高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全程規(guī)劃(新高考地區(qū)專用)綜合訓(xùn)練05三角函數(shù)(16種題型60題專練)專項(xiàng)練習(xí)(原卷版+解析)

綜合訓(xùn)練05三角函數(shù)（16種題型60題專練）一．扇形面積公式（共3小題）1．（2022?甲卷）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，CD⊥AB．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s＝AB+．當(dāng)OA＝2，∠AOB＝60°時(shí)，s＝（）A． B． C． D．2．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知在扇形OAB中，半徑OA＝OB＝3，，圓O1內(nèi)切于扇形OAB（圓O1和OA，OB，弧AB均相切），作圓O2與圓O1，OA，OB相切，再作圓O3與圓O2，OA，OB相切，以此類推．設(shè)圓O1，圓O2，…的面積依次為S1，S2…，那么S1+S2+?+Sn＝．3．（2023?柳州模擬）圣彼得大教堂坐落在梵蒂岡城內(nèi)，是世界上最大的天主教教堂．作為最杰出的文藝復(fù)興建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特點(diǎn)之一就是窗門(mén)處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對(duì)稱圖形．如圖，所在圓的圓心O在線段AB上，若∠CAB＝α，|AC|＝m，則扇形OAC的面積為．二．任意角的三角函數(shù)的定義（共2小題）4．（2023?重慶模擬）若點(diǎn)在角α的終邊上，則cos2α＝．5．（2023?江蘇模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，將線段OA繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段OB，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．三．三角函數(shù)線（共1小題）6．（2022?甲卷）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，則（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b四．三角函數(shù)的周期性（共4小題）7．（2023?日照一模）已知函數(shù)的最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則＝．8．（2023?佛山一模）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，）．T為f（x）的最小正周期，且滿足．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上恰有2個(gè)極值點(diǎn)，則ω的取值范圍是．9．（2023?河南模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，其最小正周期為T(mén)，且，則ω的值為．10．（2023?浙江模擬）寫(xiě)出一個(gè)滿足下列條件的正弦型函數(shù)，f（x）＝．①最小正周期為π；②f（x）在上單調(diào)遞增；③?x∈R，|f（x）|≤2成立．五．運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值（共1小題）11．（2023?韶關(guān)二模）已知銳角α滿足，則sin（π﹣α）＝．六．正弦函數(shù)的圖象（共12小題）12．（2023?咸陽(yáng)模擬）已知函數(shù)．對(duì)于下列四種說(shuō)法：①函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；②函數(shù)f（x）在（﹣π，π）上有8個(gè)極值點(diǎn)；③函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為；④函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中正確的序號(hào)是．13．（2023?北海模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則φ＝．14．（2023?新疆模擬）以函數(shù)y＝sinωx（ω＞0）的圖象上相鄰三個(gè)最值點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是正三角形，則ω＝．15．（2023?惠州一模）函數(shù)的非負(fù)零點(diǎn)按照從小到大的順序分別記為x1，x2，…，xn，…，若，則xn的值可以是．（寫(xiě)出符合條件的一個(gè)值即可）16．（2023?攀枝花一模）若函數(shù)（ω＞0）在上單調(diào)，且在上存在極值點(diǎn)，則ω的取值范圍為．17．（2023?株洲一模）已知f（x）＝sinωx（ω∈N+），若在區(qū)間上存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，滿足f（a）+f（b）＝2，則ω可以為．（填一個(gè)值即可）18．（2022?全國(guó)）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）＝f（﹣）＝，則φ＝（）A．2kπ+（k∈Z） B．2kπ+（k∈Z） C．2kπ﹣（k∈Z） D．2kπ﹣（k∈Z）19．（2022?新高考Ⅰ）記函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T(mén)．若＜T＜π，且y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，2）中心對(duì)稱，則f（）＝（）A．1 B． C． D．320．（2022?甲卷）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]21．（2023?金昌二模）若函數(shù)，又A（α，2），B（β，0）是函數(shù)f（x）的圖象上的兩點(diǎn)，且|AB|的最小值為，則的值為．22．（2023?榆林三模）已知函數(shù)f（x）＝tan2x與的圖象在區(qū)間[﹣π，π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，直線x+y＝2與f（x）的圖象在區(qū)間[0，π]上的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n，則m+n＝．23．（2023?山西模擬）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．（1）若f（x）的最小正周期為π，求f（x）的圖象與y軸距離最近的對(duì)稱軸方程；（2）若f（x）在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求ω的取值范圍．七．正弦函數(shù)的單調(diào)性（共7小題）24．（2023?長(zhǎng)沙模擬）已知函數(shù)y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一條對(duì)稱軸為，且f（x）在上單調(diào)，則ω的最大值為．25．（2023?湖南模擬）已知函數(shù)，x∈R，若，且f（x）在上單調(diào)遞增，則ω的值為．26．（2023?吉林模擬）規(guī)定：設(shè)函數(shù)f（x）＝Max{sinωx，cosωx}（ω＞0），若函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是．27．（2023?湛江二模）若函數(shù)在上具有單調(diào)性，且為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在上單調(diào)遞（填增或減），函數(shù)y＝f（x）﹣lgx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．28．（2023?汕頭二模）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）若，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．29．（2023?南京二模）已知f（x）＝sinωx﹣cosωx，ω＞0．（1）若函數(shù)f（x）圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，求f（）的值；（2）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（，0）對(duì)稱，且函數(shù)f（x）在[0，]上單調(diào)，求ω的值．30．（2023?全國(guó)）已知函數(shù)，則（）A．上單調(diào)遞增 B．上單調(diào)遞增 C．上單調(diào)遞減 D．上單調(diào)遞增八．正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性（共2小題）31．（2023?四川模擬）寫(xiě)出曲線的一條對(duì)稱軸的方程：．32．（2023?湖北模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），若是函數(shù)y＝f（x）的圖像的一條對(duì)稱軸，是函數(shù)y＝f（x）的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，則ω的最小值為．九．余弦函數(shù)的圖象（共5小題）33．（2023?綿陽(yáng)模擬）已知函數(shù)f（x）＝4cos（2x+）﹣3，則f（x）在（﹣，）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．34．（2023?安康模擬）已知函數(shù)f（x）＝cosωx（ω＞0）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間單調(diào)，則ω的一個(gè)取值是．35．（2023?山東模擬）若G（x，y）是函數(shù)y＝cosx圖象上的任意一點(diǎn)，則是函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）圖象上的相應(yīng)的點(diǎn)，那么＝．36．（2023?拉薩一模）已知函數(shù)在[﹣π，0]上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．若m，n∈[0，π]，且f（m）＜f（n），對(duì)任意的x∈[0，π]，都有[f（x）﹣f（m）][f（x）﹣f（n）]≤0，則滿足條件的m的個(gè)數(shù)為．