江蘇省鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

江蘇省鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年九上數(shù)學(xué)第一次月考試卷一．選擇題（共9小題）1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C為圓心，r為半徑的圓與邊AB有兩個(gè)交點(diǎn)，則r的取值范圍是（）A．r＝ B．r＞ C．3＜r＜4 D．2．關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一個(gè)根是0，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或13．一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是方程2x2﹣13x+15＝0的兩根，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．8 B．11.5 C．10 D．8或11.54．已知a是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，則﹣的值為（）A． B． C．﹣1 D．15．關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．無(wú)法求解6．已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，設(shè)此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為t，令y＝4t2﹣4t﹣5m+4，則（）A．y＞﹣2 B．y≥﹣2 C．y≤﹣2 D．y＜﹣27．已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝5的一個(gè)根是2，且二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝2，則這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（2，﹣3） B．（2，1） C．（2，5） D．（5，2）8．如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax+2（a≠0）與y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．9．若拋物線y＝x2+ax+b與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，稱此拋物線為定弦拋物線，已知某定弦拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，將此拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線過(guò)點(diǎn)（）A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣3，﹣1）二．填空題（共11小題）10．已知關(guān)于x的方程（m+2）x2+4mx+1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是．11．方程x2﹣2021x＝0中較小的根是．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，1）和（，0），則△OAB外接圓的圓心坐標(biāo)是．13．若一個(gè)三角形兩條邊長(zhǎng)為和2和4，第三邊長(zhǎng)滿足方程x2﹣7x+10＝0，則此三角形的周長(zhǎng)為．14．關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．15．如圖，在等腰直角△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)度為8，以AC為直徑作圓，點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，取BP的中點(diǎn)M，則CM的最小值為．16．若一元二次方程x2﹣x+k＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．17．已知a﹣b＝8，ab+16≤0，則a+2b的值為．18．如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝4，以O(shè)為圓心，OB為半徑畫(huà)弧，分別交OA、AB于點(diǎn)C、D，則陰影部分面積為（結(jié)果保留π）．19．已知拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①拋物線過(guò)原點(diǎn)；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大，你認(rèn)為其中正確的是.（填序號(hào)）20．當(dāng)x≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為．三．解答題（共7小題）21．如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，連接BD，CD．（1）求證：BD＝CD；（2）請(qǐng)判斷B，E，C三點(diǎn)是否在以D為圓心，以DB為半徑的圓上？并說(shuō)明理由．22．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根為1，且a、b滿足b＝++3，求c的值．23．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0．（1）求證：該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1x2+x1+x2＝3，求m的值．24．矩形ABCD中，AB＝17，BC＝，點(diǎn)P在AB邊上，且滿足AP＝3PC，求PB之長(zhǎng)．25．已知CD為△ABC的中線，∠A及∠BDC的度數(shù)分別是方程x2﹣75x+1350＝0的兩根．（1）求∠A及∠BDC的度數(shù)；（2）求∠B的度數(shù)．26．在學(xué)了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的應(yīng)用后，王老師提出問(wèn)題：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值．要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．