2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)歸納與方法總結(jié) 第10講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（精講）（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第10講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（精講）①指數(shù)冪的化簡與求值②指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)③解指數(shù)不等式④指數(shù)型復(fù)合函數(shù)⑤指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用一、必備知識整合一、必備知識整合一、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．(2)根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．二、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)常用技巧(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情形討論．(2)當(dāng)時(shí)，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．當(dāng)時(shí)，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．(3)指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱．二、考點(diǎn)分類精講二、考點(diǎn)分類精講【題型一指數(shù)冪的化簡與求值】指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運(yùn)算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答．【典例1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）化簡：(1)；(2)【答案】(1)－(2)【詳解】(1)原式＝()－＋()－－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.(2)原式＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝.一、解答題1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）化簡：(1)；(2)．【答案】(1)5(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）原式；（2）原式．2．（2023·山東·模擬預(yù)測）計(jì)算：(1)；(2)【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用根式與指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）由根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，計(jì)算化簡即可得出答案.【詳解】（1）原式（2）由根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化運(yùn)算可得，3．（23-24高三上·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）求值或化簡(1)計(jì)算：；(2)化簡（用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示）：【答案】(1)99.9(2)【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算出答案；（2）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）（2）.【題型二指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)】1.有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除．(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．2.比較指數(shù)冪大小的常用方法單調(diào)性法不同底的指數(shù)函數(shù)化同底后就可以應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所以能夠化同底的盡可能化同底取中間值法不同底、不同指數(shù)的指數(shù)函數(shù)比較大小時(shí)，先與中間值(特別是0,1)比較大小，然后得出大小關(guān)系圖象法根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象，借助圖象比較大小【典例1】（單選題）（23-24高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)的圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由排除D；由排除C；由排除B，即得答案.【詳解】解：因?yàn)?，，，故排除D；又因?yàn)椋?，故排除C；又因?yàn)?，，所以，即，符合題意的只有A，故排除B.故選：A.【典例2】（單選題）（2024·上海寶山·二模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，及函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】，則，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：A.【典例3】（單選題）（23-24高三上·山東濰坊·期中）函數(shù)的最大值為（

）A．4 B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域即可求解.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為.故選：.一、單選題1．（23-24高三下·浙江麗水·開學(xué)考試）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得，即可得到的值域.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，即的值域是.故選：A．2．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值及函數(shù)值的取值情況判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A、D；又，當(dāng)時(shí)，所以，，又，所以，所以，故排除B.故選：C3．（2024·云南·二模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中間數(shù)比較與，根據(jù)中間數(shù)比較與.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，所以，所?故選：D.4．（23-24高一下·四川成都·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，其中，，則的最小值為（