37．（2023?承德模擬）已知ω＞1，函數(shù)．（1）當(dāng)ω＝2時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f（x）在區(qū)間上單調(diào)，求ω的取值范圍．一十．正切函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性（共1小題）38．（2023?石家莊模擬）曲線f（x）＝（cosx≠0）的一個(gè)對(duì)稱中心為（答案不唯一）．一十一．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換（共7小題）39．（2023?咸陽(yáng)模擬）已知函數(shù)f（x）＝sinωxcosωx﹣ωx（ω＞0）的最小正周期為π，對(duì)于下列說(shuō)法：①ω＝1；②f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，（k∈Z）；③將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④．其中正確的序號(hào)是．40．（2023?烏魯木齊三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)f（x）圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象，則的值為．41．（2023?龍巖模擬）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinA﹣bsinB＝2sin（A﹣B），且a≠b．（1）求c；（2）把y＝sinx的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象向上平移c個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝f（x）的圖象，若函數(shù)y＝f（ωx）（ω＞0）在x∈（0，π）上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求ω的取值范圍．42．（2023?濟(jì)南三模）已知f（x）＝sinωx（ω＞0），其圖象相鄰對(duì)稱軸間的距離為，若將其圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．（1）求函數(shù)y＝g（x）的解析式及圖象的對(duì)稱中心；（2）在鈍角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，求的取值范圍．43．（2023?濟(jì)寧二模）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，在上的值域?yàn)椋螃恋娜≈捣秶?4．（2022?甲卷）將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則ω的最小值是（）A． B． C． D．45．（2022?浙江）為了得到函數(shù)y＝2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sin（3x+）圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度一十二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式（共3小題）46．（2023?威海二模）已知偶函數(shù)的部分圖象如圖所示，A，B，C為該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，且D為圖象的一個(gè)最高點(diǎn)．（1）證明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；（2）若，CD＝2，，求f（x）的解析式．47．（2023?全國(guó)二模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中f（x）的圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣．（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣a在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．48．（2023?南昌二模）如圖是函數(shù)的部分圖象，已知．（1）求ω；（2）若，求φ．一十三．三角函數(shù)的最值（共2小題）49．（2023?佛山模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．50．（2023?蕪湖模擬）已知函數(shù)f（x）＝asin2x+cos2x，且．（1）求f（x）的最大值；（2）從①②中任選一個(gè)作答．若選擇多個(gè)分別作答．按第一個(gè)解答計(jì)分．①A為函數(shù)f（x）圖象與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B，C為函數(shù)f（x）圖象的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)，求△ABC面積的最小值．②O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)z1＝﹣2﹣4i，z2＝﹣2+f（t）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，求△OAB面積的取值范圍．一十四．兩角和與差的三角函數(shù)（共5小題）51．（2023?天津一模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知a＝1，c＝2，sinB＝2sinA．（1）求cosC的值；（2）求sinA的值；（3）求sin（2C﹣A）的值．52．（2023?天津模擬）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c（a＞c），已知bcosC＝（3a﹣c）cosB，．（1）求cosB；（2）求a，c的值；（3）求sin（B﹣C）的值．（多選）53．（2023??？谀M）已知銳角α，β，γ滿足α+β+γ＝π，則（）A．tanα，tanβ可能是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩根 B．若α＞β，則sinα＞sinβ C． D．tanα+tanβ+tanγ＝tanα?tanβ?tanγ54．（2023?杭州模擬）已知銳角α，β滿足，，則α+β＝．55．（2022?新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，則（）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1一十五．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用（共1小題）56（2023?安徽模擬）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．（1）求ω和φ；（2）當(dāng)時(shí)，記方程的根為x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求的范圍．一十六．三角函數(shù)應(yīng)用（共4小題）57．（2023?寶雞三模）我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1．由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移y（m）和時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系為y＝sin（ωt+φ）（ω＞0，|φ|＜π），如圖2．若該阻尼器在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1+t2＝2，t2+t3＝5，則1分鐘內(nèi)阻尼器由其它位置擺動(dòng)經(jīng)過(guò)平衡位置的次數(shù)最多為（）A．19 B．40 C．20 D．4158．（2023?濱州二模）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形，如圖所示，圓O的半徑為4米，盛水筒M從點(diǎn)P0處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，OP0與水平面的所成角為30°，且每分鐘恰好轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，則盛水筒M距離水面的高度H（單位；m）與時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象可能是（）A． B． C． D．59．（2023?廣東模擬）如圖，均勻的圓面繞圓心O作逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩傩D(zhuǎn)，圓面上一初始位置為A點(diǎn)，t秒后轉(zhuǎn)到點(diǎn)B，旋轉(zhuǎn)的角速度為，在旋轉(zhuǎn)圓面的右側(cè)有一固定相機(jī)C（C，O兩點(diǎn)分別在AB的異側(cè)），且OA＝5m，AC＝7m．（1）記旋轉(zhuǎn)角為θ，若θ∈（（2n+1）π，2（n+1）π）（n∈N），求t的取值范圍及弦AB的長(zhǎng)度；（2）在（1）的條件下，若t＝110s，BC＝8m，求OC的長(zhǎng)．60．（2023?南昌一模）潮汐現(xiàn)象是地球上的海水在太陽(yáng)和月球雙重引力作用下產(chǎn)生的全球性的海水的周期性變化人們可以利用潮汐進(jìn)行港口貨運(yùn)．某港口具體時(shí)刻t（單位：小時(shí)）與對(duì)應(yīng)水深y（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為y＝3sint+10（0≤t≤24）某艘大型貨船要進(jìn)港，其相應(yīng)的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，船底與海底距離不小于4.5米時(shí)就是安全的，該船于2點(diǎn)開(kāi)始卸貨（一次最長(zhǎng)時(shí)間不超過(guò)8小時(shí)），同時(shí)吃水深度以0.375米/小時(shí)的速度減少，該船8小時(shí)內(nèi)沒(méi)有卸貨，要及時(shí)駛?cè)肷钏畢^(qū)域，則該船第一次停止卸貨的時(shí)刻為．綜合訓(xùn)練05三角函數(shù)（16種題型60題專練）一．扇形面積公式（共3小題）1．（2022?甲卷）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，CD⊥AB．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s＝AB+．