北師大版(2024)2024-2025學(xué)七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)突破提升專題2.2有理數(shù)和數(shù)軸【九大題型】學(xué)案(學(xué)生版+解析)

專題2.2有理數(shù)和數(shù)軸【九大題型】【北師大版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1有理數(shù)的相關(guān)概念】 2【題型2有理數(shù)的分類】 2【題型3數(shù)軸的三要素及其畫法】 4【題型4用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)】 4【題型5利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】 5【題型6數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離】 5【題型7數(shù)軸上的整點(diǎn)問題】 6【題型8數(shù)軸中點(diǎn)的簡(jiǎn)單移動(dòng)】 6【題型9應(yīng)用數(shù)軸解決實(shí)際問題】 7知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)的相關(guān)概念1）整數(shù)：正整數(shù)、、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。2）分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)。正分?jǐn)?shù)：像，0.24，等這樣的數(shù)叫作正分?jǐn)?shù)；負(fù)分?jǐn)?shù)：像，－3.56等這樣的數(shù)叫作負(fù)分?jǐn)?shù)；有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)，所以它們也是分?jǐn)?shù)。3）有理數(shù)：可以寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)，即有理數(shù)都可以表示為（p、q均為整數(shù)，且p不為0）。正有理數(shù)：可以寫成正分?jǐn)?shù)的形式的數(shù)為正有理數(shù)；負(fù)有理數(shù)：可以寫成負(fù)分?jǐn)?shù)的形式的數(shù)為負(fù)有理數(shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。有理數(shù)的兩種分類：【題型1有理數(shù)的相關(guān)概念】【例1】（23-24七年級(jí)下·上海黃浦·期中）下列說法正確的是（

）A．自然數(shù)就是非負(fù)整數(shù) B．正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)C．零是最小的有理數(shù) D．有最小的正整數(shù)，沒有最大的負(fù)整數(shù)【變式1-1】（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．所有整數(shù)都是有理數(shù) B．所有小數(shù)都是有理數(shù) C．所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù) D．π不是有理數(shù)【變式1-2】（23-24七年級(jí)上·廣西賀州·期末）下列關(guān)于有理數(shù)的說法正確的是（）A．有理數(shù)可分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)兩大類B．正整數(shù)集合與負(fù)整數(shù)集合合在一起構(gòu)成整數(shù)集合C．0既不屬于整數(shù)也不屬于分?jǐn)?shù)D．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)【變式1-3】（23-24七年級(jí)上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）下列說法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；④非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；⑤?π⑥帶“?”號(hào)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)；⑦無限小數(shù)不都是有理數(shù)；⑧正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)；其中錯(cuò)誤的說法的個(gè)數(shù)為（

）A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【題型2有理數(shù)的分類】【例2】（23-24七年級(jí)上·河北保定·期末）對(duì)于下列各數(shù)：?5，0，92，?0.2，10%，8，其中說法錯(cuò)誤的是（A．?5，0，8都是整數(shù) B．分?jǐn)?shù)有92，?0.2，C．正數(shù)有92，10%，8 D．【變式2-1】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）給出一個(gè)數(shù)-107.987及下列判斷：①這個(gè)數(shù)不是分?jǐn)?shù)，但是有理數(shù)；②這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，也是分?jǐn)?shù)；③這個(gè)數(shù)不是有理數(shù)；④這個(gè)數(shù)是負(fù)小數(shù)，也是負(fù)分?jǐn)?shù).其中正確判斷的序號(hào)是．【變式2-2】（23-24七年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）在?π3，3.1415，0，?0.333…，?227，A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式2-3】（23-24七年級(jí)上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里：?7，3.5，?3.14，π，0，1317，0.03，?312正有理數(shù)集合{

