北師大版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)強(qiáng)化提分系列專題1.2一定是直角三角形嗎【八大題型】學(xué)案(學(xué)生版+解析)

專題1.2一定是直角三角形嗎【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由三邊長(zhǎng)度判斷直角三角形】 1【題型2勾股數(shù)】 3【題型3格點(diǎn)中判斷直角三角形】 6【題型4利用勾股定理的逆定理進(jìn)行求值】 10【題型5利用勾股定理的逆定理進(jìn)行證明】 13【題型6確定直角三角形的個(gè)數(shù)】 17【題型7勾股定理的逆定理的應(yīng)用】 20【題型8勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用】 23知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。【題型1由三邊長(zhǎng)度判斷直角三角形】【例1】（23-24八年級(jí)·廣西南寧·階段練習(xí)）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．6，8，10【變式1-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·假期作業(yè)）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為8∶15∶17，則它為三角形．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·廣東汕頭·期末）已知三角形的三邊長(zhǎng)a，b，【變式1-3】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期末）在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且b+c=2a，c?b=12a，則△ABCA．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形知識(shí)點(diǎn)2：勾股數(shù)勾股數(shù)，一般是指能夠構(gòu)成\t"/item/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%95%B0/_blank"直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)(例如a、b、c)。即a2+b2=c2，a、b、c都是正整數(shù)?！绢}型2勾股數(shù)】【例2】（23-24八年級(jí)·河南鄭州·期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．0.6，0.8，1 B．13，14，15 C．6，8，10【變式2-1】（23-24八年級(jí)·河北保定·期中）若8，15，x是一組勾股數(shù)，則【變式2-2】（23-24八年級(jí)·貴州銅仁·期末）成書于大約公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》是中國(guó)現(xiàn)存最早的一部數(shù)學(xué)典籍，里面記載的勾股定理的公式與證明相傳是在西周由商高發(fā)現(xiàn)，故又稱之為商高定理．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1；古希臘哲學(xué)家柏拉圖（公元前427年—公元前347年）研究了勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為12，則其股為（

）

A．14 B．16 C．35 D．37【變式2-3】（23-24八年級(jí)·河北衡水·期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，盡在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”，這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41：等等都是勾股數(shù)．【探究1】（1）如果a、b、c是一組勾股數(shù)，即滿足a2+b2=c2（2）另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就曾提出a=2n+1,b=2n2+2n,c=2（3）值得自豪的是，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國(guó)的《九章算術(shù)》中，書中提到：當(dāng)a=12m2?n2，b=mn,c=【探究2】觀察3,4,5;5,12,13;7,24,25；…，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，并且勾為3時(shí)股4=12×9?1，弦5=12×請(qǐng)仿照上面兩組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾為7，則股24=____；弦25=____；（2）如果用n(n≥3,且n為奇數(shù))表示勾，請(qǐng)用含有n的式子表示股和弦，則股=___；弦=___；（3）觀察4,3,5;6,8,10;8,15,l7;…;a,b,82；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過．①b=_；②請(qǐng)你直接用m(m為偶數(shù)且m≥4）的代數(shù)式表示直角三角形的另一條直角邊_；和弦的長(zhǎng)__．【題型3格點(diǎn)中判斷直角三角形】【例3】（23-24八年級(jí)·廣東惠州·期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上．(1)在所給的4×4的正方形網(wǎng)格中，不限方法畫出一個(gè)以AB為直角邊的直角△ABC；(2)試計(jì)算所畫的△ABC的面積．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·湖北恩施·期末）如圖，在5×2的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．求∠BAC的度數(shù)．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·廣東珠?！て谥校┤鐖D，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格上，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．

(1)求四邊形ABCD的面積；(2)判斷線段BC和CD的位置關(guān)系，并說明理由．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·山東淄博·期中）如圖，網(wǎng)格內(nèi)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，A,B,C,D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD=（

