3.1函數(shù)的概念及其表示（講義精講）（16大題型）（原卷版）

3.1函數(shù)的概念及其表示（16大題型）目錄TOC\o"11"\h\u01函數(shù)的概念及表示 102區(qū)間的概念及表示 303函數(shù)求值及已知函數(shù)值求參數(shù)問題 404具體函數(shù)的定義域問題 505抽象函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的定義域問題 606直接法求函數(shù)解析式 707待定系數(shù)法求函數(shù)解析式 708換元法求函數(shù)解析式 809解方程組法求函數(shù)解析式 910換元法求函數(shù)值域 911分離常數(shù)法求函數(shù)值域 1012判別式法求函數(shù)值域 1013基本不等式法求函數(shù)值域 1114函數(shù)相等 1115函數(shù)的表示法（圖象法、列舉法、解析法） 1216分段函數(shù)求值、求參數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)性問題 1501函數(shù)的概念及表示函數(shù)的概念設(shè)、是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng),那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù),記作其中，叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與值相對(duì)應(yīng)的叫做值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合的子集。例11．（2324高一上·江蘇徐州·期中）（多選）下列圖形不可能是函數(shù)圖象的是（

）A．B．C．D．例12．（2324高一上·山東青島·期中）中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.已知集合，，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（

）A．B．C．D．例13．（2324高一上·江蘇·期中）下列圖象中，能表示定義域和值域均為的函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)變式11．（2324高一上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知是集合A到集合B的函數(shù)，如果集合，那么集合A可能情況數(shù)為（

）A．9 B．10 C．31 D．32變式12．（2324高一上·河南開封·期中）（多選）集合A，B與對(duì)應(yīng)關(guān)系f如圖所示，則是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

變式13．（2223高一上·陜西西安·期末）設(shè)集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數(shù)關(guān)系的有（）A．

B．

C．

D．變式14．（2324高一上·安徽淮南·期中）設(shè)，給出下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．

B．

C．

D．

02區(qū)間的概念及表示定義符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}[a，b]{x|a＜x＜b}(a，b){x|a≤x＜b}[a，b){x|a＜x≤b}(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x＜a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)例21．（2324高一上·河北石家莊·期中）用區(qū)間表示為；用區(qū)間表示為．例22．（2324高一上·上海松江·期中）若為一確定區(qū)間，則的取值范圍為.變式21．（2324高一上·重慶·期中）不等式的解集為（）A． B．C． D．變式22．（2324高一上·重慶·期中）集合用區(qū)間表示為（）A． B．C． D．變式23．（2223高一·全國·課后作業(yè)）已知區(qū)間，則的取值范圍為．03函數(shù)求值及已知函數(shù)值求參數(shù)問題函數(shù)的三要素（定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系）在中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，仍然叫做函數(shù)值，的取值范圍叫做值域。其中表示的是自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，該對(duì)應(yīng)關(guān)系常體現(xiàn)在解析式中。定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系統(tǒng)稱函數(shù)的三要素。例31．（2324高一上·浙江溫州·期末）已知函數(shù)，則．例32．（2223高一上·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知，且，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1例33．（2324高一上·貴州六盤水·期末）已知函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C．2024 D．2025變式31．（2223高一上·全國·期中）已知，則.變式32．（2324高一上·海南海口·期中）已知函數(shù)，且，則．變式33．（2324高一上·廣東廣州·期中）已知，，則，．04具體函數(shù)的定義域問題具體函數(shù)的定義域①：分式函數(shù)：定義域是，分母不為0.②：0次冪類型：定義域是，底數(shù)不為0.③：根式類型：例4．（2324高一上·北京·期中）函數(shù)的定義域?yàn)?變式41．（2324高一上·山東·期中）函數(shù)的定義域?yàn)?變式42．（2324高一上·北京·期中）函數(shù)的定義域是．05抽象函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的定義域問題例51．（2324高一上·湖南邵陽·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?2．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是．例53．（2324高一上·上?！て谀┖瘮?shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?4．（2324高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋兪?1．（2324高一上·安徽池州·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?變式52．（2122高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是.變式53．（2324高一上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋兪?4．（2324高一上·山東濰坊·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?變式55．（2324高一上·江西贛州·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.06直接法求函數(shù)解析式例6．（2021高一上·陜西渭南·期末）已知，則（