當(dāng)OA＝2，∠AOB＝60°時(shí)，s＝（）A． B． C． D．【分析】由已知求得AB與CD的值，代入s＝AB+得答案．【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，∵C是AB的中點(diǎn)，D在上，CD⊥AB，∴延長(zhǎng)DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，∴s＝AB+＝2+＝2+＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知在扇形OAB中，半徑OA＝OB＝3，，圓O1內(nèi)切于扇形OAB（圓O1和OA，OB，弧AB均相切），作圓O2與圓O1，OA，OB相切，再作圓O3與圓O2，OA，OB相切，以此類推．設(shè)圓O1，圓O2，…的面積依次為S1，S2…，那么S1+S2+?+Sn＝（1﹣）．【分析】如圖，設(shè)圓O1，圓O2，圓O3，…，圓On的半徑分別為r1，r2，r3，…，rn．根據(jù)圓切線的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得{rn}是以r1＝1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由圓的面積公式可知{Sn}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)圓O1與弧AB相切于點(diǎn)D，圓O1，圓O2與OA分別切于點(diǎn)C，E，則O1C⊥OA，O1C⊥OA，O2E⊥OA．設(shè)圓O1，圓O2，圓O3，…，圓On的半徑分別為r1，r2，r3，…，rn．因?yàn)?，所以．在Rt△OO1C中，OO1＝3﹣r1，則，即，解得r1＝1．在Rt△OO2E中，OO2＝3﹣r2﹣2r1，則，即，解得．同理可得，，所以{rn}是以r1＝1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．又圓的面積為S＝πr2，所以面積S1，S2，S3，…，Sn構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積公式，屬于中檔題．3．（2023?柳州模擬）圣彼得大教堂坐落在梵蒂岡城內(nèi)，是世界上最大的天主教教堂．作為最杰出的文藝復(fù)興建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特點(diǎn)之一就是窗門(mén)處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對(duì)稱圖形．如圖，所在圓的圓心O在線段AB上，若∠CAB＝α，|AC|＝m，則扇形OAC的面積為．【分析】根據(jù)已知條件將R表示出來(lái)，直接打入扇形OAC的面積公式即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，設(shè)所在圓的半徑為R，則|AO|＝|OC|＝R，在Rt△ADC中，∠CAD＝α，|AC|＝m，所以|AD|＝mcosα，|CD|＝msinα，所以，|OD|＝R﹣mcosα．在Rt△ODC中，有|CD|2+|OD|2＝|OC|2，∴（msinα）2+（R﹣mcosα）2＝R2，整理可得，R＝，因?yàn)閨AO|＝|OC|＝R，所以∠COA＝π﹣2α，所以，扇形OAC的面積為S＝（π﹣2α）R2＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，屬于中檔題．二．任意角的三角函數(shù)的定義（共2小題）4．（2023?重慶模擬）若點(diǎn)在角α的終邊上，則cos2α＝．【分析】由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)，即在角α的終邊上，且|OM|＝1，所以，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023?江蘇模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，將線段OA繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段OB，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．【分析】利用三角函數(shù)定義可知，射線OA對(duì)應(yīng)的角α滿足，再利用任意角的關(guān)系和兩角差的余弦公式即可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．【解答】解：易知在單位圓上，記終邊在射線OA上的角為α，如下圖所示：根據(jù)三角函數(shù)定義可知，，OA繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段OB，則終邊在射線OB上的角為，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．三．三角函數(shù)線（共1小題）6．（2022?甲卷）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，則（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），可得cos，即b＞a，利用三角函數(shù)線可得tanx＞x，即tan＞，即，可得c＞b．【解答】解：設(shè)f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），則f′（x）＝x﹣sinx，設(shè)g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，故g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，即g（x）＞g（0）＝0，即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，所以f（）＞f（0）＝0，可得cos，故b＞a，利用三角函數(shù)線可得x）時(shí)，tanx＞x，∴tan＞，即，∴4sin，故c＞b．綜上：c＞b＞a，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)不等式的證明與應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬難題．四．三角函數(shù)的周期性（共4小題）7．（2023?日照一模）已知函數(shù)的最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式，以及對(duì)稱軸的性質(zhì)，求出f（x），再將x＝代入上式，即可求解．【解答】解：函數(shù)的最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，∵，∴ω＝2，，故f（x）＝，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023?佛山一模）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，）．T為f（x）的最小正周期，且滿足．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上恰有2個(gè)極值點(diǎn)，則ω的取值范圍是．【分析】根據(jù)題意可得為f（x）的一條對(duì)稱軸，即可求得，再以為整體分析可得，運(yùn)算求解即可得答案．【解答】解：由題意可得：f（x）的最小正周期，∵，且，則為f（x）的一條對(duì)稱軸，∴，解得，又∵，則，故，∵x∈（0，π），則，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上恰有2個(gè)極值點(diǎn)，則，解得，故ω的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦型函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的性質(zhì)問(wèn)題，屬于中檔題．9．（2023?河南模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，其最小正周期為T(mén)，且，則ω的值為．【分析】先化簡(jiǎn)f（x），然后由關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱可得到，結(jié)合即可求解．【解答】解：，因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，所以，所以，又因?yàn)樽钚≌芷跒門(mén)，且，所以可得，則，所以當(dāng)k＝1時(shí)，ω的值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)解析式的確定，考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2023?浙江模擬）寫(xiě)出一個(gè)滿足下列條件的正弦型函數(shù)，f（x）＝（答案不唯一）．①最小正周期為π；②f（x）在上單調(diào)遞增；③?x∈R，|f（x）|≤2成立．【分析】設(shè)f（x）＝Asin（ωx+φ），ω＞0，根據(jù)?x∈R，|f（x）|≤2，則可設(shè)A＝2，根據(jù)最小正周期為π，可得ω＝2，通過(guò)整體換元法則可得到，取即可．【解答】解：設(shè)f（x）＝Asin（ωx+φ），ω＞0，因?yàn)?x∈R，|f（x）|≤2，所以f（x）max≤2，f（x）min≥﹣2，所以|A|≤2，不妨設(shè)A＝2，因?yàn)閒（x）最小正周期為π，所以，因?yàn)閒（x）在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)k0＝0時(shí)，，不妨設(shè)，所以滿足條件之一的．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．五．運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值（共1小題）11．（2023?韶關(guān)二模）已知銳角α滿足，則sin（π﹣α）＝．【分析】利用二倍角的正切公式化簡(jiǎn)已知等式可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，解方程可求tanα的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：因?yàn)殇J角α滿足tan2α＝＝，整理可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，所以tanα＝＝2或﹣（舍去），可得cosα＝sinα，所以sin2α+cos2α＝sin2α+（sinα）2＝1，解得sinα＝，則sin（π﹣α）＝sinα＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角的正切公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．