25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案磨尖課01抽象函數(shù)

磨尖課01抽象函數(shù)不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，一般用Ff一次函數(shù)1.對于正比例函數(shù)fx=kx2.對于一次函數(shù)fx=kx二次函數(shù)3.對于二次函數(shù)fx=a4.對于冪函數(shù)fx=xn，其對應(yīng)的抽象函數(shù)為5.對于指數(shù)函數(shù)fx=ax(a>6.對于對數(shù)函數(shù)fx=logax(a>0三角函數(shù)7.對于正弦函數(shù)fx=sinx8.對于余弦型函數(shù)fx=cosωx9.對于正切函數(shù)fx=tanx磨尖點一抽象函數(shù)求值典例1（一題多解）已知函數(shù)fx的定義域為R，且fx+y+fxA.?3 B.?2 C.0[解析]（法一：賦值法）因為fx+y+fx?y=fx?fy，令y=0，可得即fx+2+fx=fx+1因為f2=f1?f0=1?2因為22除以6得到的余數(shù)為4，所以∑22k=（法二：原函數(shù)法）fx+y+fx?y=所以fx的一個周期為6，且f1=1,f2=?1,f3=?所以∑22k=對于抽象函數(shù)的求值，常常利用恰當(dāng)?shù)馁x值解答問題，在賦值時要注意觀察變量與所求問題之間的關(guān)系，把滿足條件的特殊值賦給函數(shù)中的某個變量，這是解決抽象函數(shù)求值問題的常用策略.當(dāng)然，也可以通過找對應(yīng)的初等函數(shù)，達(dá)到快速解題的效果.1.（一題多解）設(shè)函數(shù)y=fx的定義域為0,+∞，fxy[解析]（法一：賦值法）令x=2,y=4，則f8=f2+f4=3，令x（法二：原函數(shù)法）由函數(shù)fx的定義域為0,+∞，且fxy=fx+fy，設(shè)函數(shù)fx=2.（一題多解）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f1=1，且f[解析]（法一：賦值法）令x=y=1，則f2（法二：原函數(shù)法）由fx+y=fx+fy+1磨尖點二抽象函數(shù)的性質(zhì)典例2[2023·新高考Ⅰ卷]（一題多解）（多選題）已知函數(shù)fx的定義域為R，fxy=A.f0=0C.fx是偶函數(shù) D.0為f[解析]（法一：賦值法）fxy對于A，令x=y=0，則對于B，令x=y=1，則f1對于C，令x=y=?1，則f1=f?1+f?1=2f?1，則f?1=0，令y（法二：原函數(shù)法）因為fxy=y2fx+x2fy，當(dāng)對于A，f0=0對于B，f1=1對于C，因為函數(shù)fx的定義域為R，且fx的圖象關(guān)于y軸對稱，所以fx對于D，當(dāng)x>0時，fx=x2lnx，則f'x=2xlnx+x2?1x=x2lnx+1，令f對于抽象函數(shù)的性質(zhì)的證明及綜合問題，一般需要緊扣題干條件，反復(fù)賦值找到fx與f?x,fx1與f1.[2024·廣州?？糫（一題多解）（多選題）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+y=fx+fA.f0=0 C.fx在[1,2]上的最大值為f[解析]（法一：賦值法）令x=y=0，則f0令y=?x，則f0=fx+設(shè)x1<x2，則x1?x2<0，由題意可得fx1?x2>0fx?1>0等價于fx?1>f0，因為fx為R上的減函數(shù)，所以（法二：原函數(shù)法）定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+y=fx+fy，當(dāng)x<0時，fx2.（一題多解）已知定義域為I=?∞,0∪0,+∞的函數(shù)fx（1）求證：fx（2）設(shè)當(dāng)x>1時,①求證：fx在0②求不等式fx[解析]（法一：賦值法）（1）取x1=x2=取x1=x2=?取x1=x，x2=?（2）①設(shè)x1>x2>0，則x1x2>1，由當(dāng)x②由fx是偶函數(shù)且在0得不等式fx?1即x?1解得x≠0且x≠1,x>13