第03講交集并集（四大題型歸納易錯分層練）

第03講交集、并集【蘇教版2019必修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01交集 3題型02并集 5題型03交并補(bǔ)的綜合運算 7題型04區(qū)間及其表示 9易錯歸納 11分層練習(xí) 12夯實基礎(chǔ) 12能力提升 17創(chuàng)新拓展 22一、交集1．交集的概念自然語言由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)符號語言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}圖形語言2.交集的性質(zhì)(1)A∩B＝B∩A.(2)A∩B?A，A∩B?B.注意點：(1)A∩B仍是一個集合．(2)文字語言中“所有”的含義：A∩B中任一元素都是A與B的公共元素，A與B的公共元素都屬于A∩B.(3)如果兩個集合沒有公共元素，不能說兩個集合沒有交集，而是A∩B＝?.二、并集1．并集的概念自然語言由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)符號語言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}圖形語言2.并集的性質(zhì)(1)A∪B＝B∪A.(2)A?A∪B，B?A∪B.注意點：(1)A∪B仍是一個集合．(2)并集符號語言中的“或”包含三種情況：①x∈A且x?B；②x∈A且x∈B；③x?A且x∈B.(3)對概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互異性．三、區(qū)間及其表示1．區(qū)間概念(a，b為實數(shù)，且a<b)定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}左閉右開區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}左開右閉區(qū)間(a，b]2.其他區(qū)間的表示定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}區(qū)間(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)注意點：(1)區(qū)間只能表示連續(xù)的數(shù)集，不能表示有限集，開閉不能混淆．(2)區(qū)間是實數(shù)集的一種表示形式，集合的運算仍然成立．(3)用數(shù)軸表示區(qū)間時，要特別注意實心點與空心點的區(qū)別．(4)∞是一個符號，而不是一個數(shù)．題型01交集【解題策略】交集運算的注意點若A，B是無限連續(xù)的數(shù)集，多利用數(shù)軸來求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值用實心點表示，不含有端點的值用空心點表示．【典例分析】【例1】．（2324高一下·廣東梅州·期中）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解出一元二次方程，再利用交集含義即可.【詳解】，則，故選：C.【變式演練】【變式1】（2324高一下·江西撫州·期中）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：D.【變式2】若A＝{x|1≤x≤10，x∈N}，B＝{x|x2＋x－6＝0，x∈Z}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}【答案】A【詳解】易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3，2}，圖中陰影部分表示的集合為A∩B＝{2}．【變式3】（2324高一上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）設(shè)，，若，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)交集的結(jié)果直接得到.【詳解】因為，且，所以，即的取值范圍是.故答案為：題型02并集【解題策略】(1)并集的運算技巧①若集合是有限集，則直接根據(jù)并集的定義求解，但要注意集合中元素的互異性．②若集合是無限集，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意是否去掉端點值．(2)利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的技巧在進(jìn)行集合運算時，若條件中出現(xiàn)A∩B＝A或A∪B＝B，應(yīng)轉(zhuǎn)化為A?B，然后用集合間的關(guān)系解決問題，并注意A＝?的情況．【典例分析】【例2】（2324高一下·湖南郴州·階段練習(xí)）1963年3月5日，毛澤東主席為沈陽部隊某部因公犧牲的英雄戰(zhàn)士雷鋒的題詞“向雷鋒同志學(xué)習(xí)”在《人民日報》發(fā)表．為發(fā)揚(yáng)雷鋒精神，國家將每年的3月5日規(guī)定為“學(xué)雷鋒紀(jì)念日．某學(xué)校學(xué)生會自發(fā)地組織了若干個團(tuán)隊分別去社會開展“學(xué)雷鋒，做好事”志愿者活動．記到社區(qū)參加志愿者活動的同學(xué)的集合為，到敬老院參加志愿者活動的同學(xué)的集合為，則集合的含義是（