六．正弦函數(shù)的圖象（共12小題）12．（2023?咸陽(yáng)模擬）已知函數(shù)．對(duì)于下列四種說(shuō)法：①函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；②函數(shù)f（x）在（﹣π，π）上有8個(gè)極值點(diǎn)；③函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為；④函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中正確的序號(hào)是②③．【分析】對(duì)于①，，則函數(shù)f（x）的圖像不關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；對(duì)于②，由x的范圍，得出的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得取到極值點(diǎn)的位置；對(duì)于③，由x的范圍，得出的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)的最值；對(duì)于④，由x的范圍，得出的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【解答】解：對(duì)于①，∵，∴f（x）的圖像不關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，錯(cuò)誤；對(duì)于②，x∈（﹣π，π），則，則當(dāng)分別取時(shí)，函數(shù)f（x）取到極值，正確；對(duì)于③，，則，，正確；對(duì)于④，，則，由于正弦函數(shù)在上不單調(diào)，錯(cuò)誤．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023?北海模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則φ＝．【分析】根據(jù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由，k∈Z求解．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，k∈Z，所以，k∈Z，因?yàn)?，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2023?新疆模擬）以函數(shù)y＝sinωx（ω＞0）的圖象上相鄰三個(gè)最值點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是正三角形，則ω＝．【分析】作出函數(shù)y＝sinωx（ω＞0）的大致圖像，先由正弦函數(shù)的性質(zhì)得AB＝T，CD＝2，再由正三角形的性質(zhì)推得，從而利用三角函數(shù)的周期公式即可得解．【解答】解：作出函數(shù)y＝sinωx（ω＞0）的大致圖像，不妨取如圖的相鄰三個(gè)最值點(diǎn)，設(shè)其中兩個(gè)最大值點(diǎn)為A，B，最小值點(diǎn)為C，過(guò)C作CD⊥AB交AB于D，如圖，根據(jù)正弦函數(shù)y＝sinωx（ω＞0）的性質(zhì)可知AB＝T，CD＝2，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以，故，則，又ω＞0，則，故，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．15．（2023?惠州一模）函數(shù)的非負(fù)零點(diǎn)按照從小到大的順序分別記為x1，x2，…，xn，…，若，則xn的值可以是（答案不唯一）．（寫(xiě)出符合條件的一個(gè)值即可）【分析】根據(jù)零點(diǎn)的距離求出周期T，從而求出ω的值，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：由題意得：T＝2?＝π，故ω＝＝2，故f（x）＝sin（2x+），故x1＝﹣+＝，x2＝+，x3＝2?+，?????．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023?攀枝花一模）若函數(shù)（ω＞0）在上單調(diào)，且在上存在極值點(diǎn)，則ω的取值范圍為．【分析】由題意利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，正弦函數(shù)的零點(diǎn)與極值，列出不等式轉(zhuǎn)化求解ω的取值范圍．【解答】解：時(shí)，，函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，故該極值點(diǎn)滿足，所以，由于函數(shù)在上單調(diào)，故最小正周期，解得ω≤1，所以，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)x＝π時(shí)，，解得：，綜上所述：，即ω的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．17．（2023?株洲一模）已知f（x）＝sinωx（ω∈N+），若在區(qū)間上存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，滿足f（a）+f（b）＝2，則ω可以為5（答案不唯一）．（填一個(gè)值即可）【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得≥，解之可得答案．【解答】解：f（x）＝sinωx≤1，ω∈N+，若在區(qū)間上存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，滿足f（a）+f（b）＝2，則在區(qū)間上f（x）至少存在兩個(gè)最大值，∴≥，∴ω≥5，又ω∈N+，∴ω可以為5，故答案為：5（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查理解能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（2022?全國(guó)）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）＝f（﹣）＝，則φ＝（）A．2kπ+（k∈Z） B．2kπ+（k∈Z） C．2kπ﹣（k∈Z） D．2kπ﹣（k∈Z）【分析】由題意，可得函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸為x＝0，即φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．再檢驗(yàn)選項(xiàng)，可得結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ），f（）＝f（﹣）＝，∴函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸為x＝0，即sinφ＝1或sinφ＝﹣1，故φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．∴sin（+φ）＝sin（﹣+φ）＝①．不妨k＝0時(shí)，φ＝時(shí)，①不成立；當(dāng)φ＝﹣時(shí)，①成立，故φ＝2kπ﹣（k∈Z），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．19．（2022?新高考Ⅰ）記函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T(mén)．若＜T＜π，且y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，2）中心對(duì)稱，則f（）＝（）A．1 B． C． D．3【分析】由周期范圍求得ω的范圍，由對(duì)稱中心求解ω與b值，可得函數(shù)解析式，則f（）可求．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T(mén)，則T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，2）中心對(duì)稱，∴b＝2，且sin（+）＝0，則+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，則f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（2022?甲卷）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，求得ω的取值范圍．【解答】解：當(dāng)ω＜0時(shí)，不能滿足在區(qū)間（0，π）極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以ω＞0；函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，ωx+∈（，ωπ+），∴＜ωπ+≤3π，求得＜ω≤，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，屬于中檔題．21．（2023?金昌二模）若函數(shù)，又A（α，2），B（β，0）是函數(shù)f（x）的圖象上的兩點(diǎn)，且|AB|的最小值為，則的值為﹣1．【分析】先根據(jù)最大值點(diǎn)和對(duì)稱中心的最小距離求出周期，再求出函數(shù)解析式，代入解析式結(jié)合誘導(dǎo)公式及特殊角的函數(shù)值求解即可．【解答】解：因?yàn)锳（α，2），B（β，0），所以|AB|＝，則，所以，此時(shí)點(diǎn)A、B為函數(shù)上相鄰的最高點(diǎn)和對(duì)稱中心，所以，所以，解得ω＝1，所以，所以．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，屬于中檔題．22．（2023?榆林三模）已知函數(shù)f（x）＝tan2x與的圖象在區(qū)間[﹣π，π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，直線x+y＝2與f（x）的圖象在區(qū)間[0，π]上的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n，則m+n＝6．