…}；非負(fù)整數(shù)集合{

…}；整數(shù)集合{

…}；正分?jǐn)?shù)集合{

…}．知識(shí)點(diǎn)2：數(shù)軸數(shù)軸定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素．原點(diǎn)將數(shù)軸分為兩部分，其中正方向一側(cè)的部分叫數(shù)軸的正半軸，另一側(cè)的部分叫數(shù)軸的負(fù)半軸。2）數(shù)軸的畫法①畫一條水平的直線（一般畫水平的數(shù)軸）；②在這條直線上適當(dāng)位置取一實(shí)心點(diǎn)作為原點(diǎn)；③確定向右的方向?yàn)檎较?，用箭頭表示；④選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作單位長(zhǎng)度，用細(xì)短線畫出，并對(duì)應(yīng)標(biāo)注各數(shù)，同時(shí)要注意同一數(shù)軸的單位長(zhǎng)度要一致。3）有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系①一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來。②數(shù)軸上的點(diǎn)并不全是有理數(shù)，如也可以在數(shù)軸上表示，但并不是有理數(shù)。③正有理數(shù)位于原點(diǎn)的右邊，負(fù)有理數(shù)位于原點(diǎn)的左邊。④與原點(diǎn)的距離是a（a>0），在數(shù)軸上可以是a（存在多解的情況）。注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向?！绢}型3數(shù)軸的三要素及其畫法】【例3】（23-24七年級(jí)上·廣西百色·期末）下列數(shù)軸正確的是（

）A． B．C． D．【變式3-1】（23-24七年級(jí)上·河北邯鄲·期中）已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在同一直線上，如果把直線看作數(shù)軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述不正確的是（

）

A．?dāng)?shù)軸是以小明所在的位置為原點(diǎn)B．?dāng)?shù)軸采用向北為正方向C．小剛所在的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)有可能是?D．小穎和小紅間的距離為7【變式3-2】（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）有關(guān)數(shù)軸的畫法，下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．原點(diǎn)位置可以是數(shù)軸上任意一點(diǎn)B．一般情況下，取從左到右的方向?yàn)閿?shù)軸的正方向C．?dāng)?shù)軸的單位長(zhǎng)度可根據(jù)實(shí)際需要任意選取D．?dāng)?shù)軸上每?jī)蓚€(gè)刻度之間的長(zhǎng)度都等于1cm【變式3-3】（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖1，點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為?5，b，3，某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對(duì)齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)刻度2.4cm，點(diǎn)C對(duì)齊刻度6.4cm，則數(shù)軸上點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)b為【題型4用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)】【例4】（2024·河南平頂山·一模）已知點(diǎn)P在數(shù)軸上，且到原點(diǎn)的距離大于2，寫出一個(gè)點(diǎn)P表示的負(fù)數(shù)：．【變式4-1】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2024，OA=OB，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（

）A．2024 B．?2024 C．12024 D．【變式4-2】（2024·遼寧沈陽·二模）如圖，比數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)大1的數(shù)是（

）A．?1 B．0 C．1 D．2【變式4-3】（23-24七年級(jí)上·江蘇淮安·期中）在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是4，那么a=．【題型5利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】【例5】（2024·廣東佛山·三模）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（

）A．a(chǎn)<0 B．b>0 C．a(chǎn)>0 D．【變式5-1】（23-24七年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）比較大?。河欣頂?shù)a在數(shù)軸上的位置如下圖所示，則a0．【變式5-2】（2024七年級(jí)下·上?！ｎ}練習(xí)）（1）在數(shù)軸上標(biāo)出下列各數(shù)，并用小于號(hào)連接下列各數(shù)．?3，+1，212（2）在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示什么樣的有理數(shù)？答：．【變式5-3】（23-24七年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)P表示的數(shù)可能是（

