專題3-3解三角形壓軸綜合小題（原卷版）

專題3-3解三角形壓軸綜合小題目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01邊角互化求角 1題型02判斷三角型形狀 2題型03三角形幾解判斷 3題型04正余弦應(yīng)用：求面積 4題型05正余弦應(yīng)用：求長度 5題型06正余弦應(yīng)用：比值型求值 6題型07最值型：角與對邊互化面積型 6題型08最值型：周長、邊長范圍 7題型09最值型：比值范圍 8題型10最值型：余弦定理齊次式 8題型11最值型：正切 9題型12三角形角平分線型 10題型13三角形中線型 11題型14三角形重心型 12題型15三角形外接圓 13高考練場 14題型01邊角互化求角【解題攻略】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：(1)從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇；(2)從式子結(jié)構(gòu)來選擇．邊角互化的方法（1）邊化角：利用正弦定理（為外接圓半徑）得，，；（2）角化邊：

①利用正弦定理：，，②利用余弦定理：輔助角公式【典例1-1】（2022下·黑龍江哈爾濱·高三校聯(lián)考）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則A＝（

）A． B． C． D．或【典例1-2】（2021下·內(nèi)蒙古赤峰·高三校考階段練習(xí)）在銳角中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，若，則角等于（

）A． B． C． D．或【變式1-1】（2023上·河南焦作·高三石家莊市第九中學(xué)?？迹┰谥校膶叿謩e為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023上·黑龍江佳木斯·高三佳木斯一中?？茧A段練習(xí)）在中，分別為角的對邊，已知，則等于（

）A． B． C． D．題型02判斷三角型形狀【解題攻略】判斷三角形形狀時，可利用正余弦實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊或角的形式，還要注意三角形自身的特點①sinA=sinB?A=B?△ABC為等腰三角形②sinA=cosB?或?△ABC直角三角形或鈍角三角形③sin2A=sin2B?A=B或?△ABC為等腰三角形或鈍角三角形④cos2A=cos2B?A=B?△ABC為等腰三角形⑤??△ABC為直角三角形⑥?或??△ABC為鈍角三角形或?⑦?且??△ABC為銳角三角形且?【典例1-1】在中，是三角形的三條邊，若方程有兩個相等的實數(shù)根，則是（

）A．銳角三角形； B．直角三角形； C．鈍角三角形； D．以上都有可能．【典例1-2】在中，已知，則是（

）A．直角三角形； B．銳角三角形； C．鈍角三角形； D．等邊三角形．【變式1-1】在中，，則三角形的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰三角形【變式1-2】記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，那么是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定【變式1-3】在中，角的對邊分別為，若，則一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形題型03三角形幾解判斷【解題攻略】判斷三角形解的個數(shù)有2種：畫圖法：以已知角的對邊為半徑畫弧，通過與鄰邊的交點個數(shù)判斷解的個數(shù)。①若無交點，則無解；②若有一個交點，則有一個解；③若有兩個交點，則有兩個解；④若交點重合，雖然有兩個交點，但只能算作一個解。公式法：運用正弦定理進行求解。①a＝bsinA，△＝0，則一個解；②a＞bsinA，△＞0，則兩個解；③a＜bsinA，△＜0，則無解?！镜淅?-1】在中，，則此三角形的解的情況是（

）A．有兩解 B．有一解 C．有無數(shù)個解 D．無解【典例1-2】在中，a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若，則此三角形解的情況是（

）A．無解 B．有一解 C．有兩解 D．有無數(shù)解【變式1-1】在ABC中，a=80，b=100，A=45°，則此三角形解的情況是（）A．一解 B．兩解 C．一解或兩解 D．無解【變式1-2】在中，已知，，，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定【變式1-3】在中，已知，，，這個三角形解的情況是A．一解 B．兩解 C．無解 D．不確定題型04正余弦應(yīng)用：求面積【解題攻略】三角形面積：①S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R) ②S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圓的半徑)【典例1-1】記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B．C． D．【典例1-2】已知的內(nèi)角所對的邊分別為，則的面積為（