【分析】直接利用正弦型函數(shù)和正切型函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：函數(shù)f（x）＝tan2x與的圖象在區(qū)間[﹣π，π]上的圖象，如圖所示：故函數(shù)f（x）＝tan2x與函數(shù)g（x）＝sin（x﹣）在區(qū)間[﹣π，π]上的圖象上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，即m＝3，直線x+y＝2與f（x）的圖象在區(qū)間[0，π]上的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，即n＝3，故m+n＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦型函數(shù)和正切型函數(shù)的圖象，主要考查學(xué)生的理解能力和畫(huà)圖能力，屬于中檔題．23．（2023?山西模擬）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．（1）若f（x）的最小正周期為π，求f（x）的圖象與y軸距離最近的對(duì)稱軸方程；（2）若f（x）在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求ω的取值范圍．【分析】（1）由三角函數(shù)的圖象變換及對(duì)稱性質(zhì)即可判定；（2）利用整體代換求得零點(diǎn)，再根據(jù)已知區(qū)間確定范圍即可．【解答】解：（1）若f（x）的最小正周期為π，則，得ω＝2，所以，令，k∈Z，解得，k∈Z，取k＝0，得，取k＝﹣1，得，因?yàn)?，所以與y軸距離最近的對(duì)稱軸方程為．（2）由已知得，令，k∈Z，解得，k∈Z．因?yàn)閒（x）在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以（k∈Z），所以，因?yàn)棣兀?，所以，解得，k∈Z，所以k＝1，解得，即ω的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．七．正弦函數(shù)的單調(diào)性（共7小題）24．（2023?長(zhǎng)沙模擬）已知函數(shù)y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一條對(duì)稱軸為，且f（x）在上單調(diào)，則ω的最大值為．【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)稱軸的幾何意義求解．【解答】解：函數(shù)y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））一條對(duì)稱軸為，∴，∴，y＝sin（ωx+φ）的對(duì)稱軸可以表示為，令k＝k2﹣k1，則在上單調(diào)，則?k∈Z，使得解得，由，得k≤3，當(dāng)k＝3時(shí)，ω取得最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．25．（2023?湖南模擬）已知函數(shù)，x∈R，若，且f（x）在上單調(diào)遞增，則ω的值為2．【分析】將f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)，然后根據(jù)求出ω的值，根據(jù)f（x）在上單調(diào)遞增求出ω的范圍，即可得答案．【解答】解：，由，得，故，∴ω＝12k+2，k∈Z，又f（x）在上單調(diào)遞增，∴，又ω＞0，∴，故當(dāng)k＝0時(shí)，ω＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．26．（2023?吉林模擬）規(guī)定：設(shè)函數(shù)f（x）＝Max{sinωx，cosωx}（ω＞0），若函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是．【分析】討論f（x）＝cosωx（ω＞0）和f（x）＝sinωx（ω＞0）的條件，時(shí)，，根據(jù)正余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解不等式即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝Max{sinωx，cosωx}（ω＞0），當(dāng)時(shí)，f（x）＝cosωx（ω＞0），當(dāng)時(shí)，f（x）＝sinωx（ω＞0），時(shí)，，f（x）在上單調(diào)遞增，則有或，解得，當(dāng)k＝0時(shí)，有解；或，當(dāng)k＝1時(shí)，有解．實(shí)數(shù)ω的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．27．（2023?湛江二模）若函數(shù)在上具有單調(diào)性，且為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在上單調(diào)遞增（填增或減），函數(shù)y＝f（x）﹣lgx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9個(gè)．【分析】利用已知可得﹣（﹣）≤T，即≤，進(jìn)而由f（）＝sin（ω+）＝0，確定ω的值，進(jìn)而可判斷f（x）在上單調(diào)遞增，利用函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得函數(shù)y＝f（x）﹣lgx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：∵函數(shù)在上具有單調(diào)性，∴﹣（﹣）≤T，即≤，∴0＜ω≤，又∵f（）＝sin（ω+）＝0，∴ω+＝kπ（k∈Z），即ω＝﹣，k∈Z，只有k＝1時(shí)，ω＝3符合要求，此時(shí)f（x）＝sin（3x+），當(dāng)x∈時(shí)，3x+∈（﹣，），∴f（x）在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)y＝f（x）與y＝lgx的圖象，由圖可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象共有9個(gè)交點(diǎn)，∴函數(shù)y＝f（x）﹣lgx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9個(gè)．故答案為：增；9個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，方程函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，屬中檔題．28．（2023?汕頭二模）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）若，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．【分析】（1）先列出關(guān)于x的不等式組，解之即可求得函數(shù)f（x）的定義域；（2）先化簡(jiǎn)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：（1）tan2x﹣tanx≠0，即，則tanx≠0，即x≠kπ，k∈Z，又tan2x，tanx有意義，則，k∈Z，綜上可得，，k∈Z，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?；?）＝＝＝＝＝＝＝＝；∵，則，由，解得，由，解得，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．29．（2023?南京二模）已知f（x）＝sinωx﹣cosωx，ω＞0．（1）若函數(shù)f（x）圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，求f（）的值；（2）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（，0）對(duì)稱，且函數(shù)f（x）在[0，]上單調(diào)，求ω的值．【分析】（1）利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期和ω即可．（2）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：f（x）＝sinωx﹣cosωx＝2（sinωx﹣cosωx）＝2sin（ωx﹣），（1）若函數(shù)f（x）圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，則，即T＝π，則，得ω＝2，即f（x）＝2sin（2x﹣），則f（）＝2sin（2×﹣）＝2sin（3π﹣）＝2sin（π﹣）＝2sin＝．（2）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（，0）對(duì)稱，則ω﹣＝kπ，k∈Z，即ω＝3k+1，k≥0，∵函數(shù)f（x）在[0，]上單調(diào)，∴ωx﹣∈[﹣，ω﹣]，則滿足ω﹣≤，即ω≤，得ω≤，則當(dāng)k＝0時(shí)，ω＝1滿足條件，k＝1時(shí)，ω＝4，不滿足條件．即ω＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用周期和單調(diào)性，奇偶性建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．30．（2023?全國(guó)）已知函數(shù)，則（）A．上單調(diào)遞增 B．上單調(diào)遞增 C．上單調(diào)遞減 D．上單調(diào)遞增【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：，令，k∈Z，解得，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，，故f（x）在（﹣，）上單調(diào)遞增．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．八．正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性（共2小題）31．（2023?四川模擬）寫(xiě)出曲線的一條對(duì)稱軸的方程：x＝．【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【解答】解：對(duì)于曲線，令﹣＝kπ+，k∈Z，求得x＝2kπ+，k∈Z，令k＝0，可得它的一條對(duì)稱軸的方程為x＝．故答案為：x＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．32．（2023?湖北模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），若是函數(shù)y＝f（x）的圖像的一條對(duì)稱軸，是函數(shù)y＝f（x）的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，則ω的最小值為．【分析】根據(jù)題意，由正弦型函數(shù)的對(duì)稱性列出方程，即可得到ω，從而得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意可得，ω×+φ＝，ω×（﹣）+φ＝k2π，k1，k2∈Z，＝，k∈Z，又ω＞0，故ωmin＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．