）

A．?72 B．?52 C．【題型6數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離】【例6】（2024·陜西漢中·二模）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A表示的數(shù)為?3，AB=7，則點(diǎn)B表示的數(shù)為．A．2π B．2π+1 C．2π?1 D．4π【變式8-1】（23-24七年級(jí)上·浙江衢州·期末）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是1，則點(diǎn)B表示的數(shù)是．【變式8-2】（23-24七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知，點(diǎn)M在數(shù)軸上表示的數(shù)是9（1）若將點(diǎn)N先向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)M，則點(diǎn)N表示的數(shù)為．（2）若將點(diǎn)M在數(shù)軸上移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)點(diǎn)M表示的數(shù)是．【變式8-3】（23-24七年級(jí)上·河北唐山·期中）點(diǎn)A在數(shù)軸上距原點(diǎn)4個(gè)單位長(zhǎng)度，且位于原點(diǎn)左側(cè)，若將點(diǎn)A向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是．【題型9應(yīng)用數(shù)軸解決實(shí)際問題】【例9】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）郵遞員騎車從郵局出發(fā)，先向西騎行3km到達(dá)A村，繼續(xù)向西騎行2km到達(dá)B村，然后向東騎行若干千米到達(dá)C村，最后回到郵局，已知C村與(1)以郵局為原點(diǎn)，以向東方向?yàn)檎较?，一個(gè)網(wǎng)格的長(zhǎng)度表示1km建立數(shù)軸，請(qǐng)?jiān)趫D中的數(shù)軸上標(biāo)出A、B、C三個(gè)村莊的位置，并求出C村離A村有多遠(yuǎn)？(2)郵遞員一共騎行了多少千米？【變式9-1】（23-24七年級(jí)上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）一輛貨車從超市出發(fā)，向東走了2km，到達(dá)小剛家，繼續(xù)向東走了3km到達(dá)小紅家，又向西走了19km到達(dá)小英家，最后回到超市．請(qǐng)以超市為原點(diǎn)，以向東方向?yàn)檎较?，?個(gè)單位長(zhǎng)度表示1km．(1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米；(2)小英家距小剛家有___________km．(3)貨車一共行駛了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，貨車共用了多少升油？【變式9-2】（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期中）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行拔河比賽，標(biāo)志物先向甲隊(duì)方向移動(dòng)0.5m，后向乙隊(duì)方向移動(dòng)了0.8m，相持一會(huì)后又向乙隊(duì)方向移動(dòng)0.5m，隨后向甲隊(duì)方向移動(dòng)了1.5m在一片歡呼聲中，標(biāo)志物再向甲隊(duì)方向移動(dòng)1.2m．若規(guī)定只要標(biāo)志物向某隊(duì)方向移動(dòng)2m，則該隊(duì)即可獲勝，那么現(xiàn)在甲隊(duì)獲勝了嗎？用計(jì)算說明理由．【變式9-3】（23-24七年級(jí)上·重慶渝中·階段練習(xí)）一輛貨車從貨場(chǎng)A出發(fā)，向西走了3千米到達(dá)批發(fā)部B，繼續(xù)向西走了1.5千米到達(dá)商場(chǎng)C，又向東走了7.5千米到達(dá)超市D，最后回到貨場(chǎng)．(1)用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示1千米，以東為正方向，貨場(chǎng)A為原點(diǎn)，畫出數(shù)軸并在數(shù)軸上標(biāo)明A，(2)超市D距貨場(chǎng)A多遠(yuǎn)？(3)貨車一共行駛了多少千米？專題2.2有理數(shù)和數(shù)軸【九大題型】【北師大版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1有理數(shù)的相關(guān)概念】 2【題型2有理數(shù)的分類】 4【題型3數(shù)軸的三要素及其畫法】 6【題型4用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)】 8【題型5利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】 9【題型6數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離】 11【題型7數(shù)軸上的整點(diǎn)問題】 12【題型8數(shù)軸中點(diǎn)的簡(jiǎn)單移動(dòng)】 14【題型9應(yīng)用數(shù)軸解決實(shí)際問題】 15知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)的相關(guān)概念1）整數(shù)：正整數(shù)、、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。2）分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)。正分?jǐn)?shù)：像，0.24，等這樣的數(shù)叫作正分?jǐn)?shù)；負(fù)分?jǐn)?shù)：像，－3.56等這樣的數(shù)叫作負(fù)分?jǐn)?shù)；有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)，所以它們也是分?jǐn)?shù)。3）有理數(shù)：可以寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)，即有理數(shù)都可以表示為（p、q均為整數(shù)，且p不為0）。正有理數(shù)：可以寫成正分?jǐn)?shù)的形式的數(shù)為正有理數(shù)；負(fù)有理數(shù)：可以寫成負(fù)分?jǐn)?shù)的形式的數(shù)為負(fù)有理數(shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。有理數(shù)的兩種分類：【題型1有理數(shù)的相關(guān)概念】【例1】（23-24七年級(jí)下·上海黃浦·期中）下列說法正確的是（