）A．同時到社區(qū)和敬老院參加志愿者活動的全體同學(xué)B．只到社區(qū)而沒有去敬老院參加志愿者活動的同學(xué)C．只到敬老院而沒有去社區(qū)參加志愿者活動的同學(xué)D．到社區(qū)或到敬老院參加志愿者活動的同學(xué)【答案】D【分析】根據(jù)并集的概念直接得到答案.【詳解】集合包含“到社區(qū)參加志愿者活動的同學(xué)或到敬老院參加志愿者活動的同學(xué)”，故選：D【變式演練】【變式1】（2022高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的并運算即可求解.【詳解】，故選：B【變式2】（2324高一上·北京順義·期中）已知集合，，且，則a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)并集的運算性質(zhì)，即可求解.【詳解】因為，所以.故答案為：【變式3】（2324高一上·上海虹口·期中）若集合，，若滿足的所有m的值組成的集合記為Q，則Q的真子集個數(shù)為．【答案】7【分析】根據(jù)子集關(guān)系可分類求解，進(jìn)而得到，根據(jù)子集的個數(shù)公式即可求解.【詳解】由可得，由于，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，則，解得，當(dāng)時，則，解得，所以,故Q的真子集個數(shù)為，故答案為：7題型03交并補(bǔ)的綜合運算【解題策略】交、并、補(bǔ)集的運算性質(zhì)A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?UU＝?；?U?＝U；A?B??UB??UA；B?A??UA??UB；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．【典例分析】【例3】（2324高一上·陜西寶雞·期中）已知則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知集合的交集及補(bǔ)集定義運算即得．【詳解】因則,故.故選：D．【變式演練】【變式1】（多選）（2324高一上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）若全集，，，則集合等于（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)交并補(bǔ)的混合運算逐個選項判斷即可.【詳解】對A，，，故，故A錯誤；對B，，故，故B正確；對C，，故，故C正確；對D，，故，故D正確.故選BCD【變式2】（2223高一下·湖南張家界·開學(xué)考試）已知全集，集合，，則【答案】【分析】根據(jù)集合的交集和補(bǔ)集運算求解.【詳解】由題意可知：，所以.故答案為：.【變式3】（2324高一下·四川成都·開學(xué)考試）已知集合，或．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計算可得；（2）分和兩種情況討論，分別得到不等式（組），求出參數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，又或，所以，所以.（2）因為，又且，當(dāng)，即時，符合題意；當(dāng)時，則，解得，綜上可得，即實數(shù)的取值范圍是.題型04區(qū)間及其表示【解題策略】用區(qū)間表示數(shù)集的方法(1)區(qū)間左端點值小于右端點值．(2)區(qū)間兩端點之間用“，”隔開．(3)含端點值的一端用中括號，不含端點值的一端用小括號．(4)以“－∞”“＋∞”為區(qū)間的一端時，這端必須用小括號．【典例分析】【例4】把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1，或2≤x≤4}．【詳解】(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2){x|x<0}＝(－∞，0)．(3){x|－1<x<1}＝(－1,1)．(4){x|0<x<1，或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]．【變式演練】【變式1】．（2324高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，集合，則如圖陰影部分表示的集合為（用區(qū)間表示）

【答案】【分析】根據(jù)圖形知所求集合，再由交集、補(bǔ)集運算求解.【詳解】由圖形可知，陰影部分表示的集合為，因為集合，集合，所以，故答案為：【變式2】（2324高一上·河北石家莊·期中）用區(qū)間表示為；用區(qū)間表示為．【答案】【分析】根據(jù)區(qū)間的定義直接得到答案.【詳解】，.故答案為；.【變式3】（2023高一·全國·專題練習(xí)）用區(qū)間表示下列集合：(1)；(2)不等式的所有解組成的集合.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)區(qū)間的定義即可求解；（2）求解一元一次不等式，即可由區(qū)間定義求解.【詳解】（1），故集合可用區(qū)間表示；（2）由可得，所以不等式的解集為，即用區(qū)間表示為.易錯點含參數(shù)的集合運算中忽視對空集的討論而致錯1．(多選)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，則使A∪B＝A的實數(shù)m的取值范圍可以是()A．{m|－3≤m≤4}B．{m|－3<m<4}C．{m|2<m<4}D．{m|m≤4}【解析】∵A∪B＝A，∴B?A.①若B不為空集，則m＋1＜2m－1，解得m＞2.∵A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，∴m＋1≥－2，且2m－1≤7,解得－3≤m≤4.此時2＜m≤4.②若B為空集，則m＋1≥2m－1，解得m≤2，符合題意．綜上，實數(shù)m滿足m≤4即可，故選ABCD.2.(多選)[湖北孝感部分學(xué)校2022高一期中聯(lián)考]已知集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若A∩B＝B，則實數(shù)a的取值可能是()A．2B．－1C．1D．0【解析】∵集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|ax－1＝0}，A∩B＝B，∴B?A.當(dāng)a＝0時，B＝?，成立；當(dāng)a≠0時，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，故eq\f(1,a)＝－1或eq\f(1,a)＝1，解得a＝－1或a＝1.綜上，a的取值可能是－1，0，1.故選BCD.【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高一下·浙江·階段練習(xí)）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解即可.【詳解】因為，，所以，故選：A2．（2324高三下·云南·階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集求出答案.【詳解】或，故.故選：B.3．（2324高一下·浙江杭州·期中）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由交集的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則.故選：B4．（2324高一上·浙江麗水·期末）設(shè)集合，，若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由交集運算的結(jié)果，即可得到答案.【詳解】因為集合，，且，則.故選：C二、多選題5．（2324高一上·湖北·期中）下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】BD【分析】利用有理數(shù)的意義判斷A；利用并集、交集的性質(zhì)推理判斷B；利用交集的意義判斷CD.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，由，，得，而，則，同理得，于是，B正確；對于C，由，，得，C錯誤；對于D，由，，得，D正確．故選：BD6．（2324高一上·江蘇泰州·期中）設(shè)，若，則實數(shù)的值可以為（

