預(yù)習(xí)12講拋物線2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019選擇性）

2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019選擇性必修第一冊）預(yù)習(xí)12講拋物線（精講+精練）①拋物線的定義及焦半徑公式的應(yīng)用②拋物線的性質(zhì)③拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程④與拋物線有關(guān)的距離和最值問題一、拋物線的定義1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．2、拋物線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(為點到準(zhǔn)線的距離).二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：方程（）（）（）（）圖形焦點準(zhǔn)線特別說明：1、要注意弄清拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其對應(yīng)拋物線的形狀(焦點位置、開口方向等).拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,有一個一次項和一個二次項,二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為;若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負(fù)的,焦點就在軸的負(fù)半軸上(開口向左);若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負(fù)的,焦點就在軸的負(fù)半軸上(開口向下).2、準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點和拋物線的焦點關(guān)于原點對稱.三、拋物線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對稱軸軸軸軸軸焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點坐標(biāo)離心率通徑長四、直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程(1)若,當(dāng)時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當(dāng)時,直線與拋物線相切,有一個切點;當(dāng)時,直線與拋物線相離,沒有公共點.(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.五、直線和拋物線1、拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為.2、拋物線的焦點弦過拋物線（）的焦點的一條直線與它交于兩點，，則①，；②；③.說明：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點，則.①拋物線的定義及焦半徑公式的應(yīng)用策略方法拋物線定義的應(yīng)用(1)利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線距離的等價轉(zhuǎn)化．即“看到準(zhǔn)線想到焦點，看到焦點想到準(zhǔn)線”．(2)注意靈活運用拋物線上一點P(x，y)到焦點F的距離|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2)．【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·湖南永州·期末）拋物線C：上的點與焦點F的距離是2，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由拋物線的定義，列方程求解的值.【詳解】由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義有，可得.故選：D2．（2324高二上·江蘇宿遷·期中）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，則焦點到準(zhǔn)線的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義運算即可.【詳解】拋物線，根據(jù)拋物線的定義，得焦點到準(zhǔn)線的距離為.故選:B.3．（2324高二上·北京·階段練習(xí)）點是拋物線上一點，到該拋物線焦點的距離為，則點的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的，故，即可求解．【詳解】拋物線，焦點,準(zhǔn)線方程為.由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的，到該拋物線焦點的距離，解得，∴點的橫坐標(biāo)為3.故選:B．4．（2324高二上·重慶·期末）已知點滿足，則點的軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓【答案】C【分析】根據(jù)已知條件及拋物線的定義即可求解.【詳解】表示點到點的距離；表示點到直線的距離.因為，所以點到點的距離等于點到直線的距離，所以的軌跡為拋物線.故選：C.5．（2324高二下·廣西·階段練習(xí)）點到直線的距離比到點的距離大2，則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意點到直線的距離和到點的距離相等，可得點的軌跡為拋物線，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點，且點在的下方，故點到直線的距離和到點的距離相等，所以點的軌跡為以為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以的軌跡方程為，故選：D.6．（2324高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點A在拋物線C上，點B在準(zhǔn)線l上，若是邊長為2的等邊三角形，則的值是（

）.A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用拋物線定義可知，再由等邊三角形的邊長為2即可求得.【詳解】根據(jù)題意，易知，由拋物線定義可得，設(shè)準(zhǔn)線與l的交點為，如下圖所示：

因此與平行，又是邊長為2的等邊三角形，所以，即,可得，即.故選：A7．（2324高二下·河南·期中）設(shè)拋物線的焦點為，點在上，，若，則（

）A． B．14 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義先算出的坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式求解.【詳解】由題意可知，因為，準(zhǔn)線為，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義，，得到，于是，所以.故選：D8．（2324高二上·山西太原·期末）設(shè)拋物線的焦點是，點是拋物線上的動點，且點，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】設(shè)點到準(zhǔn)線的距離為，當(dāng)三點共線時，取得最小值，即可求解.【詳解】解：拋物線的焦點是，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)點到準(zhǔn)線的距離為，則，如圖所示：