）A．自然數(shù)就是非負(fù)整數(shù) B．正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)C．零是最小的有理數(shù) D．有最小的正整數(shù)，沒有最大的負(fù)整數(shù)【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的相關(guān)知識(shí)逐一判斷即可．【詳解】解：A．自然數(shù)就是非負(fù)整數(shù)，則A正確，故A選項(xiàng)符合題意；B．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)以及0統(tǒng)稱為有理數(shù)，則B錯(cuò)誤，故B選項(xiàng)不符合題意；C．沒有最小的有理數(shù)，則C錯(cuò)誤，故C選項(xiàng)不符合題意；D．1是最小的正整數(shù)，?1是最大的負(fù)整數(shù)，則D錯(cuò)誤，故D選項(xiàng)不符合題意，故選A．【變式1-1】（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．所有整數(shù)都是有理數(shù) B．所有小數(shù)都是有理數(shù) C．所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù) D．π不是有理數(shù)【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的概念．熟練掌握有理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的概念進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，所有整數(shù)都是有理數(shù)，A正確，故不符合要求；有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，B錯(cuò)誤，故符合要求；所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，C正確，故不符合要求；π不是有理數(shù)，D正確，故不符合要求；故選：A．【變式1-2】（23-24七年級(jí)上·廣西賀州·期末）下列關(guān)于有理數(shù)的說法正確的是（）A．有理數(shù)可分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)兩大類B．正整數(shù)集合與負(fù)整數(shù)集合合在一起構(gòu)成整數(shù)集合C．0既不屬于整數(shù)也不屬于分?jǐn)?shù)D．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)【答案】D【分析】本題考查有理數(shù)的分類及定義，根據(jù)有理數(shù)的分類及定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、有理數(shù)可分為正有理數(shù)，0和負(fù)有理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、正整數(shù)集合，0與負(fù)整數(shù)集合合在一起構(gòu)成整數(shù)集合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、0是整數(shù)，但不是分?jǐn)?shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，正確，符合題意；故選：D．【變式1-3】（23-24七年級(jí)上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）下列說法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；④非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；⑤?π⑥帶“?”號(hào)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)；⑦無限小數(shù)不都是有理數(shù)；⑧正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)；其中錯(cuò)誤的說法的個(gè)數(shù)為（

）A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的定義以及有理數(shù)的分類進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：因?yàn)樨?fù)數(shù)小于0，0不是最小的整數(shù)，故①是錯(cuò)誤的；因?yàn)?是有理數(shù)，但0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故②是錯(cuò)誤的；因?yàn)檎麛?shù)、0、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故③是錯(cuò)誤的；因?yàn)榉秦?fù)數(shù)包括0和正數(shù)，故④是錯(cuò)誤的；因?yàn)?π因?yàn)閹А?”號(hào)的數(shù)可以是?0，但?0=0，0不是負(fù)數(shù)，故⑥是錯(cuò)誤的；因?yàn)闊o限小數(shù)包括無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，故⑦是正確的；因?yàn)檎龜?shù)中沒有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)，故⑧是正確的；其中錯(cuò)誤的說法的個(gè)數(shù)為6個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)的定義以及有理數(shù)的分類，難度較?。徽龜?shù)比0大，0比負(fù)數(shù)大；有理數(shù)的分類有兩種，第一種是整數(shù)和分?jǐn)?shù)，第二種是正有理數(shù)，0，負(fù)有理數(shù)．【題型2有理數(shù)的分類】【例2】（23-24七年級(jí)上·河北保定·期末）對(duì)于下列各數(shù)：?5，0，92，?0.2，10%，8，其中說法錯(cuò)誤的是（A．?5，0，8都是整數(shù) B．分?jǐn)?shù)有92，?0.2，C．正數(shù)有92，10%，8 D．【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)分類的知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解并掌握有理數(shù)分類的相關(guān)知識(shí)．根據(jù)有理數(shù)分類的相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：A.?5，0，8都是整數(shù)，該說法正確，不符合題意；B.分?jǐn)?shù)有92，?0.2，10C.正數(shù)有92，10D.?0.2是負(fù)有理數(shù)，也是分?jǐn)?shù)，本選項(xiàng)說法不正確，符合題意．故選：D．【變式2-1】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）給出一個(gè)數(shù)-107.987及下列判斷：①這個(gè)數(shù)不是分?jǐn)?shù)，但是有理數(shù)；②這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，也是分?jǐn)?shù)；③這個(gè)數(shù)不是有理數(shù)；④這個(gè)數(shù)是負(fù)小數(shù)，也是負(fù)分?jǐn)?shù).其中正確判斷的序號(hào)是．【答案】②④【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念和分類即可作出判斷.【詳解】解：-107.987是一個(gè)負(fù)有理數(shù)，故③錯(cuò)誤；這個(gè)數(shù)也是一個(gè)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，故②④正確，①錯(cuò)誤；故答案為②④.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的概念和分類，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)（小數(shù)）；也可以分為：正數(shù)、0、負(fù)數(shù).解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的分類.【變式2-2】（23-24七年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）在?π3，3.1415，0，?0.333…，?227，A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的定義，解題的管計(jì)劃司掌握非負(fù)數(shù)的定義．根據(jù)“零和整數(shù)統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)”，即可求解．【詳解】解：非負(fù)數(shù)有：3.1415，0，2.010010001…，共3個(gè)，故選：A．【變式2-3】（23-24七年級(jí)上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里：?7，3.5，?3.14，π，0，1317，0.03，?312正有理數(shù)集合{