）A．0 B． C． D．2【答案】ABC【分析】根據(jù)一元二次方程解得集合，結(jié)合交集的結(jié)果，利用分類討論思想，可得答案.【詳解】，由，則，當(dāng)時，方程無解，則；當(dāng)時，即，方程的解為，可得或，解得或.故選：ABC.7．（2324高一上·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）已知，集合，集合，則下列正確的是（

）A．若，則實數(shù)的取值范圍是B．若，則實數(shù)的取值范圍是C．若，則實數(shù)的取值范圍是D．若，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AD【分析】由交集、并集和補(bǔ)集的定義對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】，集合，集合，則A，若，則實數(shù)的取值范圍是；若，則實數(shù)的取值范圍是，故選：AD.三、填空題8．（2223高一·全國·課堂例題）用區(qū)間表示下列數(shù)集：（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）．【答案】【分析】根據(jù)區(qū)間的定義逐個分析可得結(jié)果.【詳解】；；且；；.故答案為：；；；；.9．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）填空：（1）被9除余2的所有整數(shù)組成的集合可表示為；（2）不等式組的解集為A，則；（3）已知集合，，則；（4）滿足的集合B的個數(shù)是；（5）已知集合或，，則與的關(guān)系是．【答案】或4是的真子集【分析】（1）根據(jù)數(shù)的分類直接寫出集合；（2）根據(jù)不等式組寫出集合，然后由補(bǔ)集的定義可得結(jié)果；（3）由并集的定義寫出，然后根據(jù)補(bǔ)集的運算可得結(jié)果；（4）由題意分析集合的范圍，寫出可能取值；（5）求解補(bǔ)集，可得出集合之間的關(guān)系.【詳解】（1）被9除余2的所有整數(shù)組成的集合可表示為；（2）不等式組的解集為，則或；（3）或，則；（4），則且，所以集合可能是，所以集合有4個；（5）因為全集為，所以，，所以是的真子集.10．（2324高一上·天津濱海新·期末）已知集合或，，其中.（ⅰ）當(dāng)時，；（ⅱ）若，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】或【分析】根據(jù)并集的定義，結(jié)合交集的運算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（?。┊?dāng)時，集合或，，所以或；（ⅱ）因為，所以，于是有或，即或，因此實數(shù)的取值范圍為，故答案為：或；四、解答題11．（2324高一上·北京·期中）已知集合，集合．(1)當(dāng)時，求，，;(2)若，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)，，或(2)【分析】（1）由交集并集補(bǔ)集的定義求解；（2）由集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，或；（2）由知解得，即實數(shù)的取值范圍為【能力提升】一、單選題1．（2324高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知全集，則集合（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】，且，則集合中不包含元素，即.故選：C2．（2122高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由并集的性質(zhì)計算即可得.【詳解】由，且，故.故選：D.3．（2324高一上·四川瀘州·期末）已知A，B均為全集的子集，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義進(jìn)行計算得出結(jié)果.【詳解】已知全集，且，所以，又，所以，若，則，所以，這與矛盾，所以，同理.所以.故選：D.4．（2324高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知集合，.若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)2是方程的解求得，進(jìn)而確定集合B，應(yīng)用并運算求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)知：2是方程的解，將代入方程，得，所以的解為或，所以，所以，故選：B二、多選題5．（2324高一上·四川內(nèi)江·期末）若非空集合滿足：，，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】先根據(jù)條件得到集合之間的包含關(guān)系，根據(jù)包含關(guān)系逐一判斷選項.【詳解】由得，由得，B錯誤；所以，，D正確；則，，A正確，C錯誤；故選：AD.6．（2324高一上·江西吉安·期末）如圖，全集為U，集合A，B是U的兩個子集，則陰影部分可表示為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由已知韋恩圖分析出了陰影部分所表示的集合的元素滿足的條件，進(jìn)而根據(jù)集合運算的定義可得答案.【詳解】根據(jù)圖中陰影可知，符合題意，又，∴也符合題意．故選：AC三、填空題7．（2324高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，則.（用區(qū)間形式書寫）【答案】【分析】根據(jù)交集的知識求得正確答案.【詳解】依題意，，所以.故答案為：8．（2324高一上·湖北·期中）已知全集是小于的自然數(shù)，，，則.【答案】【分析】根據(jù)并集、補(bǔ)集的定義計算可得.【詳解】因為是小于的自然數(shù)，又，，所以，所以.故答案為：四、解答題9．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)區(qū)間與集合的對應(yīng)關(guān)系即可寫出對應(yīng)的區(qū)間表示.【詳解】（1）（2）（3）（4）10．（2324高一上·北京東城·期