）A．30° B．35° C．45° D．60°【題型4利用勾股定理的逆定理進(jìn)行求值】【例4】（23-24八年級(jí)·廣西桂林·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=3，AD=7，CD=5，則∠BAD的度數(shù)為°【變式4-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·專題練習(xí)）如圖，P是直線l外一點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)在直線l上，且PB⊥l于點(diǎn)B，∠APC=90°，若PA=4，PC=3，AC=5，PB=125，則點(diǎn)A到直線PC的距離是【變式4-2】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·假期作業(yè)）已知△ABC,AB=5,BC=12,AC=13，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段BP長(zhǎng)的最小值是．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA=3(1)證明△APC≌△AQB(2)求三角形PBQ的面積【題型5利用勾股定理的逆定理進(jìn)行證明】【例5】（23-24八年級(jí)·山東淄博·期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，BE＝CE，DF＝3CF．證明：∠AEF＝90°．【變式5-1】（22-23八年級(jí)·湖北孝感·階段練習(xí)）設(shè)一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊c上的高為h，試判斷以c+?，a+b，h為邊長(zhǎng)的三角形的形狀，并證明．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·河北唐山·期中）綜合與實(shí)踐主題：檢測(cè)雕塑(下圖)底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB．素材：一個(gè)雕塑，一把卷尺．步驟1：利用卷尺測(cè)量邊AD，邊BC和底邊AB的長(zhǎng)度，并測(cè)量出點(diǎn)B,D之間的距離；步驟2：通過計(jì)算驗(yàn)證底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB．解決問題：(1)通過測(cè)量得到邊AD的長(zhǎng)是60厘米，邊AB的長(zhǎng)是80厘米，BD的長(zhǎng)是100厘米，邊AD垂直于邊AB嗎？為什么？(2)如果你隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為30cm的刻度尺，你能有辦法檢驗(yàn)邊AD是否垂直于邊AB【變式5-3】（23-24八年級(jí)·福建廈門·階段練習(xí)）定義：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c滿足ac+a(1)如圖1所示、若等腰三角形ABC是“類勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，請(qǐng)求∠A的度數(shù)．(2)如圖2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．請(qǐng)證明△ABC為“類勾股三角形”．【題型6確定直角三角形的個(gè)數(shù)】【例6】（23-24八年級(jí)·河北唐山·期中）同一平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)之間的距離為5cm，點(diǎn)C到直線AB的距離為2cm，且△ABC為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)C有【變式6-1】（23-24八年級(jí)·浙江臺(tái)州·期中）在如圖所示的5×5的方格圖中，點(diǎn)A和點(diǎn)B均為圖中格點(diǎn)．點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，滿足△ABC為以AB為斜邊的直角三角形．這樣的點(diǎn)C有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式6-2】（23-24八年級(jí)·河北唐山·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(?4,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若要使△OAB是直角三角形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)不可能是（