…}；非負(fù)整數(shù)集合{

…}；整數(shù)集合{

…}；正分?jǐn)?shù)集合{

…}．【答案】3.5，1317，0.03，10，25%；0，10；?7，0，10；3.5，1317，【分析】本題考查了有理數(shù)，認(rèn)真掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、非負(fù)數(shù)的定義與特點(diǎn)，注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．根據(jù)正有理數(shù)，非負(fù)整數(shù)，整數(shù)，正分?jǐn)?shù)的定義可得出答案．【詳解】解：正有理數(shù)集合{3.5，1317，0.03，10，25非負(fù)整數(shù)集合{0，10，…}；整數(shù)集合{?7，0，10，…}；正分?jǐn)?shù)集合{3.5，1317，0.03，25故答案為：3.5，1317，0.03，10，25%；0，10；?7，0，10；3.5，1317知識(shí)點(diǎn)2：數(shù)軸數(shù)軸定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素．原點(diǎn)將數(shù)軸分為兩部分，其中正方向一側(cè)的部分叫數(shù)軸的正半軸，另一側(cè)的部分叫數(shù)軸的負(fù)半軸。2）數(shù)軸的畫法①畫一條水平的直線（一般畫水平的數(shù)軸）；②在這條直線上適當(dāng)位置取一實(shí)心點(diǎn)作為原點(diǎn)；③確定向右的方向?yàn)檎较颍眉^表示；④選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作單位長(zhǎng)度，用細(xì)短線畫出，并對(duì)應(yīng)標(biāo)注各數(shù)，同時(shí)要注意同一數(shù)軸的單位長(zhǎng)度要一致。3）有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系①一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來。②數(shù)軸上的點(diǎn)并不全是有理數(shù)，如也可以在數(shù)軸上表示，但并不是有理數(shù)。③正有理數(shù)位于原點(diǎn)的右邊，負(fù)有理數(shù)位于原點(diǎn)的左邊。④與原點(diǎn)的距離是a（a>0），在數(shù)軸上可以是a（存在多解的情況）。注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向?！绢}型3數(shù)軸的三要素及其畫法】【例3】（23-24七年級(jí)上·廣西百色·期末）下列數(shù)軸正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是數(shù)軸．根據(jù)數(shù)軸定義：規(guī)定了正方向、原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸，我們一般規(guī)定，數(shù)軸向右為正方向，單位長(zhǎng)度必須一致，依據(jù)以上標(biāo)準(zhǔn)判斷即可．【詳解】解：A、不正確，錯(cuò)誤原因：數(shù)軸單位長(zhǎng)度不一致；B、正確；C、不正確，錯(cuò)誤原因：缺少正方向；D、不正確，錯(cuò)誤原因：缺少了原點(diǎn)．故選：A．【變式3-1】（23-24七年級(jí)上·河北邯鄲·期中）已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在同一直線上，如果把直線看作數(shù)軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述不正確的是（

