交于點(diǎn)，平分，．已知，求的度數(shù)．

題型八：畫垂線【例8】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在紙片上有一直線l，點(diǎn)A在直線l上，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過(guò)90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過(guò)點(diǎn)A將紙片折疊，使得以A為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對(duì) B．只有淇淇對(duì)C．兩人都對(duì) D．兩人都不對(duì)【變式】．（2023下·上海寶山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）作圖：（使用鉛筆作圖，保留作圖痕跡）如圖，外有一點(diǎn)，畫出點(diǎn)到三角形三邊的垂線分別交于點(diǎn)、、．

題型九：垂線段最短【例9】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，A是直線l外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，在直線l上取一點(diǎn)C，連結(jié)AC，使AC＝2AB，P在線段BC上連結(jié)AP．若AB＝3，則線段AP的長(zhǎng)不可能是（）A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5【變式1】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，把水渠中的水引到水池C，先過(guò)C點(diǎn)向渠岸AB畫垂線，垂足為D，再沿垂線CD開溝才能使溝最短，其依據(jù)是．【變式2】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處開始挖渠才能使水渠的長(zhǎng)度最短，請(qǐng)作出圖形，并說(shuō)明這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理．【變式3】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）按照要求完成下列問(wèn)題：如圖，直線和相交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)．（1）過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)；（2）過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)；（3）比較線段和的大?。篲_____．題型十：點(diǎn)到直線的距離【例10】（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）下列圖形中，線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線的距離是（）A． B． C． D．【變式1】．（2023下·上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是邊上一點(diǎn)，且，下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）

A．直線與直線的夾角為60° B．直線與直線的夾角為90°C．線段的長(zhǎng)是點(diǎn)D到直線的距離 D．線段的長(zhǎng)是點(diǎn)B到直線的距離【變式2】．（2023下·上海靜安·七年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A到直線的距離是線段的長(zhǎng)度，直線到直線的距離是線段的長(zhǎng)度．

【變式3】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知于，于，，，，，．則：(1)點(diǎn)到直線的距離為_________；(2)點(diǎn)到直線的距離為_________；(3)點(diǎn)到直線的距離為_________；(4)點(diǎn)到直線的距離為_________；(5)點(diǎn)到直線的距離為_________．【變式4】．（2023下·上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┌聪铝幸螽媹D并填空：如圖，

(1)過(guò)點(diǎn)A畫出直線a的垂線，與直線a交于點(diǎn)C；過(guò)點(diǎn)B畫出直線a的垂線，與直線b交于點(diǎn)D；(2)如果直線，那么線段、長(zhǎng)度的大小關(guān)系是：______（用“＞”、“＝”、“＜”連接），它們的長(zhǎng)度都可以表示直線a、b之間的______．一、單選題1．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在三角形中，，，為垂足，則下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是(

)A．點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng) B．點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng)C．點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng) D．點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng)2．（2023下·上?！て吣昙?jí)假期作業(yè)）如圖，，點(diǎn)D到線段的距離指的是下列哪條線段的長(zhǎng)度（

）

A． B． C． D．3．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，直線AC和直線BD相交于點(diǎn)O，若∠1＋∠2＝70°，則∠BOC的度數(shù)是（

）．A．100° B．115° C．135° D．145°4．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．相等的角是對(duì)頂角； B．鄰補(bǔ)角一定互補(bǔ)；C．互補(bǔ)的兩角一定是鄰補(bǔ)角； D．兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等；5．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖AB，交于點(diǎn)O，，，平分，則下列結(jié)論：①圖中的余角有四個(gè)；②∠AOF的補(bǔ)角有2個(gè)；③為的平分線；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（

）A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④6．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法：①對(duì)頂角相等；②相等的兩角一定是對(duì)頂角；③如果兩個(gè)角不是對(duì)頂角，那么它們一定不相等；其中正確的說(shuō)法有(

)A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題7．（2023下·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EF⊥AB于點(diǎn)O，∠COE=50°，那么∠BOD=．8．（2023下·上海徐匯·七年級(jí)上海市第二初級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線的夾角的度數(shù)是

9．（2023下·上海黃浦·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若與是對(duì)頂角，與互余，且，那么．10．（2023下·上海奉賢·七年級(jí)?？计谥校┲本€和相交于點(diǎn)，，那么這兩條直線的夾角是度11．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，那么點(diǎn)B到直線AD的距離是線段的長(zhǎng)度．12．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）若與是對(duì)頂角，與互余，且，那么．13．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，直線與直線交于點(diǎn)O，平分，已知∠，那么度．14．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）若與是對(duì)頂角，與互余，且，那么．15．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝°．16．（2023下·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線、交于點(diǎn)，，，則．17．（2023下·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線相交于點(diǎn)O．已知把分成兩個(gè)角，且，將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，若時(shí)，的度數(shù)是．18．（2023下·上海虹口·七年級(jí)上外附中?？计谀┤舻膶?duì)頂角是，的鄰補(bǔ)角是，的余角是，若，則．三、解答題19．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖：直線AB和CD相交于點(diǎn)O，，且，求：的度數(shù)解：∵（已知）