）A．(?4,2) B．(0,4) C．(4,2) D．(?2,2)【變式6-3】（23-24八年級(jí)·江西九江·期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣23，0）、B（2，0）、C（0，【題型8勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用】【例8】（23-24八年級(jí)·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，∠BAC=90°，AB=22,AC=22，BD=12，DC=410【變式8-1】（23-24八年級(jí)·河北保定·期末）如圖，△ABC中，AB=AC，BC長(zhǎng)為5，點(diǎn)D是AC上的一點(diǎn)，BD=4,CD=3．(1)△BCD是哪種類型的三角形，請(qǐng)給出證明；(2)求出線段AC的長(zhǎng)．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·四川成都·期中）為了響應(yīng)政府提出的“綠色長(zhǎng)垣，文明長(zhǎng)垣”的號(hào)召，某小區(qū)決定開始綠化，要在一塊四邊形ABCD空地上種植草皮．如圖，經(jīng)測(cè)量∠B=90o，AB=6米，BC=8米，CD=24米，AD=26米．（1）求AC的長(zhǎng)．（2）判斷△ACD的形狀，并證明．（3）若每平方米草皮需要300元，問需要投入多少元？【變式8-3】（23-24八年級(jí)·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA=26，PB=52，PC=24，則∠BPC=專題1.2一定是直角三角形嗎【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由三邊長(zhǎng)度判斷直角三角形】 1【題型2勾股數(shù)】 3【題型3格點(diǎn)中判斷直角三角形】 6【題型4利用勾股定理的逆定理進(jìn)行求值】 10【題型5利用勾股定理的逆定理進(jìn)行證明】 13【題型6確定直角三角形的個(gè)數(shù)】 17【題型7勾股定理的逆定理的應(yīng)用】 20【題型8勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用】 23知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。【題型1由三邊長(zhǎng)度判斷直角三角形】【例1】（23-24八年級(jí)·廣西南寧·階段練習(xí)）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．6，8，10【答案】D【分析】本題考查勾股定理逆定理，根據(jù)勾股定理逆定理逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、1+2=3，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；B、22C、2+2<5，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；D、62故選D．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·假期作業(yè)）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為8∶15∶17，則它為三角形．【答案】直角【分析】此題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．解題關(guān)鍵在于判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．【詳解】解：∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為8∶15∶17，設(shè)三邊分別為8x，15x，17x，而8x2∴三角形構(gòu)成直角三角形，故答案為：直角【變式1-2】（23-24八年級(jí)·廣東汕頭·期末）已知三角形的三邊長(zhǎng)a，b，【答案】此三角形是直角三角形【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，根據(jù)算術(shù)平方根、絕對(duì)值、平方數(shù)的非負(fù)性求出a，b，c的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出此三角形是直角三角形．【詳解】解：∵a?7+|b?24|+∴a?7=0，b?24=0，c?25=0，∴a=7，b=24，c=25，∵72∴a2∴此三角形是直角三角形．【變式1-3】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期末）在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且b+c=2a，c?b=12a，則△ABCA．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】此題主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2【詳解】解：∵b+c=2a①，c?b=由①+②得由①?②∴a2+b∴△ABC是直角三角形，又a≠b≠c，∴選項(xiàng)A符合題意，故選：A．知識(shí)點(diǎn)2：勾股數(shù)勾股數(shù)，一般是指能夠構(gòu)成\t"/item/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%95%B0/_blank"直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)(例如a、b、c)。即a2+b2=c2，a、b、c都是正整數(shù)?！绢}型2勾股數(shù)】【例2】（23-24八年級(jí)·河南鄭州·期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．0.6，0.8，1 B．13，14，15 C．6，8，10【答案】C【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)的定義：三邊是正整數(shù)且兩小邊的平方和等于第三邊的平方，進(jìn)行求解即可．【詳解】A、三個(gè)數(shù)不都是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；B、三個(gè)數(shù)都不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；C、62D、三個(gè)數(shù)不都是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：D．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·河北保定·期中）若8，15，x是一組勾股數(shù)，則【答案】17【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，分x為直角邊和斜邊兩種情況分類討論，再由勾股數(shù)的定義得出答案即可，解題關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)．【詳解】解：當(dāng)x為直角邊時(shí)，x=15當(dāng)x為斜邊時(shí)，x=15綜上，若8，15，x是一組勾股數(shù)，則故答案為：17．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·貴州銅仁·期末）成書于大約公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》是中國(guó)現(xiàn)存最早的一部數(shù)學(xué)典籍，里面記載的勾股定理的公式與證明相傳是在西周由商高發(fā)現(xiàn)，故又稱之為商高定理．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1；古希臘哲學(xué)家柏拉圖（公元前427年—公元前347年）研究了勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為12，則其股為（