）

A．?dāng)?shù)軸是以小明所在的位置為原點(diǎn)B．?dāng)?shù)軸采用向北為正方向C．小剛所在的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)有可能是?D．小穎和小紅間的距離為7【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義：包含原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向的直線叫做數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離：右邊點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊點(diǎn)表示的數(shù)，即可判斷．【詳解】解：A.小明所在的位置表示數(shù)0，故此項(xiàng)結(jié)論正確；B.四人自南向北，且由南向北表示的數(shù)越來越大，所以向北為正方向，故此項(xiàng)結(jié)論正確；C.小剛所在的之位置對(duì)應(yīng)的數(shù)在?3與?2之間，而?53在?2與D.小穎和小紅間的距離為2??5故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸的定義，在數(shù)軸上比較兩數(shù)大小，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，理解定義，能根據(jù)圖形提供的信息解題是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）有關(guān)數(shù)軸的畫法，下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．原點(diǎn)位置可以是數(shù)軸上任意一點(diǎn)B．一般情況下，取從左到右的方向?yàn)閿?shù)軸的正方向C．?dāng)?shù)軸的單位長(zhǎng)度可根據(jù)實(shí)際需要任意選取D．?dāng)?shù)軸上每?jī)蓚€(gè)刻度之間的長(zhǎng)度都等于1cm【答案】D【分析】數(shù)軸上原點(diǎn)的位置可以任意確定，單位長(zhǎng)度也可以任意確定，取右方向?yàn)檎较颍灰罁?jù)上述知識(shí)，對(duì)給出的選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：數(shù)軸上原點(diǎn)的位置可以任意確定，單位長(zhǎng)度也可以任意確定，取右方向?yàn)檎较颍蔬x項(xiàng)D不正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，掌握數(shù)軸的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖1，點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為?5，b，3，某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對(duì)齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)刻度2.4cm，點(diǎn)C對(duì)齊刻度6.4cm，則數(shù)軸上點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)b為【答案】?2【分析】由AC長(zhǎng)度是6.4厘米求出數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是0.8厘米，再由AB的長(zhǎng)度是2.4cm【詳解】解：∵6.4÷3?(?5)∴數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是0.8厘米，∵2.4÷0.8=3，∴在數(shù)軸上A,B的距離是3個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)b為?5+3=?2．故答案為：?2．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的概念，關(guān)鍵是確定數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度是多少厘米．【題型4用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)】【例4】（2024·河南平頂山·一模）已知點(diǎn)P在數(shù)軸上，且到原點(diǎn)的距離大于2，寫出一個(gè)點(diǎn)P表示的負(fù)數(shù)：．【答案】?3【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，根據(jù)“點(diǎn)P在數(shù)軸上，且到原點(diǎn)的距離大于2，還是負(fù)數(shù)”這三個(gè)條件，寫出一個(gè)即可作答．答案不唯一【詳解】解：依題意，當(dāng)點(diǎn)P在數(shù)軸的負(fù)半軸上，即點(diǎn)P表示為?3，故答案為：?3【變式4-1】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2024，OA=OB，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（

）A．2024 B．?2024 C．12024 D．【答案】B【分析】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸的定義求解即可．【詳解】解：∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2024，OA=OB，∴OB=2024，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是?2024，故選：A．【變式4-2】（2024·遼寧沈陽·二模）如圖，比數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)大1的數(shù)是（

）A．?1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的加法計(jì)算，根據(jù)題意可得點(diǎn)A表示的數(shù)是?1，再根據(jù)有理數(shù)加法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，點(diǎn)A表示的數(shù)是?1，∴比數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)大1的數(shù)是?1+1=0，故選：A．【變式4-3】（23-24七年級(jí)上·江蘇淮安·期中）在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是4，那么a=．【答案】±4【分析】本題考查了數(shù)軸以及數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)；根據(jù)數(shù)軸特點(diǎn)可直接得出答案．【詳解】解：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是4，那么a=±4，故答案為：±4．【題型5利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】【例5】（2024·廣東佛山·三模）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（

