第九章　第二節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩條平行直線間的距離.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理.【命題說明】考向考法兩條直線的位置關(guān)系在高考中一般不單獨(dú)成題,點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)常與圓相結(jié)合出現(xiàn)在選擇題或填空題中.預(yù)測預(yù)計(jì)2025年高考兩直線平行、垂直仍會(huì)出現(xiàn).一般在選擇題、填空題中出現(xiàn),也可能在解答題中交匯出現(xiàn).【必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識梳理·歸納1.兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系項(xiàng)目斜截式一般式方程y=k1x+b1,y=k2x+b2A1x+B1y+C1=0(A12+A2x+B2y+C2=0(A22+相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2,且b1≠b2A1B重合k1=k2,且b1=b2A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0(2)交點(diǎn)坐標(biāo)若直線l1:A1x+B1y+C1=0(A12+l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交,則l1與l22.三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式①條件:點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2).②結(jié)論:|P1P2|=(x③特例:點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離|OP|=x2(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=|A(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0間的距離d=|C微點(diǎn)撥點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí),應(yīng)先化直線方程為一般式.(2)求兩平行線之間的距離時(shí),應(yīng)先將直線方程化為一般式,且x,y的系數(shù)對應(yīng)相等.常用結(jié)論1.直線系方程(1)與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)過直線l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)與l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C22.點(diǎn)關(guān)于特殊的直線的對稱問題的結(jié)論:點(diǎn)的坐標(biāo)對稱直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)P(x0,y0)y=x(y0,x0)y=-x(-y0,-x0)x+y+t=0(-t-y0,-t-x0)x-y+t=0(y0-t,x0+t)基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯(cuò)題號12,34,51.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若兩條直線斜率相等,則兩直線平行.(×)提示:(1)兩直線有可能重合,故(1)錯(cuò)誤.(2)若l1∥l2,則k1=k2.(×)提示:(2)可能出現(xiàn)兩直線斜率不存在情況,故(2)錯(cuò)誤.(3)若兩直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則兩直線相交.(√)提示:(3)若兩直線中有一條直線的斜率不存在,則該直線垂直于x軸,另一條直線的斜率存在,則該直線不與x軸垂直,所以兩直線相交,故(3)正確.(4)若兩直線斜率都不存在,則兩直線平行或重合.(√)提示:(4)兩直線斜率都不存在,可能重合,可能平行,故(4)正確.2.(選擇性必修一人AP57例5變形式)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)為頂點(diǎn)的三角形是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形D.以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形【解析】選D.直線AB的斜率kAB=1-(-1)1-5=-12,直線由kAB·kBC=-1,所以AB⊥BC,故△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形.3.(選擇性必修一人AP57練習(xí)T2變條件)若直線3x-2y-1=0與3x-ay+6=0平行,則a=()A.-2 B.-1 C.12 【解析】選D.由題意32=3a,則a=2.4.(忽視直線斜率不存在的情形致誤)(多選題)若A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,3),D(1,0),且直線AB與CD平行,則m的值為()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選BD.當(dāng)AB與CD的斜率均不存在時(shí),m=2m,m+1=1,故得m=0,此時(shí)AB∥CD;當(dāng)kAB=kCD,即m≠0時(shí),m+1m=3m,解得m=2,此時(shí)5.(誤用兩平行線間的距離公式致誤)直線l1:3x+4y-7=0與直線l2:6x+8y+1=0之間的距離為()A.8 B.4 C.85 D.【解析】選D.因?yàn)閘1∥l2,所以直線l1與直線l2之間的距離d=|-14-1【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一兩條直線的平行與垂直[例1](一題多法)已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)試判斷a為何值時(shí),l1與l2平行;【解析】(1)方法一:當(dāng)a=1時(shí),l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當(dāng)a=0時(shí),l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當(dāng)a≠1且a≠0時(shí),兩直線方程可化為l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),l1∥l2?-a2=11-a方法二:顯然a≠0,l1∥l2,則1a=a-12≠a可得a=-1,故當(dāng)a=-1時(shí),l1∥l2.(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí),求a的值.【解析】(2)方法一:當(dāng)a=1時(shí),l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直,故a=1不成立;當(dāng)a=0時(shí),l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;當(dāng)a≠1且a≠0時(shí),l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),由(-a2)·1方法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=23解題技法1.已知兩直線的斜率存在,判斷兩直線平行或垂直的方法(1)兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等;(2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于-1.提醒:當(dāng)直線斜率不確定時(shí),要注意斜率不存在的情況.2.由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12+l2:A2x+B2y+C2=0(A22+l1與l2平行的充要條件Al1與l2垂直的充要條件A1A2+B1B2=0l1與l2相交的充要條件A1A2≠B1B2l1與l2重合的充要條件A1A2=提醒:在判斷兩直線的位置關(guān)系時(shí),比例式A1A2與B1對點(diǎn)訓(xùn)練1.(2024·合肥模擬)直線l1:x+ay-1=0與直線l2:ax+y+1=0平行,則a=()A.0 B.1 C.-1 D.1或-1【解析】選B.因?yàn)橹本€l1:x+ay-1=0與直線l2:ax+y+1=0平行,所以1×1=a×a,所以a=1或a=-1.當(dāng)a=-1時(shí),直線l1:x-y-1=0與直線l2:-x+y+1=0重合,舍去,故a=1.2.(2024·貴陽模擬)已知直線l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,則m的值為()A.12 B.13 C.2 【解析】選A.因?yàn)橹本€l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,則2m-1=0,解得m=12【加練備選】若a,b為正實(shí)數(shù),直線2x+(2a-4)y+1=0與直線2bx+y-2=0互相垂直,則ab的最大值為________.