）

A．14 B．16 C．35 D．37【答案】C【分析】依題意，設(shè)斜邊為x，則股為x?2，根據(jù)勾股定理即可求出x的值．【詳解】解：依題意，設(shè)斜邊為x，則股為x?2，∴122解得：x=37，∴股為x?2=37?2=35，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·河北衡水·期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，盡在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”，這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41：等等都是勾股數(shù)．【探究1】（1）如果a、b、c是一組勾股數(shù)，即滿足a2+b2=c2（2）另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就曾提出a=2n+1,b=2n2+2n,c=2（3）值得自豪的是，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國(guó)的《九章算術(shù)》中，書中提到：當(dāng)a=12m2?n2，b=mn,c=【探究2】觀察3,4,5;5,12,13;7,24,25；…，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，并且勾為3時(shí)股4=12×9?1，弦5=12×請(qǐng)仿照上面兩組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾為7，則股24=____；弦25=____；（2）如果用n(n≥3,且n為奇數(shù))表示勾，請(qǐng)用含有n的式子表示股和弦，則股=___；弦=___；（3）觀察4,3,5;6,8,10;8,15,l7;…;a,b,82；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過．①b=_；②請(qǐng)你直接用m(m為偶數(shù)且m≥4）的代數(shù)式表示直角三角形的另一條直角邊_；和弦的長(zhǎng)__．【答案】探究1（1）6，8，10；（2）詳見解析；（3）a=6,b=8,c=10；探究2（1）12(49?1),12(49+1)；（2）12(【分析】探究1：（1）根據(jù)勾股定理a2（2）根據(jù)完全平方公式求出a2+b（3）根據(jù)勾股定理逆定理計(jì)算，證明結(jié)論，根據(jù)題意寫出勾股數(shù)；探究2：（1）根據(jù)規(guī)律即求解；（2）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時(shí)，則股＝12(n（3）根據(jù)規(guī)律可得股比弦小2，根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，a=m(m為偶數(shù)且m≥4)，根據(jù)所給3組數(shù)據(jù)找出規(guī)律即可得結(jié)論．【詳解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·（2）證明：(2n+1)∴(2∴(2n+1)滿足以上公式的a,b,c是一組勾股數(shù)；（3）∵a2+b2∴滿足以上公式的a,b,c是一組勾股數(shù)；當(dāng)m=4,n=2時(shí)，a=1∴6,8,10構(gòu)成一組勾股數(shù)．(答案不唯一）探究2：（1）依據(jù)規(guī)律可得，如果勾為7，則股24=1弦25=1（2）如果勾用n(n≥3，且n為奇數(shù)）表示時(shí)，則股=1弦=（3）①b＝80．②根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，a=m(m為偶數(shù)且m≥4)，則另一條直角邊b=弦c=【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股數(shù)的定義、勾股定理及其逆定理，數(shù)字類規(guī)律問題，掌握完全平方公式、滿足a2【題型3格點(diǎn)中判斷直角三角形】【例3】（23-24八年級(jí)·廣東惠州·期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上．(1)在所給的4×4的正方形網(wǎng)格中，不限方法畫出一個(gè)以AB為直角邊的直角△ABC；(2)試計(jì)算所畫的△ABC的面積．【答案】(1)畫圖見解析；（畫出三個(gè)中的一個(gè)即可）(2)圖1和圖2中兩直角△ABC面積都是2.5，圖3中直角△ABC面積是5．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)及勾股定理逆定理畫圖即可；（2）根據(jù)（1）中所作的圖形，利用割補(bǔ)法求出三角形面積即可；本題考查了利用網(wǎng)格和勾股定理逆定理畫直角三角形，利用割補(bǔ)法三角形面積，利用網(wǎng)格正確畫出直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所求，△ABC即為所求；（畫出三個(gè)中的一個(gè)即可）（2）解：當(dāng)所畫的直角三角形是圖1時(shí)，S△ABC當(dāng)所畫的直角三角形是圖2時(shí)，S△ABC當(dāng)所畫的直角三角形是圖3時(shí)，S△ABC【變式3-1】（23-24八年級(jí)·湖北恩施·期末）如圖，在5×2的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．求∠BAC的度數(shù)．【答案】∠BAC=90°．【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，根據(jù)勾股定理求得AB【詳解】解：AAB∵A∴△ABC是直角三角形∴∠BAC=90°【變式3-2】（23-24八年級(jí)·廣東珠?！て谥校┤鐖D，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格上，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．