當(dāng)三點共線時，取得最小值，故選：C9．（2324高二上·河北·期中）設(shè)是拋物線：上的動點，是圓：上的動點．則的最小值為（

）A． B． C． D．27【答案】C【分析】根據(jù)兩點間距離公式、圓的幾何性質(zhì)，利用配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】由，半徑為，設(shè)，則，當(dāng)時，取得最小值28，所以，所以．故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用圓的幾何性質(zhì)和配方法.②拋物線的性質(zhì)策略方法拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準(zhǔn)線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質(zhì)簡化運算．【題型精練】一、多選題1．（2324高二上·河北張家口·階段練習(xí)）對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向下，準(zhǔn)線方程為B．開口向下，焦點為C．開口向左，焦點為D．開口向左，準(zhǔn)線方程為【答案】AB【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程即可判斷.【詳解】由題設(shè)，拋物線可化為，開口向下，焦點為，準(zhǔn)線方程為.所以AB正確，CD錯誤.故選：AB.2．（2324高二上·云南玉溪·期末）已知拋物線的焦點為F，P是拋物線C上的一點，O為坐標(biāo)原點，若則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)拋物線方程判斷AB；設(shè)，由判斷CD.【詳解】解：因為拋物線，即，所以，準(zhǔn)線方程為，故A正確；設(shè)，則，由題意得，且，故，則（舍）或，所以，故D正確；故選：AD．3．（2324高二上·吉林長春·階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，若，則（

）A． B．C． D．的坐標(biāo)為【答案】AC【分析】根據(jù)拋物線的定義逐項判斷即可.【詳解】由拋物線：，可得，故D錯誤；由拋物線的定義可得，所以，故A正確；因為點在拋物線上，所以，所以，故B錯誤；則，故C正確.故選：AC.4．（2223高二下·貴州黔西·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點，點在拋物線C上，若，則（

）A．F的坐標(biāo)為 B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線的定義域標(biāo)準(zhǔn)方程，以及拋物線的幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，且焦點在y軸正半軸上，則焦點，所以A錯誤；由拋物線的定義,可得，解得，所以B正確；由，可得，所以，則，所以C正確；由，所以D正確．故選：BCD．5．（2324高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點為，是拋物線上一個動點，點，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．過點與拋物線有唯一公共點的直線有2條C．的最小值為D．拋物線C：通徑為4【答案】AD【分析】根據(jù)焦半徑公式列方程求解判斷A，分類討論，設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，判別式法判斷B，利用三點共線距離和最短判斷C，根據(jù)通徑定義求解判斷D.【詳解】由拋物線知，，焦點為，對于A，因為，所以，所以，正確；對于B，當(dāng)過點的直線斜率不存在時，即直線為y軸時，滿足直線與拋物線有唯一公共點；當(dāng)過點的直線斜率為0時，直線為，滿足直線與拋物線有唯一公共點；當(dāng)過點的直線斜率存在且不為0時，設(shè)直線為，聯(lián)立，得，由題意，解得，所以過點與拋物線有唯一公共點的直線有3條，錯誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，錯誤；對于D，聯(lián)立，得，所以通徑兩端點坐標(biāo)為，所以拋物線C：通徑為4，正確.故選：AD6．（2223高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，、是拋物線上兩動點，下列說法正確的有（