九．余弦函數(shù)的圖象（共5小題）33．（2023?綿陽(yáng)模擬）已知函數(shù)f（x）＝4cos（2x+）﹣3，則f（x）在（﹣，）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．【分析】由題意，本題即求函數(shù)y＝cost，t∈（0，）和直線y＝交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合，可得結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程cos（2x+）＝的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．當(dāng)x∈時(shí)，t＝2x+∈（0，），本題即求函數(shù)y＝cost，t∈（0，）和直線y＝交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．由于cos＝＞，故函數(shù)y＝cost，t∈（0，）圖中藍(lán)色曲線和直線y＝交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．34．（2023?安康模擬）已知函數(shù)f（x）＝cosωx（ω＞0）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間單調(diào)，則ω的一個(gè)取值是1或3或5或7（寫(xiě)出其中一個(gè)即可）．【分析】由f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱，求得ω＝1+2k，k∈Z，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得ω的范圍，即可求解．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝cosωx的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得，解得，所以ω＝1+2k，k∈Z，又因?yàn)閒（x）在區(qū)間上單調(diào)，可得，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，解得0＜ω≤8，所以ω＝1或3或5或7．故答案為：1或3或5或7（寫(xiě)出其中一個(gè)即可）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．35．（2023?山東模擬）若G（x，y）是函數(shù)y＝cosx圖象上的任意一點(diǎn)，則是函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）圖象上的相應(yīng)的點(diǎn)，那么＝0．【分析】由條件求出A，ω，φ，由此確定函數(shù)f（x）的解析式，再求．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)G（x，y）在y＝cosx的圖象上，則在f（x）＝Acos（ωx+φ）的圖象上，所以y＝cosx，，所以，由已知恒成立，又A＞0，ω＞0，所以A＝2，ω＝1，即恒成立，所以，又0＜φ＜π，所以所以，于是．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．36．（2023?拉薩一模）已知函數(shù)在[﹣π，0]上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．若m，n∈[0，π]，且f（m）＜f（n），對(duì)任意的x∈[0，π]，都有[f（x）﹣f（m）][f（x）﹣f（n）]≤0，則滿足條件的m的個(gè)數(shù)為1或2．【分析】已知條件求出ω的取值范圍，由題意f（m）為f（x）在[0，π]上的最小值，由的范圍，確定函數(shù)取最小值時(shí)點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：函數(shù)在[﹣π，0]上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，ωx+∈[﹣ωπ，]，∴由余弦函數(shù)的圖象得﹣＜﹣ωπ≤﹣，求得．若m，n∈[0，π]，且f（m）＜f（n），對(duì)任意的x∈[0，π]，都有[f（x）﹣f（m）][f（x）﹣f（n）]≤0，即f（m）≤f（x）≤f（n）恒成立，f（m）為f（x）在[0，π]上的最小值，x∈[0，π]，ωx+∈[，ωπ+]，由，，由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得，時(shí)，f（x）在[0，π]上有1個(gè)最小值點(diǎn)，即m的個(gè)數(shù)為1；時(shí)，f（x）在[0，π]上有2個(gè)最小值點(diǎn)，即m的個(gè)數(shù)為2．則滿足條件的m的個(gè)數(shù)為1或2．故答案為：1或2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，重點(diǎn)在函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和最值個(gè)數(shù)，屬中檔題．37．（2023?承德模擬）已知ω＞1，函數(shù)．（1）當(dāng)ω＝2時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f（x）在區(qū)間上單調(diào)，求ω的取值范圍．【分析】（1）由題意，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的增區(qū)間．（2）由題意，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，分別求出ω的范圍，綜合可得結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)ω＝2時(shí)，f（x）＝cos（2x﹣），令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）若f（x）＝cos（ωx﹣）在區(qū)間上單調(diào)遞增，ωx﹣∈[﹣，﹣]，則﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z，求得12k﹣4≤ω≤6k+1，再結(jié)合ω＞1，可得ω?zé)o解．若f（x）＝cos（ωx﹣）在區(qū)間上單調(diào)遞增減，ωx﹣∈[﹣，﹣]，則﹣≥2kπ，﹣≤2kπ+π，k∈Z，求得12k+2≤ω≤6k+4，k∈Z．令k＝0，可得2≤ω≤4．綜上可得，ω的范圍為[2，4]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．一十．正切函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性（共1小題）38．（2023?石家莊模擬）曲線f（x）＝（cosx≠0）的一個(gè)對(duì)稱中心為（﹣，0）（答案不唯一）．【分析】法一：根據(jù)題意得定義域?yàn)閧x|x≠+kπ，k∈Z}，且cosx≠0，f（x）＝＝﹣tan（x+），根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得答案；法二：根據(jù)題意得定義域?yàn)閧x|x≠+kπ，k∈Z}，利用輔助角公式可得f（x）＝＝﹣tan（x+），根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得答案．【解答】解：法一：定義域?yàn)閧x|x≠+kπ，k∈Z}，且cosx≠0，∴f（x）＝＝﹣tan（x+），∴由x+＝，k∈Z，解得x＝﹣+，k∈Z，∴f（x）的對(duì)稱中心為（﹣+，0），k∈Z，∴當(dāng)k＝0時(shí)，則x＝﹣，故其中一個(gè)對(duì)稱中心為（﹣，0）；法二：定義域?yàn)閧x|x≠+kπ，k∈Z}，f（x）＝＝＝﹣tan（x+），∴由x+＝，k∈Z，解得x＝﹣+，k∈Z，∴f（x）的對(duì)稱中心為（﹣+，0），k∈Z，∴當(dāng)k＝0時(shí)，則x＝﹣，故其中一個(gè)對(duì)稱中心為（﹣，0）．故答案為：（﹣，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)及性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，屬于中檔題．一十一．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換（共7小題）39．（2023?咸陽(yáng)模擬）已知函數(shù)f（x）＝sinωxcosωx﹣ωx（ω＞0）的最小正周期為π，對(duì)于下列說(shuō)法：①ω＝1；②f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，（k∈Z）；③將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④．其中正確的序號(hào)是①③④．【分析】先化簡(jiǎn)為，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各項(xiàng)一一判斷即可．【解答】解：，對(duì)于①：因?yàn)門(mén)＝π，∴，解得ω＝1，故①正確；對(duì)于②：，令，k∈Z，解得，k∈Z，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：將f（x）圖象向左平移個(gè)單位得到，關(guān)于y軸對(duì)稱，故③正確；對(duì)于④：＝，所以④正確．故選：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．40．（2023?烏魯木齊三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)f（x）圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象，則的值為．【分析】由函數(shù)圖象求得參數(shù)A，ω，φ，可得f（x）的解析式，根據(jù)圖象的平移變換求出g（x）的解析式，即可求得答案．【解答】解：由f（x）的圖象可知，∴T＝π，∴，∴f（x）＝sin（2x+φ），又，則∴，'∴，而，故，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象變換，屬中檔題．41．（2023?龍巖模擬）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinA﹣bsinB＝2sin（A﹣B），且a≠b．