(1)求四邊形ABCD的面積；(2)判斷線段BC和CD的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)17.5(2)BC⊥CD，理由見解析【分析】本題考查了四邊形的面積，三角形的面積，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)四邊形ABCD的面積等于長(zhǎng)方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積和一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積計(jì)算即可；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】（1）解：四邊形ABCD的面積為：7×5?=35?4?3.5?6?1?3=17.5；（2）解：BC⊥CD，理由：如圖，連接BD，

∵BC2=42∴BC∴△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，即BC⊥CD．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·山東淄博·期中）如圖，網(wǎng)格內(nèi)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，A,B,C,D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD=（

）A．30° B．35° C．45° D．60°【答案】C【分析】本題考查構(gòu)造直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形△BEF，根據(jù)勾股定理BF2+E【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BF∥∴∠B=∠APD，∵AB過格點(diǎn)E，連接EF，∵BE=EF=2∴BE∴∠BEF=90°，∴∠B=45°，∴∠APD=45°，故選：D．【題型4利用勾股定理的逆定理進(jìn)行求值】【例4】（23-24八年級(jí)·廣西桂林·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=3，AD=7，CD=5，則∠BAD的度數(shù)為°【答案】135【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及已知條件可得∠BAC=∠BCA=45°，再根據(jù)勾股定理可得AC2=18【詳解】解：∵∠B=90°，AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=12×(180°?90°)=45°∵AD=7∴AD2=7∴AD即∠CAD=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°．故答案為：135【變式4-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·專題練習(xí)）如圖，P是直線l外一點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)在直線l上，且PB⊥l于點(diǎn)B，∠APC=90°，若PA=4，PC=3，AC=5，PB=125，則點(diǎn)A到直線PC的距離是【答案】4【分析】此題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，勾股定理的逆定理，理解點(diǎn)到直線距離的定義，熟練掌握勾股定理的逆定理是解決問題的關(guān)鍵．先利用勾股定理的逆定理證明△APC為直角三角形，得AP⊥PC，然后再根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義可得出答案．【詳解】解：∵PA=4，PC=3，AC=5，∴PA∴△APC為直角三角形，即∠APC=90°，∴AP⊥PC，∴點(diǎn)A到直線PC的距離是是線段AP的長(zhǎng)，即點(diǎn)A到直線PC的距離是是4．故答案為：4．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·假期作業(yè)）已知△ABC,AB=5,BC=12,AC=13，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段BP長(zhǎng)的最小值是．【答案】60【分析】本題考查垂線段最短，根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)BP⊥AC時(shí)，線段BP最短，勾股定理逆定理求出△ABC是直角三角形，等積法求出BP的長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵AB=5,BC=12,AC=13，52∴AB∴△ABC為直角三角形，∵垂線段最短，∴當(dāng)BP⊥AC時(shí)，線段BP最短，∴12∴13BP=12×5，∴BP=60故答案為：6013【變式4-3】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA=3(1)證明△APC≌△AQB(2)求三角形PBQ的面積【答案】(1)證明見解析(2)6【分析】（1）先由等邊三角形的性質(zhì)得到AC=AB，∠BAC=60°，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AP=AQ，∠PAQ=60°，據(jù)此證明∠PAC=∠QAB，再利用（2）先證明△PAQ是等邊三角形，得到PQ=PA=3，再利用勾股定理的逆定理證明∠BPQ=90°，據(jù)此利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AQ，∴∠PAQ?∠BAP=∠BAC?∠BAP，即∠PAC=∠QAB，∴△APC≌△AQBSAS（2）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AQ=3，∴△PAQ是等邊三角形，∴PQ=PA=3，∵PB=4，∴PB∴△BPQ是直角三角形，且∠BPQ=90°，∴S△BPQ【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟知等邊三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【題型5利用勾股定理的逆定理進(jìn)行證明】【例5】（23-24八年級(jí)·山東淄博·期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，BE＝CE，DF＝3CF．證明：∠AEF＝90°．【答案】見解析【分析】利用勾股定理及勾股定理的逆定理解答即可．【詳解】證明：連接AF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，BE=CE，DF=3CF．∴BE=CE=2，CF=1，DF=3，由勾股定理得，AE2=AB2+BE2=42+22=20，EF2=CE2+CF2=22+12=5，AF2=AD2+DF2=42+32=25，又∵AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，即∠AEF=90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握其定理是解決此題關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·湖北孝感·階段練習(xí)）設(shè)一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊c上的高為h，試判斷以c+?，a+b，h為邊長(zhǎng)的三角形的形狀，并證明．【答案】三角形是直角三角形．【分析】先利用勾股定理得到a，b，c，h之間的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理逆定理判定所求的三角形是直角三角形．【詳解】解：根據(jù)題意可知：由勾股定理得a2+b∵(c+?)2(a+b)2∴(a+b)2∴三角形是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的運(yùn)用．要會(huì)熟練利用勾股定理的逆定理來判定直角三角形．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·河北唐山·期中）綜合與實(shí)踐主題：檢測(cè)雕塑(下圖)底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB．素材：一個(gè)雕塑，一把卷尺．步驟1：利用卷尺測(cè)量邊AD，邊BC和底邊AB的長(zhǎng)度，并測(cè)量出點(diǎn)B,D之間的距離；步驟2：通過計(jì)算驗(yàn)證底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB．解決問題：(1)通過測(cè)量得到邊AD的長(zhǎng)是60厘米，邊AB的長(zhǎng)是80厘米，BD的長(zhǎng)是100厘米，邊AD垂直于邊AB嗎？為什么？(2)如果你隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為30cm的刻度尺，你能有辦法檢驗(yàn)邊AD是否垂直于邊AB【答案】(1)AD⊥AB，理由見解析(2)能，理由見解析【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，（1）由勾股定理逆定理求出∠DAB=90°（2）在AB邊上量一小段AE=8cm，在AD邊上量一小段AF=6cm，這時(shí)只要量一下EF是否等于【詳解】（1）解：垂直，理由為：在△ADB中，因?yàn)锳D=60cm，AB=80cm，所以AB∴AB所以∠DAB=90°，所以AD⊥AB．（2）解：在AB邊上量一小段AE=8cm在AD邊上量一小段AF=6cm，A這時(shí)只要量一下EF是否等于10cm【變式5-3】（23-24八年級(jí)·福建廈門·階段練習(xí)）定義：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c滿足ac+a(1)如圖1所示、若等腰三角形ABC是“類勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，請(qǐng)求∠A的度數(shù)．(2)如圖2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．請(qǐng)證明△ABC為“類勾股三角形”．【答案】(1)∠A=45°(2)證明見解析【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、“類勾股三角形”的定義等知識(shí)，理解題意、靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)而數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）由類勾股三角形的定義判斷出此三角形是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；（2）先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB?AD=c?a，DE=BE=12c?a【詳解】（1）解：∵AB=BC，AC>AB，∴a=c，b>c，∵△ABC是類勾股三角形，∴ac+a∴c∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=45°，（2）解：如圖：以在AB上找一點(diǎn)D使得AD=CD，再作CE⊥BD，

