高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第31講正弦定理、余弦定理(原卷版+解析)

第31講正弦定理、余弦定理1、正弦定理＝＝＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．正弦定理的常見(jiàn)變形(1)(2)；(3)(4)2、余弦定理1)；2)；3).余弦定理的常見(jiàn)變形3、三角形的面積公式(1)S△ABC＝eq\f(1,2)aha(ha為邊a上的高)；(2)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．1、（2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)乙卷））在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（）A. B. C. D.2、（2023年高考數(shù)學(xué)新高考I卷）．已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．3、（2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷））記內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積．1、在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，C＝120°，則AC等于()A．1B．2C．3D．42、已知△ABC，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，則c等于()A．2eq\r(5) B.eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5) D．均不正確3、在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則BC的長(zhǎng)為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．24、（2022年湖北省宜昌市高三模擬試卷）若在中，角的對(duì)邊分別為，則（）A.或 B. C. D.以上都不對(duì)考向一運(yùn)用正余弦定理解三角形例1、（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知，，成等差數(shù)列.（1）求角B的大??；（2）若，求的值.變式1、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）（多選題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A. B.C. D.變式2、（2022年福建省南安國(guó)光中學(xué)高三模擬試卷）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．（1）證明：；（2）若，求．方法總結(jié)：本題考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．考查基本運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向二利用正、余弦定理判定三角形形狀例2、（河北張家口市·高三月考）（多選題）在中，角、、的對(duì)邊分別是、、．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．，，則的外接圓半徑是4B．若，則C．若，則一定是鈍角三角形D．若，則變式1、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰非等邊三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形變式2、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形方法總結(jié)：判定三角形形狀的途徑：①化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；②化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系．正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考點(diǎn)三運(yùn)用正余弦定理研究三角形的面積考向三運(yùn)用正余弦定理解決三角形的面積、周長(zhǎng)例3、（2022年江蘇省徐州市高三模擬試卷）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.（1）證明：；（2）若，，求的面積.變式1、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．變式2、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c的值；(2)設(shè)D為邊BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．變式3、（2022年廣州番禺中學(xué)高三模擬試卷）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，.（1）求角B；（2）求的面積.方法總結(jié)：1．求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．2．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解．(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．1、.（2022·山東泰安·高三期末）在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）在中，若，則的形狀為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形3、（2022·山東萊西·高三期末）在中，，，，，，若的外接圓的半徑為，則角___________.4、（2022年河北省承德市高三模擬試卷）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.5、（2022年重慶市高三模擬試卷）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若，的面積是，求的值．

第31講正弦定理、余弦定理1、正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．正弦定理的常見(jiàn)變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA).2、余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的常見(jiàn)變形(1)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；(2)cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；(3)cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3、三角形的面積公式(1)S△ABC＝eq\f(1,2)aha(ha為邊a上的高)；(2)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．1、（2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)乙卷））在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.2、（2023年高考數(shù)學(xué)新高考I卷）．已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【解析】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.3、（2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷））記內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積．【解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，解得：．【小?wèn)2詳解】由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為1、在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，C＝120°，則AC等于()A．1B．2C．3D．4【答案】：A【解析】設(shè)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則a＝3，c＝eq\r(13)，C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.2、已知△ABC，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，則c等于()A．2eq\r(5) B.eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5) D．均不正確【答案】：C【解析】∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(15),\r(5))·sin30°＝eq\f(\r(3),2).∵b>a，∴B＝60°或120°.若B＝60°，則C＝90°，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(5).若B＝120°，則C＝30°，∴a＝c＝eq\r(5).3、在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則BC的長(zhǎng)為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．2【答案】：B【解析】因?yàn)镾＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝3.所以BC＝eq\r(3).4、（2022年湖北省宜昌市高三模擬試卷）若在中，角的對(duì)邊分別為，則（）A.或 B. C. D.以上都不對(duì)【答案】C【解析】在中，已知，由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選：C考向一運(yùn)用正余弦定理解三角形例1、（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知，，成等差數(shù)列.（1）求角B的大小；（2）若，求的值.【解析】（1），，成等差數(shù)列，，由正弦定理，，中，，，，又，，，.（2），，，.變式1、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以只有一解；故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫驗(yàn)?，即，所以，所以有兩解（，或），故B正確；對(duì)于C，因，所以由正弦定理得，即，因?yàn)椋杂袃山猓?，或，），故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，由于，故，所以只有一解，故D錯(cuò)誤；故選：BC變式2、（2022年福建省南安國(guó)光中學(xué)高三模擬試卷）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．（1）證明：；（2）若，求．【解析】【小問(wèn)1詳解】由題意知，，所以，所以，而，結(jié)合正弦定理，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：,所以，即，所以解得或（舍）,所以.方法總結(jié)：本題考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．考查基本運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向二利用正、余弦定理判定三角形形狀例2、（河北張家口市·高三月考）（多選題）在中，角、、的對(duì)邊分別是、、．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．，，則的外接圓半徑是4B．若，則C．若，則一定是鈍角三角形D．若，則【答案】BC【解析】由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故A錯(cuò)誤；由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確；因?yàn)椋訡為鈍角，一定是鈍角三角形，故C正確；若，顯然，故D錯(cuò)誤.故選：BC變式1、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰非等邊三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形【答案】C【解析】因?yàn)閑q\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(a,c)，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以△ABC是等邊三角形．變式2、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】因?yàn)閏－acosB＝(2a－b)cosA，所以由正弦定理，得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA.又C＝π－(A＋B)，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinB·cosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以A＝eq\f(π,2)或B＝A，所以△ABC為等腰或直角三角形．方法總結(jié)：判定三角形形狀的途徑：①化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；②化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系．正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考點(diǎn)三運(yùn)用正余弦定理研究三角形的面積考向三運(yùn)用正余弦定理解決三角形的面積、周長(zhǎng)例3、（2022年江蘇省徐州市高三模擬試卷）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.（1）證明：；（2）若，，求的面積.【解析】【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理及，得，得.由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)锳，B，C是三角形的內(nèi)角，所以，即；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，因?yàn)?，所以，所以，，，由正弦定理得，，所以，所以的面積.變式1、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．【解析】(1)由題意，得eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)，即eq\f(1,2)csinB＝eq\f(a,3sinA).由正弦定理，得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA)，故sinBsinC＝eq\f(2,3).(2)由題意及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,2)，所以B＋C＝eq\f(2π,3)，故A＝eq\f(π,3).由題意，得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，則bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，則b＋c＝eq\r(33)，故△ABC的周長(zhǎng)為3＋eq\r(33).變式2、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c的值；(2)設(shè)D為邊BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．【解析】(1)由sinA＋eq\r(3)cosA＝0，得tanA＝－eq\r(3)，所以A＝eq\f(2π,3).在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即28＝4＋c2－4ccoseq\f(2π,3)，即c2＋2c－24＝0，解得c＝4（負(fù)值舍去）.(2)由題設(shè)，得∠CAD＝eq\f(π,2)，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f(π,6)，所以eq\f(S△ABD,S△ACD)＝eq\f(\f(1,2)AB·AD·sin\f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1.又S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2×sineq\f(2π,3)＝2eq\r(3)，所以△ABD的面積為eq\r(3).變式3、（2022年廣州番禺中學(xué)高三模擬試卷）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，.（1）求角B；（2）求的面積.【解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以；【小?wèn)2詳解】由正弦定理可知：，又，所以，所以.方法總結(jié)：1．求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，