（1）求c；（2）把y＝sinx的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象向上平移c個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝f（x）的圖象，若函數(shù)y＝f（ωx）（ω＞0）在x∈（0，π）上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求ω的取值范圍．【分析】（1）先用正弦定理將角化成邊，再用余弦定理即可求解；（2）先由函數(shù)的圖象變換得出函數(shù)y＝f（x）的解析式，再結(jié)合函數(shù)y＝f（ωx）的圖象特點(diǎn)即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)閍sinA﹣bsinB＝2sin（A﹣B），所以asinA﹣bsinB＝2sinAcosB﹣2cosAsinB，由正弦定理得a2﹣b2＝2acosB﹣2bcosA，由余弦定理得．即，因?yàn)閍≠b，所以c＝2，（2））由（1）知c＝2，y＝sinx的圖象向右平移個(gè)單位得的圖象，再把所得圖象向上平移c個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，所以．令，則f（ωx）＝g（t）＝sint+2，∵x∈（0，π），∴在x∈（0，π）上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，由g（t）＝sint+2的圖象可知，，∴，所以ω的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．42．（2023?濟(jì)南三模）已知f（x）＝sinωx（ω＞0），其圖象相鄰對(duì)稱軸間的距離為，若將其圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．（1）求函數(shù)y＝g（x）的解析式及圖象的對(duì)稱中心；（2）在鈍角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)f（x）的圖象相鄰對(duì)稱軸間的距離得到周期求出ω，再根據(jù)圖像平移得到y(tǒng)＝g（x），由對(duì)稱中心公式求得結(jié)果；（2）由得出A，B，C三角的關(guān)系，利用正弦定理及角度關(guān)系化簡(jiǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間得出結(jié)果．【解答】解：（1）已知f（x）的圖象相鄰對(duì)稱軸間的距離為，則T＝π．由周期公式得，T＝＝π，ω＞0，所以ω＝2，f（x）＝sin2x，，令，所以，故函數(shù)y＝g（x）的對(duì)稱中心為；（2）由題意得，，，所以，所以或（舍），所以，因?yàn)樵阝g角△ABC中，所以0＜A＜，0＜C＜，所以0＜A＜，則＝+＝＝4cosA+，令t＝cosA，φ（t）＝4t+，t∈（，1），φ'（t）＝4﹣，當(dāng)＜x＜，時(shí)φ'（t）＜0；當(dāng)＜x＜1時(shí)，φ'（t）＞0，可得φ（t）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以當(dāng)，即時(shí)，φ（t）有最小值4，φ（）＝5，φ（1）＝7，所以，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．43．（2023?濟(jì)寧二模）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，在上的值域?yàn)椋螃恋娜≈捣秶痉治觥浚?）先化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，即可得出答案；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換和對(duì)稱性求出φ、g（x），再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解，即可得出答案．【解答】解：（1）＝，∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由題意得，∵函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴，解得，∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，又g（x）在上的值域?yàn)椋瑒t．解得，故α的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．44．（2022?甲卷）將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則ω的最小值是（）A． B． C． D．【分析】由題意，利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得ω的最小值．【解答】解：將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，則C對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝sin（ωx++），∵C的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴+＝kπ+，k∈Z，即ω＝2k+，k∈Z，則令k＝0，可得ω的最小值是，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．45．（2022?浙江）為了得到函數(shù)y＝2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sin（3x+）圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)圖象的平移即可求解．【解答】解：把y＝2sin（3x+）圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位可得y＝2sin[3（x﹣）+]＝2sin3x的圖象．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象平移，屬于基礎(chǔ)題．一十二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式（共3小題）46．（2023?威海二模）已知偶函數(shù)的部分圖象如圖所示，A，B，C為該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，且D為圖象的一個(gè)最高點(diǎn)．（1）證明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；（2）若，CD＝2，，求f（x）的解析式．【分析】（1）在△ABD、△CBD中分別利用正弦定理可得，再結(jié)合BC＝2AB即可證明；（2）依題意求出sin∠ADB，即可得到cos∠ADC，利用余弦定理求出AC，即可求出周期，從而求出ω，利用勾股定理求出BD，即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)即可求出M，再根據(jù)函數(shù)圖象及偶函數(shù)求出φ，即可得解．【解答】證明：（1）在△ABD中，由正弦定理可得，在△CBD中，由正弦定理可得，又∠ABD+∠DBC＝π，所以sin∠ABD＝sin∠DBC，所以，又BC＝2AB，所以2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC．（2）解：因?yàn)?，CD＝2，，且2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC，所以，所以，在△ACD中，由余弦定理可得，所以，解得，在Rt△BCD中，又，則∠CBD＝30°，所以，則xD＝BDcos30°﹣1＝2，所以，則，，所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．47．（2023?全國(guó)二模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中f（x）的圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣．（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣a在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）利用圖像分別求出A，ω，φ；（2）利用分離常數(shù)法得到a＝f（x），求出f（x）在區(qū)間上的值域，即可求解．【解答】解：（1）由圖知：A＝2.，所以T＝π，所以，所以f（x）＝2sin（2x+φ），由，且0＜φ＜，所以，所以；（2）令g（x）＝0得：f（x）＝a，對(duì)于，，則，由y＝2sint的圖像和性質(zhì)可得：在區(qū)間上的值域?yàn)椋院瘮?shù)g（x）＝f（x）﹣a在區(qū)間上存在零點(diǎn)，有．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的解析式，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．48．（2023?南昌二模）如圖是函數(shù)的部分圖象，已知．（1）求ω；（2）若，求φ．【分析】（1）設(shè)A（x0，0），則，再根據(jù)求得周期T，即解；（2）根據(jù)結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）設(shè)A（x0，0），函數(shù)的最小正周期為T(mén)，則，則，故，解得T＝4（負(fù)值舍去），所以，所以；（2）由（1）得，，得，即，所以，又因，則，所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．一十三．三角函數(shù)的最值（共2小題）49．（2023?佛山模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（，+∞）．【分析】根據(jù)輔助角公式以及二倍角公式對(duì)解析式進(jìn)行整理，再借助于余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)＝4sin2（x+）﹣2＝﹣2cos（2x+），當(dāng)x∈時(shí)，2x+∈[，2a+），∵函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，∴2a+＞π，可得a＞．故答案為：（，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．50．（2023?蕪湖模擬）已知函數(shù)f（x）＝asin2x+cos2x，且．（1）求f（x）的最大值；（2）從①②中任選一個(gè)作答．若選擇多個(gè)分別作答．按第一個(gè)解答計(jì)分．