∴∠A=∠ACD，∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，∵∠B=2∠A，∴∠CDB=∠B，∴CD=CB=a，∴AD=CD=a，∴DB=AB?AD=c?a，∵CE⊥AB∴DE=BE=1∴AE=AD+DE=a+1在Rt△ACE中，C在Rt△BCE中，C∴b∴b∴△ABC是“類勾股三角形”．【題型6確定直角三角形的個(gè)數(shù)】【例6】（23-24八年級(jí)·河北唐山·期中）同一平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)之間的距離為5cm，點(diǎn)C到直線AB的距離為2cm，且△ABC為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)C有【答案】8【分析】該題存在兩種情況；（1）AB為斜邊，則∠C=90°；（2）AB為直角邊，AC=2cm或BC=2cm；【詳解】（1）當(dāng)AB為斜邊時(shí)，點(diǎn)C到直線AB的距離為2cm，即AB邊上的高為2cm，符合要求的（2）當(dāng)AB為直角邊時(shí)，AC=2cm或BC=2cm，符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，如圖；符合要求的C點(diǎn)有8個(gè)；故答案是8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·浙江臺(tái)州·期中）在如圖所示的5×5的方格圖中，點(diǎn)A和點(diǎn)B均為圖中格點(diǎn)．點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，滿足△ABC為以AB為斜邊的直角三角形．這樣的點(diǎn)C有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)和直角三角形的判定找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)C共有4個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進(jìn)行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·河北唐山·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(?4,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若要使△OAB是直角三角形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)不可能是（