同學(xué)們經(jīng)過(guò)探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法；解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1．請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題：（1）直接寫(xiě)出（x﹣1）2+3的最小值為．（2）求代數(shù)式x2+10x+32的最小值．（3）你認(rèn)為代數(shù)式﹣+2x+5有最大值還是有最小值？求出該最大值或最小值．（4）若7x﹣x2+y﹣11＝0，求x+y的最小值．27．如圖一，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF和⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥EF，垂足為D．（1）求證：∠CAD＝∠BAC；（2）如圖二，若把直線EF向上移動(dòng)，使得EF與⊙O相交于G，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)G的右側(cè)），連接AC，AG，若題中其他條件不變，這時(shí)圖中是否存在與∠CAD相等的角？若存在，找出一個(gè)這樣的角，并證明；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案與試題解析一．選擇題（共9小題）1．【解答】解：如圖，∵BC＞AC，∴以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜邊AB有兩個(gè)交點(diǎn)，則圓的半徑應(yīng)大于CD，小于或等于AC，由勾股定理知，AB＝＝5．∵S△ABC＝AC?BC＝CD?AB＝×3×4＝×5?CD，∴CD＝，即R的取值范圍是＜r≤3．故選：D．2．【解答】解：把x＝0代入方程得：|a|﹣1＝0，∴a＝±1，∵a﹣1≠0，∴a＝﹣1．故選：A．3．【解答】解：解方程2x2﹣13x+15＝0得：x＝5或1.5，①當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，5，1.5時(shí)，能組成三角形，三角形的周長(zhǎng)是5+5+1.5＝11.5，②當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?.5，1.5，5時(shí)，，1.5+1.5＜5，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，不能組成三角形，舍去，∴該等腰三角形的周長(zhǎng)是11.5．故選：B．4．【解答】解：∵知a是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，∴a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，即a（a+1）＝1，∴﹣＝＝＝1．故選：D．5．【解答】解：∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），在方程a（x+m+2）2+b＝0中，x+2＝﹣2或x+2＝1，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，故選：C．6．【解答】解：∵方程有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×m≥0，解得m≤1，∵方程x2﹣x+m＝0的根為t，∴t2﹣t+m＝0，∴4t2﹣4t+m＝0，即4t2﹣4t＝﹣m，∴y＝4t2﹣4t﹣5m+4＝﹣m﹣5m+4＝﹣6m+4，∵m≤1，∴y≥﹣2．故選：B．7．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝2，方程ax2+bx+c＝5的一個(gè)根是2，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＝ax2+bx+c＝5，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，5）．故選：C．8．【解答】解：∵y＝ax+2，∴b＝2，∴一次函數(shù)圖象與y軸的正半軸相交，①當(dāng)a＞0時(shí)，則二次函數(shù)y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的圖象開(kāi)口向下，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣＜0，②當(dāng)a＜0時(shí)，則二次函數(shù)y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的圖象開(kāi)口向上，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣＞0，故D正確；故選：D．9．【解答】解：∵某定弦拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴該定弦拋物線過(guò)點(diǎn)（0，0）、（2，0），∴該拋物線解析式為y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1．將此拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到新拋物線的解析式為y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4．當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝（x+1）2﹣4＝0，∴得到的新拋物線過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）．故選：B．二．填空題（共11小題）10．【解答】解：由題意得：m+2≠0，解得：m≠﹣2，故答案為：m≠﹣2．11．【解答】解：∵x2﹣2021x＝0，∴x（x﹣2021）＝0，則x＝0或x﹣2021＝0，解得x1＝0，x2＝2021，∴方程x2﹣2021x＝0中較小的根是0，故答案為：0．12．【解答】解：∵△AOB是直角三角形，∴△OAB外接圓的圓心是斜邊AB的中點(diǎn)，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，1）和（，0），∴△OAB外接圓的圓心坐標(biāo)是（，），故答案為：（，）．13．【解答】解：∵x2﹣7x+10＝0，∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，則x﹣2＝0或x﹣5＝0，解得：x＝2或x＝5，當(dāng)x＝2時(shí)，三邊2+2＝4，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)x＝5時(shí)，此三角形的周長(zhǎng)為2+4+5＝11，故答案為：1114．