【解析】由兩直線垂直得4b+2a-4=0,即2=a+2b≥22ab,ab≤1當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=12時(shí),等號成立,故ab的最大值為1答案:1考點(diǎn)二距離問題[例2](1)已知直線3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是()A.4 B.1020 C.104 【解析】選D.由直線平行可得3m-6=0,解得m=2,因此直線方程為6x+2y+1=0,即3x+y+12=0,則所求距離是|12(2)過點(diǎn)A(-1,2),到原點(diǎn)的距離等于1的直線方程為____________________.

【解析】當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線的斜率為k,則直線的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由題意可得|k+2|1+k2=1,解得k=-34,因此所求直線的方程為3x+4綜上,所求直線的方程為3x+4y-5=0或x=-1.答案:3x+4y-5=0或x=-1一題多變[變式1]將例(1)變?yōu)?求到兩平行直線3x+y-3=0和6x+my-1=0距離相等的直線的方程.【解析】由題意得63=m1≠-1-3,解得m=2,將直線3x+y則所求直線方程可以設(shè)為6x+2y+t=0(t≠-1,且t≠-6),由|t+1|62+22=|t+6|6[變式2]將例(1)變?yōu)?已知兩直線3x+y-3=0和6x+2y-1=0,點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)分別在兩條直線上運(yùn)動(dòng),求(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值.【解析】(x1-x2)2+(y1-y2)2的幾何意義是點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間距離的平方,由題意知,兩直線3x+y-3=0,即6x+2y-6=0和6x+2y-1=0平行,因此該距離的最小值即兩條平行直線間的距離,|-1+6|62+可知(x1-x2解題技法距離問題的求解策略(1)點(diǎn)到直線的距離可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式求解,注意直線方程應(yīng)為一般式.(2)兩平行線間的距離的求法①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.②利用兩平行線間的距離公式求解,利用公式前需把兩平行線方程化為一般式,且x,y的系數(shù)對應(yīng)相等,即一定要化成l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的形式.對點(diǎn)訓(xùn)練1.已知點(diǎn)A(3,3a+3)與點(diǎn)B(a,3)之間的距離為5,則實(shí)數(shù)a的值為()A.-1 B.85 C.-1或85 【解析】選C.因?yàn)辄c(diǎn)A(3,3a+3)與點(diǎn)B(a,3)之間的距離為5,可得AB=(a-3整理得10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0,解得a=-1或a=852.(2024·北京模擬)設(shè)d為動(dòng)點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-y-2=0的距離,則d的最大值為()A.2-1 B.322 C.1+2 【解析】選C.點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-y-2=0的距離d=|cosθ-因?yàn)?1≤cos(θ+π4)≤1,則-2-2≤2cos(θ+π4)-2≤所以當(dāng)cos(θ+π4)=-1時(shí),dmax=-2-3.(2024·青島模擬)若動(dòng)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為()A.32 B.2 C.2 D.4【解析】選A.由題意知,點(diǎn)M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上,設(shè)該直線方程為x+y+c=0,則c+72=c+52,即c=-6,所以點(diǎn)M在直線所以點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值就是原點(diǎn)到直線x+y-6=0的距離,即-62=3【加練備選】(2024·遂寧模擬)拋物線y=x2上的點(diǎn)P到直線x-y-2=0距離的最小值為()A.328 B.528 C.7【解析】選C.設(shè)拋物線y=x2上一點(diǎn)為P(x0,x02),點(diǎn)P(x0,x02)到直線x-y-2=0的距離d=|x0-x02-2|2=12(x0考點(diǎn)三對稱問題考情提示對稱問題常常涉及中點(diǎn)坐標(biāo)、兩條直線的垂直關(guān)系及直線方程的求解等問題,其中掌握中心對稱及軸對稱滿足的幾何條件是解決此類問題的關(guān)鍵.角度1中心對稱問題[例3]直線x-2y-3=0關(guān)于定點(diǎn)M(-2,1)對稱的直線方程是__________.

【解析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x,y),則關(guān)于M(-2,1)的對稱點(diǎn)(-4-x,2-y)在已知直線上,所以所求直線方程為(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0.答案:x-2y+11=0解題技法中心對稱問題的解法(1)若點(diǎn)P(x,y)關(guān)于Q(a,b)的對稱點(diǎn)為P'(x',y'),則x(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決.角度2軸對稱問題[例4](1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,4),直線l的方程為3x+y-2=0,則點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為______________.

(2)直線2x-y+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對稱的直線方程是__________________.

【解析】(1)設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(x,y).由題意可知y-4x+4=1(2)設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x,y),點(diǎn)P關(guān)于x-y+2=0的對稱點(diǎn)為P'(x0,y0),由x+x因?yàn)辄c(diǎn)P'(x0,y0)在直線2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.答案:(1)(2,6)(2)x-2y+3=0解題技法軸對稱問題的解法(1)若點(diǎn)A(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0(AB≠0)的對稱點(diǎn)為A'(m,n),則有n(2)直線關(guān)于直線的對稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決.對點(diǎn)訓(xùn)練1.直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)(-1,2)對稱的直線方程是()A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0【解析】選D.設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則其關(guān)于點(diǎn)(-1,2)