）A． B．9 C． D．8【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到，再由乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】對于函數(shù)，令，即時(shí)，所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，又定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，所以，即，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，的最小值為．故選：B．二、填空題5．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)得出指數(shù)型函數(shù)恒過定點(diǎn).【詳解】令，得，則.所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn).故答案為：.6．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“，”是假命題，則的取值范圍為.【答案】【分析】由題意可知此命題的否定為真命題，從而可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)椤埃笔羌倜}，所以“，”是真命題，即在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，則.故答案為：.三、解答題7．（2024·上海黃浦·二模）設(shè)，函數(shù).(1)求的值，使得為奇函數(shù)；(2)若，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，代入解方程即可得出答案；（2）由，可得，則，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得出答案.【詳解】（1）由為奇函數(shù)，可知，即，解得，當(dāng)時(shí)，對一切非零實(shí)數(shù)恒成立，故時(shí)，為奇函數(shù).（2）由，可得，解得，所以解得：，所以滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是.8．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值；(2)若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最大值為170，最小值為(2)【分析】（1）換元后得到，，求出最值；（2）轉(zhuǎn)化為，只需，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到，求出答案.【詳解】（1）令，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，又，，故的最大值為170，最小值為；（2），即，令，故在上有解，，只需，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型三解指數(shù)不等式】(1)解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)①af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)．②af(x)＞ag(x)，當(dāng)a＞1時(shí)，等價(jià)于f(x)＞g(x)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，等價(jià)于f(x)＜g(x)．(2)解指數(shù)方程或不等式的方法先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．【典例1】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）解不等式.【答案】【分析】將不等式變?yōu)楹?，利用指?shù)函數(shù)單調(diào)性直接求解即可.【詳解】由得：，，解得：，不等式的解集為.一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解集合得：，再利用求根式函數(shù)定義域解集合得：，最后利用并集求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：A.2．（2023·陜西咸陽·二模）全集為，集合，，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】解不等式得到，，結(jié)合補(bǔ)集和交集的概念求出答案.【詳解】由，故，，又，故或，或.故選：C二、填空題3．（23-24高三下·上海浦東新·期中）已知集合，集合，則.【答案】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】，而，所以.故答案為：.三、解答題4．（2023高一上·全國·專題練習(xí)）（1）解不等式；（2）已知，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.（2）根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，分和兩種情況討論，通過函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)?，∴原不等式可以轉(zhuǎn)化為，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，所以，故原不等式的解集是．（2）分情況討論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，所以有，即，解得或；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，解得；綜上所述，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，.5．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的值域；(2)解不等式．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）利用因式分解，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則，令，則，又，，開口向上，對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）因?yàn)?，所以由得，得或，得或，所以不等式的解集為?6．（23-24高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù)．(1)試問是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．(2)求的解集．【答案】(1)為定值1(2)【分析】（1）求出，即可得解；（2）由（1）知，則不等式化為，即可得到，再根據(jù)函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即為定?．（2）由（1）知，所以可化為，即，所以．又，所以，由，化簡得，解得，所以不等式的解集為．【題型四指數(shù)型復(fù)合函數(shù)】求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．求參數(shù)值(范圍)的方法是：首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解．【典例1】（單選題）（23-24高一上·湖南岳陽·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】令在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故選:C.一、單選題1．（22-23高三·全國·對口高考）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出每個(gè)函數(shù)的值域，即可得出答案．【詳解】對于A：定義域?yàn)?，值域，故A錯(cuò)誤，對于B：定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，故B正確；對于C：定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤，故選：B．2．（23-24高一上·天津和平·期末）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合得便函數(shù)單調(diào)性求出的單調(diào)遞增區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系求解即得.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，依題意，，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A二、填空題3．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?，單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】（開閉均可）【分析】先求出函數(shù)的定義域，進(jìn)而求出的范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的值域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以，所以，即函數(shù)的值域?yàn)椋涣?，令，其在上是增函?shù)，在上是減函數(shù)，而函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：；（開閉均可）.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥糠謩e計(jì)算出分段函數(shù)每段函數(shù)取值范圍后取并集即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?三、解答題5．（23-24高一上·遼寧大連·期末）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．根據(jù)這一結(jié)論，解決下列問題．已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）若，要證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則只需證明函數(shù)是奇函數(shù)即可，結(jié)合奇函數(shù)的定義即可得證.（2）由題意得，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可得，由此即可得解.【詳解】（1）由題意，令，顯然函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.（2）由題意，而由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型五指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用】指數(shù)函數(shù)通過平移、伸縮及翻折等變換，或與其他函數(shù)進(jìn)行結(jié)合形成復(fù)合函數(shù)時(shí)，我們對這類問題的解決方式是進(jìn)行還原分離，化繁為簡，借助函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性及周期性解決問題．【典例1】（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明.(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)在上的單調(diào)遞減，證明見解析(3)【分析】（1）由可求得的值；（2）任取，且，然后計(jì)算變形，再判斷符號，可得結(jié)論；（3）由的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為，再令，可得，求出的范圍，從而可求得的范圍.【詳解】（1）由，得，則.（2）在上的單調(diào)遞減．證明如下：任取，且，則，∵，且，，∴，即，在上單調(diào)遞減.（3）由（2）可得，在上單調(diào)遞減，而，則由可得，令，可得.解得：或.所以或.不等式的解集為一、填空題1．（23-24高一下·江西撫州·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值可以是.（寫出滿足條件的一個(gè)值即可）【答案】8（答案不唯一）【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則知在上單調(diào)遞增，利用絕對值函數(shù)單調(diào)性列不等式即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則知，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故實(shí)數(shù)的值可以是8.故答案為：8（答案不唯一）2．（23-24高一上·廣東茂名·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，對任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)都有，則不等式的解集為.【答案】【分析】先根據(jù)條件確定函數(shù)單調(diào)性，然后畫出函數(shù)的草圖，利用圖象解不等式.【詳解】不妨設(shè)，則等價(jià)于，所以在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，，作出的圖象如下：

結(jié)合的圖象得不等式或或，故答案為：.二、解答題3．（23-24高三上·河北衡水·開學(xué)考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求的值