）A．a(chǎn)<0 B．b>0 C．a(chǎn)>0 D．【答案】C【分析】本題考查利用數(shù)軸判斷有理數(shù)的大小，根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，以及數(shù)軸上的數(shù)右邊比左邊的大，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知：b<?1<0<a<1；故選C．【變式5-1】（23-24七年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）比較大?。河欣頂?shù)a在數(shù)軸上的位置如下圖所示，則a0．【答案】<【分析】本題主要考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，根據(jù)有理數(shù)a在數(shù)軸上的位置可以直接判斷．【詳解】解：根據(jù)有理數(shù)a在數(shù)軸上的位置，可知a<0，故答案為：<．【變式5-2】（2024七年級(jí)下·上海·專題練習(xí)）（1）在數(shù)軸上標(biāo)出下列各數(shù)，并用小于號(hào)連接下列各數(shù)．?3，+1，212（2）在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示什么樣的有理數(shù)？答：．【答案】（1）見解析；?3<?1.5<+1<21【分析】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，比較數(shù)的大小，掌握數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)，然后根據(jù)當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“<”號(hào)連接起來即可；（2）根據(jù)數(shù)軸的特征，在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示負(fù)有理數(shù)．【詳解】解：（1）數(shù)軸表示如下：．∴?3<?1.5<+1<21（2）在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示什么樣的有理數(shù)？答：負(fù)有理數(shù)．故答案為：負(fù)有理數(shù)．【變式5-3】（23-24七年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)P表示的數(shù)可能是（

）

A．?72 B．?52 C．【答案】B【分析】本題考查數(shù)軸，根據(jù)點(diǎn)P在數(shù)軸上的位置即可求解．【詳解】解：由數(shù)軸可知點(diǎn)P表示的數(shù)在?3和?2之間，∵?7∴四個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)只有?52在?3和故選B．【題型6數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離】【例6】（2024·陜西漢中·二模）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A表示的數(shù)為?3，AB=7，則點(diǎn)B表示的數(shù)為．【答案】4【分析】根據(jù)平移規(guī)律計(jì)算，?3+7=4，解答即可，本題考查了數(shù)軸上的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)平移規(guī)律，得，?3+7=4，故點(diǎn)B表示的數(shù)是4，故答案為：4．【變式6-1】（23-24七年級(jí)上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）在數(shù)軸上，表示?5的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是（

）A．5 B．?5 C．10 D．?10【答案】A【分析】本題考查的是數(shù)軸，根據(jù)數(shù)數(shù)軸上表示?5的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5進(jìn)行解答即可．【詳解】解：數(shù)軸上表示?5的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5．故選：A．【變式6-2】（2024·湖南株洲·一模）如圖，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是?2和3，則AB的長(zhǎng)度為．【答案】5【分析】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，熟記距離公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算解題．【詳解】解：AB=3+2故答案為：5．【變式6-3】（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期末）正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，其頂點(diǎn)A在數(shù)軸上且表示的數(shù)為?1，若點(diǎn)E也在數(shù)軸上且AB=AE，則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（

）A．?3 B．3 C．?3或1 D．?3或3【答案】C【分析】本題主要考查有理數(shù)與數(shù)軸及兩點(diǎn)間距離．分類討論，根據(jù)兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)的位置判斷出點(diǎn)所表示的數(shù)即可．【詳解】解：由題意得AB=AE=2，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左邊時(shí)，點(diǎn)E所表示的數(shù)為?1?2=?3，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的右邊時(shí)，點(diǎn)E所表示的數(shù)為?1+2=1，故選：D．【題型7數(shù)軸上的整點(diǎn)問題】【例7】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）小明寫作業(yè)時(shí)不慎將墨水滴在數(shù)軸上，請(qǐng)根據(jù)圖中的數(shù)值，判斷墨跡蓋住部分的整數(shù)有個(gè)．