）A．拋物線準(zhǔn)線方程為B．若，則線段中點到軸距離為C．以線段AF為直徑的圓與x軸相切D．以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切【答案】BC【分析】根據(jù)拋物線的定義以及焦半徑公式一一求解.【詳解】對于A選項，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點，故A錯；對于B選項，設(shè)點、，由拋物線的定義可得，可得，所以，線段的中點到軸的距離為，故B對；對于C選項，,的中點為，的中點到軸的距離為，所以以線段AF為直徑的圓與x軸相切，故C對；對于D選項，因為點、沒有任何限制條件，可以是拋物線上任意兩點，所以以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線不一定相切，故D錯.故選：BC.③拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程策略方法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)先定位：根據(jù)焦點或準(zhǔn)線的位置．(2)再定形：即根據(jù)條件求p．【題型精練】一、解答題1．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點為；(2)準(zhǔn)線方程為.【答案】(1)(2)【分析】（1）由拋物線焦點坐標(biāo)確定拋物線的焦準(zhǔn)距p，即可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由拋物線準(zhǔn)線方程確定其焦點位置，求得p，即得答案.【詳解】（1）因為拋物線焦點為在y軸的負(fù)半軸上，設(shè)焦準(zhǔn)距為p，則，即.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由拋物線準(zhǔn)線方程為知，焦點在x軸的負(fù)半軸上，并且，即，因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2．（2324高二上·河北保定·階段練習(xí)）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為；(2)焦點在軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6；(3)對稱軸是軸，頂點到焦點的距離等于2；(4)對稱軸是軸，經(jīng)過點．【答案】(1)(2)或(3)或(4)【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析求解.【詳解】（1）因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，可得，所以拋物線的方程是．（2）因為焦點在軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6，可知，所以拋物線的方程是或．（3）因為對稱軸是軸，頂點到焦點的距離等于2，可知，即，所以拋物線的方程是或．（4）因為對稱軸是軸，設(shè)拋物線方程為，因為拋物線經(jīng)過點，可得，解得，所以拋物線的方程是．3．（2223高二·全國·課堂例題）分別根據(jù)下列條件，求拋物線的焦點坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)拋物線的焦點到x軸的距離是2，而且焦點在y軸的正半軸上．(2)拋物線的焦點是雙曲線的焦點之一．【答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）確定拋物線的焦點，求得p，即可得答案；（2）求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，分2種情況確定拋物線焦點坐標(biāo)，即可得答案.【詳解】（1）由已知可得焦點坐標(biāo)為，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，且，從而所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）因為雙曲線中，，又因為雙曲線的焦點在y軸上，所以的焦點坐標(biāo)為或．如果拋物線的焦點坐標(biāo)為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，且，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；如果拋物線的焦點坐標(biāo)為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，且10，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．4．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點在原點，準(zhǔn)線方程為；(2)頂點在原點，且過點；(3)頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線上；(4)焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5.【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】根據(jù)題意可確定拋物線焦點的位置，繼而求出焦準(zhǔn)距p，即可得答案.【詳解】（1）由題意頂點在原點，準(zhǔn)線方程為，可知拋物線焦點在y軸負(fù)半軸上，且，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意頂點在原點，且過點，則拋物線焦點可能在y軸正半軸或x軸負(fù)半軸上，則設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或，分別將代入，求得，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（3）由于直線與x軸的交點為，由題意可知拋物線焦點為，則，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（4）由題意拋物線焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5，則設(shè)拋物線方程為，焦點為，準(zhǔn)線為，故，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.5．（2324高二上·新疆和田·期末）若雙曲線與有相同的焦點，與雙曲線有相同漸近線.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求過點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）由題意得，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由平方關(guān)系即可得解.（2）設(shè)過點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或，代入即可得解.【詳解】（1）由題意在橢圓中有，，焦點在x軸上，而雙曲線與雙曲線有相同漸近線，所以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)過點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或，所以有或，解得或，所以過點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或.④與拋物線有關(guān)的距離和最值問題策略方法拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題或點到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解?！绢}型精練】一、單選題1．若點坐標(biāo)為，為拋物線的焦點，點在拋物線上移動，為使取得最小值，點坐標(biāo)應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用拋物線的定義得到，結(jié)合圖像可得，從而得解.【詳解】因為拋物線，所以其準(zhǔn)線為，由向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，由拋物線的定義可得，再由定點向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，如圖，因為點在該拋物線上移動，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取得最小值，此時的縱坐標(biāo)與的縱坐標(biāo)相同，即，將代入，得，所以點的坐標(biāo)為.故選：A.2．（2223高二上·新疆烏魯木齊·期末）已知點，點P在拋物線上，則點P到x軸的距離與到點Q的距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可知拋物線焦點為，準(zhǔn)線為，過點P做準(zhǔn)線垂線，垂足為N，由拋物線定義可知，.點P到x軸的距離與到點Q的距離為.【詳解】由題可得