）A．(?4,2) B．(0,4) C．(4,2) D．(?2,2)【答案】C【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理．根據(jù)題意，畫出圖即可，見詳解．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)不可能是(4,2)，A.點(diǎn)(?4,2)時(shí)，∠KAO=90°，此項(xiàng)不符合題意；B.點(diǎn)(0,4)時(shí)，∠MOA=90°，此項(xiàng)不符合題意；C.點(diǎn)(4,2)時(shí)，如圖，△OAB不是直角三角，符合題意；D.點(diǎn)(?2,2)時(shí)，由勾股定理求得AL=22,OL=22,故A故選：D．

【變式6-3】（23-24八年級(jí)·江西九江·期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣23，0）、B（2，0）、C（0，2）．點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】（0，0），（23【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC兩種情況進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P、A、B在x軸上，∴P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）．當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，①∠APC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠ACP＝90°時(shí)，如圖，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，∴(2解得，m＝23∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（23當(dāng)△PBC為直角三角形時(shí)，①∠BPC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠BCP＝90°時(shí)，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）．綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），（23【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想．解題的關(guān)鍵是不重復(fù)不遺漏的進(jìn)行分類．【題型7勾股定理的逆定理的應(yīng)用】【例7】（23-24八年級(jí)·遼寧盤錦·階段練習(xí)）如圖，某小區(qū)的兩個(gè)噴泉A，B的距離AB=250m．現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)供水管道AM，BM，供水點(diǎn)M在小路AC上，到AB的距離MN=120m，到噴泉B的距離(1)求供水點(diǎn)M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長(zhǎng)；(2)求出噴泉B到小路AC的最短距離．【答案】(1)350m(2)150【分析】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，（1）在Rt△MNB中，根據(jù)勾股定理求得BN的長(zhǎng)，進(jìn)而求得AN的長(zhǎng)，在Rt△AMN中，勾股定理求得（2）根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ABM是直角三角形，可得BM⊥AC，即可求解．【詳解】（1）解：在Rt△MNB中，BN=∴AN=AB?BN=250?90=160(m)在Rt△AMN中，AM=∴供水點(diǎn)M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長(zhǎng)：200+150=350(m)（2）解：∵AB=250m，AM=200m，BM=150m∴AB∴△ABM是直角三角形，∴BM⊥AC．∴噴泉B到小路AC的最短距離是BM=150m．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·北京·期末）我國(guó)南宋時(shí)期著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載了這樣一道題目：

“今有沙田一塊，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知為田幾何?”譯文是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為7丈，24丈，25丈，這塊沙田的面積是平方丈【答案】84【分析】本題考查勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)證明圖形是直角三角形，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出示意圖如下：

∵AB=24丈，BC=7丈，AC=25丈，∴AB2+B∴AB∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴S△ABC故答案為：84．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·湖北恩施·期末）某日早晨9:00甲漁船以12海里/時(shí)的速度離開港口O向東北方向航行，10:00乙漁船以10海里/時(shí)的速度離開港口O沿某一方向航行．上午11:00兩漁船相距26海里．則乙漁船航行的方向是．【答案】東南方向或西北方向【分析】本題考查方位角，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．設(shè)甲漁船離開港口O向東北方向航行到A，乙漁船離開港口O航行到B，則OA=12×11?9=24(海里)，OB=10×11?10=10(海里)，AB=26海里，由勾股定理的逆定理，判定出∠AOB=90°