【解答】解：由已知得：，即，解得：k＞﹣1且k≠0．故答案為：k＞﹣1且k≠0．15．【解答】解：如圖，連接PA、PC，取AB、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF、EM、FM，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，OC，CM．∵AC是直徑，∴∠APC＝90°，∵BE＝EA，BM＝MP，∴EM∥PA，同理FM∥PC，∴∠BME＝∠BPA，∠BMF＝∠BPC，∴∠BME+∠BMF＝∠BPA+∠BPC＝90°，∴∠EMF＝90°，∴點(diǎn)M的軌跡是（EF為直徑的半圓，圖中紅線部分），∵BC＝AC，∠ACB＝90°，AB＝8，∴AC＝BC＝4，∵AE＝EB，BF＝CF＝2，∴EF＝AC＝2，EF∥AC，∴∠EFB＝∠EFC＝∠ACB＝90°，OE＝OF＝OM＝，∴OC＝＝＝，∵CM≥OC﹣OM，∴CM≥﹣．則CM的最小值為．故答案為：﹣．16．【解答】解：由一元二次方程x2﹣x+k＝0可知，a＝1，b＝﹣1，c＝k，∵方程有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即（﹣1）2﹣4k≥0，解得k≤．故答案為：k≤．17．【解答】解：∵a﹣b＝8，∴a＝8+b，∵ab+16≤0，∴（8+b）b+16＝b2+8b+16＝（b+4）2≤0，∴（b+4）2＝0，∴b＝﹣4，a＝4，∴a+2b＝4+2×（﹣4）＝﹣4，故答案為：﹣4．18．【解答】解：在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，AB＝2OB＝8，∴OA＝＝＝4，∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠DOA＝∠AOB﹣∠BOD＝30°，∴∠DOA＝∠A，∴DO＝DA，過(guò)D作DC⊥OA于C，∴OC＝AC＝OA＝2，在Rt△ODC中，∵∠DOA＝30°，∴CD＝OD＝OB＝×4＝2，∴S陰影＝S△AOD﹣S扇形＝×4×2﹣＝4﹣，故答案為：4﹣．19．【解答】解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），結(jié)論①正確；②∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝2，且拋物線過(guò)原點(diǎn)，∴﹣＝2，c＝0，∴b＝﹣4a，c＝0，∴4a+b＝0，結(jié)論②正確；③∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y值為正，∴a﹣b+c＞0，結(jié)論③錯(cuò)誤；④由圖象得二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)有兩個(gè)知，b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，結(jié)論④正確；⑤觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x增大而減小，結(jié)論⑤錯(cuò)誤．綜上所述，正確的結(jié)論有：①②④．故答案為：①②④．20．【解答】解：二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線x＝m，①m≤1時(shí)，x＝m取得最大值，m2+1＝4，解得m＝±，∵m＝都不滿足﹣1≤m≤1的范圍，∴m＝﹣；②m＞1時(shí)，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2．綜上所述，m＝﹣或2時(shí)，二次函數(shù)有最大值4．故答案為：2或．三．解答題（共7小題）21．【解答】（1）證明：∵AD為直徑，AD⊥BC，∴由垂徑定理得：∴根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得：BD＝CD．（2）解：B，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．理由：由（1）知：，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠4＝∠5，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE．由（1）知：BD＝CD∴DB＝DE＝DC．∴B，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．（7分）22．【解答】解：∵a﹣2≥0，a﹣2≤0，∴a＝2，∴b＝3，∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根是1，∴a+b+c＝0，∴2+3+c＝0，∴c＝﹣5．23．【解答】（1）證明：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×（﹣m2）＝16+4m2．∵m2≥0，∴16+4m2＞0，即Δ＞0，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：∵方程x2﹣4x﹣m2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣m2．又∵x1x2+x1+x2＝3，∴﹣m2+4＝3，即m2＝1，解得m＝±1．故m的值為±1．24．【解答】解：設(shè)PB為x，則AP＝17﹣x，∵AP＝3PC，∴PC＝，在Rt△PBC中，PC2＝PB2+BC2，∴x2+21＝（）2，∴4x2﹣17x﹣50＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣（不符合題意舍去），答：PB之長(zhǎng)為2．25．【解答】解：（1）x2﹣75x+1350＝0，（x﹣30）（x﹣45）＝0，x﹣30＝0或x﹣45＝0，x1＝30，x2＝45，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠BDC＞∠A，∴∠BDC＝45°，∠A＝30°∴∠A的度數(shù)為30°，∠BDC的度數(shù)為45°；（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，連接HD，∴∠AHB＝∠CHB＝90°，∵∠A＝30°，∴∠ABH＝90°﹣∠A＝60°，∵DH是斜邊AB上的中線，∴DH＝BD＝AB，∴△BHD是等邊三角形，∴HD＝HB，∠HDB＝∠ABH＝60°，∵∠BDC＝45°，∴∠HDC＝∠HDB﹣∠BDC＝15°，∵∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠ACD＝∠HDC＝15°，∴HD＝HC，∴HB＝HC，∴∠H