【答案】9【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，知墨跡蓋住的范圍有兩部分，即大于?6而小于?1，大于0而小于6，再寫出其中的整數(shù)即可解答．【詳解】解：由數(shù)軸可知比?6大比?1小的整數(shù)有?5，比0大比6小的整數(shù)有1，2，3，4，5，∴墨跡蓋住部分的整數(shù)有9個(gè)．故答案為：9．【點(diǎn)睛】考查了數(shù)軸．理解整數(shù)的概念，能夠首先結(jié)合數(shù)軸得到被覆蓋的范圍，進(jìn)一步根據(jù)整數(shù)這一條件求解是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24七年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期末）在數(shù)軸上表示2.5和?1.13之間的整數(shù)有（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】A【分析】本題考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是畫出數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合的方法解答．根據(jù)題意找出滿足條件的所有整數(shù)即可求解．【詳解】解：如圖所示：在數(shù)軸上表示2.5和?1.13兩點(diǎn)之間的整數(shù)有?1，0，1，2，共4個(gè)．故選：A．【變式7-2】（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·開學(xué)考試）如圖，一滴墨水灑在數(shù)軸上，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)值判斷墨跡蓋住的整數(shù)個(gè)數(shù)是（）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸上有理數(shù)的表示求解即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，墨跡蓋住的整數(shù)有?2、?1、0，共3個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上有理數(shù)的表示，熟練掌握數(shù)軸上有理數(shù)的表示是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖所示的數(shù)軸被墨跡蓋住了一部分，則被遮住的所有整數(shù)個(gè)數(shù)為．

【答案】13【分析】根據(jù)題意得到被蓋住的整數(shù)為?10,?9,?8,?7?6,?5,7,8,9,10,11,12,13，再相加即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：被蓋住的整數(shù)為?10,?9,?8,?7?6,?5,7,8,9,10,11,12,13，∴被蓋住的整數(shù)的個(gè)數(shù)為13，故答案為：13【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，有理數(shù)加法，熟練掌握有理數(shù)加法法則是解題的關(guān)鍵【題型8數(shù)軸中點(diǎn)的簡(jiǎn)單移動(dòng)】【例8】（23-24七年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖，半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從A點(diǎn)（A點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是1）沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周后到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（

）

A．2π B．2π+1 C．2π?1 D．4π【答案】B【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離計(jì)算，A、B兩點(diǎn)的距離即為半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓的周長(zhǎng)，據(jù)此得到AB=2π，再由A點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是1，可得點(diǎn)B表示的數(shù)是2π+1．【詳解】解：∵半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓滾動(dòng)一周所走的距離為2π∴AB=2π，∵A點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是1，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是2π+1，故選：A．【變式8-1】（23-24七年級(jí)上·浙江衢州·期末）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是1，則點(diǎn)B表示的數(shù)是．【答案】2【分析】本題考查數(shù)軸，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)數(shù)軸，可以理解為點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位，再向右運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)B，列式計(jì)算即可得到點(diǎn)B表示的數(shù)．【詳解】解：由圖可以理解為點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位，再向右運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)B，∵點(diǎn)A表示的數(shù)是1，∴1?2+3=2，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是2，故答案為：2．【變式8-2】（23-24七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知，點(diǎn)M在數(shù)軸上表示的數(shù)是9（1）若將點(diǎn)N先向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)M，則點(diǎn)N表示的數(shù)為．（2）若將點(diǎn)M在數(shù)軸上移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)點(diǎn)M表示的數(shù)是．【答案】75或13【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的距離確定原來點(diǎn)N表示的數(shù)；（2）分兩種情況根據(jù)平移求得現(xiàn)在點(diǎn)表示的數(shù)．【詳解】（1）解：9?6+4=7，（2）當(dāng)點(diǎn)M在數(shù)軸上向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度表示的數(shù)是9?4=5；當(dāng)點(diǎn)M在數(shù)軸上向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度表示的數(shù)是9+4=13；故答案為：7；5或13．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)的平移，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)在數(shù)軸上平移的規(guī)則“左減右加”．【變式8-3】（23-24七年級(jí)上·河北唐山·期中）點(diǎn)A在數(shù)軸上距原點(diǎn)4個(gè)單位長(zhǎng)度，且位于原點(diǎn)左側(cè)，若將點(diǎn)A向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是．【答案】0【分析】由數(shù)軸的概念，