①A為函數(shù)f（x）圖象與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B，C為函數(shù)f（x）圖象的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)，求△ABC面積的最小值．②O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)z1＝﹣2﹣4i，z2＝﹣2+f（t）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，求△OAB面積的取值范圍．【分析】（1）由已知可得，當(dāng)x＝時(shí)函數(shù)f（x）取到最值，列方程解出a，代入f（x），進(jìn)而可得f（x）的最大值；（2）若選①：分B，C對(duì)應(yīng)的f（x）同為最大值或最小值和B，C對(duì)應(yīng)的f（x）一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值兩種情況討論，分別利用三角形的面積公式求解，可得△ABC面積的最小值；若選②：由復(fù)數(shù)的幾何意義，得出A（﹣2，﹣4），B（﹣2，f（t）），再由三角形的面積公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）∵f（x）≤|f（﹣）|，即當(dāng)x＝時(shí)函數(shù)f（x）取到最值，又f（x）＝asin2x+cos2x＝，其中tanφ＝（a≠0），∴[f（﹣）]2＝a2+1，代入得[asin2（﹣）+cos2（）]2＝a2+1，即（）2＝a2+1，解得（a+）2＝0，∴a＝﹣，f（x）＝﹣sin2x+cos2x＝﹣2sin（2x﹣），當(dāng)2x﹣＝2kπ+，k∈Z，即x＝kπ+，k∈Z時(shí)，f（x）取到最大值2；（2）由（1）可得：f（x）＝﹣2sin（2x﹣），選①：可得T＝＝π，當(dāng)B，C對(duì)應(yīng)的f（x）同為最大值或最小值時(shí)，得S△ABC＝A?kT≥＝；當(dāng)B，C對(duì)應(yīng)的f（x）一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值時(shí)，得S△ABC＝≥＝π；綜上：△ABC面積的最小值為π；選②：由復(fù)數(shù)的幾何意義知：A（﹣2，﹣4），B（﹣2，f（t）），∴S△ABC＝＝|f（t）+4|＝﹣2sin（2x﹣）+4，當(dāng)2x﹣＝2kπ﹣，k∈Z，即x＝kπ﹣，k∈Z時(shí)，S△OAB有最大值6；當(dāng)2x﹣＝2kπ+，k∈Z，即x＝kπ+，k∈Z時(shí)，S△OAB有最小值2；∴S△OAB∈[2，6]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．一十四．兩角和與差的三角函數(shù)（共5小題）51．（2023?天津一模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知a＝1，c＝2，sinB＝2sinA．（1）求cosC的值；（2）求sinA的值；（3）求sin（2C﹣A）的值．【分析】（1）利用正弦邊角關(guān)系及余弦定理求值即可；（2）由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理求值即可；（3）應(yīng)用二倍角公式求2C對(duì)應(yīng)函數(shù)值，再由差角正弦公式求值即可．【解答】解：（1）由sinB＝2sinA及正弦定理得：b＝2a，∴b＝2，由余弦定理得；（2）由（1）知：，由正弦定理，得；（3）由，且，∵a＜b，即A＜B，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．52．（2023?天津模擬）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c（a＞c），已知bcosC＝（3a﹣c）cosB，．（1）求cosB；（2）求a，c的值；（3）求sin（B﹣C）的值．【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合兩角和的正弦公式，得解（2）由cosB＝，可得sinB的值，再結(jié)合三角形的面積公式與余弦定理，得關(guān)于a和c的方程組，解之即可；（3）將（1）（2）所得結(jié)果代入已知條件中，求得cosC的值，從而知sinC的值，再由兩角差的正弦公式，展開(kāi)運(yùn)算，得解．【解答】解：（1）由正弦定理及bcosC＝（3a﹣c）cosB知，sinBcosC＝（3sinA﹣sinC）cosB，所以3sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，因?yàn)閟inA≠0，所以cosB＝．（2）由（1）知，cosB＝，因?yàn)锽∈（0，π），所以sinB＝＝，所以S△ABC＝acsinB＝ac?＝4，即ac＝12①，由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，所以32＝a2+c2﹣2?12?，即a2+c2＝40②，又a＞c，所以由①②解得，a＝6，c＝2．（3）因?yàn)閎cosC＝（3a﹣c）cosB，所以4cosC＝（3×6﹣2）×，即cosC＝，因?yàn)镃∈（0，π），所以sinC＝＝，所以sin（B﹣C）＝sinBcosC﹣cosBsinC＝×﹣×＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）53．（2023??？谀M）已知銳角α，β，γ滿足α+β+γ＝π，則（）A．tanα，tanβ可能是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩根 B．若α＞β，則sinα＞sinβ C． D．tanα+tanβ+tanγ＝tanα?tanβ?tanγ【分析】由tanα，tanβ的符號(hào)即可判斷A；由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；由正、余弦的降冪公式化二次為一次，結(jié)合三角函數(shù)值的符號(hào)可判斷C；用兩角和的正切公式的變形可判斷D．【解答】解：因?yàn)棣?，β為銳角，所以tanα＞0，tanβ＞0，若tanα，tanβ是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩根，由韋達(dá)定理得tanα?tanβ＝﹣4＜0，故A錯(cuò)誤；因?yàn)棣?，β為銳角，且α＞β，函數(shù)y＝sinx在上單調(diào)遞增，則sinα＞sinβ，故B正確；因?yàn)棣?，β為銳角，所以cosα＞0，cosβ＞0，故，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以tanα+tanβ＝tan（α+β）（1﹣tanα?tanβ），又α+β+y＝π，所以tan（α+β）＝tan（π﹣γ）＝﹣tanγ，所以tanα+tanβ+tanγ＝tan（α+β）（1﹣tanα?tanβ）+tany＝﹣tanγ（1﹣tanα?tanβ）+tanγ＝tanα?tanβ?tanγ，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，兩角和差公式，屬于中檔題．54．（2023?杭州模擬）已知銳角α，β滿足，，則α+β＝．【分析】利用兩角和差的正切公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵，∴+β＝，則tan（+β）＝tan，即＝，∵，∴tan+tanβ＝3﹣，則tan，tanβ是x2﹣（3﹣）x+2﹣＝0兩個(gè)根，得方程的兩個(gè)根為x＝1或x＝2﹣，若tan＝1，則＝，即α＝，不滿足條件．則tanβ＝1，tan＝2﹣，即tanα＝＝＝，∵銳角α，β，∴α＝，β＝，∴α+β＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，利用兩角和差的正切公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．55．（2022?新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，則（）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1【分析】解法一：由已知結(jié)合輔助角公式及和差角公式對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求α﹣β，進(jìn)而可求．解法二：根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和公式，即可求解．【解答】解：解法一：因?yàn)閟in（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）＝2cos（α+）sinβ，即sin（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0，所以sin（）＝0，所以＝kπ，k∈Z，所以α﹣β＝k，所以tan（α﹣β）＝﹣1．解法二：由題意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ＝0，所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，故tan（α﹣β）＝﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了輔助角公式，和差角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是公式的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．一十五．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用（共1小題）56．（2023?安徽模擬）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．（1）求ω和φ；（2）當(dāng)時(shí)，記方程的根為x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求的范圍．【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換得，再利用相鄰對(duì)稱軸的距離求出ω，根據(jù)其為奇函數(shù)，利用f（0）＝0即可求出φ；（2）由（1）得，利用整體換元法和三角函數(shù)圖象知m∈[0，1]，再根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性和周期性得，x3﹣x1＝π，最后即可得其范圍．【解答】解：（1）＝＝，∵函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，∴T＝π，可得．又∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴，則，k∈Z，解得．由，得．此時(shí)f（x