）A． B．C． D．變式61．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，則的解析式是（

）A． B．C． D．變式62．（2122高一上·浙江溫州·期中）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．07待定系數(shù)法求函數(shù)解析式例71．（2324高一上·四川內(nèi)江·期中）已知一次函數(shù)是R上的減函數(shù)，且，則=.例72．（2324高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，滿足，.則.變式71．（2324高一上·四川德陽·階段練習(xí)）已知是一次函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則.變式72．（2324高一上·重慶云陽·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范圍．08換元法求函數(shù)解析式例81．（2324高一上·江蘇鹽城·期中）若函數(shù)，則．例82．（2022高一·全國·專題練習(xí)）已知，則．變式81．（2324高一上·四川瀘州·期中）已知，則函數(shù)的解析式為變式82．（2324高一上·浙江寧波·期中）已知，則的解析式為．09解方程組法求函數(shù)解析式例91．（2324高一上·四川自貢·期中）已知，則的解析式．例92．（2324高一上·安徽阜陽·期中）已知函數(shù)滿足，則函數(shù)的解析式為.變式91．（2324高一上·江蘇徐州·期中）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則.變式92．（2324高一上·江西宜春·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，且，則.變式93．（2324高一上·湖北荊門·階段練習(xí)）已知滿足，則解析式為．10換元法求函數(shù)值域例101．（2023高一上·安徽·競(jìng)賽）已知函數(shù)，則的值域?yàn)?例102．（2324高一上·河北·階段練習(xí)）時(shí)，的值域?yàn)?變式101．（2022高一上·全國·專題練習(xí)）求函數(shù)的值域．變式102．（2023高一上·全國·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2).11分離常數(shù)法求函數(shù)值域例111．（2324高一上·天津紅橋·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?例112．（2324高一上·江蘇南京·期中）函數(shù)的最大值為．變式111．（2324高一上·江西·期中）函數(shù)，的值域?yàn)?變式112．（2223高一上·天津和平·階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?2判別式法求函數(shù)值域例121．（2324高一上·浙江寧波·期中）函數(shù)，的值域?yàn)椋深}意分析可得關(guān)于x的方程有正根，分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)分析求解.例122．（2324高一上·浙江寧波·階段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是.變式121．（2223高一上·浙江寧波·期中）函數(shù)的值域是．當(dāng)時(shí)，，解得，變式122．（2122高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)的值域是.13基本不等式法求函數(shù)值域例131．（2223高三·全國·對(duì)口高考）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．變式131．（2122高一·全國·單元測(cè)試）求函數(shù)的值域變式132．（2223高一上·上海徐匯·期末）（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的值域.14函數(shù)相等例141．（2324高一上·浙江杭州·期中）下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例142．（2324高一上·陜西寶雞·期中）（多選）下列函數(shù)與表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C． D．變式141．（2324高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與變式142．（2324高一上·北京東城·期中）下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)相等的是（

）A．與 B．與C．與 D．與變式143．（2324高一上·浙江·期中）（多選）下列各組函數(shù)不是同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．15函數(shù)的表示法（圖象法、列舉法、解析法）例151．（2122高一上·山西太原·期中）已知某等腰三角形的周長(zhǎng)是4，底邊長(zhǎng)是，腰長(zhǎng)是，則關(guān)于的函數(shù)可表示為（

）A． B．C． D．例152．（2324高一上·寧夏固原·階段練習(xí)）如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學(xué)從點(diǎn)出發(fā)，沿花壇外側(cè)的小路順時(shí)針方向勻速走了一圈，則小明到點(diǎn)的直線距離與他從點(diǎn)出發(fā)后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之間的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．例153．（2324高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象是如圖所示的曲線ABC，則的值為（

）12320230A．2023 B．0 C． D．變式151．（2324高一上·山西·期中）如圖，四邊形是矩形，是等腰直角三角形．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，直線．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為的左側(cè)部分的多邊形的周長(zhǎng)（含線段的長(zhǎng)度）為．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的解析式為（

）

A． B．C． D．變式152．（2324高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）俗話說，“一分耕耘，一分收獲”．那么，在實(shí)際生活中，如果把收獲看成付出的函數(shù)，它們之間的關(guān)系可以怎樣描述呢？情境甲：當(dāng)以勻速的方式駕駛汽車時(shí)，行駛的里程與所用的時(shí)間之間的關(guān)系；情境乙：家長(zhǎng)過分寵愛孩子，有時(shí)還有可能付出增加會(huì)導(dǎo)致收獲減少；情境丙：在我們學(xué)習(xí)新的知識(shí)時(shí)，可能一開始效率會(huì)比較高，單位時(shí)間的付出得到的收獲會(huì)比較大，但隨著付出的時(shí)間越來越多，單位時(shí)間的付出得到的收獲會(huì)變少．請(qǐng)問依次與下面三個(gè)圖象所表示的收獲與付出的關(guān)系相對(duì)應(yīng)的情境正確的一項(xiàng)是（

）

A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲變式153．（2324高一上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）德國數(shù)學(xué)家狄利克在1837年時(shí)提出：“如果對(duì)于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則是的函數(shù)，”這個(gè)定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵.只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)值，有一個(gè)確定的和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)對(duì)應(yīng)的法則是公式、圖象，表格或是其它形式.已知函數(shù)由下表給出，則的值為（

）123A．0 B．1 C．2 D．316分段函數(shù)求值、求參數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)性問題例161．（2324高一上·北京·期中）已知函數(shù)則（

）A． B． C． D．例162．（2324高一上·福建三明·期末）函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值是（

）A．3 B． C．3或 D．5或例163．（2324高一上·安徽宿州·期中）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．