）A． B． C．27 D．36【變式1-1】（2022春·河南許昌·高三統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，，∠ADC＝45°，∠ACD＝105°，∠B＝60°，AB＋BC＝4，則三角形ABC的面積為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023春·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？迹┪覈纤沃麛?shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式.設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，“三斜求積”公式表示為.在△ABC中，若，，則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為.【變式1-3】（2019·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知三角形的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，，則角最大時，三角形的面積等于．.題型05正余弦應(yīng)用：求長度【解題攻略】.解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的，其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步：定工具，根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的轉(zhuǎn)換；第三步：求結(jié)果.【典例1-1】（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若，，，則．【典例1-2】（2023下·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考）中，，在上，，，則．【變式1-1】（2023下·廣西欽州·高三統(tǒng)考）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，則.若，，則.【變式1-2】（2022下·高三?？紗卧獪y試）在中，、、所對的邊分別為、、，又..，則.【變式1-3】（2023上·山東日照·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在中，，為中點，，，則邊的長為.題型06正余弦應(yīng)用：比值型求值【解題攻略】最值范圍：分式比值型化邊為角型通過正余弦定理，把邊轉(zhuǎn)化為角。利用特殊角，消角，以分母角度為住元，消去分子角度，轉(zhuǎn)化為分母角度的單變量函數(shù)形式對單變量（單角）求最值?！镜淅?-1】（2022上·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）在中，斜邊為，點在邊上，若，，則.【典例1-2】（2023下·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，，若的面積為3，則當(dāng)?shù)闹荛L取到最小值時，．【變式1-1】（2022上·江蘇南通·高三統(tǒng)考）在中(角A為最大內(nèi)角，a，b，c為、、所對的邊)和中，若，，，則.【變式1-2】（2020·四川成都·高三雙流中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，則.【變式1-3】．已知中，設(shè)角、B、C所對的邊分別為a、b、c，的面積為，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．2題型07最值型：角與對邊互化面積型【解題攻略】注意正弦定理在進行邊角轉(zhuǎn)換時等式必須是齊次，關(guān)于邊的齊次式或關(guān)于角的正弦的齊次式，齊次分式也可以用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換．求范圍問題，通常是把量表示為三角形某個角的三角函數(shù)形式，利用此角的范圍求得結(jié)論．【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022秋·黑龍江·高三哈爾濱三中校考）在中，角的對邊分別為，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023秋·遼寧鐵嶺·高三?？奸_學(xué)考試）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則面積的最大值為.【變式1-2】（2023秋·廣東珠?！じ呷？奸_學(xué)考試）已知，，分別為的三個內(nèi)角，，的對邊，，且，則面積的最大值為.【變式1-3】（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則面積的最大值為．題型08最值型：周長、邊長范圍【解題攻略】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值【典例1-1】（2021上·河南濮陽·高三濮陽市油田第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023上·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A．(1，9] B．(3，9]C．(5，9] D．(7，9]【變式1-1】（2023下·高三單元測試）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2021·河北唐山·統(tǒng)考三模）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，角的內(nèi)角平分線交于點，若，，則的取值范圍是．【變式1-3】（2023上·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）中，若，則周長最大值為．題型9最值型：比值范圍【典例1-1】（2022上·廣西桂林·高三?？茧A段練習(xí)）在中，角所對應(yīng)的邊分別為，設(shè)的面積為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023上·江蘇無錫·高三江蘇省南菁高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023上·貴州黔東南·高三統(tǒng)考）在銳角中，角的對邊分別為，且的面積，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的取值范圍為．【變式1-3】（2022下·重慶·高三重慶市彭水第一中學(xué)校?？迹┰阡J角中，角、、的對邊分別為、、，若，則的取值范圍是．題型10最值型：余弦定理齊次式【典例1-1】（2022·全國·高三課時練習(xí)）銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是（

）A．(） B．(）C．[) D．[，1)【典例1-2】（2020·全國·高三課時練習(xí)）銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式1-1】（2022·四川成都·二模（理））已知中，角的對邊分別為.若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知中，角的對邊分別為．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2020·河南·校聯(lián)考二模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且BC邊上的高為，則的最大值是．題型11最值型：正切【解題攻略】正切：1；2.在三角形中，【典例1-1】（2023上·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在銳角三角形中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023下·云南保山·高三校考）已知的三個內(nèi)角分別為，，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃┰阡J角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，，則角的范圍是，的取值范圍為.【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的最大值為．題型12三角形角平分線型【解題攻略】角平分線定理（大題中，需要證明，否則可能會扣過程分）：三角形角平分線的處理方法：【典例1-1】（2022·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（理））已知的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別是，內(nèi)角的角平分線交邊于點，且．若，則面積的最小值是（

）A．16 B． C．64 D．【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．7【變式1-1】（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為2，則的最小值為（

）A．10 B．12 C．16 D．18【變式1-2】（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，角A的平分線交BC于點D，且，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022·陜西西安·三模（理））在中，，，的角平分線的長為，則（

）A． B． C． D．題型13三角形中線型【解題攻略】中線的處理方法1.向量法：雙余弦定理法（補角法）：如圖設(shè)，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因為，所以所以①+②式即可3.延伸補形法：如圖所示，延伸中線，補形為平行四邊形4.中線分割的倆三角形面積相等【典例1-1】在中，內(nèi)角的對邊分別為，且邊上的中線，則（

）A．3 B． C．1或2 D．2或3遼寧省沈陽市東北育才學(xué)校科學(xué)高中部2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題【典例1-2】.在中，分別是的中點，且，若恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．變式1-1】在中，角的對邊分別為，已知，點是的中點，若，則面積的最大值為（）A． B． C． D．【變式1-2】在中，若3sinC=2sinB,點,F分別是,的中點，則BEA．（14，78） B．（【變式1-3】（2022·河南·鄭州四中高三階段練習(xí)（理））在等腰中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長為3，則的面積的最大值是（

）A．6 B．12 C．18 D．24題型14三角形重心型【解題攻略】中線的處理方法1.向量法：補全為平行四邊形。再轉(zhuǎn)而在新三角形中用正余弦定理【典例1-1】.在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【典例1-2】（2024秋·福建福州·高三福建省福清第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點G為三角形ABC的重心，且，當(dāng)取最大值時，（

）A． B． C． D．【變式1-1】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，、、分別是的內(nèi)角、、所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2020春·天津·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，為的重心，則A． B． C． D．【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）銳角中，，，為角，，所對的邊，點為的重心，若，則的取值范圍為（

）A．， B．， C．， D．，題型15三角形外接圓【解題攻略】三角形所在的外接圓的處理方法：1.外接圓的圓心到三角形的三個頂點的距離相等。銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三角形斜邊中點上。鈍角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R為外接圓半徑【典例1-1】（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)校考開學(xué)考試）在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角滿足，且O為的外接圓圓心，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2022春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？迹┤羰峭饨訄A圓心，是的內(nèi)角，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為銳角的外心（三角形外接圓圓心），．若，則（）A． B． C． D．【變式1-3】．（2022春·北京·高三?？计谀┮阎切瓮饨訄A的半徑為1為圓心，且，，則等于（

）A． B． C． D．高考練場1.（2021·安徽安慶·統(tǒng)考二模）在中，分別是，，的對邊.若，且，則的大小是（

）A． B． C． D．2.在中，，則三角形的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．銳角三角形 D．等腰三角形陜西省西安市長安區(qū)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題3.在中，，